第02讲 集合间的基本关系 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第02讲 集合间的基本关系 模块一 子集、真子集、空集（重点） 1 课后作业 附解析 8 模块三 子集个数公式（必背） 7 模块二 集合与集合相等 5 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第02讲 集合间的基本关系 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 搞懂子集、真子集、集合相等、空集这四个核心概念。 1. 分清 和 的区别，这是本课最大的易错点！ 1. 会画 Venn 图，会求有限集合的子集个数。 模块一 子集、真子集、空集 知 识 点 睛 1. 子集 (Subset) · 文字语言：一般地，对于两个集合 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集。 · 符号语言：记作 （或 ），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 · 图形语言 (Venn图)： · 重要性质： ①任何一个集合是它本身的子集： 。 ②传递性：若 且 ，则 。 2. 真子集 (Proper Subset) · 概念：如果集合 ，但存在元素 且 （即 中至少有一个元素不在 中），就称 是 的真子集。 · 符号：记作 （或）。 · 性质：空集 是任何非空集合的真子集。 3. 空集 ( ) · 概念：不含任何元素的集合叫做空集，记为 。 · 核心规定：空集是任何集合的子集（即 恒成立）。 · 易错辨析： ① 与 ： 是含有一个元素 的集合， 。 ② 和 ，两个写法都对，因为前者是把空集作为元素看待，后者是把空集当成集合来看。 产生空集的常见情况： ①方程无解：； 时，△＜0; ②范围不可取：. 【基础过关】 （一）概念辨析：用 填空 1. ____ 1. ____ 1. ____ 1. ____ 1. ____ 【答案】∈， (或 )，=， (或 )， (或 ) 【解析】 1. 。解析： 是集合 中的元素，元素与集合之间用“属于”。 2. (或 )。解析： 是任何集合的子集，且 中有元素 ，故为真子集。 3. 。解析：根据集合元素的无序性， 与 元素完全相同，故相等。 4. (或 )。解析： 中的元素都在 中，且后者有元素 不在前者中，故为真子集。 5. (或 )。解析：空集是任何非空集合的真子集。 （二）判断正误（对的打√，错的打×） 1. 空集没有子集。 ( ) 1. 任何一个集合至少有两个子集。 ( ) 1. 若 且 ，则 。 ( ) 1. 。 ( ) 【答案】×，×，√，√ 【解析】 1. ×。解析：空集是它本身的子集，即 ，所以空集有且只有一个子集（它本身）。 2. ×。解析：空集只有一个子集（它本身），不满足“至少两个”。非空集合才至少有两个子集（它本身和空集）。 3. √。解析：这是集合相等的定义与判定定理。 4. √。解析：解方程 得 ，故左边集合为 ，与右边集合元素完全相同，故相等。 （三）解答题 1. 已知集合 ，请写出集合 的所有子集，并指出其中哪些是真子集。 1. 已知集合 ，集合 ，判断 与 的关系。 【答案】见解析 【解析】1. 集合 所有子集为： 。 其中真子集为除了 以外的所有子集（共 个）。 2.解方程 得 ，所以 。 因为 和 的元素完全相同，所以 。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 设，集合，则______ 【答案】0 【解析】由可知，又，故. 故答案为：0 【练习1】 （单选）以下六个关系式：，，，， ，是空集，错误的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确， 故选：D （空集优先讨论！） 【例2】 （单选）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到，解得. 综上，或，即m的取值范围是.   故选：D. 【练习2】 已知，若，求a的取值范围． 【答案】或. 【解析】①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； ③若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得； 综上所述，或. 模块二 集合与集合相等 知 识 点 睛 · 概念：如果集合 的任何一个元素都是 的元素，同时 的任何一个元素都是 的元素，则称 与 相等。 · 判定方法：若 且 ，则 。（这常用于证明两个集合相等） 热 点 题 型 归 纳 【例3】（单选）若集合，则之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】∵ ， 且为奇数，为整数， ∴即，A、D错误，C正确； 又∵， 且均为整数， ∴，B正确；故选：BC. 【练习3】 （单选）已知集合，则（ ） A. B. C. 没有关系 D. 【答案】D 【解析】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴，故选：D． 【练习4】 已知集合及非空集合. 若，求的值。 【答案】， 【详解】，且C为非空集合，， 即，则只有一个根为， 解得，； 模块三 子集的个数公式 知 识 点 睛 如果一个集合 中含有 个元素，则： · 子集个数为： 个 · 真子集个数为： 个 · 非空真子集个数为： 个 解题时重点搞清楚元素的个数代入相应公式即可！ 【小练一下】 1. 已知集合，，则集合的所有真子集的个数（ ） A 3 B. 7 C. 15 D. 31 【答案】B 【解析】依题意，所以集合的真子集的个数为. 故选：B 课后作业 一、 选择题（概念辨析与基础判断） 1. 下列关系式中，表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合 ，则集合 的真子集个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知集合 A =，B =，C =，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（符号运用与参数求解） 1. 用适当的符号（ ）填空： ① ____ ② ____ ③ ____ 1. 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是_____________。 1. 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是_____________。 三、 解答题（综合应用与逻辑推理） 1. 判断下列两个集合之间的关系，并说明理由： （1） ， ； （2） ， ，且 。 1. 已知集合 ，集合 。 （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】D。解析：A选项中 是元素，应用 ；B选项中 是集合，应用 ；C选项空集是任何集合的子集，应为 ；D选项正确，空集是任何集合的子集。 2. 【答案】C。解析：解方程 得 ，故 。A选项应为 ；B选项 ；C选项正确，集合是其本身的子集；D选项两集合元素完全相同，应为 。 3. 【答案】C。解析：集合 有 个元素，其子集个数为 个，真子集个数为 个。 4. 【答案】B。解析：根据几何图形的包含关系，正方形一定是菱形，菱形一定是平行四边形。因此 。 二、 填空题 5. 【答案】 ① ； ② ； ③ 。解析：③中方程 在实数范围内无解，故右边集合为空集 ，空集等于空集。 6. 【答案】 且 （或 ）。解析：因为 ，且 中已有元素 ，根据集合元素的互异性， 可以取除了 和 之外的任意实数。 7. 【答案】 。解析：利用数轴分析，要使区间 包含于区间 ，则 必须大于或等于 。 三、 解答题 8. 【解析】 （1）因为 ，所以 。 因为 中的所有元素都在 中，且 但 ，所以 。 （2）解方程 得 或 ，故 。 因为 ，需分情况讨论： ① 当 时，方程 无解，此时 。 ② 当 时， 中只能含有一个元素，该元素必须是 或 。 若 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 。 综上所述，实数 的取值集合为 。 1. 【解析】 （1）若 ，则区间的右端点小于左端点，即 ，解得 。 （2）因为 ，需分情况讨论： ① 当 时，由（1）知 ，此时满足条件。 ② 当 时，需满足 ，解此不等式组得 。 综合①和②的结果，实数 的取值范围是。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第02讲 集合间的基本关系 模块一 子集、真子集、空集（重点） 模块二 集合与集合相等 模块三 子集个数公式（必背） 5 课后作业 6 目标双一流 领先高考培优课程 第02讲」 集合间的基本关系 课堂思维碰撞 课目标 1.搞懂子集、真子集、集合相等、空集这四个核心概念。 2.分清∈和二的区别，这是本课最大的易错点！ 3.会画Venn图，会求有限集合的子集个数。 模块一 子集、真子集、空集 识 睛 1.子集(Subset) 女文字语言：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素， 就称集合A为集合B的子集。 令符号语言：记作ACB（或B2A),读作“A包含于B”(或“B包含A”）。 令图形语言(Venn图)： 目标双一流 领先高考培优课程 2 A ◇重要性质： ①任何一个集合是它本身的子集：ACA。 ②传递性：若ACB且B≤C,则ACC。 2.真子集Proper Subset) ◇概念：如果集合A二B,但存在元素X∈B且X庄A(即B中至少有一个元素不在A 中)，就称A是B的真子集。 女符号：记作A=B(或B早A)。 令性质：空集☑是任何非空集合的真子集。 3.空集（☑） 令概念：不含任何元素的集合叫做空集，记为⑦。 令核心规定：空集是任何集合的子集（即☑二A恒成立）。 令易错辨析： ①☑与{0}：{0}是含有一个元素0的集合，⑦={0}。 ②⑦∈{☑}和0三{⑦}，两个写法都对，因为前者是把空集作为元素看待，后者是 2 目标双一流 领先高考培优课程 把空集当成集合来看。 产生空集的常见情况： ①方程无解：{xax+1=0}=→a=0: {xx2-ax+1=0}=0时，△<0→a2-4<0→-2<a<2; ②范围不可取：{x|2m-1<x<m+1}→2m-1≥m+1→m≥2. 【基础过关】 (一)概念辨析：用∈，，二，，=填空 1.0 {0} 2. {0} 心 {1,2} {2,1} 4. {a,b} ia,b,c 5.0 {0,1,2} (二)判断正误（对的打√，错的打x) 1.空集没有子集。() 2.任何一个集合至少有两个子集。() 3.若ACB且BCA,则A=B。() 4(x×-1=0}=(-1,1)°（） (三)解答题 1.已知集合A={1,2,3},请写出集合A的所有子集，并指出其中哪些是真子集。 2.已知集合B=xX-3x+2=0}集合C={1,2}判断B与C的关系。 3 目标双一流 领先高考培优课程 热点 题 型归纳 0回【例1】 设b∈R集合1，ab,a02则g+b= 回 【练习1】 (单选)以下六个关系式：0∈{0}，{0}2②，0.3EQ,0∈N, [a,b}c{b,a}'{xx2-2=0,x∈z是空集，错误的个数是() A4 B.3 C.2 D.1 (空集优先讨论！) 回【例2】 《单选)已知架合4={2≤x≤5}，B={m-1≤x≤2m+,若B为A的真子类， 则m的取值范围是() A.{m-l≤m≤2 B.{mlm≤2} c.{mlm≤3} D.{mm<-2或1≤m≤2 回 【练习2】 已知4={r+4r=0,B={x2+2(a+l)x+a-1=0,若B≤A,求a 的取值范围， 4 目标双一流 领先高考培优课程 模块二 集合与集合相等 主青 令概念：如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时B的任何一个元素都是A的元素，则 称A与B相等。 女判定方法：若ACB且BCA,则A=B。(这常用于证明两个集合相等) 热 型 纳 回【例水) (单选)若集合 A=xm*6me2.8=风x号5ne,c-x会若ke小，则BC之间 的关系是() A.A=B=C B.B=C C.ACB D BCA 目标双一流 领先高考培优课程 【练习3】 (单选)已知集合 4-套04e2,8=p-5+品e2则 ) A ASB B.BCA C.A和B没有关系 D.A=B 【练习4】 已知集合A=x|x2+2x-3=0,B={x|ax-1=0及非空集合 C=xX-ax+b=0l若B=C,求a,b的值. a,b 模块三 子集的个数公式 识 点 如果一个集合A中含有n个元素，则： 女子集个数为：2”个 令真子集个数为：2”-1个 令非空真子集个数为：2”-2个 解题时重，点搞清楚元素的个数代入相应公式即可！ 6 目标双一流 领先高考培优课程 【小练一下】 1朱合A=123456B=马∈N,e小：则案合公防有子线约个数） A3 B.7 C.15 D.31 课后作业 一、选择题（概念辨析与基础判断) 1.下列关系式中，表示正确的是() A.0c{0} B.☑∈{0} C.0 D.0c{0} 2已知集合A=xX-1=0则下列结论正确的是（） A.1CA B.0∈A C.{-1,1}cA D.A={-1,1} 3.已知集合M={1,2,3},则集合M的真子集个数为() A.3 B.6 C.7 D.8 4.已知集合A={x|x是菱，B={x|x是平行四边形，C={x|x是正方形，则下列 关系正确的是() A.A∈B∈C B.CASB C.BSASC D.CSBSA 二、填空题（符号运用与参数求解） 5.用适当的符号（∈，，C,,=)填空： ①a—{a,b,c}②(a,b}—{b,a}®⑦一[x|x2+1=0,x∈R) > 目标双一流 领先高考培优课程 6.已知集合A={1,2},集合B={1,2,a},若AcB,则实数a的取值范围是 7.已知集合P={x|-1<x<3},集合Q={xx<a},若PCQ,则实数a的取值范 围是 三、解答题（综合应用与逻辑推理） 8.判断下列两个集合之间的关系，并说明理由： (1)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y川，y∈A}: (2)M=(x|x2+x-6=0'N=(xmx+1=0}'且NcM 9.已知集合A={x|1≤x≤4}，集合B={x|2a≤x≤a+3}。 (1)若B=⑦，求实数a的取值范围： (2)若BCA,求实数a的取值范围。 8 目标双一流 领先高考培优课程 9 目标双一流