27.4 二次函数与一元二次方程（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，涵盖抛物线与x轴交点个数和根的判别式关系、交点式求函数表达式及图像估算方程近似根等核心知识点。通过标枪飞行轨迹的实际问题导入，搭建二次函数与方程的桥梁，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以情境引入激发数学眼光，如标枪投掷问题引导学生从现实中发现数量关系；通过合作探究和典例分析培养数学思维，如例2用交点式求表达式的推理过程；用图像估算近似根体现数学语言的模型应用。学生能提升探究与建模能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

27.4 二次函数与一元二次方程 第二十七章 二次函数 沪教版九年级上册 学习目标 理解二次函数y=ax²+bx+c、一元二次方程之间的内在联系。掌握抛物线与 x 轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系； 一 能够利用交点式求二次函数表达式、利用二次函数图像估算一元二次方程近似根。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 二次函数 与一元二次方程的关系 从图像看方程，用方程解函数 已知标枪飞行轨迹 y = -0.02x² + 0.988x +1.6 ——如何求解标枪投掷距离？ 合作探究 1. 已知二次函数y=x²-4x+3, 自变量x 分别取何值时，相应的函 数值y 等于0和-1? 【分析】已知函数值y=t，相当于解一元二次方程x²-4x+3=t. 【详解】若y=0，则得到方程________________ 因式分解 __________________ (x-1)(x-3)=0 x²-4x+3=0 解之，得 __________________ =1,=3 若y=-1，则得到方程________________________ 因式分解 __________________ (x-2=0 x²-4x+3=-1即x²-4x+4=0 解之，得 __________________ x=2 如何用方程解函数 ，0） ，0） ，-1） 归纳总结 【1】已知函数值求自变量 一般地，已知二次函数y=ax²+bx+c 的函数值为t, 要求其自变量x的值， 可化为求解关于x 的一元二次方程______________________________ 如何用方程解函数 【2】如何求抛物线与x轴的交点坐标 求二次函数y=ax²+bx+c图像与x轴交点坐标，解关于x 的一元二次方程____________ 求出方程的根，即可求出抛物线与x轴交点的横坐标. ax²+bx+c=t, 即 ax²+bx+c-t=0 ax²+bx+c=0, 典例分析 例1 分别求下列二次函数的图像与x 轴交点的坐标： (1)y=2x²-5x-3; (2)y=-(x+1)² . (3)y=(x-1)(x+3); 解：(1) 由 y=0, 得一元二次方程2x²-5x-3=0, 解得 x=3或x 所以，二次函数y=2x²-5x-3 的图像与x 轴两个交点的坐标分别是_________________; (3) 由 y=0, 得一元二次方程(x-1)(x+3)=0, 解得 x=1或x=-3 , 所以，二次函数y=(x-1)(x+3) 的图像与x 轴两个交点的坐标分别是________________; (2) 由 y=0, 得一元二次方程-(x+1)²=0, 解得 x=-1, 所以，二次函数y=-(x+1)² 的图像与x 轴的交点的坐标是_____________. (3,0)和 (,0) (1,0)和 (-3,0) (-1,0) 抛物线与x轴的交点坐标 思考：已知二次函数的图像与x 轴两个交点(1,0)，(-3,0)能否逆推函数表达式？ 解决问题：已知标枪飞行轨迹 y = -0.02x² + 0.988x +1.6 ——如何求解标枪投掷距离？ 合作探究 用交点式求函数的表达式 解：令 y=0, 得一元二次方程-0.02x² + 0.988x +1.6=0, 解得 =-1.6（舍）,.所以，标枪投掷距离为50米。 y(m) x(m) 合作探究 思考：已知二次函数y=ax²+bx+c 的图像与x 轴两个交点的横坐标分别是1、-3,与y 轴交点的纵坐标，求这个二次函数的表达式。 【分析】本题相当于已知了一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根为=1,=-3 根据题意以 =1,=-3为根的一元二次方程可以是__________________ (x-1)(x+3)=0 把（0，）代入可求，得a=______________ 所以，这个二次函数的表达式是_________________________  y=(x-1)(x+3)即y= 用交点式求函数的表达式 于是，设二次函数的表达式为__________________ y=a(x-1)(x+3) a (a). 唯一 答案吗？ 合作探究 【思考】已知函数表达式可用解方程求图像与x 轴交点坐标； 反之，已知二次函数图像与x 轴交点坐标能否求函数解析式？ 用交点式求函数的表达式 如果知道了抛物线y=ax²+bx+c与x 轴两个交点的坐标（,0）,（,0），可设二次函数的表达式为y=________________ a()(). 再加上适当的条件求出a，我们就能确定相应的二次函数表达式. 典例分析 例2 已知二次函数图象与x轴的交点是（1，0）,（3，0）,与y轴交于点（0，3）． (1)求该抛物线的表达式； (2)判断点P（-1，8）是否在此抛物线上． 【详解】设二次函数的表达式为y=__________________ a(x-3)(x-1). 又因为过点(0,3)，可得方程________________________ a(0-1)(0-3)= 解之，得a=______________ 所以，这个二次函数的表达式是_________________________  y=(x-3)(x-1)即y= 1 用交点式求函数的表达式 巩固练习 1. 分别求下列二次函数的图像与 x 轴交点的坐标： (1)y=x²-5; (2)y=2x²-3x+1; (3)y=-x²+2x+3; (4)y=2x²-3x+4. 【答案】（1）（）（-） （2）（3，0）（） （3）（3，0）（-1） （4）抛物线与x轴没有交点 抛物线与x轴的交点坐标 巩固练习 2. 已知二次函数 y=ax²+bx+c 的图像与x 轴有A(-2,0) 、 B(4,0) 两个交点，与y 轴的交点是C(0,4). 求这个二次函数的表达式. 【答案】y=- 用交点式求函数的表达式 巩固练习 3. 已知抛物线y=-x²+bx+c 经过点(3,0)，(-1,0)． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)当时，求函数y的最大值并说明理由． 【答案】(1) y=- （2）（1，4）直线x=1 （3）∵a=1,抛物线开口向下，且所以y随x增大而减小，所以当x=2时，函数y 有最大值，最大值是3. 用交点式求函数的表达式 合作探究 抛物线与x轴交点的个数 分析：抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴交点的个数由相应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的个数决定的，一元二次方程根的判别式△=b²-4ac可以不解方程就能判定根的个数，因此也就能确定抛物线与x轴交点的个数。 思考：练习1中第（4）小题抛物线与x 轴没有交点，有没有办法不解方程就能直接判定抛物线与x 轴交点情况呢？ 例如：抛物线y=2x²-3x+4中，令y=0,得到一元二次方程0=2x²-3x+4， 因为∆=-23<0， 所以一元二次方程0=2x²-3x+4 _____________， 所以抛物线y=2x²-3x+4 与x 轴______________交点。 无实数根 没有 合作探究 抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴交点的个数由相应的一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式△=b²-4ac 确定： 抛物线与x  轴交点的个数，也可以确定相应的一元二次方程判别式的值的符号： (1)当△>0 时，抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴有2 个交点； (2)当△=0 时，抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴有1 个交点； (3)当△=0 时，抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴没有交点； (1)当抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴有两个交点时，△>0; (2)当抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴有且只有一个交点时，△=0; (3)当抛物线y=ax²+bx+c 与 x  轴没有交点时，△<0. 抛物线与x轴交点的个数 典例分析 例3 判断下列抛物线与x 轴交点的个数： (1)y=2x²+5x+4; (2)y=2x²-2x+3. 【详解】(1)对于方程2x²+5x+4=0,△=5²-4×2×4=-7<0. 所以，抛物线y=2x²+5x+4 与 x 轴没有交点. 【详解】(2)对于方程2x²-2x+3=0,△=(-2)²-4×2×3=0. 所以，抛物线y=2x²-2x+3 与 x 轴有且只有一个交点. 抛物线与x轴交点的个数 典例分析 例4 当实数m 分别满足什么条件时，抛物线y=(m+1)x²+4mx+ 4m-3 与 x 轴交点个数的情况如下： (1) 有两个交点? (2) 有且只有一个交点? (3) 没有交点? 【详解】由题意可知m+1≠0, 判别式△=(4m)²-4(m+1)(4m-3)=-4(m-3). (1)当△=-4(m-3)>0 且 m+1≠0, 即m<3 且 m≠-1时，这条抛物线与x 轴有两个交点. (2)当△=-4(m-3)=0且 m+1≠0, 即m=3 时，这条抛物线与x 轴有且只有一个交点. (3)当△=-4(m-3)<0且 m+1≠0, 即m>3 时，这条抛物线与x 轴没有交点. 抛物线与x轴交点的个数 巩固练习 1. 判断下列抛物线与x 轴交点的个数： (1) y=x²-2x-1; (2) y=x²-2x+1; (3) y=-x²-2x-2; (4) y=(x+3)²+1. (1)对于方程x²-2x-1=0,△=8>0，所以，抛物线y=x²-2x-1 与 x 轴有2个交点. (3)对于方程-x²-2x-2=0,△=-4<0，所以，抛物线y=-x²-2x-2 与 x 轴没有交点. 【详解】 (3)对于方程(x+3)²+1=0,△=-4<0，所以，抛物线y=(x+3)²+1 与 x 轴没有交点. (2)对于方程x²-2x+1=0,△=0，所以，抛物线y=x²-2x+1 与 x 轴有唯一交点. 抛物线与x轴交点的个数 巩固练习 2. 当实数k 分别满足什么条件时，抛物线y=kx²+2(k-1)x+k-1 与x 轴交点个数的情况如下： (1)有两个交点? (2)有且只有一个交点? (3)没有交点? 【详解】由题意可知k≠0, 判别式△=4(k-1)²-4k(k-1)=-4k+4. (1)当△=-4k+4>0 且k≠0, 即k<1 且 k≠0时，这条抛物线与x 轴有两个交点. (2)当△=-4k+4=0 且k≠0, 即k=1 时，这条抛物线与x 轴有且只有一个交点. (3)当△=-4k+4<0且 k≠0, 即k>1 时，这条抛物线与x 轴没有交点. 抛物线与x轴交点的个数 合作探究 【思考】利用方程可以函数，能否利用函数解方程呢？ 从图像看方程 前面我们借助一元二次方程的根来求二次函数图像与x 轴交点的坐标； 反之，我们也可以利用二次函数图像与x 轴交点的坐标来求一元二次方程的根. 但由于作图或者观察图像时往往存在误差，因此利用图像求得的根通常都是近似根. 典例分析 例5 利用二次函数的图像求方程2x²-2x-5=0 的正实数根 【详解】令y=2x²-2x-5，画出其图像，如图所示. 观察图像可以发现，抛物线y=2x²-2x-5   与 x 轴有一个交点的横坐标在2与3之间.所以2x²-2x-5=0有一个正实根2<x<3。 x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y -0.38 0.28 0.98 1.72 2.5 3.32 4.18 5.08 6.02 观察表格可以发现，因此，方程的正实数根在________之间，当x=______时，函数值更接近于0, 因此，满足精度要求的方程的正实数根近似为________. 分别计算当x=2.1,x=2.2, … ,x=2.9时的函数值y, 见下表： 从图像看方程 2.1与2.2 2.2 x≈2.2 (结果精确到0.1). 巩固练习 1. 小亮利用函数图象求方程x²+2x-2=0的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的有一个交点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x²+2x-2=0的实数根为________（结果保留小数点后一位） 【分析】易求函数y=x²+2x-2 的对称轴为x=-1, 抛物线与x轴有一个交点为（0.7，0），根据对称性另一个交点应为（-2.7，0）， 所以，方程x²+2x-2=0的实数根估计为x1=0.7和x2=-2.7 从图像看方程 巩固练习 2. 二次函数y=ax²+bx+c 自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程ax²+bx+c=0的根中较大的根的范围是（    ） 【答案】D x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 y -0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A. -1.5<x<-1 B. -1<x<-0.5 C. 1.5<x<2 D. 2<x<2.5 从图像看方程 感受中考 1.（2026·江苏南京·二模）函数（m为常数）y=x²-(m-1)x+ m 的图象与x轴公共点的个数是（     ） D A.0个 B.1个 C.2个 D.1或2个 感受中考 2.（2026·河南南阳·一模）已知二次函数y=ax²+bx+c的y与x的部分对应值如下表： 则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0 的解为_________________ x … -2 0 2 4 5 … y 7 -5 -9 -5 0 小结梳理 二次函数与一元二次方程 作业 习题27.4 第1~3题 必做题 习题27.4 第4~5题 选做题 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $