专题27.5 二次函数的简单应用及综合 优等生讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的简单应用及综合，系统梳理从实际情境建模（根据顶点、交点确定解析式）到经典问题解决（抛物线运动、面积最大、利润最大、拱桥），再到与方程、不等式、几何图形综合应用的递进式学习支架。 资料以思维导图总览知识脉络，通过隧道问题等典例培养数学眼光（几何直观）和思维（推理能力），方法总结表强化模型意识，分层次练习助力课中教学与课后查漏，有效提升学生解决实际问题的能力。

专题27.5 二次函数的简单应用及综合 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数在现实情境中的建模方法，能根据实际问题中的条件（如顶点、交点、图象上的点）确定二次函数解析式。 · 掌握 用二次函数解决抛物线运动（抛体、喷泉、导弹等）、面积最大、利润最大、拱桥等经典应用问题的步骤和技巧。 · 熟练运用 配方法或顶点式求二次函数的最值，并能在实际问题中合理取舍答案（如考虑实际意义）。 · 理解 二次函数与方程、不等式、几何图形（平行四边形、菱形等）的综合应用，能利用数形结合和分类讨论解决问题。 · 体会 数学建模思想，将实际问题转化为数学问题，体会函数在优化决策中的作用。 ✨ 核心思想：用二次函数描述现实变化规律，利用顶点求最值，实现效益最大化。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； （2）设：设适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的表达式及自变量的取值范围； （4）解：根据题目中的条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解； （5）验：检验结果的合理性，必要时进行合理取舍； （6）答：确定实际问题的答案． 提醒 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须考虑各个量的实际意义和已知条件的限制. 例1 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB= m，花园面积为S ㎡. （1）求面积S关于一边长的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 解：(1）由题意，得BC=(28-x)m, 则 (2) 当x=14时，S有最大值，最大值是196． ☆2.利用二次函数解决实际问题的常见题型 （1）依据抛物运动中时间和高度的关系，求最大高度或描述运动状态． （2）求图形面积的最值-依据图形面积公式写出函数表达式． （3）求最大利润，要熟练掌握以下几个常用的公式：利润＝售价-成本价， 总利润＝单 （4）解决抛物线形建筑的问题． 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； ②设出函数表达式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数表达式； ③利用二次函数的图像与性质求解实际问题. 提示 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数表达式.通常应使已知点在坐标轴上. 例2 一条单车道的抛物线形隧道如图1所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的 最高点C到公路的距离为6m． （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式并写出自变量的取值范 （2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离 隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全 通过这条隧道. 解：(1）答案不唯一．如以AB所在直线为x轴， 以AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图所示， 则A(-4,0)、B(4,0)、C(0,6)设这条抛物线的表达式 为y=a(x-4)(x+4).将C(0.6）的坐标代人，得-16a=6， 解得所以抛物线的表达式 为 （2）当x=1时因为， 所以这辆货车能安全通过这条隧道. 总结： 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知 的值，根据函数表达式求 的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高＋0.5)，看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知 的值，根据函数表达式求的值，再与限制的宽的值比较大小）. ☑ 常考应用问题类型方法总结表 类型 核心模型 关键方法 注意事项 抛物线运动 高度 与水平距离 满足二次函数 顶点式求最值，令 求落点 自变量非负，顶点为最高点 面积最大 面积 与边长 为二次函数 配方法或顶点坐标求最大值 注意边长取值范围（和>0，且受总长限制） 利润最大 利润 （单件利润）× 销量 建立二次函数，求顶点 售价需在合理区间（进价≤售价≤市场价） 拱桥问题 拱形为抛物线，已知拱高、跨度等 设顶点式，代入端点求解析式，利用对称性 注意坐标系的建立，水位变化对应 值变化 综合题 二次函数 + 几何图形（平行四边形、菱形等） 坐标法、分类讨论、方程思想 灵活运用几何性质转化为代数条件 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式 （第1—12题） 📌 方法总结： · 利润问题：利润 = (售价−成本) × 销量，注意销量随售价变化。 · 面积问题：利用篱笆总长或墙长限制，将长或宽用同一变量表示。 · 抛物线形：根据顶点坐标设顶点式，代入其他点求a。 · 握手、比赛场次等：组合数公式 C(n,2) = n(n−1)/2。 1．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 2．（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 3．（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 4．（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 5．（2025秋•平江县期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x） 6．（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 7．（2026•澧县一模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 8．（2026•天宁区校级一模）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 9．（2026•平定县一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为　 　 ． 10．（2025秋•大连期末）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），当x＞0时，y与x的函数关系式为　 　 ． 11．（2024秋•安徽校级期末）如图，某小区计划用总长为20m的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚ABCD（墙足够长），为了方便存车，在BC（BC＞2m）边上开了一个2m宽的门EF（门不是用铁栅栏做成的），设AB边的长为xm，车棚面积为ym2，则y与x之间的函数关系式是　 　 ． 12．（2023秋•奇台县校级期末）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　 　 ． 【考点2】二次函数的应用 （第13—31题） 📌 方法总结： · 利润最值：配方或顶点公式求最大值，注意x的取值范围。 · 拱桥问题：建立坐标系，求抛物线解析式，根据高度求宽度。 · 投篮/抛掷：利用顶点和出手点求解析式，求落地距离。 · 注意实际意义：x、y的取值范围需符合题目条件。 13．（2026•南阳模拟）你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，下落的路程s随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（　　） A．当t＝2s时，v＝20m/s B．当t＝2s时，s＝20m C．v和s均随t的增大而增大 D．t每增加1s，路程s的增加量相同 14．（2026•凉州区校级模拟）如图1是我国最大的沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为原点O建立平面直角坐标系，若点A（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是沙丘的两个端点，则a的值为（　　） A．15 B．18 C．24 D．36 15．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 16．（2026•安定区三模）如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（2026春•虹口区校级期末）已知一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系式为：.现有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m； ③铅球落地时的水平距离为12m． 其中，正确结论的序号是　 　 ． 18．（2025秋•浦东新区期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为　 　 米． 19．（2025秋•奉贤区期末）某汽车的紧急刹车距离s（米）与车速v（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过　 　 千米/小时． 20．（2025秋•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　 　 米． 21．（2026•上海校级模拟）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 22．（2025•上海校级一模）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，碗中汤面的水平宽度为　 　 cm． 23．（2026春•闵行区校级月考）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽AB＝30m，池底最深处距离水平地面5m，原来的水面宽24m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为 　 　 ． 24．（2026春•浦东新区校级期中）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽AB＝20m；当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ （3）在正常水位情况下，一艘宽为12m，高2.6m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 25．（2026春•崇明区期中）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元．已知每季度销售量y（单位：饼）与销售单价x（单位：元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围； （2）设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为w元，求w的最大值． 26．（2026•长宁区二模）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本w1（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式w1＝20x．加建后该商场预计每年的能源消耗费用w2（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为y（万元）． （1）求y与x的关系式； （2）已知该商场未来5年的相关计划费用p（万元）满足p＝y+x2﹣x，那么当192≤p≤208时，求隔热层厚度x（厘米）的取值范围． 27．（2025•宝山区校级二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是1.8米，水平距离3米时达到最大高度，最大高度为3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 28．（2025•金山区二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B．此时点B距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到抛物线y＝ax2+2x（a＜0）直线y＝0.3和直线y＝﹣0.4x+b． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求a和b的值； （2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米．水平飞行了t（0.08≤t≤0.1）小时到达点C后降落，求b的取值范围． 29．（2025•徐汇区一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展、滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为s＝at2+bt+c（a≠0），求s与t的函数关系式； （2）若将抛物线s＝at2+bt+c（a≠0）先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 30．（2026•新城区校级四模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m，最高点离地面高度为9m．随着经济的发展，机场决定将原航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24m．建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线OPM的表达式，并求点M离地面的高度； （2）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架ABCD，使点A、D分别在两个抛物线上，点B、C在地面上，其中AB，AD，CD三边需要用钢材拼接，若AB＝7m，则需要多少米钢材？ 31．