27.2 二次函数的图像与性质（第4课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第27章 二次函数 27.2 二次函数的图像与性质 （第4课时）二次函数图像的平移与性质 九年级上册　数学（沪教版·五四制） 知识讲授 学习目标 会识图 读出，确定开口、对称轴和顶点。 会说明 把水平平移与竖直平移组合，解释图像变化。 会应用 判断增减性与最值，说明取值条件。 知识讲授 两种平移如何组合 水平移动 变为，顶点移到。 竖直移动 再变为，顶点移到。 复习引入 复习　先读准顶点 分别写出和的顶点。 答：分别为、。 解 令平方内的式子为零，找到顶点横坐标。 平方项为零时，常数项就是顶点纵坐标。 方法：先找平方为零的位置，再读外面的数。 注意：括号内的对应横坐标。 例题讲解 例 4 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数和的图像，并指出这两条抛物线之间的关系． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 原抛物线 平移后 答：两顶点为、，开口都向下。 解 原图取点、。 新图取点、、，平滑连线。 方法：先标顶点，再取成对的对称点。 注意：平移前后不变，开口大小也不变。 例题讲解 例 4 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数和的图像，并指出这两条抛物线之间的关系． -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 原抛物线 平移后 答：可先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度。 解 原顶点先移到。 再移到，得到目标抛物线。 方法：跟踪顶点的横、纵坐标变化。 注意：水平向左对应，不能看见加号就向右。 环节归纳 两条等效平移路径 先水平后竖直 （1）。 （2）。 先竖直后水平 （1）。 （2）。 知识讲授 顶点与对称轴 一般地，抛物线的对称轴是直线，顶点是． 平方项为零时，。 顶点两个坐标分别是和。 知识讲授 平移关系 抛物线可由抛物线平移得到，平移的方向由、的符号决定，平移的距离由、的绝对值决定． 向左，向右。 向上，向下。 知识讲授 参数分别控制什么 看 正负决定开口方向；绝对值决定开口大小。 看 顶点为；先确定点的位置，再描述平移。 知识讲授 开口向上的变化规律 若，当时，函数值随着自变量的增大而减小；当时，函数值随着自变量的增大而增大；当时，函数值取到最小值，最小值为． 以直线为界，左降右升。 最小值在时取得。 知识讲授 开口向下的变化规律 若，当时，函数值随着自变量的增大而增大；当时，函数值随着自变量的增大而减小；当时，函数值取到最大值，最大值为． 以直线为界，左升右降。 最大值在时取得。 知识讲授 读增减性要有方向 沿轴读图 从左向右看，横坐标一直增大。 先分区间 说明或，不能说整条抛物线一直增大。 例题讲解 例 5 已知抛物线． -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 （1） 写出它的开口方向、对称轴和顶点； （2） 在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （3） 判断函数有最大值还是最小值，并求自变量的相应取值． 解第（1）题：开口向上；对称轴；顶点。 ；平方项在时为零。 方法：依次看、平方为零处、平方外常数。 注意：最值是顶点纵坐标，对应的自变量是顶点横坐标，不要混写。 例题讲解 例 5 已知抛物线． -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 （1） 写出它的开口方向、对称轴和顶点； （2） 在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （3） 判断函数有最大值还是最小值，并求自变量的相应取值． 解第（2）题：取、、，描点连线。 先画顶点及对称点。 用平滑曲线连接，向两边延伸。 方法：依次看、平方为零处、平方外常数。 注意：最值是顶点纵坐标，对应的自变量是顶点横坐标，不要混写。 例题讲解 例 5 已知抛物线． -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 3 4 5 （1） 写出它的开口方向、对称轴和顶点； （2） 在平面直角坐标系中画出这条抛物线； （3） 判断函数有最大值还是最小值，并求自变量的相应取值． 解第（3）题：当时，有最小值。 ，所以。 方法：依次看、平方为零处、平方外常数。 注意：最值是顶点纵坐标，对应的自变量是顶点横坐标，不要混写。 环节归纳 最值的两种解释 从图像观察 （1）开口向上，顶点最低。 （2）最低点纵坐标为。 从平方非负推导 （1）。 （2）时等号成立。 例题讲解 变式 例 5 的顶点与最大值是什么？ -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 答：顶点；当时，最大值为。 解 。 所以，平方项为零时取等号。 方法：负系数乘平方后非正。 注意：不能把开口向下函数的顶点称为最低点。 课堂练习 练习1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并指出如何由抛物线平移得到它们． （1） （2） 解第（1）题 向上，轴，顶点；左移再下移。 平方内为零得。 解第（2）题 向上，轴，顶点；右移再上移。 平方内为零得。 方法：跟踪。 注意：横坐标为。 方法：跟踪。 注意：两式的都为。 课堂练习 练习2 将抛物线平移，使它的顶点移到点的位置，求所得的抛物线的表达式及其对称轴． 答：；对称轴。 解 平移不改变二次项系数。 使平方内在时为零，平方外加。 方法：用新顶点直接定位平方项。 注意：顶点横坐标对应。 课堂练习 练习3 写出二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点以及图像的变化规律．判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量的相应取值． -2 -1 1 2 3 4 5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 答：开口向下；轴；顶点；左升右降。 解 ，以为界。 时随增大而增大；时减小。 方法：先确定对称轴，再说明两侧变化。 注意：向右读图；不要遗漏区间条件。 课堂练习 练习3 写出二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点以及图像的变化规律．判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量的相应取值． 答：当时，函数取得最大值。 解 ，所以。 当且仅当时等号成立。 方法：用非正平方项核对图像结论。 注意：最大值也可能是负数。 知识讲授 对称点的等值关系 到轴距离相同 若两点关于对称，则横坐标之和为。 函数值相同 代入可见，两侧等距点的函数值相同。 课堂练习 辨析　顶点信息不能混淆 （1）的对称轴为。 错 理由：平方项为零时。 （2）开口向下的抛物线一定有最大值。 对 理由：在全体实数范围内，顶点最高。 （3）平移会改变抛物线的开口大小。 错 理由：平移保持不变。 方法：用平方为零的位置核查顶点。 注意：最值结论默认自变量取全体实数。 课堂小结 二次函数 平移与性质 参数识别 先看的符号判断开口；令平方内为零确定顶点横坐标，再读平方外的常数。 平移定位 把原顶点移到，据此写出水平、竖直方向及各自的距离。 图像变化 先标对称轴，再从左向右看图；向上左降右升，向下左升右降。 最值说明 顶点纵坐标为最值；向上取最小值，向下取最大值，并写出对应的。 特别提醒：注意括号内符号；最值与自变量不能混写。 针对训练 训练1　选择：识别顶点 抛物线的顶点为（　）。 A．　B．　C．　D． 答：B。 解 得。 平方项为零时。 方法：先求使平方项为零的。 注意：横坐标要变号，纵坐标直接读。 针对训练 训练2　填空：开口和最值 分别填写对称轴及最值。 （1） （2） 解第（1）题 轴；最小值。 ，顶点。 解第（2）题 轴；最大值。 ，顶点。 方法：读顶点后判开口。 注意：需写时取得。 方法：负平方项不大于零。 注意：最大值不是。 针对训练 训练3　判断并说明理由 （1）在时随增大而减小。 对 理由：开口向上，在对称轴左侧下降。 （2）在时随增大而增大。 错 理由：开口向下，轴右侧下降。 （3）没有最大值。 对 理由：开口向上，函数值可不断增大。 （4）的最大值是。 错 理由：是相应横坐标，最大值是。 方法：每句话先定位对称轴与所给区间。 注意：区分最大值和取得最大值时的。 针对训练 训练4　读图：最高点的信息 图示抛物线的顶点为，开口向下。写出对称轴、最大值及右侧的变化规律。 -1 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 5 答：轴；最大值；时，随增大而减小。 解 对称轴穿过顶点且平行于轴。 图像从顶点向右下降。 方法：从顶点读轴和最值，从右支读变化。 注意：题图未给，无需猜测精确表达式。 针对训练 训练5　描点：先取关键点 在平面直角坐标系中画出的图像，并标出顶点和一组对称点。 -4 -3 -2 -1 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：顶点；一组对称点为、。 解 时，。 在顶点两侧各取距离的横坐标，得同一纵坐标。 方法：以顶点为中心，成对选点。 注意：先算点，后画平滑曲线。 针对训练 训练5　描点：核对图像 在平面直角坐标系中画出的图像，并标出顶点和一组对称点。 -4 -3 -2 -1 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 答：图像开口向上，轴，最低点为。 解 再验、，检查两侧对称。 连线应光滑经过所有点。 方法：用两组对称点控制曲线形状。 注意：不能把抛物线画成折线。 针对训练 训练6　平移：由旧式写新式 以为原图。 （1） 向左平移个单位，再向上平移个单位。 （2） 向右平移个单位，再向下平移个单位。 解第（1）题 。 顶点。 解第（2）题 。 顶点。 方法：只移动顶点，保留。 注意：应从旧顶点出发。 方法：由终点回写表达式。 注意：右移后是。 针对训练 训练7　比较：同侧两点 点、在上，比较。 答：。 解 ，且两点都在轴右侧。 开口向下，右侧随增大而减小。 方法：先判断两横坐标是否位于轴同侧。 注意：不可只凭就比较函数值。 针对训练 训练8　参数：从顶点倒推 的顶点为，求并写出平移过程。 答：；由左移、上移。 解 。 逐个对应坐标，得。 方法：把顶点写成坐标等式再比较。 注意：顶点横坐标是。 针对训练 训练9　对称：不展开也能求值 在时的函数值为。求另一横坐标，使函数值仍为。 答：。 解 轴为，到轴距离为。 另一点在右侧，横坐标为。 方法：用到对称轴距离相等。 注意：“另一”点不能仍写。 针对训练 训练10　说明：代数推理 说明的最小值，并给出图像与代数两种理由。 答：当时，最小值为。 解 ，所以。 等号在时成立。 方法：用不等式说明所有函数值的下界。 注意：仅算出一个不能证明它最小。 针对训练 训练10　说明：图像解释 说明的最小值，并给出图像与代数两种理由。 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 答：抛物线开口向上，顶点最低。 解 ，顶点是最低点。 顶点纵坐标为，横坐标为。 方法：把最低点的两个坐标分别解释。 注意：图像理由也应说明开口向上。 针对训练 训练11　应用：最高高度 某喷泉水流高度满足，。以喷口所在水平地面上的点为原点，轴水平向右，轴竖直向上，单位均为米。求最高高度及其水平位置，并比较与处的高度。 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 答：最高高度米，位于水平位置米处。 解 顶点为，且在内。 开口向下，顶点对应最高位置。 方法：先检查顶点是否在实际范围内。 注意：高度读纵坐标，水平位置读横坐标。 针对训练 训练11　应用：等高位置 某喷泉水流高度满足，。以喷口所在水平地面上的点为原点，轴水平向右，轴竖直向上，单位均为米。求最高高度及其水平位置，并比较与处的高度。 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 答：两处等高，均为米。 解 与到对称轴的距离都是。 代入得。 方法：先用对称性判断，再代入核算。 注意：图像只取水流实际范围。 针对训练 训练12　应用：最小误差 一个装置的误差指标，工作时间的单位为分钟，，无量纲。求最小误差及相应时间，并比较与时的误差。 答：最小误差为，在分钟时取得。 解 平方项非负；在工作范围内。 因此，且能取到等号。 方法：非负平方项和实际范围一起检查。 注意：无量纲，不能写成分钟。 针对训练 训练12　应用：比较两种状态 一个装置的误差指标，工作时间的单位为分钟，，无量纲。求最小误差及相应时间，并比较与时的误差。 答：，，所以时误差较小。 解 、在顶点两侧，先比较到的距离。 距离分别为、，或代入算得。 方法：跨轴比较可用到轴距离或直接代入。 注意：不能跨越对称轴直接套单侧增减性。 方法总结 复合平移与最值：两条主线 顶点定位法 （1）先读及顶点。 （2）由顶点写对称轴、平移和最值。 （3）比较函数值时先判断在轴哪一侧。 平方分析法 （1）令平方内为零，找到等号位置。 （2）用平方非负及的符号判断上下界。 （3）实际问题再检查范围和单位。 $