27.3 确定二次函数的表达式（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数表达式的确定，涵盖一般式和顶点式及待定系数法。通过情境问题导入，合作探究以三点实例搭建基础，典例与练习分类型逐步深入，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于一题多解（如例3三种方法）培养推理意识，中考真题强化模型意识，总结表格对比适用题型助数学语言表达。学生提升灵活解题能力，教师获得系统资源与分层练习支持。

27.3 确定二次函数的表达式 第二十七章 二次函数 沪教版九年级上册 学习目标 掌握二次函数一般式、顶点式、二种表达式形式，初步理解各参数几何意义； 一 熟练运用待定系数法，根据不同已知条件灵活选取解析式形式求函数表达式，能结合抛物线平移、对称、表格数据、图像信息求解析式。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 如何确定二次函数的表达式 合作探究 1. 已知一个二次函数的图像经过A(0,1) 、B(1,3) 、C(-1,1) 三点， 求这个二次函数的表达式. 【分析】确定二次函数y=ax²+bx+c 的表达式，就要确定三个系数a 、b 、c 的值.而为了确定a 、b 、c 的值，一般需要三个关于a 、b 、c 的方 程. 【详解】设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0), 由于其图像经 过点A(0,1) 、B(1,3) 、C(—1,1), 因此可以得到关于a 、b 、c 的三元一次方 程组： . 解之得 ∴这个二次函数的表达式为y=x²+x+1. 典例分析 例1 已知一个二次函数的图像经过点A(4,5) 、B(2,-3) 、C(1,-4). (1)求这个二次函数的表达式. (2)写出这个二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点以及图像的变化规律.判断该图像有最高点还是最低点，并求出其坐标. 解：(1)设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0). 根据题意，得 解之，得 ∴这个二次函数的表达式为y=x²-2x-3; (2)因为y=x²-2x-3=(x-1)²-4, 所以这个二次函数的图像开口向上，对称轴是直线x=1, 顶点是(1,—4). 在对称轴左侧，图像下降，在对称轴右侧，图像上升. 该图像有最低点，其坐标是(1,-4) 归纳总结 【一般步骤】 1. 设表达式 y=ax²+bx+c； 2. 代入已知点的坐标，列出关于a,b,c的方程组； 3. 解方程组求出a,b,c; 4. 写出表达式。 用一般式确定二次函数的表达式 【适用题型】经过三个已知点 巩固练习 基础练习——用一般式确定二次函数的表达式 1. 已知二次函数图像上三点的坐标(0,10)、(1,5)、(2,2)，求二次函数的表达式： 【详解】设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0), 由题意，得： . 解之得 ∴这个二次函数的表达式为y=x²-6x+10. 巩固练习 基础练习——用一般式确定二次函数的表达式 2. 已知二次函数图像上三点的坐标(-1,6)、(-2,0)、(-3,-2)，求二次函数的表达式： 【详解】设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0), 由题意，得： . 解之得 ∴这个二次函数的表达式为y=2x²+12x+16. 巩固练习 基础练习——用一般式确定二次函数的表达式 3. 已知二次函数图像上经过三点A(-1,0) 、B(0,3) 、C(2,3)， （1）求二次函数的表达式； （2）如果点P(x₁,y₁) 、Q(x,y2) 在这个二次函数的图像上， 且 x₁<x₂<1, 试比较y₁与 y2 的大小. 【详解】（1）设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c(a≠0), 由题意，得： ，解之得 ∴这个二次函数的表达式为y=-x²+2x+3. (2)∵y=-x²+2x+3=- ∴ x₁<x₂<1时，y随x增大而增大, ∴ y₁< y2. 例题分析 例2 已知一个二次函数图像的顶点坐标为(2,-3),且过点A(3,-1). 求这个二次函数的表达式. 【详解】设这个函数的表达式为 y=a(x-2)²-3 因为该二次函数的图像过点A(3,-1), 所以a(3-2)²-3=-1, 解得a=2. 所以，这个二次函数的表达式为y=2(x-2)²-3, 即 y=2x²-8x+5. 【分析】已知了顶点坐标，可用二次函数顶点式y=a(x+m)²+h ，在已知顶点坐标(-m,h) 的情况下，通常需要补充一个条件，组成关于a的一次方程，以此求得 a的值. 例题分析 例3 已知二次函数y=ax²+bx+c 的图像过点A(1,0)和点B(0,3), 对称轴是直线x=-1. 求这个二次函数的表达式.. 