27.2二次函数的图像与性质-二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与性质 课件 2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

第27章 二次函数 27.2 二次函数的图像与性质 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质 1 向左(若m＞0)或向右(若m＜0) 平移|m|个单位 向上(若h＞0)或向下(若h＜0) 平移|h|个单位 向左(若m＞0)或向右(若m＜0) 平移|m|个单位 向上(若h＞0)或向下(若h＜0) 平移|h|个单位 复习引入 复习引入 平移的方向由m、h的符号决定 平移的距离由m、h的绝对值决定 复习引入 直线x=2 （2，1） 上 二次函数 的图像的开口向____，对称轴是________，顶点是_________; 在对称轴左侧，y随着x的增大而_______，在对称轴右侧，y随着x的增大而________; 该二次函数当 x =______时，函数y取到最_____值为______． 填空 二次函数 的图像的开口向____，对称轴是________，顶点是_________; 在对称轴左侧，y随着x的增大而_______，在对称轴右侧，y随着x的增大而________; 该二次函数当 x =______时，函数y取到最_____值为______． 直线x=2 （2，1） 上 填空 复习引入 减小 增大 复习引入 二次函数 的图像的开口向____，对称轴是________，顶点是_________; 在对称轴左侧，y随着x的增大而_______，在对称轴右侧，y随着x的增大而________; 该二次函数当 x =______时，函数y取到最_____值为______． 直线x=2 （2，1） 上 填空 减小 增大 2 小 1 复习引入 如何确定二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点呢？ 二次函数y=a(x+m)2+h的图像与性质 对称轴 直线 x= -m 顶点坐标 （-m，h） 函数值 变化规律 当x<-m时，函数值y随自变量x的增大而减小； 当x>-m时，函数值y随自变量x的增大而增大； 当x=-m时，函数值y取到最小值，最小值为h a>0 a<0 当x<-m时，函数值y随自变量x的增大而增大； 当x>-m时，函数值y随自变量x的增大而减小； 当x=-m时，函数值y取到最大值，最大值为h 开口方向 开口向上 开口向下 新知讲授 函数 ，虽然知道a=1>0，可以确定图像开口向上，但无法直接得到对称轴和顶点. 我发现在之前问题中的函数 将它展开化简之后，恰好就是 可以利用上节课的知识来解决问题. 我们可以将 转化为 的形式，这样就可以得到对称轴和顶点了. 如何确定二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点？ 问题1 新知讲授 如何将 转化成 的形式？ …… 像这样给 加上22配成完全平方式 的过程，简称“配方”. 解方程： . 22 ___ ___ 22 . . 八年级 一元二次方程章节 新知讲授 如何将 转化成 的形式？ 配:加上并减去一次项系数一半的平方 理:整理成y=a(x+m)2+h的形式 22 配方 展开 22 问题 新知讲授 抛物线 的开口向上， 对称轴是直线x = 2， 顶点是（2,1）. 如何确定二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点？ 问题1 配:加上并减去一次项系数一半的平方 理:整理成y=a(x+m)2+h的形式 22 22 新知讲授 如何画出二次函数 的图像，图像的变化规律是什么？ 问题2 2 1 列表 描点 连线 1 0 3 0 0 3 4 3 …… …… 2 1 1 0 3 0 0 3 4 3 …… …… 新知讲授 如何画出二次函数 的图像，图像的变化规律是什么？ 问题2 列表 描点 连线 如何画出二次函数 的图像，图像的变化规律是什么？ 问题2 新知讲授 在对称轴左侧，图像下降； 在对称轴右侧，图像上升. 下降 上升 新知讲授 … 0 1 3 4 … … 3 0 0 3 … 2 1 当x<2时， 当x>2时， y增大 y减小 相应的函数值 y 减小. 随着自变量 x 的增大， x增大 x增大 最小值 数 形 相应的函数值 y 增大. 随着自变量 x 的增大， 下降 上升 最低点 在对称轴左侧，图像下降； 在对称轴右侧，图像上升. 2 12 12 提:当a≠1时，提二次项系数 配:加上并减去一次项系数一半的平方 理:整理成y=a(x+m)2+h的形式 2 如何确定二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点？ 问题3 新知讲授 抛物线 的开口向上， 对称轴是直线x = 1， 顶点是（1,1）. . 已知二次函数 （a、b、c都是常数，且a≠0 ）， 如何确定这个函数图像的对称轴和顶点，用常数a、b、c表示出来. 问题4 新知讲授 化归思想 配方 配方 配方 已知二次函数 （a、b、c都是常数，且a≠0 ）， 如何确定这个函数图像的对称轴和顶点，用常数a、b、c表示出来. 提 配 理 2 问题4 新知讲授 12 12 2 加上并减去一次项系数 一半的平方 . . 已知二次函数 （a、b、c都是常数，且a≠0 ）， 如何确定这个函数图像的对称轴和顶点，用常数a、b、c表示出来. 问题4 新知讲授 配方 抛物线 的 对称轴是直线 ， 顶点是 . ， 新知讲授 问题5 抛物线 能由抛物线 平移得到吗？ 平移的方向由 m 、 h 的符号决定 平移的距离由 m 、 h 的绝对值决定 向左(若 ＞0)或向右(若 ＜0)平移 个单位. 向上(若 ＞0)或向下(若 ＜0)平移 个单位. 你能归纳出抛物线 的性质吗？ . 归纳小结 抛物线 可由抛物线 平移得到， 对称轴是直线 ， 顶点是 . 你能总结出抛物线 的性质吗？ 归纳小结 a>0 a<0 对称轴 顶点 开口方向 图像 变化规律 函数值 变化规律 函数的 最值 开口向上 在对称轴左侧，图像下降； 在对称轴右侧，图像上升. 开口向下 在对称轴左侧，图像上升； 在对称轴右侧，图像下降. 直线 当 时，y随着x的增大而减小； 当 时，y随着x的增大而增大. 当 时，函数取到最小值为 直线 当 时，y随着x的增大而增大； 当 时，y随着x的增大而减小. 当 时，函数取到最大值为 图像特征 函数性质 ，抛物线的最低点 ，抛物线的最高点 例题讲解 例6 写出二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点以及图像的变化 规律.判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. 分析 二次函数y=ax2+bx+c 二次函数y=a(x+m)2+h 3 提 配 理 . 例题讲解 例6 写出二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点以及图像的变化 规律.判断此二次函数有 最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. … … … … 例题讲解 例6 写出二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点以及图像的变化 规律.判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. 因为a=2 ＜0，所以此二次函数图像的开口向下， 在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降. 由配方得 . 对称轴是直线 ，顶点是 . 当 时，二次函数 取到最大值，最大值为 . , 例题讲解 例6 写出二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点以及图像的变化 规律.判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. 在对称轴左侧，图像上升；在对称轴右侧，图像下降. 因为a=2 ＜0，所以此二次函数图像的开口向下, . 对称轴是直线 ，顶点是 . 函数 的表达式中，a=2，b=6，c=4. 方法2 当 时，二次函数 取到最大值，最大值为 . 例题讲解 例6 写出二次函数 图像的开口方向、对称轴、顶点以及图像的变化 规律.判断此二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. 方法1 方法2 课堂练习 练习1 写出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点. 判断这些二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. （1） ; （2） . （1） 9 9 . 课堂练习 练习1 写出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点. 判断这些二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. （1） ; （2） . 对称轴是直线 ，顶点是 . x=3 当x=3时，二次函数 取到最小值，最小值为12. 因为a=1>0，所以此二次函数图像的开口向上， （1）由配方得 . 课堂练习 （2） 练习1 写出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点. 判断这些二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. （2） . . 课堂练习 因为a=3＜0，所以此二次函数图像的开口向下， 对称轴是直线 ，顶点是 . 当 时，二次函数 取到最大值，最大值为 . 练习1 写出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点. 判断这些二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. （2） . （2）由配方得 . , 课堂练习 练习1 写出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点. 判断这些二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值. （2） . 因为a=3＜0，所以此二次函数图像的开口向下, 对称轴是直线 ，顶点是 . 当 时，二次函数 取到最大值，最大值为 . （2）函数 的表达式中，a=3，b=2，c=0. 方法2 . 课堂练习 已知抛物线 的对称轴是y轴, 其中m为常数． 求抛物线的顶点坐标. 对称轴是直线x=0 对称轴是y轴 练习2 直线 解得 抛物线 顶点坐标 分析 课堂小结 二次函数 的图像与性质 向左( 时)或向右( 时)平移 个单位长度 向上 ( 时)或向下( 时)平移 个单位长度 对称轴 顶点 开口方向 图像的 变化规律 图像特征 a>0 a<0 开口向上 在对称轴左侧，图像下降； 在对称轴右侧，图像上升. 开口向下 直线 直线 ，抛物线的最低点 ，抛物线的最高点 在对称轴左侧，图像上升； 在对称轴右侧，图像下降. 函数值 变化规律 函数的最值 函数性质 当 时，y随着x的增大而减小； 当 时，y随着x的增大而增大； 当 时，y随着x的增大而减小. 当 时，函数取到最大值为 当 时，y随着x的增大而增大. 当 时，函数取到最小值为 课堂小结 由特殊到一般 化归 思想 数形 结合 分类 讨论 结束语 用联系与发展的思维观念、特殊与一般的思维策略、转化与化归的数学思想，帮助我们提出问题、分析问题、解决问题. —— 乔治・波利亚 36 null 14304.0 null 11664.0 null 12576.0 null 3360.0 null 3312.0 null 8256.0 null 8256.0 $