30.2三角形的内切圆（分层作业，8大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 30.2 三角形的内切圆 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 相关概念辨析 题型02 与内心有关的计算 题型03 作出三角形的内心 B组 能力进阶 题型01 与内心有关的证明 题型02 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型03 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型04 三角形内切圆与外接圆的综合 C组 思维拔高 题型 三角形的内切圆·创新性问题 相关概念辨析题型01 1．三角形的内心是（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 3．如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 5．如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　) A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心 6．如图，点O是的内心，，以为半径的分别交边于点D，E，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 与内心有关的计算题型02 1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　） A．125° B．115° C．100° D．130° 2．如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　  ） A．9 B．5 C． D．4 3．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（  ） A． B． C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等 4．如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．如图，是的内心，已知，则的度数是______． 7．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ___________． 8．如图，将矩形的边翻折到，使点D的对应点E在边上，再将边翻折到，且点A的对应点F为的内心，则 __________． 作出三角形的内心题型03 1．（24-25九年级上·河北·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 2．已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（    ） A．中心 B．内心 C．外心 D．重心 3．如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____． 4．如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 5．作出△ABC的外接圆和内切圆，不写作图过程，保留作图痕迹． 6．（24-25九年级上·福建莆田·月考）．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 7．（24-25九年级下·重庆·月考）学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）． 已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分． 求证：． 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ①________ 平分，， ②________ 在与中 ③________ 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________． 8．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 与内心有关的证明题型01 1．如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．） 2．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S（其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积），并给出了证明 例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a＝3，b＝4，c＝5 ∴p6 ∴S6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9 （1）用海伦公式求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆半径r． 3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D． (1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数； (2)求证：DE=DB． 4．如图，，分别与相切于点，，为的直径，交于点，交于点．求证： (1)． (2)点是的内心． 5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 6．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． (3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长． 7．如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．    (1)求证：是的切线； (2)求的直径； (3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　． 8．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”． (1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由： (2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）； (3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长． 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型02 1．（2025·浙江·模拟）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 2．（25-26九年级上·江苏·月考）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下： 甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为； 乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为； 丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为； 丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为； 则下列判断正确的是（　　） ①；②；③在，，，中，最小 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4．如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径_______． 5．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为______． 6．如图，在中，，，． (1)请画出的内切圆，圆心为O； (2)求的半径的长． 7．如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点，．若．求的面积． 8．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型03 1．（24-25下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 3．若四边形的对角线，相交于，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为，，，则的内切圆半径是（　　） A． B． C． D．以上答案均不正确 4．三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为，则这个三角形的面积为______． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 6．的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径． 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 8．在边长为1的正三角形内放入个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半径为最大． (1)当 (2)当，选择作图工具，作出一种符合情况的图形（保留痕迹） (3)当，求的长度．（可画示意图说明） 三角形内切圆与外接圆的综合题型04 1．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 2．（24-25九年级上·山西朔州·月考）如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为(     ) A．110° B．125° C．130° D．140° 4．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 5．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为______． 6．直角三角形的两条直角边长为和，则它的外接圆的半径________，内切圆半径________． 7．如图，已知中，，，点I是的内心，点 O为的外心，则的内心I与外心O的距离 ______ ． 8．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 三角形的内切圆·创新性问题题型 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）、两个建筑物，小明在河的对岸，计划测量河的宽度．他沿着河岸走到一地点，在此观测、两点时，测出张角为，请在图1中用圆规和无刻度直尺作出点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若时，，，求此时河的宽度． （3）当为时，小明发现河内部有一浮标，如图2，经测量，该浮标为内心，求证：． 2．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 3．如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图，在矩形中，，，为的中点，连接．在矩形外部找一点，使得，则线段长为___________；线段的最大值为___________． 5．如图，已知，线段，若点在上滑动，点随着线段在射线上滑动(，与不重合)，的内切圆分别与，，切于点，，． (1)在上述变化过程中，的周长，的半径，外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由． (2)当时，求的半径． (3)当的面积为，为，试求与之间的函数关系，并求出最大时直角边的长． 6．（25-26九年级·陕西·学情自测）提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 7．小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是______；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是_______．    8．（2026·湖南长沙·模拟）定义：我们把顶点在坐标原点的二次函数称作“标准二次函数”，点称为“准心”．已知二次函数经过向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到标准二次函数． (1)求的值； (2)过点作直线交函数于、两点，求证：以为直径的圆与直线相切； (3)过函数上点（其中），作以原点为圆心且过点的圆的两条切线，交直线于、两点，试求面积的最小值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 30.2 三角形的内切圆 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 相关概念辨析 题型02 与内心有关的计算 题型03 作出三角形的内心 B组 能力进阶 题型01 与内心有关的证明 题型02 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型03 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型04 三角形内切圆与外接圆的综合 C组 思维拔高 题型 三角形的内切圆·创新性问题 相关概念辨析题型01 1．三角形的内心是（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形的内心的定义解答即可． 【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点， 故选D． 【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 3．如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形内心的性质解答即可． 【详解】△ABC三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等，所以探照灯的位置是三条角平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，即三角形的三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等． 4．（25-26九年级上·浙江金华·月考）下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义及其性质，根据三角形内心的定义及其性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、三角形的内心是三角形两内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意； B、三角形的内心到三角形三个顶点的距离不一定相等，故原说法错误，符合题意； C、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故原说法正确，不符合题意； D、三角形的内心是三角形内切圆的圆心，故原说法正确，不符合题意； 故选：B． 5．如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　) A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心 【答案】B 【详解】解：由图可得：OA=OB=OC=， 所以点O在△ABC的外心上， 故选B． 6．如图，点O是的内心，，以为半径的分别交边于点D，E，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用内心的性质求得，再利用弦、弦心距的关系即可判断． 【详解】解：作，，，垂足分别为F，G，H，    ∵点O是△ABC的内心， ∴点O是三角形三个角的平分线的交点， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了弦、弦心距的关系以及三角形内心的性质．掌握“在同圆或等圆中，弦相等，弦心距也相等；反之，弦心距相等，弦也相等”是解题的关键． 7．如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内心及角平分线的性质定理，熟练掌握三角形的内心是解题的关键；设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，然后可列方程组进行求解 【详解】解：设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，如图所示： 于是依题意有： ， 解得，即P为的内心， 故选：A． 8．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)B (3) 证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）略 与内心有关的计算题型02 1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　） A．125° B．115° C．100° D．130° 【答案】A 【分析】利用三角形内心性质得到∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝∠ACB，则根据三角形内角和得到∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠A），然后利用三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠A，再把∠A＝70°代入计算即可． 【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义：三角形的内心是角平分线的交点和内心的性质：三角形内角∠BOC＝90°+∠A. 2．如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　  ） A．9 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：D． 3．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（  ） A． B． C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】根据是折痕，可知平分，平分，点为的内接圆的圆心，由此即可求解． 【详解】解：∵是折痕， ∴平分，平分，点为的内接圆的圆心，如图所示， 于，于，于， 选项， 的度数无法确定，与的数量关系也不确定，故选项不符合题意； 选项， 的长度不确定，的数量关系也不确定，故选项不符合题意； 选项，根据角平分的性质可得，，即点到三边的距离相等，故选项符合题意； 选项， ，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形与圆的知识的综合，理解并掌握角平分线的性质，内切圆的知识是解题的关键． 4．如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接、，如图： ， ， 是的内切圆，与、分别相切于点、， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 5．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵内切圆分别于、、相切于点、、， ∴， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．如图，是的内心，已知，则的度数是______． 【答案】 【分析】根据可得，根据是的内心即可得到，最后根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和公式，角平分线性质及三角形内心，解题的关键是掌握三角形内心是三角形三个内角角平分线交点及整体代换思想． 7．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ___________． 【答案】## 【详解】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识． 【解答】解：在中， ∵， ，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为． 故答案为：． 8．如图，将矩形的边翻折到，使点D的对应点E在边上，再将边翻折到，且点A的对应点F为的内心，则 __________． 【答案】4 【分析】设交于点，作于点，作于点，根据平行线的判定和性质得出，根据折叠得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，根据三角形内心的定义得出，，根据矩形的性质得出，，求得，，等量代换得出，结合平行线的性质得出，根据等腰直角三角形的定义得出，根据等边对等角得出，推得，，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等得出，结合三角形的外角性质得出，根据正切的定义的得出，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设交于点，作于点，作于点，则，如图： ∴， ∴， 根据折叠可得， ∵，， ∴，， ∵点为的内心， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内心的定义，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正切的定义等．正确地作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 作出三角形的内心题型03 1．（24-25九年级上·河北·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本作图、三角形内心：三角形三条内角平分线的交点，根据内心的定义判断即可． 【详解】A、一条是内角平分线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； B、两条均为内角平分线，根据三角形内心是角平分线的交点，可以利用直尺成功找到三角形内心，选项符合题意； C、两条线均为边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； D、一条是边的高线，一条是边的垂直平分线，故不能找到内心，选项不符合题意； 故选：B． 2．已知：如图1，在△ABC中，AB=AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（    ） A．中心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】C 【分析】根据三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．即可判断． 【详解】解：由作图过程可知：AD是∠BAC的平分线， ∵AB=AC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴点O是等腰三角形AB和BC的垂直平分线的交点，是△ABC的外心． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，等腰三角形的性质，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 3．如图，以的斜边为直径作，为的内心，点为上一个动点，为的中点，若，，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内切圆和外接圆，连接，，，取中点，连接，过作于点，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，最大值为，然后由勾股定理求出的值即可，解题的关键是熟练掌握切线长定理，三角形中位线性质定理和勾股定理的应用． 【详解】解：如图，连接，，，取中点，连接，过作于点， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵为的中点， ∴， 则点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点三点共线时，最大，为的值， ∵为的内心，过作于点，于点， ∴四边形为正方形， 由直角三角形的内切圆半径为，即， ∴， 取的中点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴最大值为， 故答案为：． 4．如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点M即所求： 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】略 5．作出△ABC的外接圆和内切圆，不写作图过程，保留作图痕迹． 【答案】作图见解析 【分析】作∠BAC和∠ACB的平分线交于点I，再过点I作IE⊥AB于点E，然后以I为圆心，IE长为半径作圆I即为所求；作AC和BC的垂直平分线交于点O，连接OB，再以O为圆心，OB长为半径作圆O即为所求． 【详解】解∶如图，⊙O，⊙I即为所求． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，三角形的外接圆，内切圆等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 6．（24-25九年级上·福建莆田·月考）．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【答案】 （1）如图所示． （2）2 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， 对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； 对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示， ∵的内切圆与分别相切与点D，E，F， ∴． ∵， ∴， ∴． 则， ∴， 则， 即， 解得． 7．（24-25九年级下·重庆·月考）学习了角平分线后，小高进行了拓展性探究．她发现，三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，其解决思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的平分线，与的平分线交于点，连接（只保留作图痕迹）． 已知：如图，在中，点，分别在，的延长线上，平分． 求证：． 证明：过点作于点，于点，于点（注：无需在答题卡上作图） 平分，， ①________ 平分，， ②________ 在与中 ③________ 请你依照题意完成下面命题： 小高通过向老师请教后知晓三角形的一个内角的角平分线与其他两个内角的外角角平分线交于一点，交点叫做旁心，他又回顾总结了三角形中一些重要线段的交点，三角形三个内角的角平分线交于一点，交点叫做④________；三角形三条边的中垂线交于一点，交点叫做⑤________；三角形三条边上的中线交于一点，交点叫做⑥________． 【答案】 如图，即为所求； ①；②；③；④三角形的内；⑤三角形的外心；⑥三角形的重心 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内心，外心，重心的概念，利用利用尺规作图即可；再根据角平分线定义和角度的计算，将过程补充完整；最后利用三角形相关概念填空即可，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】略 8．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在中，． (1)尺规作图：作的内切圆，并分别标出和、、相切的切点；（要求：保留作图痕迹，不写做法，不需证明） (2)连接、，四边形是正方形吗？为什么？ (3)若，，求的半径的长． 【答案】(1) 如图所示，为所求： (2) 四边形是正方形，理由如下： 连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (3)2 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心O，然后过点O作边的垂线交于点F，确定半径，继而可求得的 内切圆； （2）连接，根据切线的性质得到，求得，得到四边形 是矩形，根据角平分线的性质得到，求得，得到四边形是正方形； （3）根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可 得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去）， 即的半径r的长为2． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，作图一复杂作图,勾股定理，切线的性质，正方形的判定，关键是掌握 三角形的内心是三角形角平分线的交点． 与内心有关的证明题型01 1．如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．） 【答案】 如图所示即为所求作： 【分析】本题考查了尺规作图，作圆内接三角形，作角平分线．要使用料的面积最大，所以要与三个边相切即可，分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心． 【详解】解：分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心，作于点，以为圆心，为半径作． 与三角形三边都相切时圆的半径最大，故此时圆的面积最大． 2．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S（其中a，b，c是三角形的三边长，p，S为三角形的面积），并给出了证明 例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a＝3，b＝4，c＝5 ∴p6 ∴S6 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9 （1）用海伦公式求△ABC的面积； （2）求△ABC的内切圆半径r． 【答案】（1）10；（2）r． 【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S即可求得S的值； （2）根据公式Sr（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值． 【详解】解：（1）∵BC＝5，AC＝6，AB＝9， ∴p10， ∴S10； 故△ABC的面积10； （2）∵Sr（AC+BC+AB）， ∴10r（5+6+9）， 解得：r， 故△ABC的内切圆半径r． 【点睛】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积与内切圆半径间的公式是解题的关键． 3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D． (1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数； (2)求证：DE=DB． 【答案】（1）35°； （2）证明：∵E是内心， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD． ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CBD=∠BAD， ∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE， ∴∠DBE=∠BED， ∴DE=DB. 【分析】（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°； (2) 由点E是△ABC的内心，可得E点为△ABC角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB. 【详解】（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°， ∴∠CAD=， ∵， ∴∠CBD=∠CAD=35°； （2）略 【点睛】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识． 此题综合性较强, 注意数形结合思想的应用. 4．如图，，分别与相切于点，，为的直径，交于点，交于点．求证： (1)． (2)点是的内心． 【答案】(1)证明：，是的切线， ，， ， ． 为的直径， ， ， ． (2)证明：如图，连接． 是的切线， ， ． ， ． ， ， ， 平分． ，是的切线， 平分， 是的三条角平分线的交点， ∴点是的内心． 【分析】（1）根据切线长定理求，再利用等腰三角形三线合一的性质证明，进一步利用直径所对圆周角是，证明最后推出； （2）先连接，只要证明平分平分就能证明点是的内心． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1) ①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【详解】（1）略 （2）解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． (3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴， ∴直线是的切线； (2) (3) 【分析】（）连接，由是的中点，可推导出垂直平分，进而得到，由得到，又根据三角形外角性质可得，结合平分即可得到，即可求证； （）由垂直平分得到，，利用勾股定理求出，得到的长，再利用勾股定理即可求出的长； （）连接，由点为的内心，得到，，进而得到，，利用角的关系可得到，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，线段垂直平分线的判定和性质，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键． 7．如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．    (1)求证：是的切线； (2)求的直径； (3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　． 【答案】(1) 证明：连接，，   是圆的直径， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点在圆上， 是的切线； (2)6 (3) 【分析】（1）分别求出，，即可得，从而证明是的切线； （2）由（1）可知，，则，即可求圆的直径是6； （3）设的内切圆圆心为，连接，，，根据内心的性质可得，因此可知点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、，再由，可知点在圆上，连接，可得是等边三角形，则，当点与点重合时，，所以内心的运动路线长． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， ， ， ， ，， ， 圆的直径是6； （3）设的内切圆圆心为，连接，，，   ， ， 是的平分线，是的平分线， ， ， 由（2）可知，， 点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上， 作的外接圆，连接、， ， ， ， 点在圆上， 连接， ， ， 是等边三角形， ， 当点与点重合时，， 内心的运动路线长， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，切线的判定及性质，三角形内切圆的性质，四点共圆的判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆的弧长公式是解题的关键． 8．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”． (1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由： (2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）； (3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长． 【答案】(1)反比例函数是上的“民主函数”， 当时，则：， ∵，在第一象限内随的增大而减小， ∴时，， ∴， ∴反比例函数是上的“民主函数”； (2)或 (3) 【分析】（1）根据“民主函数”的定义进行判断即可； （2）根据“民主函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可； （3）由，，得，则抛物线在上是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，从而解决问题． 【详解】（1）略 （2）由题意，得：当时，， ∵， 当时，随着的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴，解得：， 即：； 当时，随着的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴，解得：， 即：； 综上：或； （3）∵抛物线的顶点式为，顶点坐标为， ，， ， 抛物线在上是递增的， 当时，取最小值， ，解得，， 抛物线的函数表达式为， 抛物线与直线相交于、两点，设，，    假设点在点的左侧，即， ，解得，，， 在中，，，， ，，， 外心在线段的垂直平分线上，设，则， ，解得，， ， 在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得， ， ∵是等腰三角形，轴为的角平分线， 内心在轴上， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键． 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型02 1．（2025·浙江·模拟）如图，在中，，是的内切圆，若，，则图中的面积为（   ） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【答案】D 【分析】本题考查与圆内切三角形．熟练掌握圆内切三角形性质，切线性质，切线长定理，正方形判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 设的半径为r，分别切的三边于D、E、F，连接，证明四边形是正方形，得，得，，由，得，解得，即得． 【详解】解：设分别切的三边于D、E、F，半径为r，连接， 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏·月考）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N， 在中，，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵，即， ∴ ∴． 故选：B． 3．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），使得阴影面积尽可能大，他们的具体裁法如下： 甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为； 乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为； 丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰的直角边上，面积记为； 丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为； 则下列判断正确的是（　　） ①；②；③在，，，中，最小 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中；设图2中正方形的边长为x,根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知；在图3中，设半圆的半径为r,根据切线长定理可求得；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得，；根据以上计算的值进行比较即可判断． 