【详解】设这个函数的表达式为 y=a(x+1)²+h 由题意，得： ， 解得a=-1,h=4. 所以，这个二次函数的表达式为y=-(x+1)²+4, 即 y=-x²-2x+3. 【分析】已知了对称轴，可用二次函数顶点式y=a(x+m)²+h ，代入m的值，再列两个方程求出h、a. 一题多解 例题分析 例3 已知二次函数y=ax²+bx+c 的图像过点A(1,0)和点B(0,3), 对称轴是直线x=-1. 求这个二次函数的表达式. 【详解】由题意，得： ，解之得 所以，这个二次函数的表达式为y=-x²-2x+3. 【分析】本题也可以直接用一般式求解,可由对称轴公式-=-1列出一个方程. 一题多解 例题分析 例3 已知二次函数y=ax²+bx+c 的图像过点A(1,0)和点B(0,3), 对称轴是直线x=-1. 求这个二次函数的表达式.. 【详解】因为对称轴为 x=-1, 所以点A（1，0）关于对称轴对称的点C_________也在该函数图像上. 【分析】本题也可以利用抛物线的轴对称性再找出一个已知点. 一题多解 （-3，0） 由题意，得： ，解之得 所以，这个二次函数的表达式为y=-x²-2x+3. 例题分析 例4 已知二次函数y=x²+2(m-3)x+9 图像的顶点在x 轴上，求这个二次函数的表达式.. 【详解】配方：y=x²+2(m-3)x+9 =（x+m-3 ∵图像的顶点在x 轴上 【分析】顶点在x轴上就是知道了顶点的纵坐标为_____. 0 ∴____________=0 ∴m=0 或 m=6. 于是，这个二次函数的表达式为y = x²-6x+9 或 y=x²+6x+9. 例题分析 例4 已知二次函数y=x²+2(m-3)x+9 图像的顶点在x 轴上，求这个二次函数的表达式.. 【详解】∵图像的顶点在x 轴上 ∴____________________________=0 ∴=0 ∴m=0 或 m=6. 于是，这个二次函数的表达式为y = x²-6x+9 或 y=x²+6x+9. 【分析】 顶点在x轴上，就是顶点的纵坐标为0，可以利用顶点纵坐标公式列方程. 一题多解 归纳总结 【一般步骤】 1. 设表达式 y=a(x+m)²+h ； 2. 代入m、h的值，列出关于剩余参数字母的方程(组)； 3. 解方程(组)求出剩余参数字母的值; 4. 写出表达式，并化成一般式. 用顶点式确定二次函数的表达式 【适用题型】已知顶点坐标或对称轴或函数最大(小)值 巩固练习 基础练习——用顶点式确定二次函数的表达式 1. 已知一个二次函数图像的顶点坐标为(3,1),且过点M(4,-5). 求这 个二次函数的表达式. 【详解】设这个函数的表达式为 y=a(x-3)²+1 因为该二次函数的图像过点M(4,-5), 所以a(4-3)²+1=-5, 解得a=-6. 所以，这个二次函数的表达式为y=-6(x-3)²+1, 即 y=-6x²+36x-53. 巩固练习 基础练习——用顶点式确定二次函数的表达式 2. 已知一个二次函数的图像过点A(-2,0) 和点B(0,-3),对称轴是直线x=2. 求这个二次函数的表达式. 【详解】设这个函数的表达式为 y=a(x-2)²+h 由题意，得： ， 解得a=-,h=-2. 所以，这个二次函数的表达式为y=-(x-2)²-2, 即 y=-x²+x-3. 巩固练习 基础练习——用顶点式确定二次函数的表达式 3. 已知二次函数y=x²+(2m+2)x+2m+c, 其图像的顶点在y 轴上，且过点(1,5).求这个二次函数的表达式. 【详解】配方：y=x²+2(m+1)x+2m+c =（x+m+1 ∵图像的顶点在y 轴上∴m+1=0∴m=-1 ∴y=x²-2+c 又因为图像过点(1,5) ∴5=1-2+c∴c=6 所以，这个二次函数的表达式为y=x²+4. 感受中考 1.（2024·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点(4，2)，则该二次函数的表达式是________． y= 感受中考 2.（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B(3,0)（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)． 且AB=4； (1) 求抛物线的表达式； (2) 抛物线上有一点D，使得CD=BD，求点D的坐标； (1)y=- (2)设点D的坐标为(m,-)，根据CD=BD建立方程求解，即可求解D（，）或（，） 提示：先由AB=4，推出A（-1，0） 感受中考 3.（2026·上海一模）已知二次函数图像，其顶点为P(1,4)，且图象经过Q(3,0)． (1)求函数的表达式； (2)若将该抛物线向上或者向下平移，使平移后的图象经过原点，求平移后的抛物线函数表达式． y=- y=- 小结梳理 确定二次函数的表达式 类型 适用题型 一般式 y=ax²+bx+c 已知三点 顶点式 y=a(x+m)²+h 已知顶点或对称轴、最值 作业 习题27.3 第1~4题 必做题 习题27.3 第5~6题 选做题 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $