28.2 相似三角形的判定（1）（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的定义、预备定理（平行线判定）及判定定理1（两角对应相等），通过生活中相似图形的情境引入，观察归纳特征后过渡到相似三角形定义，结合中位线典例引出预备定理，再构造平行证明判定定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活相似现象激发兴趣，用“数学思维”通过构造平行转化证明判定定理培养推理能力，以“数学语言”提炼A型、X型等模型，典例与中考题结合助学生形成模型意识。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可获得系统教学资源与模型化教学思路。

28.2 相似三角形的判定（1） 第二十八章 相似三角形 沪教版九年级上册 学习目标 理解相似三角形定义，掌握对应角相等、对应边成比例，规范书写相似符号，找准对应顶点。掌握相似三角形的传递性，能利用传递性推导多组三角形相似。 一 理解并掌握相似三角形预备定理（平行线判定相似），掌握相似三角形的判定定理1（两角对应相等），分清“A 型”“X 型” 两种基本模型，能用预备定理、判定定理1判定三角形相似。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 揭开相似的面纱 归纳核心特征，理解形状相同大小不同 数学就在我们身边，从熟悉的世界发现相似 用眼睛观察，用心灵感知——相似形无处不在 形状相同，大小不一定相同的图形叫作相似图形。 情境引入 找出下图中的相似图形 形状相同，大小不一定相同的图形叫作相似图形。 对应角相等，对应边成比例——形状不变，大小可变 √ 合作探究 相似三角形的定义 1. 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 2. 数学语言 如图，∆ABC和∆DEF中，∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F， ，那么∆ABC∽∆DEF，“∽”读作“相似于”； 点A、B、C的对应点分别是D、E、F. 反之，如果∆ABC∽∆DEF，那么∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F， . 两个相似三角形对应边的比值叫作它们的相似比. 典例分析 例1 如图 ,∆ABC中，已知 DE 是∆ABC 的中位线，∆ADE和∆ABC相似吗？ 【分析】相似三角形三个角相等，三条边对应成比例. 在△ADE 与△ABC 中 ，由DE是中位线可知： ∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C; =, 所以∆ADE和∆ABC相似，记作：∆ADE∽∆ABC ∆ADE和∆ABC的相似比为____，反之∆ABC和∆ADE的相似比为____ 思考：如果两个相似三角形的相似比可能为1 吗？ 当两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.显然，全等三角形是相似三角形的特殊情况. 相似三角形的定义 巩固练习 1. 如图 ,∆ABC中，已知 D、E、F 是∆ABC 的各边的中点，图中有几个三角形和∆ABC相似吗？ 相似三角形的定义 由例1可知 ∆ADE∽∆ABC 归纳：定理 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 同理： ∆DBF∽∆ABC ∆EFC∽∆ABC 易证： ∆ADE≌∆FED ∴ ∆FED∽∆ABC （相似的传递性） 所以，图中共有四个三角形和∆ABC相似。 对应角相等 若△ABC ∽ △DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F = 归纳总结 书写时对应顶点的字母必须写在对应位置上，顺序不能乱 定义：如果两个三角形的三个角分别对应相等，且三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 记作：△ABC ∽ △A'B'C' 读作：三角形ABC相似于三角形A'B'C' 符号"∽"形似横躺的S，表示"相似于"，全等属于特殊的相似。 对应边成比例 = = = k（k为相似比） 相似三角形具有传递性，如果两个三角形分别与同一个三角 形相似，那么这两个三角形也相似 相似三角形的定义 归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形相似. 合作探究 1. 如图 ,∆ABC中，已知 DE 是∆ABC 的中位线时，∆ADE和∆ABC相似，当DE与BC平行但不是中位线时，∆ADE和∆ABC还相似吗？ 【分析】在△ADE 与△ABC 中 ，易证： ∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C; , 根据相似的定义还需证明 由平行判定相似 【略证】过点D作DF//AC交BC于点F，易证▱DFEC∴DE=FC ,∴ ∴∆ADE∽∆ABC F 归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.（相似三角形的预备定理） 合作探究 2. 如图 ,∆ABC中，当DE与BC平行与BA、CA的延长线交于点D、E，∆ADE和∆ABC还相似吗？ 【分析】在△ADE 与△ABC 中 ，易证： ∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C; , 过点D作DF//AC交BC延长线于点F，易证▱DFCE∴DE=FC ，∴ ∴∆ADE∽∆ABC F 由平行判定相似 归纳总结 由平行判定相似 基本图形 A型图：∵DE//BC ∴ X型图：∵DE//BC ∴ 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.（相似三角形的预备定理） 基本应用 ∵∆ADE∽∆AB ∴∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F， 巩固练习 2. 如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交 AD 于点F. 图中有哪几对相似三角形? AD//BC⟹ “A”型图相似 ∆EAF∽∆EBC AB//CD⟹ “X”型图相似 ∆EAF∽∆CDF ∵∆EAF∽∆EBC ∆EAF∽∆CDF ∴∆CDF∽∆EBC （相似的传递性） 由平行找相似时，要善于分析平行成相似的基本图形。 由平行判定相似 合作探究 3. 如图 ,在∆ABC 和 ∆A1B1C1中 ∠A=∠A1，∠B=∠B1 ∆ABC 和 ∆A1B1C1 相似吗？ 【分析】在 AB 上截取AD=A1B1，过点D作平行构造Ａ型相似。 相似三角形的判定定理1 【证明】在 AB 上截取AD=A1B1，过点D作DE//BC，交AC于点E, D E 因为DE//BC,    所以∠ADE=∠B,    结合∠B=∠B₁, 得∠ADE=∠B₁. 又由∠A=∠A₁及AD=A1B1， 得△ADE≌△A1B1C1. ∴∆ADE∽△A1B1C1. 定理：两角对应相等的两个三角形相似。 由相似三角形的预备定理得，∆ADE∽∆ABC 典例分析 例2　如图 如图，∠A=∠D，AC//DF，求证：∆ABC∽∆DEF． 【分析】判定两个三角形相似，基本方法是找两对角相等。 相似三角形的判定定理1 【证明】∵AC//DE, 又∵∠A=∠D ∴∆ABC∽△DEF. 定理：两角对应相等的两个三角形相似。 ∴∠ACB=∠F 巩固练习 3.　如图 ，已知：D 、E  分别是∆ABC 的边AB 、AC  上的点，且 ∠AED=∠B.    求证：AE·AC=AD·AB. 【分析】本题的结论是等积式，可以转化为比例式，证三角形相似。 相似三角形的判定定理1 【证明】∵∠A=∠A（公共角）, ∴∆ABC∽△AED. 注意：本题图形也属于“Ａ型模型”与平行相似的“正A”有所区别，俗称“反A”型相似。 又∵∠AED=∠B ∴= （相似三角形对应边成比例） ∴AE·AC=AD·AB（比例线段的基本性质） 正A 反A 巩固练习 4.　如图 ，AC、BD相交于的点O，且∠B=∠C．求证： 求证：AO·OC=BO·OD. 【分析】本题的结论是等积式，可以转化为比例式，证三角形相似。 相似三角形的判定定理1 【证明】∵∠AOB=∠COD（对顶角相等）, ∴∆ABO∽△DCO. 注意：本题图形也属于“X型模型”、“８”字模型，但与平行相似的“正X”有所区别，俗称“反X”字型相似。 又∵∠B=∠C ∴= （相似三角形对应边成比例） ∴AO·OC=BO·OD（比例线段的基本性质） 正X 反X 小结梳理 相似三角形的判定 中考链接 1. （2025·上海·一模节选）如图，分别是▱ABCD边AB,BC上的高．求证:∆ADE∽∆CDF． 根据∠A=∠C,∠AED=∠CFD可证。 相似三角形的判定 中考链接 2. （2025·上海·一模节选）如图，在∆ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，与AD交于点F，求证：∆BFD∽∆ACD 可证∠DBF=∠DAC,∠BDF=∠ADC。 相似三角形的判定 作业 习题28.2-28.4 第1、5题 必做题 相似三角形的判定 作业 1.如图，在锐角∆ABC中，CD、BE分别是边AB、AE上的高，它们相交于点O， 求证：DO∙CO=BO∙EO 选做题 证∆BDO∽∆CEO即可. 相似三角形的判定 作业 2.如图，在∆ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，且CD=CE. (1)求证：∆AEC∽∆BDA； (2)若AC=6，AB=9，AD=5，则直接写出CD的长为________． 选做题 (1)由CD=CE，得∠CDE=∠CED，所以它们的邻补角也相等∠ADB=∠AEC,又已知∠DAC=∠B，根据角角相等可证相似； (2)由结论(1)中的相似，可得对应边成比例，可求得CD=CE=. 相似三角形的判定 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $