27.3 确定二次函数的表达式（第2课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第27章 二次函数 27.3 确定二次函数的表达式 （第2课时）利用顶点或对称轴确定表达式 九年级上册　数学（沪教版·五四制） 知识讲授 学习目标 会选择 看已知的是顶点还是对称轴，选择合适设式。 会求解 把剩余点条件代入，求出尚未确定的系数。 会辨别 顶点在坐标轴上时，正确使用零坐标条件并完整分类。 知识讲授 同一函数可以有不同形式 一般式 适合直接代入三个普通点。 平方形式 把顶点与对称轴写在式中。 知识讲授 由一般式转为平方形式 通过配方，二次函数可以化为的形式， 配方只改变写法，不改变图像。 已知顶点时，可把顶点信息直接写入表达式。 知识讲授 平方形式中的图像信息 它的图像是抛物线，其对称轴是直线，顶点是，并且的符号决定了抛物线的开口方向，的绝对值决定了抛物线的开口大小． 顶点横坐标与互为相反数。 已知顶点确定，仍需条件求。 知识讲授 现在要确定哪些参数 为确定二次函数的表达式，就是要确定、、的值． 已知顶点后只剩待定。 只知对称轴时，通常还剩待定。 知识讲授 还需要补充条件 在已知顶点坐标或对称轴直线的情况下，通常需要补充适当的条件，组成关于、、的三元一次方程组，以此求得、、的值． 顶点之外的一个点可用于求。 已知对称轴后，代入另外的适当条件求。 知识讲授 按条件减少未知量 已知顶点 可设，再代入一个非顶点。 已知轴 可设，再用适当点条件求。 例题讲解 例 3 已知一个二次函数图像的顶点坐标为，且过点．求这个二次函数的表达式． 答：设；代入得。 解 顶点横坐标决定括号为。 顶点纵坐标决定平方外为。 方法：先固定顶点，再代入另一点。 注意：已知点必须带入完整坐标。 例题讲解 例 3 已知一个二次函数图像的顶点坐标为，且过点．求这个二次函数的表达式． -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 答：，所以。 解 由得。 在与处分别验得。 方法：平方形式体现顶点，一般式便于检查系数。 注意：展开时要乘平方展开后的每一项。 环节归纳 已知顶点：两种设式比较 直接用平方形式 （1）顶点给出与。 （2）只解一个关于的方程。 用一般式核验 （1）由轴应有。 （2）将顶点与已知点代入，也可求同一组系数。 例题讲解 例 4 已知二次函数的图像过点和点，对称轴是直线．求这个二次函数的表达式． 答：设；得，。 解 对称轴确定平方内为。 分别代入和。 方法：先固定轴的位置，保留两个未知量。 注意：对称轴不是顶点，不能擅自令。 例题讲解 例 4 已知二次函数的图像过点和点，对称轴是直线．求这个二次函数的表达式． -4 -3 -2 -1 1 -2 -1 1 2 3 4 5 答：；。 解 两式相减得，所以。 回代得。 方法：两式的系数相同，直接相减。 注意：代回两个点，并检查轴确为。 环节归纳 已知轴与两点：两种求法 保留顶点纵坐标 （1）设。 （2）两点给二元方程组，相减消。 转为一般式约束 （1）由轴得。 （2）由得，再代求。 例题讲解 例 5 已知二次函数图像的顶点在轴上．求这个二次函数的表达式． 答：顶点纵坐标为，因此。 解 配方得。 顶点在轴上，使用纵坐标等于零。 方法：先配方取得顶点坐标，再翻译轴上条件。 注意：在轴上不意味着横坐标为零。 例题讲解 例 5 已知二次函数图像的顶点在轴上．求这个二次函数的表达式． 答：或；或。 解 。 分别把和代回原表达式。 方法：分解因式求全体参数值，再逐个写出函数。 注意：不能只取而漏掉。 例题讲解 例 5 已知二次函数图像的顶点在轴上．求这个二次函数的表达式． -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 4 5 答：两个函数的顶点分别为与，都在轴上。 解 的顶点为。 的顶点为。 方法：把两个结果都写成平方形式验顶点。 注意：这两条不同曲线都满足原题条件。 例题讲解 探究　大致图像还缺什么条件 已知二次函数的大致图像如图所示，其中顶点是．请补充适当的条件并确定这个二次函数的表达式． 答：可补充一个不等于顶点的点的坐标，例如。 解 由顶点先设。 仅凭大致形状不能确定的准确数值。 方法：补充能产生新方程的点条件。 注意：这是示意图，不能量取未标明的坐标。 例题讲解 探究　补充条件后确定表达式 已知二次函数的大致图像如图所示，其中顶点是．请补充适当的条件并确定这个二次函数的表达式． 答：若补充，则，函数为。 解 将代入，得。 解得，再核对顶点。 方法：给出明确的补充条件，再完成一次求解。 注意：不同合理补充条件可能得到不同函数。 课堂练习 练习1 已知一个二次函数图像的顶点坐标为，且过点．求这个二次函数的表达式． 答：。 解 设，代点得。 解得。 方法：已知顶点直接确定平方的位置与外部常数。 注意：点纵坐标为，不能漏负号。 课堂练习 练习2 已知一个二次函数的图像过点和点，对称轴是直线．求这个二次函数的表达式． 答：。 解 设，得、。 相减得，所以。 方法：保留，用两个点方程消去它。 注意：代入时，。 课堂练习 练习3 已知二次函数，其图像的顶点在轴上，且过点．求这个二次函数的表达式． 答：顶点横坐标为零，得，所以。 解 顶点在轴上，意味着对称轴为。 由求。 方法：横坐标为零使一般式中的一次项系数为零。 注意：这次是轴，不是令顶点纵坐标为零。 课堂练习 练习3 已知二次函数，其图像的顶点在轴上，且过点．求这个二次函数的表达式． 答：，函数为。 解 代入，得。 代入得，故。 方法：先用轴条件求，再代点求。 注意：原式常数为，不是本身。 知识讲授 补充的条件必须有效 顶点重复给出 再代入同一个顶点只能得到恒等式，不能求。 对称点可能重复 已知轴后，关于轴对称的两点可能只给出同一个方程。 课堂小结 按图像条件 选择表达式 顶点已知 顶点为时设，代入一个非顶点即可求待定系数。 对称轴知 轴为时设，保留，用适当点条件组成方程组。 顶点在轴 顶点在轴上令纵坐标为零；在轴上令横坐标为零，不能把两个条件混用。 结果检查 参数方程的各解都要检查；把所得函数的轴、顶点和所给点逐项代回核对。 特别提醒：先辨认条件，再减少未知量；保留所有符合条件的解。 针对训练 训练1　选择：正确利用顶点 顶点为时，最适宜设（　）。 A．　B． C．　D． 答：B，其中。 解 平方项应在时等于零。 平方外常数为顶点纵坐标。 方法：让给定顶点代入后自动成立。 注意：顶点横坐标对应。 针对训练 训练2　填空：求剩余系数 由顶点和另一点分别求表达式。 （1） 顶点，经过。 （2） 顶点，经过。 解第（1）题 。 ，得。 解第（2）题 。 ，得。 方法：先算点到轴的水平距离再平方。 注意：距离为，平方为。 方法：代点求唯一未知。 注意：。 针对训练 训练3　判断：什么条件足够 （1）只知对称轴，就能确定顶点。 错 理由：顶点纵坐标尚未确定。 （2）已知顶点后，再重复代入顶点就能求。 错 理由：只得到恒等式，无法确定。 （3）顶点在轴上，则顶点横坐标为零。 对 理由：轴上所有点的横坐标均为零。 （4）顶点为的二次函数可经过。 错 理由：代入得，迫使。 方法：先数清还剩哪些未知量，再判断条件作用。 注意：所有推导仍须满足。 针对训练 训练4　读图：抓顶点与另一点 图像的顶点为，且过，求表达式。 -5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 6 答：。 解 设。 代入得，所以。 方法：读出顶点后，只需代入一个非顶点。 注意：不能把的纵坐标写成顶点纵坐标。 针对训练 训练5　已知轴：列式求解 二次函数的对称轴为，图像经过、。求表达式并画出图像。 答：。 解 设，得、。 相减得，回代得。 方法：轴为，可直接省去一次项。 注意：纵坐标还未知，不能令。 针对训练 训练5　已知轴：作图验算 二次函数的对称轴为，图像经过、。求表达式并画出图像。 -3 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 答：顶点，曲线经过给定两点且关于轴对称。 解 标顶点和已知点。 补出对称点、，平滑连线。 方法：轴已知时，用对称点扩充作图数据。 注意：给定两点不互为对称点，仍能提供两个条件。 针对训练 训练6　辨别：条件是否重复 已知对称轴，图像经过、，能否唯一确定二次函数？举例说明。 答：不能。例如和都符合。 解 设，两点都只给。 取不同非零，可得到不同。 方法：先看两个点条件能否产生不同方程。 注意：两点关于已知轴对称，不能当成两个独立条件。 针对训练 训练7　顶点在轴：求参数 函数的顶点在轴上，求及函数表达式。 答：；。 解 轴的横坐标为，应等于零。 得，代回常数项。 方法：在轴上先令顶点横坐标为零。 注意：求出后还要代回所有含的项。 针对训练 训练8　顶点在轴：完整分类 函数的顶点在轴上，求及表达式。 答：或；或。 解 配方得。 由得。 方法：顶点纵坐标为零产生关于参数的平方方程。 注意：开平方要保留正负两种可能。 针对训练 训练9　最值条件就是顶点信息 某二次函数在时取得最小值，图像经过。求表达式。 答：。 解 最小值及相应给出顶点。 代入得，所以。 方法：先把最值语言翻译为顶点坐标。 注意：求得，与最小值条件一致。 针对训练 训练10　参数：利用顶点展开 二次函数的对称轴为，顶点纵坐标为，求。 答：。 解 顶点，故。 展开得，逐项比较。 方法：已知与顶点时，直接写式再比较系数。 注意：展开后的常数为。 针对训练 训练10　参数：利用公式复核 二次函数的对称轴为，顶点纵坐标为，求。 答：。 解 由得。 顶点代入得，所以。 方法：先用轴公式求一次项系数，再代顶点。 注意：代入顶点需同时使用横、纵坐标。 针对训练 训练11　应用：最高点确定设式 一段抛物线形拱顶，取拱顶中心正下方地面为原点，轴水平向右、轴竖直向上，单位均为米。最高点为，经过，实际范围。求表达式及处的离地高度。 答：，。 解 最高点是顶点，设。 代入，得，所以。 方法：先利用中心原点与最高点简化设式。 注意：地面是，拱顶端点高度为米。 针对训练 训练11　应用：指定位置的高度 一段抛物线形拱顶，取拱顶中心正下方地面为原点，轴水平向右、轴竖直向上，单位均为米。最高点为，经过，实际范围。求表达式及处的离地高度。 -4 -3 -2 -1 1 2 3 1 2 3 4 5 6 答：处离地高度为米。 解 代入，得。 在实际范围内，计算有效。 方法：将水平位置代入函数，读取竖直高度。 注意：坐标值表示水平位置，不能直接当作高度。 针对训练 训练12　应用：由最低费用建模 某调节装置费用与级数满足二次函数关系，为至的整数。调至级时费用最低为元，调至级时费用为元。求费用模型及调至级的费用。 答：，其中为至的整数。 解 最低费用给出顶点，设。 代入得，所以。 方法：用最值信息直接确定顶点形式。 注意：级数取整数，费用单位为元。 针对训练 训练12　应用：利用对称节省计算 某调节装置费用与级数满足二次函数关系，为至的整数。调至级时费用最低为元，调至级时费用为元。求费用模型及调至级的费用。 答：调至级的费用为元。 解 级和级到级的距离均为。 或代入：。 方法：已知顶点后，等距级数对应相同费用。 注意：检查是允许的整数级数。 方法总结 选式求解与代回核验 按条件选择设式 （1）顶点已知：直接固定平方中心与外部常数。 （2）对称轴已知：固定平方中心，保留。 （3）顶点在轴上：把相应坐标设为零。 用另一形式检查 （1）展开为一般式，复核轴的位置。 （2）代回给定点，复核顶点及最值类型。 （3）参数多解逐个检查，实际模型核范围和单位。 $