【详解】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，； 图2中，设正方形的边长为x，则，，； 图3中，设半圆的半径为r，则，，； 图4中，设三角形的内切圆半径为R，则，解得：，； 根据以上计算的值进行比较，，在，，，中，最小，所以正确的是②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广． 4．如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 、与分别相切于点、， ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心． 5．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆的性质． 设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，根据已知条件得，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于r的一元二次方程即可． 【详解】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接、， ， 则四边形为正方形， 设直角三角形内切圆的半径为r， ， ， ， ， ， 而， ①， 小正方形和大正方形的面积分别为49和289， ，， ②，负值舍去， 把代入①得，③， 把③代入②中，得： ， ， 负值舍去， 直角三角形内切圆的半径为3， 故答案为： 6．如图，在中，，，． (1)请画出的内切圆，圆心为O； (2)求的半径的长． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】（1）内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，只需要作出两个角的平分线，其交点即为圆心，再以圆心到一条边的距离为半径画圆即可． （2）设的半径为，则的面积可表示为，利用勾股定理求出的值，再利用三角形的面积公式求出的面积，代入计算即可． 【详解】（1） 略 （2）解：设的半径为， ∵在中，，，， ， ∵的面积为， ， 即， 解得． 的半径为． 7．如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点，．若．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为 在四边形中，， 四边形为矩形． 又因为， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理易知：，， ， 在中，， ． 整理，得：， 解得， ． ． 8．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1) 解： ， 又的周长的一半， 的内切圆的半径． (2)1 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键． （1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径； （2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接和， 在中，， ， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径． ； 又为的内切圆， ，， ， 四边形是正方形， ． 故答案为：1． 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系题型03 1．（24-25下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 3．若四边形的对角线，相交于，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为，，，则的内切圆半径是（　　） A． B． C． D．以上答案均不正确 【答案】A 【分析】设的内切圆半径为，，，，的周长为L，分别表示出四个三角形的面积，再根据由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得，进而可得，由此列出方程，即可解出． 【详解】解：设的内切圆半径为，，，，的周长为L， 如图，是的内切圆，切点分别为，，，则， 由切线长定理可知：，，，， ，，，，，， ∴， 同理：，，，    由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得：， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角的内切圆与内心性质、等高三角形面积之比等于对应的底之比的应用．知道三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半、等高三角形面积之比等于对应的底之比是解答本题的关键． 4．三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为，则这个三角形的面积为______． 【答案】10 【分析】根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：三角形的周长为，三角形的内切圆的半径为， 三角形的面积， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形周长、面积与内切圆半径的关系，如果三角形三边长分别为、、，内切圆半径为，则三角形的面积． 5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 6．的面积为，周长为．求该三角形的内切圆的半径． 【答案】 【分析】通过面积法推导得到三角形面积、周长与内切圆半径的关系，代入已知条件即可计算出内切圆半径． 【详解】解：如图：设内切圆的半径为， 连接，将分为三个小三角形，三个小三角形的高都等于内切圆半径r， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即． 答：该三角形的内切圆半径为． 7．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)如图即为所求． (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆； （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 8．在边长为1的正三角形内放入个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半径为最大． (1)当 (2)当，选择作图工具，作出一种符合情况的图形（保留痕迹） (3)当，求的长度．（可画示意图说明） 【答案】(1) (2)如图， (3)的长度为 【分析】（1）根据等边三角形的内切圆半径最大，利用面积法求解即可得答案； （2）如图，根据等边三角形的性质、内切圆的定义、角平分线的性质作图即可； （3）先求出共有层，最后一层有个圆，利用梯形和三角形面积公式，列方程求出值即可． 【详解】（1）解：如图，为等边三角形内切圆圆心，切点为、、， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：作、、的平分线、、，作的角平分线交于，以为圆心，为半径画圆，得；同理可得，，以为圆心为半径画弧，交、于、，以、，为圆心，为半径画圆，得，，同理可得，即为所求． （3）解：如图所示：设共有层， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴共有层，在后一层为个圆， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的长度为． 【点睛】本题考查作角平分线、内切圆的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、解一元二次方程及分母有理化，熟练掌握相关性质及运算方法是解题关键． 三角形内切圆与外接圆的综合题型04 1．若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比． 由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1． 故选D． 2．（24-25九年级上·山西朔州·月考）如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为(     ) A．110° B．125° C．130° D．140° 【答案】B 【详解】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°， ∴∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=110°， ∵点I为△ABC的内心， ∴∠IBC+∠ICB=55°， ∴∠BIC=125°． 故选B. 4．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图，锐角内接于，其中，M为锐角的内心，连并延长与相交于点D，若，则锐角的内切圆半径为（    ）（参考数据：，，结果保留2位小数） A．0.65 B．0.66 C．0.67 D．0.68 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与外接圆的综合，涉及垂径定理，切线的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为，由内切圆可得点到三边距离为，，，是的角平分线，先证明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，，连接交于，过作于，设锐角的内切圆半径为， ∵M为锐角的内心， ∴点到三边距离为，，，是的角平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴中，，， 中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴的外心与内心之间的距离， 故答案为：． 6．直角三角形的两条直角边长为和，则它的外接圆的半径________，内切圆半径________． 【答案】 2.5 1 【分析】用勾股定理求出斜边.利用直角三角形的斜边是外接圆直径，它的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半可得到其外接圆半径和内切圆半径. 【详解】直角三角形的两条直角边长为和，则其斜边为， 所以它的外接圆半径，内切圆半径. 故答案为：（1）；（2）. 【点睛】注意：直角三角形外接圆半径是其斜边的一半，内切圆半径是两直角边的和与斜边的差的一半. 7．如图，已知中，，，点I是的内心，点 O为的外心，则的内心I与外心O的距离 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查外心内心定义性质，勾股定理，等腰三角形性质等．根据题意可知内心为三角形角平分线交点，外心为三角形三边垂直平分线交点，作出图形，后连接，利用等腰三角形性质得到，再利用勾股定理求出外接圆半径，再利用等面积法计算的长，继而求出本题答案． 【详解】解：∵外心是三边垂直平分线交点，内心是三角形三个内角角平分线交点，作图如下，再依次连接， ∵是等腰三角形，点I是的内心，点 O为的外心， ∴在同一条直线上，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴内心I与外心O的距离：， 故答案为：． 8．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 【答案】 DB＝DI， 理由如下：连接BI， 由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC， ∵I是△ABC的内心， ∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD， 由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴DB＝DI． 【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可． 【详解】略 【点睛】此题考查的是三角形的内接圆的性质、圆周角定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握三角形的内心是三个角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等和等角对等边是解决此题的关键． 三角形的内切圆·创新性问题题型 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）、两个建筑物，小明在河的对岸，计划测量河的宽度．他沿着河岸走到一地点，在此观测、两点时，测出张角为，请在图1中用圆规和无刻度直尺作出点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若时，，，求此时河的宽度． （3）当为时，小明发现河内部有一浮标，如图2，经测量，该浮标为内心，求证：． 【答案】 （1）如图所示，点即为所求； （2）； （3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∵为内心，设的内接圆半径为， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即 过点作，交的延长线于点， ∵为内心， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形的内心的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）作线段的中点，以为直径，为圆心作，交直线与点，则； （2）设，根据勾股定理得出，建立方程，解方程，即可求解． （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是正方形，得出，过点作，交的延长线于点，为内心，得出，根据，即可得证． 【详解】（1）略 （2）如图， 设， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得：（负值舍去） ∴， （3）略 2．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 3．如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先，判断最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径，再由I为的内心，均为的角平分线，①设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，然后，由勾股定理得，可求得的长，接着，由角平分线的性质得，再由，得，最后，分别求得的长，再分别代入计算即可；②过点I作于H，由角平分线的性质得，再由，得，最后，将的值分别代入计算即可；③由①的结论对应的比值及对应求得的的长，分别代入对应数据计算即可． 【详解】解：∵等腰的底边长为，， ∴，， ∵包装盒的最小半径为，直径为，且， ∴最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径． ∵I为的内心， ∴均为的角平分线， ①如图1，设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为， ∴， ∵，， ∴点O在线段上， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得或， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴若的平分线交边于点E，则的值可能为或，推断①正确； ②如图2，过点I作于H， ∵均为的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 内心I将高线分成的两段比例的值可能为或，推断②正确； ③由①得当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴线段的长度可能为或，推断③正确； 综上，正确推断的个数为3． 4．如图，在矩形中，，，为的中点，连接．在矩形外部找一点，使得，则线段长为___________；线段的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据题意利用勾股定理即可求出的长；利用外接圆、中位线以及勾股定理求出最大值即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 如图， 以为中心为圆心，为半径画圆， 在矩形中， ∵， ∴所画圆为外接圆， 弦右侧画弧上任意一点E与构成，使得四边形是圆内接四边形， ∴， 连接并延长与圆的交点即为的最长距离， 作于点H， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴PH=1/2CP=4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线、外接圆以及勾股定理等知识点． 5．如图，已知，线段，若点在上滑动，点随着线段在射线上滑动(，与不重合)，的内切圆分别与，，切于点，，． (1)在上述变化过程中，的周长，的半径，外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由． (2)当时，求的半径． (3)当的面积为，为，试求与之间的函数关系，并求出最大时直角边的长． 【答案】(1) 解：不会发生变化的是的外接圆半径，理由如下： ∵， ∴是的外接圆的直径， ∵的长不变， ∴的外接圆半径不变； (2) (3)， 【分析】（1）根据题意可知是的外接圆的直径，的长不变，即的外接圆半径不变； （2）设的半径为，连接、，则四边形是正方形，根据切线长定理，可求得的值； （3）设，，可得出，即，再由，则，然后结合二次函数的图像与性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）设的半径为，与相切于点，，，连接，，如下图， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为点，，， ∴，， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得， 即， 解得（不符合题意），； （3）设，， ∵与三边相切于点，，， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， 则， ∴，负值已舍去 ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、三角形内切圆、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、二次函数综合应用等知识，综合运用相关知识是解题关键． 6．（25-26九年级·陕西·学情自测）提出问题以及解决问题： (1)问题提出 如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ． (2)问题解决 小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为 请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解； （2）参照（1）中思路可得，所以要使的周长最小，则求最小值即可，由，识别定角定高模型，进而作的外接圆求解即可． 【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为O，过O分别作的垂线段，垂足分别为D、E、F，连接，则， ， 设，则，， 由内切圆可得，， ，， ， ， 解得， ，即斜边长为， 故答案为：； （2）解：由题意可知大与相切，如图，过O作的垂线段，垂足分别为M、N、P，连接， 大的直径为， ， ， ，， ， ，， ， 要使的周长最小，则求最小值即可， 如图，作的外接圆，连接，过Q作于点H， ， ， 设，则，， ， ， ， ，即当时，有最小值， 此时， 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、三角形的外接圆、定角定高模型等内容，最后一问对定角定高模型的掌握是解题的关键． 7．小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点，，，在同一条直线上，且，四边形和四边形的面积之差为，则的长是______；连结，若是的内切圆，则圆心到的距离是_______．    【答案】 【分析】设，表示出相关线段的长，根据四边形和四边形的面积之差，得到，求出值即可；连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，证明为直角三角形，求出内切圆半径，再根据切线长定理得到，从而证明，求出，从而得到即可． 【详解】解：， 设，则， ，， 与为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 连结，连接并延长交于点，设圆与的切点为，连接，连接，作，垂足为，   等边的边长为，为中点， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，为直角三角形， 内切圆半径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 圆心到的距离为， 故答案为：，． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，切线长定理，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（2026·湖南长沙·模拟）定义：我们把顶点在坐标原点的二次函数称作“标准二次函数”，点称为“准心”．已知二次函数经过向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到标准二次函数． (1)求的值； (2)过点作直线交函数于、两点，求证：以为直径的圆与直线相切； (3)过函数上点（其中），作以原点为圆心且过点的圆的两条切线，交直线于、两点，试求面积的最小值． 【答案】(1) (2)由（1）可知函数的解析式为：，则， 设直线： 联立， 消去可得：，， 则，， ∴ 过点作垂直直线于点， ∵ 则 ∴， 即以为直径的圆与直线相切； (3) 【分析】（1）先将解析式化为顶点式，根据二次函数的平移规律，得出，，即可求解； （2）联立，得出，，勾股定理求得，进而证明，即可得证； （3）设与圆相切于点，与圆相切于点，根据切线长定理得出，，，进而表示出的周长为，则，设得出，进而得出，令，得出，根据得出面积最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 经过向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到标准二次函数 ∴，， 故． （2）略 （3）设与圆相切于点，与圆相切于点， 与圆相切于点，由切线长相等可得：，，， ∵以原点为圆心且过点的圆，则圆的半径为 ∵是的切线 ∴，连接， 在中， 周长为， ， 设，由题意，（在轴左侧时，由对称性可知三角形面积相同）， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∵ ∴， ∴， 当且仅当，即时，面积最小值为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $