27.2 二次函数的图像与性质（第1课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第27章 二次函数 27.2 二次函数的图像与性质 （第1课时）从描点到基本性质 九年级上册　数学（沪教版·五四制） 学习目标 本课学习目标 会画图 经历列表—描点—连线，画． 会描述 说清开口、对称轴、顶点与增减性． 会比较 比较的符号、绝对值对图像的影响． 复习引入 从函数值走向图像 回顾定义 是二次函数，其中． 研究起点 先画，再改变系数． 坐标意义 图上点表示一对对应的变量值． 知识讲授 探究1　列表：取成对的横坐标 画二次函数的图像．先取，算出对应的值． 答：对应依次为． 解 每个先平方，得到对应的纵坐标． 互为相反数的对应相同的． 方法：以为中心，向两边成对取值． 注意：负数的平方是非负数． 知识讲授 探究1　描点与光滑连线 画二次函数的图像．取，按表中函数值描点并连线． -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 答：得到开口向上的光滑曲线． 解 将每对描在坐标系中． 按横坐标顺序，用光滑曲线连接各点． 方法：先检查关键点及成对的点． 注意：不能用折线，也不能只画有限的一小段． 知识讲授 认识抛物线 二次函数的图像是一条曲线，这类特殊形状的曲线是抛物线．二次函数的图像也可称为抛物线．一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式． 表达式与图像相互对应；本课先研究． 描点只是帮助画图，图像连续延伸． 知识讲授 观察开口与延伸 开口方向 抛物线的开口向上． 延伸方向 分别向左上方和右上方无限延伸． 函数值 任意实数都满足． -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 知识讲授 对称轴与顶点 抛物线与其对称轴的交点称为抛物线的顶点，它也是抛物线的最低点． 对称轴是轴． 顶点为原点，也是图像最低的位置． -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 知识讲授 探究2　为什么关于轴对称 在抛物线上，比较与对应的函数值．再说明图像为什么关于轴对称． -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 5 答：两点为、；图像关于轴对称． 解 ． 一般地，，对应点关于轴对称． 方法：用互为相反数的横坐标比较纵坐标． 注意：一对点只是示例，一般关系说明整条图像． 知识讲授 沿横轴从左向右观察 左侧下降 当时，增大，减小． 右侧上升 当时，增大，增大． 最小值 当时，取得最小值． -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 例题讲解 例 1 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数、和的图像． 答：取时，三行值依次为、、． 解 再取，三函数值为． 取，三函数值为． 方法：先算，再分别乘． 注意：使用同一坐标系、同一刻度进行比较． 例题讲解 例 1 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数、和的图像． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：三条曲线都经过原点，均开口向上． 解 按各自数值表描点，分清三种颜色． 用光滑曲线连接同一函数的点，并标表达式． 方法：把同一横坐标下的三个函数值相互核对． 注意：不同函数的点不能交叉串连． 例题讲解 例 1 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数、和的图像．比较三条图像的共同特点和开口大小． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：都开口向上，对称轴为轴，顶点为原点；开口最小． 解 相同：形状均为抛物线，轴与顶点相同． 同样时，系数越大，函数值越大，开口越小． 方法：在相同尺度下比较开口． 注意：“开口小”不是图像画得短． 知识讲授 正系数：开口、轴与顶点 当时，的图像与性质如下：开口向上，无限延伸，对称轴是轴，顶点是原点，它是抛物线的最低点． 系数的正号决定开口向上． 所有这类图像都以原点为顶点． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 知识讲授 正系数：增减与开口大小 在对称轴左侧，图像下降；在对称轴右侧，图像上升．越大，抛物线的开口越小． 此处的条件是． 当时，函数取得最小值． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 知识讲授 正系数：函数值的变化 相应地，当时，函数值随着自变量的增大而减小；而当时，函数值随着自变量的增大而增大． 这两种变化分别发生在对称轴的左、右两侧． 前提是，不能直接用于负系数． 知识讲授 正系数：最小值 当时，二次函数取到最小值，最小值为． 本条仍以为条件． 要区分顶点与最小值． 例题讲解 探究3　类比研究负系数 请在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数、和的图像，并比较它们的相同和不同之处． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 答：三图都开口向下，轴为轴，顶点为原点；开口最小． 解 将各个正系数函数的纵坐标变为相反数． 比较：，开口依次变大． 方法：列表时保留平方前的负号． 注意：例如． 知识讲授 负系数：开口、轴与顶点 当时，的图像与性质如下：开口向下，无限延伸，对称轴是轴，顶点是原点，它是抛物线的最高点． 系数的负号决定开口向下． 当时，函数取得最大值． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 知识讲授 负系数：增减与开口大小 在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降．越大，抛物线的开口越小． 此处的条件是． 比较负系数时看绝对值，而非直接比大小． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 知识讲授 负系数：函数值的变化 相应地，当时，函数值随着自变量的增大而增大；而当时，函数值随着自变量的增大而减小． 与向上开口的左右变化相反． 前提是． 知识讲授 负系数：最大值 当时，二次函数取到最大值，最大值为． 本条仍以为条件． 函数值均不大于，且能取到． 环节归纳 从两种方向观察同一条图像 观察方法一：从左向右走 （1）先看的正负，确定开口向上或向下． （2）横坐标始终按增大的方向变化，再判断图像升降． 观察方法二：看离轴的远近 （1）同一条上，离轴越远，越大． （2）再结合的正负，比较相应函数值． 例题讲解 变式 例 1 比较、、三条抛物线的开口方向与开口大小． 答：前两条向上，第三条向下；开口由小到大为． 解 符号决定方向：，． 绝对值为，绝对值大则开口小． 方法：方向看符号，大小看． 注意：不同方向的抛物线也能比较开口大小． 课堂练习 练习1 在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像：（1）；（2）． -3 -2 -1 1 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 答：两条图像都以原点为顶点，开口方向相反，开口大小相同． 解 取，第一条对应． 第二条对应，描点后光滑连线． 方法：一组横坐标对应两组互为相反数的纵坐标． 注意：开口大小取决于，两者相等． 课堂练习 练习2 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点． （1） （2） 解第（1）题 开口向上；对称轴为轴；顶点为． ． 解第（2）题 开口向下；对称轴为轴；顶点为． ． 方法：先看系数符号． 注意：顶点坐标顺序是横坐标、纵坐标． 方法：只改变开口方向． 注意：系数负号不改变对称轴与顶点． 课堂小结 的图像与性质 描点画图 以原点为中心成对取值，列表、描点，再用光滑曲线连接并向两端延伸． 共性特征 对称轴都是轴，顶点都是原点；横坐标互为相反数的点纵坐标相等． 系数作用 开口向上，开口向下；越大，抛物线的开口越小． 函数变化 向上开口左减右增，在原点取最小值；向下开口左增右减，在原点取最大值． 特别提醒：增减描述须说明在对称轴哪一侧． 针对训练 训练1　填写基本特征 写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点． （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 向上；轴；． ． 解第（2）题 向下；轴；． ． 方法：由正号判断方向． 注意：轴应写直线名称． 方法：负号决定向下． 注意：分数不影响轴和顶点． 针对训练 训练1　填写基本特征（续） 写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点． （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 向上；轴；． ． 解第（4）题 向下；轴；． ． 方法：先判断系数正负． 注意：小数也可作二次项系数． 方法：读出符号． 注意：顶点不随改变． 针对训练 训练2　比较开口大小 比较每组两条抛物线的开口大小． （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 解第（1）题 前者开口小． ． 解第（2）题 前者开口小． ． 方法：比较． 注意：同尺度下比较． 方法：先取绝对值． 注意：负数本身的大小不能直接决定开口． 针对训练 训练2　比较开口大小（续） 比较每组两条抛物线的开口大小． （1） 与 （2） 与 （3） 与 （4） 与 解第（3）题 开口大小相同． 两系数绝对值相等． 解第（4）题 后者开口小． ． 方法：分开比较方向与大小． 注意：方向相反不代表大小不同． 方法：把小数与整数的绝对值比较． 注意：绝对值越小，开口越大． 针对训练 训练3　比较函数值 按给出的表达式比较函数值，并说明理由． （1） 比较与，其中． （2） 比较与，其中． （3） 比较与，其中． （4） 比较与，其中． 解第（1）题 ． 两值分别为、． 解第（2）题 ． 两值分别为、． 方法：可代入，也可比较离轴距离． 注意：负横坐标较小不代表函数值较小． 方法：负系数需改变大小方向． 注意：负数越接近越大． 针对训练 训练3　比较函数值（续） 按给出的表达式比较函数值，并说明理由． （1） 比较与，其中． （2） 比较与，其中． （3） 比较与，其中． （4） 比较与，其中． 解第（3）题 相等． 横坐标互为相反数，平方相等． 解第（4）题 ． 两值为与． 方法：利用轴对称． 注意：无需逐个乘也可判断． 方法：跨轴比较先看横坐标绝对值． 注意：不能直接套同一侧增减性． 针对训练 训练4　填写变化趋势 分别说明在所给范围内，怎样随变化． （1） ，当时． （2） ，当时． （3） ，当时． （4） ，当时． 解第（1）题 随增大而减小． 向上开口的左侧图像下降． 解第（2）题 随增大而增大． 向上开口的右侧图像上升． 方法：定位对称轴左侧． 注意：观察方向始终从左向右． 方法：定位对称轴右侧． 注意：需保留条件． 针对训练 训练4　填写变化趋势（续） 分别说明在所给范围内，怎样随变化． （1） ，当时． （2） ，当时． （3） ，当时． （4） ，当时． 解第（3）题 随增大而增大． 向下开口的左侧图像上升． 解第（4）题 随增大而减小． 向下开口的右侧图像下降． 方法：由开口方向确定左侧趋势． 注意：与正系数情况相反． 方法：由开口方向确定右侧趋势． 注意：不可说在全体实数上一直减小． 针对训练 训练5　极值与能否取到 回答下列问题并说明理由． （1） 的最小值． （2） 的最大值． （3） 能否取到？ （4） 能否取到？ 解第（1）题 ，在时取得． ，正数乘积仍非负． 解第（2）题 ，在时取得． ． 方法：用非负性说明． 注意：同时写取得时的． 方法：用非正性说明． 注意：最大值不是顶点坐标． 针对训练 训练5　极值与能否取到（续） 回答下列问题并说明理由． （1） 的最小值． （2） 的最大值． （3） 能否取到？ （4） 能否取到？ 解第（3）题 不能． 任意下均有． 解第（4）题 能，． 原点在图像上． 方法：把候选值与值域特点比较． 注意：理由要适用于所有实数． 方法：检查轴上特殊点． 注意：不要漏掉顶点情形． 针对训练 训练6　点是否在图像上 判断下列点是否在的图像上． （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 在图像上． ． 解第（2）题 不在图像上． ． 方法：将横坐标代入． 注意：结果须等于纵坐标． 方法：比较函数值与纵坐标． 注意：纵坐标负值不可能出现． 针对训练 训练6　点是否在图像上（续） 判断下列点是否在的图像上． （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 在图像上． ． 解第（4）题 在图像上． ． 方法：核查原点． 注意：轴上的点也须判断． 方法：分数先平方． 注意：不能只平方分子． 针对训练 训练7　判断与纠错 （1）的开口比大． 错 理由：，前者开口更小． （2）在整个实数范围内递增． 错 理由：它在时随增大而减小． （3）的最高点是原点． 对 理由：函数值恒不大于且时取等． （4）上横坐标为的两点等高． 对 理由：横坐标平方均为． 方法：用符号、绝对值和轴两侧三个角度逐项核对． 注意：说增减时一定写明所在范围． 针对训练 训练8　读图：用已知系数辨认 图中蓝、红两条曲线分别对应与，但表达式未标出．哪条是？说明理由． -3 -2 -1 1 2 -1 1 2 3 4 5 答：红色曲线是． 解 两条都开口向上且顶点相同． 红色开口较小，对应较大的正系数． 方法：先确认同坐标尺度，再比较开口． 注意：判断依据是曲线宽窄，不是颜色本身． 针对训练 训练9　描点画图 画的图像，至少描出五个点，并写出它的最高点． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -5 -4 -3 -2 -1 1 答：可描；最高点为． 解 以为中心成对取值． 逐点核对后，用光滑曲线连接． 方法：顶点加两组成对点，确定基本形状． 注意：平方后再乘负系数． 针对训练 训练10　用两种方法比较函数值 已知，当和时的函数值分别为、．用两种方法比较与． 答：． 解 代入法：分别计算与． 距离法：，开口向下，离轴远的点更低． 方法：跨过对称轴时可比较离轴距离． 注意：不能把左右两侧合并使用单调性． 针对训练 训练11　实际应用：下落距离 某物体从静止开始下落，在本题研究时段内，下落距离（m）与时间（s）满足，．求时的下落距离，并说明此时段内的变化趋势． 1 2 3 10 20 30 40 答： m；随增大，下落距离增大． 解 代入，． 实际只取，对应向上开口抛物线的右半支． 方法：先注明时间从开始下落时计起． 注意：图中纵坐标是下落距离，不是离地高度． 针对训练 训练12　实际应用：拱形模型中的位置 以拱顶为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，两轴每单位表示 m．某拱形截面满足．求距对称轴水平距离 m处比拱顶低多少米． -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 答：比拱顶低 m，左右两侧相同． 解 水平距离 m对应或． 两侧均有，相对拱顶下降 m． 方法：把水平距离转为两个横坐标，再解释负纵坐标． 注意：坐标不是负长度；下降距离为 m． 方法总结 两种方法理解图像上的数量关系 方法一：代数计算 （1）将横坐标代入，求函数值或检验点． （2）比较后乘，注意负系数会改变大小关系． 方法二：图像观察 （1）先由确定开口方向，再找轴与顶点． （2）同侧看升降，跨轴看离对称轴的距离． $