（2025秋•杨浦区月考）综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玫的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB＝3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB＝m米，篮球距地面的最大高度CD＝h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD＝a米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c＝2.2米，m＝6米，h＝4米，a＝3米． （1）小玫初次投篮时 　 　 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值（保留根号）． （3）在比赛过程中，小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玫此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【考点3】二次函数综合题 （第32—38题） 📌 方法总结： · 数形结合：画出函数图象，分析交点、最值、位置关系。 · 分类讨论：涉及菱形、平行四边形、相似三角形等几何条件时，需分情况讨论。 · 转化思想：将新定义问题转化为常规问题，如“贯轴抛物线”转化为交点问题。 · 参数处理：含参问题常利用判别式、韦达定理、对称轴位置列不等式。 32．（2026春•松江区校级月考）在直角坐标平面xOy中，已知点A（5，0）、点B（0，﹣5）（如图）．抛物线与y轴交于点C，顶点为D． （1）设直线CD与x轴交于点P，求的值； （2）如果点D在△OAB的内部，求a的取值范围，并用a表示△ADB的面积； （3）是否存在这样的a，使得点D是△ABC的外接圆圆心，如果存在，求这时∠ACD的正弦值；如果不存在，试说明理由． 33．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 34．（2026•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，3），与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接CD． ①如果CD与线段AB交于点E，且BE＝2AE，求∠ACD的正切值； ②如果CD与y轴交于点F，以CF为半径的⊙C，与以DB为半径的⊙D外切，求点D的坐标． 35．（2026•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图所示），已知某抛物线的表达式为y＝ax2（a＞0）．沿着x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线OM与x轴的夹角为α． （1）如果，求该抛物线的表达式； （2）已知点N在抛物线的下降部分，且∠OMN＝2α． ①求的值； ②平移抛物线，使新抛物线的顶点O′落在线段MN上，且新抛物线与y轴交于点C．已知点M的纵坐标为1，当四边形OMCN是以ON为腰的等腰梯形时，求点O′的坐标． 36．（2026•浦东新区二模）定义：如果一个二次函数的图象与一次函数的图象相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． （1）已知y＝x2+bx+c是一次函数y＝﹣x+3的一条“贯轴抛物线”，求b、c的值； （2）已知一次函数y＝﹣x+n（其中n为常数，n＞0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、点C，它的一条“贯轴抛物线”y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为B，顶点D在第一象限．如果在y轴上存在点E，使得四边形BCDE是平行四边形，求n的值； （3）一个二次函数既是一次函数y1＝﹣x+（2k+1）又是一次函数y2＝（2k+1）x+（2k+1）（其中k为常数，k＞0）的“贯轴抛物线”．且此二次函数图象与x轴分别交于P、Q两点（点P在点Q的左边），与y轴交于点M．如果二次函数图象上始终存在点N，且N在第四象限，使得∠PMN＝75°，求满足条件的k的取值范围． 37．（2026•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是直线AB上一点（不与点A重合），且AB＝BC，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形OBCD是梯形，求梯形OBCD的面积； （3）点P、Q都在第三象限，其中点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，如果△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应，求点Q的坐标． 38．（2026•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）两点的抛物线y＝x2+bx+c（其中b、c是常数）与x轴的另一个交点为C，顶点为D．（1）求这条抛物线的表达式； （2）如果点E（m，n）在抛物线上，且在第四象限．过点E作EF∥x轴，与抛物线的另一个交点为F，联结BC，作EH∥y轴，交BC于点H，联结FH． ①当时，求m的值； ②抛物线y＝x2+bx+c关于直线EF对称所得新抛物线的顶点为G，如果点G刚好落在线段FH上，求点E的坐标． 随堂检测 · 精选练习 练习1 抛物线形投篮问题 练习2 运动规律与时间 练习3 增长率模型 练习4 对称抛物线解析式 练习5 半壳线定义应用 【练习1】（2024秋•青浦区校级期中）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是　 　 米． 【练习2】（2025秋•静安区校级期末）某物体的运动规律为s＝40t﹣5t2，当s＝60米时，t＝　 　 秒． 【练习3】（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　 　 ． 【练习4】（2024秋•长宁区校级期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝2cm，则右轮廍DFE所在抛物线的解析式为 　 　 ． 【练习5】（2024秋•虹口区月考）在平面直角坐标系中，对于两条具有相同对称轴的抛物线y＝a1（x﹣m）2+n1与y＝a2（x﹣m）2+n2在y轴上交于同一个点（0，t），其中a1＞0，a2＜0，并且n2﹣t＝2（t﹣n1）≠0，那么两条抛物线围成的图形很像一颗鸡蛋，我们称这两条抛物线互为“半壳线”．那么抛物线y＝x2﹣2x+4的“半壳线”解析式是 　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 利润函数判断 作业2 电功率最值 作业3 拱桥水位问题 作业4 等边三角形面积 作业5 铅球高度最值 作业6 增长率函数 作业7 菜园面积函数 作业8 投篮抛物线 作业9 矿洞支架问题 作业10 月销售利润 作业11 抛物线平移与面积 作业12 翻折抛物线 作业13 平移与菱形存在性 作业14 平移与顶点轨迹 💡 复习建议 强化建模能力：多练习将实际问题转化为二次函数模型，注意自变量的取值范围。 熟练掌握最值求法：配方法和顶点公式是求二次函数最值的核心工具。 重视抛物线形实际问题：拱桥、投篮、喷泉等是上海中考常见题型，需建立正确的坐标系。 综合题要数形结合：画图分析几何条件与函数图象的关系，分类讨论要全面。 积累新定义题经验：理解题目中的新概念，转化为熟悉的数学模型。 【作业1】（2025秋•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【作业2】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【作业3】（2025秋•昆明月考）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面CD的宽为（　　） A．12m B．10m C．8m D．6m 【作业4】（2025秋•青浦区期末）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式为　 　 ． 【作业5】（2025秋•徐汇区期末）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为　 　 米． 【作业6】（2025•金山区模拟）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为x，如果设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是 　 　 .（不写定义域） 【作业7】（2024秋•开州区月考）如图，用一段长为15米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园面积y平方米与x米之间的函数关系式为　 　 ． 【作业8】（2025秋•杨浦区期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【作业9】（2026•宝山区二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【作业10】（2025•浦东新区校级三模）某企业生产一种新产品，每件成本50元．由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，图销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示． （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：（1≤x≤6，x为整数），除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：（1≤x≤6，x为整数）从1月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在第6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？丙求出最大利润． 【作业11】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，其顶点为A．抛物线W2由抛物线W1平移得到，抛物线W2的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线W2上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． （1）求抛物线W1的顶点A的坐标； （2）当直线AP与抛物线W2的对称轴平行时，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，再将抛物线W2沿直线AB平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【作业12】（2026•松江区校级模拟）已知抛物线C1：y＝a（x﹣h）2+2h（a≠0，h≥1），其顶点为A，且与y轴交于点B（0，1），将抛物线C1沿直线y＝﹣1翻折，得到抛物线C2． （1）当h＝1时， ①求抛物线C1的解析式，并写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线C1上，延长AD至E使得AE＝2AD，若点E落在抛物线C2上，求D的坐标． （2）过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，求h的值． 【作业13】（2026春•闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【作业14】（2026•金山区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线l1：y＝ax2+bx（a＜0，b≥0）经过点A（﹣1，﹣3）． （1）若点A到抛物线l1的对称轴的距离为2，求a的值； （2）若a，点B为抛物线上一点，线段AB与x轴交于点C，且，求点B的坐标； （3）将抛物线l1先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），使所得的新抛物线l2经过原点且顶点在直线y＝﹣x+3上．如果m+n＝3，求抛物线l2的解析式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.5 二次函数的简单应用及综合 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数在现实情境中的建模方法，能根据实际问题中的条件（如顶点、交点、图象上的点）确定二次函数解析式。 · 掌握 用二次函数解决抛物线运动（抛体、喷泉、导弹等）、面积最大、利润最大、拱桥等经典应用问题的步骤和技巧。 · 熟练运用 配方法或顶点式求二次函数的最值，并能在实际问题中合理取舍答案（如考虑实际意义）。 · 理解 二次函数与方程、不等式、几何图形（平行四边形、菱形等）的综合应用，能利用数形结合和分类讨论解决问题。 · 体会 数学建模思想，将实际问题转化为数学问题，体会函数在优化决策中的作用。 ✨ 核心思想：用二次函数描述现实变化规律，利用顶点求最值，实现效益最大化。 知识梳理 · 核心知识点 ☆1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析； （2）设：设适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的表达式及自变量的取值范围； （4）解：根据题目中的条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解； （5）验：检验结果的合理性，必要时进行合理取舍； （6）答：确定实际问题的答案． 提醒 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须考虑各个量的实际意义和已知条件的限制. 例1 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），设AB= m，花园面积为S ㎡. （1）求面积S关于一边长的函数表达式并写出自变量的取值范围； （2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 解：(1）由题意，得BC=(28-x)m, 则 (2) 当x=14时，S有最大值，最大值是196． ☆2.利用二次函数解决实际问题的常见题型 （1）依据抛物运动中时间和高度的关系，求最大高度或描述运动状态． （2）求图形面积的最值-依据图形面积公式写出函数表达式． （3）求最大利润，要熟练掌握以下几个常用的公式：利润＝售价-成本价， 总利润＝单 （4）解决抛物线形建筑的问题． 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； ②设出函数表达式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数表达式； ③利用二次函数的图像与性质求解实际问题. 提示 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数表达式.通常应使已知点在坐标轴上. 例2 一条单车道的抛物线形隧道如图1所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的 最高点C到公路的距离为6m． （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式并写出自变量的取值范 （2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离 隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全 通过这条隧道. 解：(1）答案不唯一．如以AB所在直线为x轴， 以AB的中点为原点建立平面直角坐标系 如图所示， 则A(-4,0)、B(4,0)、C(0,6)设这条抛物线的表达式 为y=a(x-4)(x+4).将C(0.6）的坐标代人，得-16a=6， 解得所以抛物线的表达式 为 （2）当x=1时因为， 所以这辆货车能安全通过这条隧道. 总结： 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知 的值，根据函数表达式求 的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高＋0.5)，看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知 的值，根据函数表达式求的值，再与限制的宽的值比较大小）. ☑ 常考应用问题类型方法总结表 类型 核心模型 关键方法 注意事项 抛物线运动 高度 与水平距离 满足二次函数 顶点式求最值，令 求落点 自变量非负，顶点为最高点 面积最大 面积 与边长 为二次函数 配方法或顶点坐标求最大值 注意边长取值范围（和>0，且受总长限制） 利润最大 利润 （单件利润）× 销量 建立二次函数，求顶点 售价需在合理区间（进价≤售价≤市场价） 拱桥问题 拱形为抛物线，已知拱高、跨度等 设顶点式，代入端点求解析式，利用对称性 注意坐标系的建立，水位变化对应 值变化 综合题 二次函数 + 几何图形（平行四边形、菱形等） 坐标法、分类讨论、方程思想 灵活运用几何性质转化为代数条件 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】根据实际问题列二次函数关系式 （第1—12题） 📌 方法总结： · 利润问题：利润 = (售价−成本) × 销量，注意销量随售价变化。 · 面积问题：利用篱笆总长或墙长限制，将长或宽用同一变量表示。 · 抛物线形：根据顶点坐标设顶点式，代入其他点求a。 · 握手、比赛场次等：组合数公式 C(n,2) = n(n−1)/2。 1．（2026春•兴宁区校级期末）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 【分析】共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，每一次握手会被两人各重复计算一次，据此计算出实际握手次数即可得到答案． 【解答】解：∵共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次， ∴实际握手次数为， 那么y与参加会议人数x之间的函数关系式为：． 故选：C． 【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系，正确进行计算是解题关键． 2．（2026•市南区校级模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 【分析】利用每天的销售量＝300﹣10×销售单价上升的钱数，可找出y关于x的函数关系式，再利用商家每天销售纪念品获得的利润＝每个的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式． 【解答】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个， ∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y， ∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）． 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w（y）关于x的函数关系式是解题的关键． 3．（2026•富锦市一模）某商店销售一批龙东特色农产品，每件进价为10元，若按每件15元出售，每天可售出200件；若每件提价1元，每天的销售量就减少10件，设每件售价为x元（x≥15），每天的利润为y元，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝（x﹣10）（200﹣10x） B．y＝（x﹣10）（350﹣10x） C．y＝（x﹣15）（200﹣10x） D．y＝（x﹣15）（350﹣10x） 【分析】利用总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量，即可推导得到函数关系式． 【解答】解：根据总利润等于每件利润乘以销售量的关系，分别求出每件利润和实际销售量可知：每件利润为（x﹣10）元， 实际每天销售量为：200﹣10（x﹣15）＝350﹣10x， ∴y＝（x﹣10）（350﹣10x）． 故选：B． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2025秋•岑溪市期末）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x2+4 B．y＝﹣0.2x2+3.5 C．y＝﹣0.2x2+3.05 D．y＝﹣0.2x2+2.5 【分析】设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05），由此可得a的值，即可求解． 【解答】解：根据题意抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5． 根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， 解得：a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用．理解题意是关键． 5．（2025秋•平江县期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x） 【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式． 【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米． 依题意可得：y＝x（40﹣2x）． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 6．（2025秋•稷山县校级期末）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【分析】求出抛物线当y时x的值，即可得的答案． 【解答】解：∵水面离桥顶的高度为米， ∴当y时，得x2， 解得x＝4或x＝﹣4． ∴水面宽度为4﹣（﹣4）＝8（米）． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线当y时x的值即可得解． 7．（2026•澧县一模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解． 【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得， ∴， ∴①②正确， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴2， ∴2， ∴﹣1＜a＜0，④正确， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1，c＝﹣a， 当x时，y＝ax2+bx+cab+ca+2﹣a＝2a， ∵﹣1＜a＜0， ∴a＞0， ∴ab+c＝2a＞0，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 8．（2026•天宁区校级一模）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可． 【解答】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不符合题意； B、在A点的速度为105m/min，在A到B点的平均速度为45m/min，故B错误，符合题意； C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b， 把（25，1200），（50，2000）代入得，， 解得：， ∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不符合题意； D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200）， 将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200， 解得a＝﹣3， ∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键． 9．（2026•平定县一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+1500x﹣44000　 ． 【分析】根据公司每天直播销售的利润＝销售每千克的利润×销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣40）[500+（60﹣x）×10]＝﹣10x2+1500x﹣44000． 故答案为：y＝﹣10x2+1500x﹣44000． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解题意和能正确表示出月销售量是解题的关键． 10．（2025秋•大连期末）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），当x＞0时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+10x+600（x＞0）　 ． 【分析】根据利润等于单个商品的利润乘以销售量列出函数关系式即可． 【解答】解：每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元）， 设每个商品降价x元，则每个商品的利润为60﹣x﹣40＝（20﹣x）元，每天销量为（30+2x）个， ∴y＝（20﹣x）（30+2x）＝600+40x﹣30x﹣2x2＝﹣2x2+10x+600， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x2+10x+600， 故答案为：y＝﹣2x2+10x+600（x＞0）． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 11．（2024秋•安徽校级期末）如图，某小区计划用总长为20m的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚ABCD（墙足够长），为了方便存车，在BC（BC＞2m）边上开了一个2m宽的门EF（门不是用铁栅栏做成的），设AB边的长为xm，车棚面积为ym2，则y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+22x ． 【分析】先求出AD的长，由矩形的面积公式可求y与x之间的函数关系式． 【解答】解：∵AB＝xm， ∴AD＝（20+2）﹣x＝（22﹣x）m， ∵AB边的长为xm，车棚面积为ym2，则y与x之间的函数关系式为： y＝AB•AD＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x， 故答案为：y＝﹣x2+22x． 【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，正确进行计算是解题关键． 12．（2023秋•奇台县校级期末）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为y（x﹣20）2+16　 ． 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是（20，16），并且过（0，0），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可． 【解答】解：设y＝a（x﹣20）2+16， 因为抛物线过（0，0）， 所以代入得： 400a+16＝0， 解得a， 故此抛物线的函数关系式为： y（x﹣20）2+16． 故答案为：y（x﹣20）2+16． 【点评】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用，根据已知得出图象上点的坐标是解题关键． 【考点2】二次函数的应用 （第13—31题） 📌 方法总结： · 利润最值：配方或顶点公式求最大值，注意x的取值范围。 · 拱桥问题：建立坐标系，求抛物线解析式，根据高度求宽度。 · 投篮/抛掷：利用顶点和出手点求解析式，求落地距离。 · 注意实际意义：x、y的取值范围需符合题目条件。 13．（2026•南阳模拟）你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，下落的路程s随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（　　） A．当t＝2s时，v＝20m/s B．当t＝2s时，s＝20m C．v和s均随t的增大而增大 D．t每增加1s，路程s的增加量相同 【分析】结合函数图象逐项判断即可． 【解答】解：根据二次函数性质结合函数图象逐项分析判断如下： 对于选项A：由图2可知，当t＝2时，v＝20，故A正确，不符合题意； 对于选项B：由图3可知，当t＝2时，s＝20，故B正确，不符合题意； 对于选项C：结合图2和图3可知，v和s均随t的增大而增大，故C正确，不符合题意； 对于选项D：由图3可知，s与t的关系不是线性的，因此t每增加1，s的增加量都是不同的，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是关键． 14．（2026•凉州区校级模拟）如图1是我国最大的沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为原点O建立平面直角坐标系，若点A（﹣15，﹣100），点B（a，﹣144）是沙丘的两个端点，则a的值为（　　） A．15 B．18 C．24 D．36 【分析】根据题意，可设抛物线的解析式为y＝mx2，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出y＝﹣144时x的值即可得出答案． 【解答】解：根据题意，可设抛物线的解析式为y＝mx2， 将点A（﹣15，﹣100）代入得﹣100＝225m， 解得m， 则抛物线解析式为yx2， 当y＝﹣144时，x2＝﹣144， ∴x＝±18， ∵点B在第四象限， ∴a＝18， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 15．（2026•龙岗区校级模拟）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽AB为16m，此时拱顶O到水面AB的距离为（　　） A．4m B．3m C．2m D．1m 【分析】根据题意可得：把x＝8代入为中进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得： 把x＝8代入为中得：y82＝﹣4， ∴B（8，﹣4）， ∴此时拱顶O到水面AB的距离为4m， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（2026•安定区三模）如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则实心球掷出的水平距离为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当y＝0时对应的x的值，即可得到实心球掷出的水平距离． 【解答】解：由条件可知点A的坐标为（0，1.6）， 把点A的坐标（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 可得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：a＝﹣0.1， ∴y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5， 当y＝0时，可得：﹣0.1（x﹣3）2+2.5＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣2（舍去）， 所以实心球掷出的水平距离为8米． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握知识点的应用是关键． 17．（2026春•虹口区校级期末）已知一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系式为：.现有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m； ③铅球落地时的水平距离为12m． 其中，正确结论的序号是　①②　 ． 【分析】根据二次函数表达式求出抛物线与y轴，x轴的交点坐标，以及抛物线的顶点坐标，即可解答． 【解答】解：把x＝0代入中得：y， ∴该男生推铅球出手时，铅球的高度为， 故①正确； ∵a，b， ∴当x4时，y最大4243， ∴铅球飞行至水平距离4m时，达到最大高度，最大高度为3m， 故②正确； 当y＝0时，x2x0， 解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为10m， 故③不正确； 所以，上列结论，正确结论的序号是①②， 故答案为：①②． 【点评】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（2025秋•浦东新区期末）广场上音乐喷泉中的喷头与地面齐平，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．那么水珠从喷出到落地时的水平距离为　6　 米． 【分析】由题意可知水珠落地时高度y＝0，代入二次函数解析式并求解，即可获得答案． 【解答】解：对于函数，令y＝0，得， 整理可得x2﹣6x＝0， 解得x1＝0，x2＝6， 对应喷头位置，可知水珠落地时水平距离为6米． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 19．（2025秋•奉贤区期末）某汽车的紧急刹车距离s（米）与车速v（千米/小时）的关系是．如果前方25米处发生了事故，司机驾驶该车紧急刹车避免了碰撞，那么可以推测该车车速不超过　50　 千米/小时． 【分析】求出s＝25时的自变量的值即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴当时，解得v＝50（负值舍去）； 故答案为：50． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 20．（2025秋•杨浦区期末）已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米．如图建立平面直角坐标系xOy，如果水面上升3米，那么水面宽度减少　4　 米． 【分析】依据题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O的坐标代入上式，可得解析式，然后根据当水面上升3米时，令y＝3，求出x的值即可判断得解． 【解答】解：由题意，从图象看，抛物线的顶点为（4，4）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 抛物线过原点，故当x＝0时，y＝a（0﹣4）2+4＝0， ∴a， ∴y（x﹣4）2+4． ∴当水面上升3m时，令y＝3，则y（x﹣4）2+4＝3． ∴x＝2或x＝6． ∴此时水面宽为6﹣2＝4（米）， ∴水面宽度减少8﹣4＝4（米）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意确定关键点坐标求出函数表达式，是解题的关键． 21．（2026•上海校级模拟）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　 m． 【分析】设抛物线为y＝a（x﹣5）2+4，把点，代入即可求出解析式；当y＝0时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离OM． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣5）2+4， 把点代入得：， ∴， ∴； 当y＝0时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离OM为． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 22．（2025•上海校级一模）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，碗中汤面的水平宽度为　16　 cm． 【分析】根据题意得抛物线过点（14，9.8），设抛物线解析式为y＝ax2，代入得9.8＝a×142，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出x的值，即可得到答案． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2， 由条件可得9.8＝a×142， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵9.8﹣6.6＝3.2cm， 令， 解得x＝±8， 碗中汤面的水平宽度为8×2＝16cm， 故答案为：16． 【点评】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 23．（2026春•闵行区校级月考）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽AB＝30m，池底最深处距离水平地面5m，原来的水面宽24m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为 　　 ． 【分析】根据图象，可以得到抛物线的顶点坐标及抛物线上B点坐标，设出抛物线的顶点式，得到抛物线解析式，再根据水面宽度减小为原来的一半，则可以求出水平右侧与抛物线的交点坐标，代入解析式，得到其纵坐标，从而得到结果． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x﹣h）2+k， ∵顶点坐标为（0，﹣5），点B（15，0）在图象上， ∴y＝ax2﹣5， 0＝a×152﹣5， a， ∴解析式为：yx2﹣5， ∵原来的水面宽24m，水面的宽度减少为原来的一半， ∴现水面的宽度为12米， ∴下降后水面右侧与抛物线的交点的横坐标为6， ∴交点的纵坐标为：y， ∵池底最深处距离水平地面5m， ∴最深处到水面的距离为：5（m）． 故答案为：m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是能够把题意中的水面宽度减小，转换为点坐标的形式表示出来． 24．（2026春•浦东新区校级期中）如图，有一座抛物线型拱桥．在正常水位时，水面宽AB＝20m；当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？ （3）在正常水位情况下，一艘宽为12m，高2.6m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由． 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2（a＜0），由正常水位AB＝20m得A（﹣10，y1）、B（10，y1），代入得y1＝100a；水位上升3m后CD＝10m，得C（﹣5，y2）、D（5，y2），y2＝25a，由|75a|＝3且a＜0，解得，进而得到解析式； （2）正常水位时x＝10，得y＝﹣4；水面宽8m时x＝±4，代入得，进而即可求出水位上升的高度； （3）船宽12m时x＝±6，代入得y＝﹣1.44，桥在x＝6处高度为﹣1.44﹣（﹣4）＝2.56m，再进行比较即可得到解答． 【解答】解：（1）由题意得，设抛物线的解析式为y＝ax2（a＜0）， ∵正常水位时，水面宽AB＝20m， ∴A（﹣10，y1）、B（10，y1）， 代入得：， ∵水位上升3m后，水面宽CD＝10m， ∴C（﹣5，y2）、D（5，y2），|y1﹣y2|＝3， 代入得：， ∴|100a﹣25a|＝3 |75a|＝3 解得， ∵a＜0， ∴抛物线的函数表达式为； （2）当x＝10时，，即正常水位在y＝﹣4处， ∵水面宽8米， ∴当x＝4时，， ∴水位上升高度为； （3）由题意得，正常水位下，船宽12m，即船的左右边缘在x＝±6处， ∴当x＝6时，， ∴桥在x＝6处的高度为：﹣1.44﹣（﹣4）＝2.56m， ∵2.56＜2.6， ∴船不能安全通过此桥． 【点评】本题以抛物线型拱桥为实际载体，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为二次函数问题，结合解析式求解高度与宽度，体现了数形结合与数学建模的核心思想． 25．（2026春•崇明区期中）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元．已知每季度销售量y（单位：饼）与销售单价x（单位：元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围； （2）设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为w元，求w的最大值． 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x的函数解析式（也称关系式）和x的取值范围； （2）根据题意可以得到W与x的函数关系式，然后化为顶点式，再根据x的取值范围即可解答本题． 【解答】解：（1）由题意，设y与x的函数解析式是y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y与x的函数解析式是y＝﹣5x+1600（120≤x≤200）； （2）由题意可得，W＝（x﹣120）（﹣5x+1600）＝﹣5x2+2200x﹣192000＝﹣5（x﹣220）2+50000， ∵﹣5＜0且120≤x≤200， ∴当x＝200时，W取得最大值，此时 W＝48000． 答：W的最大值是48000． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质． 26．（2026•长宁区二模）某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本w1（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式w1＝20x．加建后该商场预计每年的能源消耗费用w2（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式.如果设该商场加建隔热层的成本与未来5年的能源消耗费用之和为y（万元）． （1）求y与x的关系式； （2）已知该商场未来5年的相关计划费用p（万元）满足p＝y+x2﹣x，那么当192≤p≤208时，求隔热层厚度x（厘米）的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得：y＝w1+5w2，把w1＝20x，代入y＝w1+5w2即可得到y与x的关系式； （2）把y＝﹣x2+5x+180代入p＝y+x2﹣x，可得p＝4x+180，根据192≤p≤208，可得关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意可得：y＝w1+5w2， ∵w1＝20x，， ∴， 整理可得：y＝﹣x2+5x+180（0≤x≤8）； （2）∵y＝﹣x2+5x+180（0≤x≤8）， ∴p＝y+x2﹣x＝﹣x2+5x+180+x2﹣x＝4x+180， ∵192≤p≤208， ∴192≤4x+180≤208， 解得：3≤x≤7． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键． 27．（2025•宝山区校级二模）投掷实心球是一项重要的体育项目，一般情况下，实心球在空中运动的曲线符合抛物线的一部分．某学生在实心球投掷过程中，监测到球在头部上方出手的瞬间高度是1.8米，水平距离3米时达到最大高度，最大高度为3.2米． （1）如图，以该学生所在直线为y轴，球落地的水平距离所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求该实心球运动时符合的抛物线解析式（不必写出取值范围）； （2）若实心球落地后距离投掷点8.4米以上为满分，通过计算说明这名同学实心球成绩是否达到满分． 【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3.2，将（0，1.8）代入解得a即可； （2）令，解得x，与8.4比较即可． 【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+3.2， 将（0，1.8）代入y＝a（x﹣3）2+3.2，得9a+3.2＝1.8， 解得． ∴该实心球运动时符合的抛物线解析式为； （2）令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为7.5． 7.5＜8.4 ∴这名同学实心球成绩不能得满分． 【点评】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 28．（2025•金山区二模）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B．此时点B距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到抛物线y＝ax2+2x（a＜0）直线y＝0.3和直线y＝﹣0.4x+b． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求a和b的值； （2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米．水平飞行了t（0.08≤t≤0.1）小时到达点C后降落，求b的取值范围． 【分析】（1）易得BC的长度，进而可得点B和点C的坐标，分别代入二次函数和一次函数可得a和b的值； （2）易得抛物线的对称轴为0.4，代入二次函数解析式可得a的值，取y＝0.3，代入二次函数求得合适的x的值，即可求得点B的坐标，进而可得用t表示的点C的坐标，代入一次函数解析式，可得用t表示的b的代数式，根据t的取值范围可得b的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：BC＝100×0.09＝9（千米），BC∥x轴， ∴B（1，0.3），C（10，0.3）， 把B（1，0.3）代入y＝ax2+2x得，0.3＝a+2， 解得：a＝﹣1.7， 把C（10，0.3）代入y＝﹣0.4x+b得，0.3＝﹣4+b， 解得：b＝4.3； （2）∵飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米， ∴0.4， 解得：a＝﹣2.5， ∴y＝﹣2.5x2+2x， 当y＝0.3时，0.3＝﹣2.5x2+2x， 解得：x1＝0.2＜0.4（舍去），x2＝0.6， ∴点B的坐标为（0.6，0.3）， ∴点C的坐标为（0.6+100t，0.3）， ∵点C在直线y＝﹣0.4x+b上， ∴0.3＝﹣0.4（0.6+100t）+b， b＝0.54+40t， ∵0.08≤t≤0.1， ∴3.74≤b≤4.54． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意得到不同条件下点B和点C的坐标是解决本题的关键． 29．（2025•徐汇区一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展、滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． （1）由上述信息，设这条曲线的表达式为s＝at2+bt+c（a≠0），求s与t的函数关系式； （2）若将抛物线s＝at2+bt+c（a≠0）先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【分析】（1）依据题意，由图象过（0，0），（1，4.5），（2，14），从而，可得，进而可以判断得解； （2）依据题意，根据（1）s＝2.5t2+2t，从而可得s＝2.5t2+2t＝2.5（t+0.4）2﹣0.4，再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵图象过（0，0），（1，4.5），（2，14）， ∴． ∴． ∴s＝2.5t2+2t． （2）由题意，根据（1）s＝2.5t2+2t， ∴s＝2.5t2+2t＝2.5（t+0.4）2﹣0.4． 又将抛物线向右平移2个单位，再向上平移20个单位， ∴平移后所得抛物线的表达式为s＝2.5（t+0.4﹣2）2﹣0.4+20，即s＝2.5（t﹣1.6）2+19.6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 30．（2026•新城区校级四模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m，最高点离地面高度为9m．随着经济的发展，机场决定将原航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24m．建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线OPM的表达式，并求点M离地面的高度； （2）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架ABCD，使点A、D分别在两个抛物线上，点B、C在地面上，其中AB，AD，CD三边需要用钢材拼接，若AB＝7m，则需要多少米钢材？ 【分析】（1）依据题意得，左侧抛物线OPM的顶点P坐标为（9，9），则可设抛物线顶点式表达式：y＝a（x﹣9）2+9，又图象过点O（0，0），可得0＝a×（0﹣9）2+9，进而，从而，又由整体造型轴对称，可得右侧抛物线顶点坐标为 （15，9），同理可得右侧抛物线表达式：，然后联立两个抛物线表达式求交点M，进而可以得解； （2）依据题意，又AB＝7m，则点A的纵坐标为7，代入左侧抛物线表达式：，可得，x2＝9+3，又由点A位置取x＝9﹣3，然后由图形关于直线x＝12对称，可得点D的横坐标为24﹣（9﹣3）＝15+3，从而AD＝（15+3）﹣（9﹣3）＝6+6，进而所需钢材总长度：AB+AD+CD＝7+（6+6）+7＝20+6，即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，左侧抛物线OPM的顶点P坐标为（9，9）， ∴可设抛物线顶点式表达式：y＝a（x﹣9）2+9， 又图象过点O（0，0）， ∴0＝a×（0﹣9）2+9． ∴． ∴． 由整体造型轴对称，可得右侧抛物线顶点坐标为 （15，9）， 同理可得右侧抛物线表达式：， 联立方程， ∴x＝12， 将x＝12代入左侧抛物线表达式：， ∴点M离地面的高度为8m； （2）由题意，∵AB＝7m， ∴点A的纵坐标为7，代入左侧抛物线表达式：， ∴，x2＝9+3， 由点A位置取x＝9﹣3． 由图形关于直线x＝12对称， ∴点D的横坐标为24﹣（9﹣3）＝15+3． ∴AD＝（15+3）﹣（9﹣3）＝6+6． ∴所需钢材总长度：AB+AD+CD＝7+（6+6）+7＝20+6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 31．（2025秋•杨浦区月考）综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玫的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB＝3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB＝m米，篮球距地面的最大高度CD＝h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD＝a米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c＝2.2米，m＝6米，h＝4米，a＝3米． （1）小玫初次投篮时 　不能　 命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值（保留根号）． （3）在比赛过程中，小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玫此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【分析】（1）易得小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点P的坐标代入可得a的值，取x＝6，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把（6，3）代入可得t的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取x＝6，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取x＝6，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取x＝1，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为：（3，4）， ∴设y＝a（x﹣3）2+4， ∵经过点（0，2.2）， ∴2.2＝a（0﹣3）2+4， 解得：a， ∴y（x﹣3）2+4， 当x＝6时，y＝2.2， ∵2.95≤n≤3.10时，篮球命中篮筐， ∴小玫初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）向前走了t米后抛物线的解析式为：y（x﹣3﹣t）2+4， ∵经过点（6，3）， ∴3（6﹣3﹣t）2+4， ∴（3﹣t）2＝5， 解得：t1＝3（不合题意，舍去），t2＝3， 答：t的值为3； （3）由题意得：小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：y（x﹣3﹣1）2+4（x﹣4）2+4， 当x＝6时，y＝3.2＞3， ∴不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4+m， 当x＝6时，y＝m+3.2， ∴2.95≤m+3.2≤3.10， 解得：﹣0.25≤m≤﹣0.1， ∵出手点的坐标为（1，c）， ∴c（1﹣4）2+4+m＝2.2+m， ∴1.95≤c≤2.1． 【点评】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． 【考点3】二次函数综合题 （第32—38题） 📌 方法总结： · 数形结合：画出函数图象，分析交点、最值、位置关系。 · 分类讨论：涉及菱形、平行四边形、相似三角形等几何条件时，需分情况讨论。 · 转化思想：将新定义问题转化为常规问题，如“贯轴抛物线”转化为交点问题。 · 参数处理：含参问题常利用判别式、韦达定理、对称轴位置列不等式。 32．（2026春•松江区校级月考）在直角坐标平面xOy中，已知点A（5，0）、点B（0，﹣5）（如图）．抛物线与y轴交于点C，顶点为D． （1）设直线CD与x轴交于点P，求的值； （2）如果点D在△OAB的内部，求a的取值范围，并用a表示△ADB的面积； （3）是否存在这样的a，使得点D是△ABC的外接圆圆心，如果存在，求这时∠ACD的正弦值；如果不存在，试说明理由． 【分析】（1）利用抛物线解析式求出C，D坐标，利用△COP∽△DEP，即可求出； （2）先求出直线AB解析式，再求出E，F的坐标，因为点D在△OAB的内部，所以点D只能在线段EF上运动（不包含端点），得出，解不等式组可求出a的范围；过点D作DG⊥AB，利用△DFG是等腰直角三角形求出DF，DG，即可表示出S△ADB； （3）由三角形的外接圆的定义可得：点D是△ABC三边垂直平分线的交点，因为△OAB是等腰直角三角形，所以线段AB的垂直平分线即为二、四象限的角平分线y＝﹣x，利用点D在直线y＝﹣x上，即可求出a的值，再由由圆周角定理可得：∠CDA＝2∠CBA＝90°，得出△ADC是等腰直角三角形，即∠ACD＝45°，从而求出sin∠ACD． 【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，顶点为D， 当x＝0时，得：， ∴； ∵， ∴， 如图1，过点D作DE⊥x轴， ∵a为抛物线二次项系数， ∴a≠0， ∵DE⊥x轴， ∴DE∥OC， ∴△COP∽△DEP， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）已知点A（5，0）、点B（0，﹣5），由（1）得：， 设直线AB解析式为y＝kx+b，将点A、点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB解析式为y＝x﹣5， ∵点D在△OAB的内部， ∴点D只能在线段EF上运动（不包含端点），如图2， ∵DE⊥x轴， ∴E（2，0）， 在y＝x﹣5中，令x＝2，得：y＝2﹣5＝﹣3， ∴F（2，﹣3）， ∴要使点D只能在线段EF上运动（不包含端点），则， ∴， 过点D作DG⊥AB， ∵A（5，0），E（2，0），F（2，﹣3）， ∴AE＝5﹣2＝3，EF＝0﹣（﹣3）＝3，即AE＝EF， ∴∠DFG＝45°， ∴， ∵，F（2，﹣3）， ∴， ∴， ∵A（5，0），B（0，﹣5），即OA＝OB＝5， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）存在这样的a，使得点D是△ABC的外接圆圆心；理由如下： 由三角形的外接圆的定义可得：点D是△ABC三边垂直平分线的交点， 由（2）得：△OAB是等腰直角三角形， ∴由等腰三角形“三线合一”的性质可得：线段AB的垂直平分线即为二、四象限的角平分线y＝﹣x，如图所示： ∴点D在直线y＝﹣x上， 将代入直线y＝﹣x得：， 解得：， ∴此时点D为（2，﹣2），点C为（0，1）， 又∵点B为（0，﹣5）， ∴此时BC的垂直平分线为直线， ∴此时点D也在BC的垂直平分线上， ∴此时DC＝DA＝DB， ∴以点D为圆心，以DA为半径画圆，即⊙D为△ABC的外接圆， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴∠CBA＝45°， 由圆周角定理可得：∠CDA＝2∠CBA＝90°， ∴△ADC是等腰直角三角形，即∠ACD＝45°， ∴， 综上：当时，点D是△ABC的外接圆圆心，． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的外接圆，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 33．（2026•上海）已知抛物线y＝ax2+bx+c，其对称轴交x轴于点A，将点A向右平移1个单位得到点B，点C与点B的横坐标相同，且点C的纵坐标为2a，则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”． （1）若抛物线的解析式为y＝2x2﹣c（c为常数），求其派生直线的表达式； （2）已知抛物线的派生点为点C，抛物线与其派生直线y＝2x﹣6的公共点为P（1，m），点Q（7，n）为其派生直线上一点，求的值，并判断点Q是否在该抛物线上． 【分析】（1）易得对称轴，可得点A、B、C坐标，即可得解； （2）易得P（1，﹣4），Q（7，8），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则A（，0），B（1，0），C（1，2a），根据直线AC解析式为y＝2x﹣6，可得a＝1，b＝﹣6，将点P代入可得c＝1，进而求出C点坐标，可得CP、CQ，即可得解． 【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝2x2﹣c， ∴对称轴为直线x＝0，即y轴，a＝2， ∴A（0，0）， ∴B（1，0）， ∵2a＝4， ∴C（1，4）， 设直线AC的表达式为y＝kx+b， 将A（0，0），C（1，4）代入得， ， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝4x，即其派生直线的表达式为y＝4x； （2）将点P、Q代入直线y＝2x﹣6得，m＝﹣4，n＝8， ∴P（1，﹣4），Q（7，8）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 则A（，0），B（1，0），C（1，2a）， 由题可知直线AC解析式为y＝2x﹣6， 则， 解得或（舍）， ∵点P在抛物线上， ∴a+b+c＝﹣4，即1﹣6+c＝﹣4， 解得c＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+1， 当x＝7时，y＝8， ∴Q（7，8）在抛物线上， ∵a＝1，b＝﹣6， ∴C（4，2）， ∴CP3，CQ3， ∴1． 【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 34．（2026•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，3），与x轴的负半轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接CD． ①如果CD与线段AB交于点E，且BE＝2AE，求∠ACD的正切值； ②如果CD与y轴交于点F，以CF为半径的⊙C，与以DB为半径的⊙D外切，求点D的坐标． 【分析】（1）把点A（3，0）、B（0，3）代入抛物线解析式可求解，然后令y＝0可求点C的坐标； （2）①根据题意作图，则过点E作EG⊥AC于点G，然后可得△AEG∽△ABO，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解； ②由题意可知BD＝DF，然后过点D作DH⊥BO于点H，设点D（a，﹣a2+2a+3），则有OH＝﹣a2+2a+3，DH＝a，进而问题可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，3），与x轴的负半轴交于点C．将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴C（﹣1，0）； （2）①如图1： 过点E作EG⊥AC于点G， ∴EG∥OB， ∴△AEG∽△ABO， ∴， ∵点A（3，0）、B（0，3）， ∴OA＝OB＝3，即△AOB是等腰直角三角形， ∵BE＝2AE， ∴，即EG＝1， ∵△AEG∽△ABO， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝EG＝1， ∴OG＝2， 由（1）可知C（﹣1，0）， ∴CG＝3， ∴； ②如图2： ∵以CF为半径的⊙C与以DB为半径的⊙D外切， ∴⊙C与⊙D相切于点F，即DB＝DF， 过点D作DH⊥BO于点H， ∴BH＝FH，DH∥OC， ∴△DHF∽△COF， ∴， 设点D（a，﹣a2+2a+3），则OH＝﹣a2+2a+3，DH＝a，OC＝1， ∴， ∴， ∴OF＝3﹣a，HF＝BH＝﹣a2+3a， ∴OB＝OF+2FH＝3﹣a﹣2a2+6a＝﹣2a2+5a+3＝3， 解得：（不合题意，舍去）， ∴； 当点D在x轴的下方时，显然CD＜BD， ∴以CF为半径的⊙C与以DB为半径的⊙D不会外切， 综上所述，点D的坐标为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查圆与圆的位置关系以及二次函数的图象与性质，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的性质是解题的关键． 35．（2026•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图所示），已知某抛物线的表达式为y＝ax2（a＞0）．沿着x轴的正方向看，点M在抛物线的上升部分，设直线OM与x轴的夹角为α． （1）如果，求该抛物线的表达式； （2）已知点N在抛物线的下降部分，且∠OMN＝2α． ①求的值； ②平移抛物线，使新抛物线的顶点O′落在线段MN上，且新抛物线与y轴交于点C．已知点M的纵坐标为1，当四边形OMCN是以ON为腰的等腰梯形时，求点O′的坐标． 【分析】（1）设M（m，am2），根据题意可得am＝4，则M（m，4m），再由OM，求出m＝1，则M（1，4），将点M代入函数解析式即可求a的值； （2）①过点M作MH∥x轴，过点N作NH⊥MH交于H点，可得∠NMH＝α，设N（n，an2），再由tanαa（m+n）＝am，得到n＝﹣2m，则N（﹣2m，4am2），分别求出OM，MN，即可求； ②由题意可得M（m，1），N（﹣2m，4），则直线MN的解析式为yx+2，设O'（t，t+2），则平移后的函数解析式为y'＝a（x﹣t）2t+2，得到C（0，at2t+2），再由ON＝MC，OM∥NC，分别得到①，4m2+16＝m2+（at2t+1）2②，联立求出t的值即可求解． 【解答】解：（1）设M（m，am2）， ∵tanα＝4， ∴am＝4， ∴M（m，4m）， ∵OM， ∴17＝17m2， 解得m＝±1， ∵M点在抛物线的上升部分， ∴m＝1， ∴M（1，4）， ∴a＝4， ∴y＝4x2； （2）①过点M作MH∥x轴，过点N作NH⊥MH交于H点， ∵∠OMN＝2α， ∴∠NMH＝α， 设N（n，an2）， ∴tanαa（m+n）， ∵tanα＝am， ∴﹣a（m+n）＝am， ∴n＝﹣2m， ∴N（﹣2m，4am2）， ∴OM，MN， ∴； ②∵点M的纵坐标为1， ∴M（m，1），N（﹣2m，4）， ∴直线MN的解析式为yx+2， 设O'（t，t+2）， ∴y'＝a（x﹣t）2t+2， ∴C（0，at2t+2）， ∵四边形OMCN是以ON为腰的等腰梯形， ∴ON＝MC，OM∥NC， ∵直线OM的解析式为yx，直线NC的解析式为yx+at2t+2， ∴①， ∵ON＝MC， ∴4m2+16＝m2+（at2t+1）2②， 联立①②得，m，a，t（舍）或t， 当t，时，O'（，）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，平行线的性质是解题的关键． 36．（2026•浦东新区二模）定义：如果一个二次函数的图象与一次函数的图象相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”． （1）已知y＝x2+bx+c是一次函数y＝﹣x+3的一条“贯轴抛物线”，求b、c的值； （2）已知一次函数y＝﹣x+n（其中n为常数，n＞0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、点C，它的一条“贯轴抛物线”y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为B，顶点D在第一象限．如果在y轴上存在点E，使得四边形BCDE是平行四边形，求n的值； （3）一个二次函数既是一次函数y1＝﹣x+（2k+1）又是一次函数y2＝（2k+1）x+（2k+1）（其中k为常数，k＞0）的“贯轴抛物线”．且此二次函数图象与x轴分别交于P、Q两点（点P在点Q的左边），与y轴交于点M．如果二次函数图象上始终存在点N，且N在第四象限，使得∠PMN＝75°，求满足条件的k的取值范围． 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，该交点满足二次函数解析式，代入求值即可； （2）分别求出A（n，0），C（0，n），根据定义得到m+n＝1，则y＝﹣x2+（n﹣1）x+n，当﹣x2+（n﹣1）x+n＝0时，求出B（﹣1，0），顶点为D（，），再由BD的中点与CE的中点重合，得到10，解得n＝3； （3）当N点经过直线PM时，当N点在y轴负半轴上时是k的临界情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x+3与x轴交点为（3，0），与y轴交点为（0，3）， ∴c＝3，9+3b+c＝0， 解得b＝﹣4； （2）∵y＝﹣x+n， ∴A（n，0），C（0，n）， ∴0＝﹣n2+mn+n， ∴﹣m+n＝1， ∴y＝﹣x2+（n﹣1）x+n， 当﹣x2+（n﹣1）x+n＝0时，解得x＝n或x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∵y＝﹣x2+（n﹣1）x+n， ∴顶点为D（，）， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BD的中点与CE的中点重合， ∴10， 解得n＝3； （3）y1＝﹣x+（2k+1）与x轴的交点Q（2k+1，0），与y轴的交点M（0，2k+1）； y2＝（2k+1）x+（2k+1）与x轴的交点P（﹣1，0），与y轴的交点M（0，2k+1）； 当直线MN经过点Q时，∠PMQ＝75°， ∵OM＝OQ， ∴∠MQO＝45°， ∴∠PMO＝30°， ∴OP＝MOtan30°，即1（2k+1）， 解得k； 在OP上截取GM＝PG，则∠PMG＝30°， 当∠PMO＝75°时，∠OMG＝60°， ∴GO（2k+1），GM＝2（2k+1）， ∴（2）（2k+1）＝1， 解得k； ∴k， ∵k＞0， ∴0＜k． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键． 37．（2026•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是直线AB上一点（不与点A重合），且AB＝BC，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形OBCD是梯形，求梯形OBCD的面积； （3）点P、Q都在第三象限，其中点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，如果△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据一次函数可知A，B的坐标，进而根据AB＝BC可得点B是线段AC的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据OBCD是梯形，可知OD的直线解析式，进而联立方程可知点D的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点A作AG⊥GP，过点Q作QH⊥PH，进而可知△GAP∽△HPQ，根据相似三角形的性质即可求解；②过点A作AM⊥QM交对称轴于M，过点P作PN⊥QN交对称轴于N，证明△NPQ∽△MQA，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题可知，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则点A（﹣4，0），B（0，2）， ∵C是直线AB上一点，且AB＝BC， ∴点B是线段AC的中点， 设点C（m，n）， ∴点， ∴m＝4，n＝4， ∴点C（4，4）， 将点C，点A代入抛物线y＝ax2+bx﹣2，得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）如图1，四边形OBCD是梯形， ∴OD∥AC， ∵O为原点， ∴OD的直线解析式为， 联立得：， 解得：或， ∵点D在抛物线上，且位于第一象限， ∴， 过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴， ∴S梯形OBCD＝S梯形OBCF﹣S梯形CDEF﹣S△ODE（2+4）×4（4）×（4﹣2）24+2； （3）①如图2，过点A作AG⊥GP，过点Q作QH⊥PH， 当∠APQ＝90°，△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应， 则2， 抛物线， ∵∠AGP＝∠PHQ＝90°， ∴∠GAP+∠APG＝90°，∠APG+∠HPQ＝90°， ∴∠GAP＝∠HPQ， ∴△GAP∽△HPQ， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设点Q（﹣1，h），点， ∴GA，QH，HP＝﹣1﹣k， ，PG＝k﹣（﹣4）， 则2，2， 解得：k＝8或k＝﹣2， ∵点P、Q都在第三象限， ∴k＝﹣2， ∴h＝﹣1， ∴Q（﹣1，﹣1）； ②由题可得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 如图3，过点A作AM⊥QM交对称轴于M，过点P作PN⊥QN交对称轴于N， 当∠AQP＝90°，△APQ与△AOB相似，且边PQ与边OB对应， ∴， 抛物线的解析式为， ∵∠AMQ＝∠PNQ＝90°， ∴∠NPQ+∠PQN＝90°，∠MQA+∠PQN＝90°， ∴∠NPQ＝∠MQA， ∴△NPQ∽△MQA， ∴2， 则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 设点Q（﹣1，h），， ∴AM＝3，MQ＝0﹣h， ，PN＝﹣1﹣k， ∴2，， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，Q（﹣1，﹣1），． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 38．（2026•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）两点的抛物线y＝x2+bx+c（其中b、c是常数）与x轴的另一个交点为C，顶点为D．（1）求这条抛物线的表达式； （2）如果点E（m，n）在抛物线上，且在第四象限．过点E作EF∥x轴，与抛物线的另一个交点为F，联结BC，作EH∥y轴，交BC于点H，联结FH． ①当时，求m的值； ②抛物线y＝x2+bx+c关于直线EF对称所得新抛物线的顶点为G，如果点G刚好落在线段FH上，求点E的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①分类在对称轴的左右侧进行讨论，分别把E，F，H的坐标用m来表示，根据构造方程求解即可； ②根据对称得到点G的坐标，设出直线FH的解析式，将坐标代入求解即可． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（0，﹣3）两点代入y＝x2+bx+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）①当E在对称轴x＝1的左侧， 由题可知，点B（0，﹣3），C（3，0）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 将点B（0，﹣3），C（3，0），、代入解析式得：， 解得：， 则直线BC的解析式为：y＝x﹣3， ∵点E（m，n）在抛物线上， 则点E（m，m2﹣2m﹣3）， 点F（2﹣m，m2﹣2m﹣3），H（m，m﹣3）， ∴EF＝2﹣2m，EH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∵， ∴， ∴解得：； 当E在对称轴x＝1的右侧， 点E（m，m2﹣2m﹣3）， 点F（2﹣m，m2﹣2m﹣3），H（m，m﹣3）， ∴EF＝2m﹣2，EH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m， ∵， ∴， ∴解得：， 综上所述：或； ②根据题意可知： ∵点E（m，m2﹣2m﹣3），点D（1，﹣4）， ∴点G（1，2m2﹣4m﹣2）， F（2﹣m，m2﹣2m﹣3），H（m，m﹣3）， 设直线FH的解析式为：y＝kx+b， 则将F（2﹣m，m2﹣2m﹣3），H（m，m﹣3）代入解析式， 得：， 解得：， 则直线FH的解析式为：， 将点G（1，2m2﹣4m﹣2）代入直线FH解析式， 得：， 解得m＝2或， ∴点E（2，﹣3）或． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象等，掌握二次函数综合知识是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1 抛物线形投篮问题 练习2 运动规律与时间 练习3 增长率模型 练习4 对称抛物线解析式 练习5 半壳线定义应用 【练习1】（2024秋•青浦区校级期中）在校运动会上，小华在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为4米时，达到最大高度3米的B处，小华此次投掷的成绩是　10　 米． 【分析】根据题意可知点A的坐标为，顶点为B（4，3），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，将点A和点B的坐标代入即可求出该抛物线的表达式，最后令y＝0，求出此时x的值即可． 【解答】解：由题意得：点A的坐标为，顶点为B（4，3）． 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，将点A的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令y＝0，则， 解得x＝10或x＝﹣2（不合题意，舍去）． 答：小华此次投掷的成绩是10米． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式． 【练习2】（2025秋•静安区校级期末）某物体的运动规律为s＝40t﹣5t2，当s＝60米时，t＝　2或6　 秒． 【练习3】（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　34%　 ． 【分析】构造一元二次方程解决问题即可． 【解答】解：当s＝60米时，60＝40t﹣5t2， ∴t2﹣8t+12＝0， ∴t＝2或6． 故答案为：2或6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是把问题转化为一元二次方程． 【练习2】（2025秋•静安区校级期末）某物体的运动规律为s＝40t﹣5t2，当s＝60米时，t＝　2或6　 秒． 【分析】用待定系数法求出二次函数解析式，再把x＝3代入解析式求出y即可． 【解答】解：根据题意得：二次函数y＝2x2+bx+c经过（1，10），（2，20）， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为y＝2x2+4x+4， 当x＝3时，y＝2×9+4×3+4＝18+12+4＝34， ∴第三年的增长率为34%， 故答案为：34%． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式． 【练习4】（2024秋•长宁区校级期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝2cm，则右轮廍DFE所在抛物线的解析式为 　　 ． 【分析】先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为（1，2），再求出左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），则右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2，代入即可得出答案． 【解答】解：∵高CH＝2cm，BD＝2cm，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为（1，2）， ∵AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上， ∴AB关于直线CH对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0）， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0）， 设右边抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2， 把D（1，2）代入得2＝a×（1﹣3）2， 解得． 故右边抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 【练习5】（2024秋•虹口区月考）在平面直角坐标系中，对于两条具有相同对称轴的抛物线y＝a1（x﹣m）2+n1与y＝a2（x﹣m）2+n2在y轴上交于同一个点（0，t），其中a1＞0，a2＜0，并且n2﹣t＝2（t﹣n1）≠0，那么两条抛物线围成的图形很像一颗鸡蛋，我们称这两条抛物线互为“半壳线”．那么抛物线y＝x2﹣2x+4的“半壳线”解析式是 y＝﹣2（x﹣1）2+6　 ． 【分析】根据抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，当x＝0时，y＝4，求得抛物线y＝x2﹣2x+4的对称轴为直线x＝1，与y轴交于（0，4），得到a1＝1，m＝1，t＝4，n1＝3，解方程得到n2＝6，求得点（0，4）关于直线x＝1的对称点为（2，4），把n2＝6，m＝1，（2，4）代入y＝a2（x﹣m）2+n2得4＝a2（2﹣1）2+6，得到a2＝﹣2，于是得到结论． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，当x＝0时，y＝4， ∴抛物线y＝x2﹣2x+4的对称轴为直线x＝1，与y轴交于（0，4）， ∴a1＝1，m＝1，t＝4，n1＝3， ∵n2﹣t＝2（t﹣n1）≠0， ∴n2﹣4＝2（4﹣3）， ∴n2＝6， ∵对称轴为直线x＝1，与y轴交于（0，4）， ∴点（0，4）关于直线x＝1的对称点为（2，4）， 把n2＝6，m＝1，（2，4）代入y＝a2（x﹣m）2+n2得4＝a2（2﹣1）2+6， 解得a2＝﹣2， ∴抛物线y＝x2﹣2x+4的“半壳线”解析式是y＝﹣2（x﹣1）2+6， 故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，正确地理解“半壳线”的定义是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 利润函数判断 作业2 电功率最值 作业3 拱桥水位问题 作业4 等边三角形面积 作业5 铅球高度最值 作业6 增长率函数 作业7 菜园面积函数 作业8 投篮抛物线 作业9 矿洞支架问题 作业10 月销售利润 作业11 抛物线平移与面积 作业12 翻折抛物线 作业13 平移与菱形存在性 作业14 平移与顶点轨迹 💡 复习建议 强化建模能力：多练习将实际问题转化为二次函数模型，注意自变量的取值范围。 熟练掌握最值求法：配方法和顶点公式是求二次函数最值的核心工具。 重视抛物线形实际问题：拱桥、投篮、喷泉等是上海中考常见题型，需建立正确的坐标系。 综合题要数形结合：画图分析几何条件与函数图象的关系，分类讨论要全面。 积累新定义题经验：理解题目中的新概念，转化为熟悉的数学模型。 【作业1】（2025秋•浦东新区期中）某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（　　） A．y＝（10+x）（100﹣10x） B．y＝（1+x）（100﹣10x）﹣9 C．y＝（10+x﹣9）（100﹣10x） D．y＝（10+x）（100﹣10x）﹣9×100 【分析】先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润＝每件利润×销售量”列出函数式． 【解答】解：商品原售价为10元，涨价x元后，新售价为（10+x）元， 由题意得利润y＝每件利润×销售量， y＝（10+x﹣9）（100﹣10x）， 故选：C． 【点评】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润＝每件利润×销售量”的数量关系． 【作业2】（2026•千阳县校级模拟）如图1，小轩所在的物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2，且P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+bI（I＞0），则变阻器R消耗的电功率P最大是（　　） A．180W B．195W C．200W D．220W 【分析】先求出P与I之间的函数关系式为P＝﹣55I2+220I，再化成顶点式，最后利用二次函数的性质求最值即可． 【解答】解：当I＝1时，P＝165， ∴165＝﹣55×12+b， 165＝﹣55+b， 解得：b＝220， ∴P＝﹣55I2+220I＝﹣55（I﹣2）2+220， ∴当I＝2时，电功率P最大，最大220W， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业3】（2025秋•昆明月考）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面CD的宽为（　　） A．12m B．10m C．8m D．6m 【分析】根据正常水位时水面宽AB＝16米，求出当x＝8时求得y＝﹣4，再根据水位上升3米时y＝﹣1，代入解析式求出x即可解答． 【解答】解：当x＝8时，， 当水位上升3m时，y＝﹣4+3＝﹣1， 把y＝﹣1代入得：， 解得：x＝±4， CD＝2x＝8， 当水位上升3m时，此时水面宽CD＝8米． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业4】（2025秋•青浦区期末）等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式为SC2 ． 【分析】直接利用等边三角形的性质得出AD的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D， ∵等边三角形的周长为C， ∴AB＝BC＝AC， ∴DC＝BD， ∴ADC， ∴SCC2． 故答案为：SCC2． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题关键． 【作业5】（2025秋•徐汇区期末）如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为　2　 米． 【分析】先求出函数解析式，再化为顶点式求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离． 【解答】解：根据题意得：点A坐标为（0，1.5），点C坐标为（6，0）， 把A，C坐标代入yx2+bx+c得： ， 解得， ∴yx2+0.5x+1.5（x2﹣4x）+1.5（x﹣2）2+2， ∴球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键． 【作业6】（2025•金山区模拟）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为x，如果设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是 y＝20x2+40x .（不写定义域） 【分析】根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【解答】解：根据题意得：y＝20（1+x）2﹣20＝20x2+40x， 故答案为：y＝20x2+40x． 【点评】本题主要考查了平均增长率的问题，需注意第12月的印数量是在第10个月的印数量的基础上增加的，可以用公式a（1±x）2＝b来解题． 【作业7】（2024秋•开州区月考）如图，用一段长为15米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园面积y平方米与x米之间的函数关系式为　　 ． 【分析】设AB边长为x米，根据已知条件可以推出，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式． 【解答】解：设AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园， ∴， 菜园的面积＝AB•BC， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确利用矩形的周长公式解决问题是解题关键，本题的难点在于得到BC长． 【作业8】（2025秋•杨浦区期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【分析】（1）①依据题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5．依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值； ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5； （2）依据题意，利用待定系数法求此时球运行抛物线形，然后令x＝7，求出y与3.05米比较即可得解． 【解答】解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5． 由图知图象过点：（4，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5． ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5， ∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m； （2）由题意得，此时顶点为（4，4）， ∴可设y＝m（x﹣4）2+4． 又∵图象过（0，）， ∴16m+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． ∴令x＝7，则y＝3＜3.05． ∴此球不能投中这个篮圈． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业9】（2026•宝山区二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD组成，矩形ABCD的边BC＝4m，CD＝1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形FGMN的边FN、MN、MG为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形ABCD的顶点B为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； （2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长； （3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离），求此时BF的取值范围． 【分析】（1）依据题意得，顶点E为（2，3），则可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，又图象过A（0，1），进而计算可以得解； （2）由四边形FGMN为正方形，则MN＝FG＝2FH，又设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m，故N（m，4﹣2m），结合N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上，可得4﹣2m（m﹣2）2+3，求出m后即可得解； （3）依据题意，设BF＝m，则N（m，m2+2m+1），故NFm2+2m+1，结合FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，顶点E为（2，3）， ∴可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3， 又图象过A（0，1）， ∴4a+3＝1． ∴a． ∴抛物线L的表达式为y（x﹣2）2+3； （2）∵四边形FGMN为正方形， ∴MN＝FG＝2FH． 设BF＝m，则FH＝2﹣m，NF＝4﹣2m， ∴N（m，4﹣2m）． 又∵N在抛物线L：y（x﹣2）2+3的图象上， ∴4﹣2m（m﹣2）2+3． ∴m1＝4，m2＝4（不合题意，舍去）． ∴MN＝FN＝4﹣2m＝24； （3）设BF＝m，则N（m，m2+2m+1）， ∴NFm2+2m+1． ∵FH＝2﹣m1.3，NFm2+2m+1≥1.9+0.1＝2， ∴2m≤0.7，即2BF≤0.7． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、轴对称图形，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业10】（2025•浦东新区校级三模）某企业生产一种新产品，每件成本50元．由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，图销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示． （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：（1≤x≤6，x为整数），除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：（1≤x≤6，x为整数）从1月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在第6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？丙求出最大利润． 【分析】（1）依据题意，设出一次函数与二次函数解析式，利用待定系数法求出即可； （2）依据题意，利用获得的利润＝（每件产品的利润﹣额外支出的杂费）×月销售量，列出函数分段对比即可． 【解答】解：（1）由题意，设y1＝kx+b，把（1，600）（4，450）代入解析式得， ， ∴． ∴y1＝﹣50x+650； 把x＝6代入y1得y1＝﹣50×6+650＝350； 设y2＝a（x﹣6）2+350， 把（10，430）代入y2得430＝a（10﹣6）2+350， 得a＝5， ∴y2＝5（x﹣6）2+350． （2）由题意，设所获得的利润为W， 当1≤x≤6时， W＝（60x﹣50x）（﹣50x+650） ＝﹣100（x﹣4）2+8100； 在4月份时，获得的最大利润为8100元； 当7≤x≤12时， W＝[5（x﹣6）2+350]（60+6506） ＝110（x﹣6）2+7700， ∵y随x增大而增大， ∴当x＝12时，获得的利润最大，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660元； 综上，12月获得的利润最大，这个最大值为11660元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业11】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，其顶点为A．抛物线W2由抛物线W1平移得到，抛物线W2的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线W2上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． （1）求抛物线W1的顶点A的坐标； （2）当直线AP与抛物线W2的对称轴平行时，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，再将抛物线W2沿直线AB平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设顶点B的横坐标为t，则，根据W2是W1平移得到的，得出W2的解析式为：，由题意，P横坐标为t+2，则，根据AP平行于W2的对称轴（直线x＝t），求出t＝0，则B（0，1），P（2，3），即可求解； （3）由（2）得原W2顶点B（0，1），A（2，﹣2），求出直线AB的解析式，根据新抛物线顶点B′仍在直线AB上，设，则新抛物线解析式为：，将A（2，﹣2）代入求出m＝2或m＝5，再根据平移距离为顶点B（0，1）到B′的距离：解答即可． 【解答】解：（1）已知抛物线，其顶点为A，且， ∴抛物线W1的顶点A的坐标为（2，﹣2）； （2）抛物线W2的顶点B始终在直线上运动， 设， ∵W2是W1平移得到， ∴a值不变， ∴W2的解析式为， 由题意，P横坐标为t+2， 代入W2得P的纵坐标：，即， ∵AP平行于W2的对称轴（直线x＝t）， ∴AP为垂直于x轴的直线，即A、P横坐标相等： ∴t+2＝2， 解得：t＝0， ∴B（0，1），P（2，3）， 此时AP＝3﹣（﹣2）＝5，点B到直线AP（x＝2）的水平距离为2﹣0＝2， ∴； （3）由（2）得原W2顶点B（0，1），A（2，﹣2）， 设直线AB的解析式为y＝m′x+n′，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 沿AB平移时，新抛物线顶点B′仍在直线AB上， 设，则新抛物线解析式为：， 将点A的坐标代入得：， 整理得：m2﹣7m+10＝0， 解得：m＝2或m＝5， 平移距离为顶点B（0，1）到B′的距离： 当m＝2时，B′（2，﹣2），平移距离； 当m＝5时，，平移距离； 综上所述，本次平移的距离为或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线的平移，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【作业12】（2026•松江区校级模拟）已知抛物线C1：y＝a（x﹣h）2+2h（a≠0，h≥1），其顶点为A，且与B（0，1），将抛物线C1沿直线y＝﹣1翻折，得到抛物线C2． （1）当h＝1时， ①求抛物线C1的解析式，并写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线C1上，延长AD至E使得AE＝2AD，若点E落在抛物线C2上，求D的坐标． （2）过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，求h的值． 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标； ②求出翻折后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4），则翻折后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，设D（d，﹣d2+2d+1），可证明点D为AE的中点，则E（2d﹣1，﹣2d2+4d），代入y＝x2﹣2x﹣3，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得M（h，1），则，，同理可得抛物线C2的解析式为：y＝﹣a（x﹣h）2﹣2h﹣2，则，再由a（0﹣h2）+2h＝1，联立求解即可． 【解答】解：（1）①当h＝1时，抛物线C1的解析式为y＝a（x﹣1）2+2， 把B（0，1）代入y＝a（x﹣1）2+2得，1＝a（0﹣1）2+2， 解得a＝﹣1， ∴抛物线C1的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1， ∴顶点A的坐标为（1，2）； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为（1，2）， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为（1，﹣4）， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3， 设D（d，﹣d2+2d+1）， ∵AE＝2AD， ∴点D为AE的中点， ∴，， ∴xE＝2d﹣1，， ∴E（2d﹣1，﹣2d2+4d）， ∵E（2d﹣1，﹣2d2+4d）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象上， ∴﹣2d2+4d＝（2d﹣1）2﹣2（2d﹣1）﹣3， 解得d＝0或d＝2， 当d＝2时，﹣d2+2d+1＝﹣22+2×2+1＝1， 当d＝0时，﹣d2+2d+1＝0+0+1＝1， ∴若点E落在抛物线C2上，则点D的坐标为（0，1）或（2，1）； （2）∵MB⊥y轴交对称轴x＝h于点M， ∴M（h，1）， ∴MB＝h， ∵， ∴， 同理可得抛物线C2的解析式为：y＝﹣a（x﹣h）2﹣2h﹣2， ∵点Q在抛物线C2上， ∴，即﹣3ah2﹣2h﹣3＝0①， 又点B（0，1）在抛物线C1上， ∴a（0﹣h）2+2h＝1，即ah2＝1﹣2h②， 把②代入①得3（1﹣2h）＝﹣2h﹣3， 解得：． ∴过点B作直线垂直于y轴，与抛物线C1的对称轴x＝h上交于点M，交抛物线C2于点Q（Q在对称轴右侧），若，则得． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数的图象与性质，点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业13】（2026春•闵行区校级月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线BC上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）求出平移后的解析式，求出D点坐标，根据菱形的性质，分2种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：； （2）直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，或或M（1，4）或，理由如下： 由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， 把B（﹣3，0）代入，得0＝﹣3k+3，解得：k＝1， ∴y＝x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为y＝﹣（x+1+2）2+4＝﹣（x+3）2+4， 联立：， 解得：， ∴D（﹣2，3）， 设M（m，m+3）， ∵B（﹣3，0）， ∴BM2＝（m+3）2+（m+3）2＝2（m+3）2，DM2＝（m+2）2+m2，BD2＝（3﹣2）2+32＝10， 情况1：BD为菱形的边： ①当BM＝BD时，2（m+3）2＝10， 解得：或， ∴或； ②当DM＝BD时，（m+2）2+m2＝10， 解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1， ∴M（1，4）； 情况2：BD为菱形的对角线： ③当BM＝DM时，（m+2）2+m2＝2（m+3）2，解得：， ∴， 综上所述，直线BC上存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形；或或M（1，4）或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线 的平移，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【作业14】（2026•金山区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线l1：y＝ax2+bx（a＜0，b≥0）经过点A（﹣1，﹣3）． （1）若点A到抛物线l1的对称轴的距离为2，求a的值； （2）若a，点B为抛物线上一点，线段AB与x轴交于点C，且，求点B的坐标； （3）将抛物线l1先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），使所得的新抛物线l2经过原点且顶点在直线y＝﹣x+3上．如果m+n＝3，求抛物线l2的解析式． 【分析】（1）根据对称轴公式可得抛物线l1的对称轴为y轴或在y轴右侧，则可求出抛物线的对称轴为直线x＝1，进而得到b＝﹣2a，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则AE∥BF，证明△ACE∽△BCF，求出，据此可得答案； （3）由待定系数法可得b＝a+3，则抛物线l1的解析式为y＝ax2+（a+3）x，可得新抛物线l2的解析式为y＝a（x﹣m）2+（a+3）（x﹣m）+n，抛物线l2的顶点坐标为，即可得到，解方程得到b＝0，a＝﹣3；根据新抛物线l2经过原点，得到0＝a（0﹣m）2+（a+3）（0﹣m）+n，解方程求出m的值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵， ∴抛物线l1的对称轴为直线， ∵a＜0，b≥0， ∴，即抛物线l1的对称轴为y轴或在y轴右侧， ∵点A到抛物线l1的对称轴的距离为2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1+2＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， 把点A的坐标代入y＝ax2+bx得a﹣b＝﹣3， ∴a+2a＝﹣3， ∴a＝﹣1； （2）当时，则， 把点A的坐标代入，得， ∴， ∴； 如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则AE∥BF， ∴△ACE∽△BCF， ∴， ∵，A（﹣1，﹣3），即AE＝3， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得， ∴点B的坐标为； （3）∵抛物线经过点A（﹣1，﹣3）， ∴a﹣b＝﹣3， ∴b＝a+3， ∴抛物线l1的解析式为y＝ax2+（a+3）x， ∵将抛物线l1先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0）后得到新抛物线l2， ∴新抛物线l2的解析式为y＝a（x﹣m）2+（a+3）（x﹣m）+n， ∵抛物线l1的顶点坐标为， ∴抛物线l2的顶点坐标为， ∵抛物线l2的顶点在直线y＝﹣x+3上， ∴， ∴， ∴m+n＝3， ∴， ∴b2+2b＝0， ∴b＝﹣2（舍去）或b＝0， ∴a＝﹣3； ∵新抛物线l2经过原点， ∴0＝a（0﹣m）2+（a+3）（0﹣m）+n， ∴am2﹣am﹣3m+n＝0， ∴﹣3m2+3m﹣3m+3﹣m＝0， ∴3m2+m﹣3＝0， 解得（舍去）， ∴新抛物线l2的解析式为． 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $