5.4.2正弦函数、余弦函数的性质导学案（1）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.２ 正弦函数、余弦函数的性质（1） 周期性与奇偶性 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.(数学抽象) 2.会求常见三角函数的周期.(数学运算) 3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心.(直观想象) 【重点难点】 重点：理解正弦函数余弦函数的周期性和奇偶性，会求三角函数的周期及判断奇偶性 难点：利用奇偶性的确定函数的对称中心及对称轴 【导问引领，新知生成】源 過 你了解哪些周而复始的现象呢？前面我们研究的正弦函数和余弦函数有没有这种现象？ 我们知道，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性. 问题1：观察正弦函数图象，是否发现横坐标每相隔多少个单位长度，图象就会重复出现？其理论依据是什么? 问题2:设,那么诱导公式可怎样用函数符号表示? 说明函数值有什么变化规律？ 问题3：由问题2知，正弦函数的值是周期变化的，那么它变化的周期是否唯一？正弦函数的周期有哪些？ 1.周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)就叫作 函数, 叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数的 . 3.正弦函数、余弦函数的周期性 记,则由,得对于每一个非零常数都成立,余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是 函数,都是它们的周期，最小正周期都为. 特别提醒：对周期函数的三点说明 (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一. (2)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期. (3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期. 【展示交流，新知应用】 例题1 求下列函数的最小正周期： （1） （2） 【方法总结】 求三角函数的周期的方法 （1）定义法：若对任意实数都满足的非零实数T，依周期函数的定义求得函数的周期，该方法一般适用于抽象函数； （2）公式法:对形如和（其中是常数，且）的函数，可利用来求； （3）图象法：可画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法. 【及时训练】 1. 函数的最小正周期为( ). A. B. π C.2π D.4π 2.已知，则 . 【导问引领，新知生成】 问题1：观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现? 问题2：点关于原点对称和关于y轴对称的点有什么关系？由问题1中的对称性反映出正弦、余弦函数图像上的点分别具有什么性质？它们为什么具有这样的性质? 正弦函数、余弦函数的奇偶性 （1）正弦函数是 函数，图象关于 对称； （2）余弦函数是 函数，图象关于 对称. 特别提醒：研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则 【展示交流，新知应用】 一、正弦、余弦函数奇偶性的判断 例题2 判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 【方法总结】判断函数奇偶性的方法： 第一步，先判断定义域是否关于原点对称;如果不是，则是非奇非偶函数； 第二步，验证； 第三步，判断函数是偶函数还是奇函数. 【及时训练】 判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 二、三角函数奇偶性与周期性的应用 例题3 定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期是π，且当时,，求的值. 【变式探究】 1. 若本例中将“偶函数”变为“奇函数”，其他条件不变，求的值 2. 若本例条件不变，求的值. 【方法总结】 1. 解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法： 利用函数的周期性，可以把的函数值转化为x的函数值. 利用奇偶性，可以找到一x与x之间的函数值的关系，从而可解决求值问题 2.推得函数周期的若干形式： (1)若,则函数周期为t; (2)若 ,则函数周期为2t; (3)若，则函数周期为2t； (4)若，则函数周期为2t. 【及时训练】 1.已知函数是奇函数，则φ的值可以是( ). A.0 B. C. D. π 2.若函数为偶函数,且 ，，则 . 【课堂检测】 1.下列函数中，周期为的是( ). A. B. D. 2.已知函数,则下列说法正确的是( ). A. 是周期为1的奇函数 B. 是周期为2的偶函数 C. 是周期为1的非奇非偶函数 D.是周期为2 的非奇非偶函数 3.函数的最小正周期为 . 4.若函数是定义在R上的周期为3的奇函数,且,则= . 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1） 周期性与奇偶性(解析版） 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.(数学抽象) 2.会求常见三角函数的周期.(数学运算) 3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心.(直观想象) 【重点难点】 重点：理解正弦函数余弦函数的周期性和奇偶性，会求三角函数的周期及判断奇偶性 难点：利用奇偶性的确定函数的对称中心及对称轴 【导问引领，新知生成】源 過 你了解哪些周而复始的现象呢？前面我们研究的正弦函数和余弦函数有没有这种现象？ 我们知道，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性. 问题1：观察正弦函数图象，是否发现横坐标每相隔多少个单位长度，图象就会重复出现？其理论依据是什么? 答案：横坐标每相隔个单位，函数图像就重复出现一次， 理论依据是，诱导公式 问题2:设,那么诱导公式，可怎样用函数符号表示? 说明函数值有什么变化规律？ 答案：.即自变量的值增加的整数倍时，函数值就重复出现 数学上，用周期性这个概念，来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。 问题3：由问题2知，正弦函数的值是周期变化的，那么它变化的周期是否唯一？正弦函数的周期有哪些？ 答案：不唯一，都是正弦函数的周期，事实上，任何一个的整数倍都是正弦函数的周期. 1.周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个 非零常数T ，使得当x取定义域内的 每一个 值时，都有 ，那么函数就叫作 周期 函数, 非零常数T 叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作函数的 最小正周期 . 3.正弦函数、余弦函数的周期性 记,则由,得对于每一个非零常数都成立,余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是 周期 函数,都是它们的周期，最小正周期都为. 特别提醒：对周期函数的三点说明 (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一. (2)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期. (3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期. 【展示交流，新知应用】 例题1 求下列函数的最小正周期： （1） （2） 解：（1）（法一：定义法） 函数的最小正周期是. （法二：公式法） 又,函数的最小正周期是. （2）（法一：定义法） 所以，函数的最小正周期是. （法二：图像法） 函数的图像如下： 0 由图像可知，函数的最小正周期. 【方法总结】 求三角函数的周期的方法 （1）定义法：若对任意实数都满足的非零实数T，依周期函数的定义求得函数的周期，该方法一般适用于抽象函数； （2）公式法:对形如和（其中是常数，且）的函数，可利用来求； （3）图象法：可画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法. 【及时训练】 2. 函数的最小正周期为( D ). A. B. π C.2π D.4π 2.已知，则 . 答案： 解析：易知函数的最小正周期是， 则有 所以 【导问引领，新知生成】 问题1：观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现? 答案：正弦函数图像关于原点对称，余弦函数图像关于轴对称. 问题2：点关于原点对称和关于y轴对称的点有什么关系？由问题1中的对称性反映出正弦、余弦函数图像上的点分别具有什么性质？它们为什么具有这样的性质? 答案：点关于原点对称的点的坐标是，正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数，是因为由诱导公式对于一切恒成立. 正弦函数、余弦函数的奇偶性 （1）正弦函数是 奇 函数，图象关于 原点 对称； （2）余弦函数是 偶 函数，图象关于 轴 对称. 特别提醒：研究函数的性质应遵循“定义域优先”的原则 【展示交流，新知应用】 一、正弦、余弦函数奇偶性的判断 例题2 判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 解：（1）函数应满足函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，所以既不是偶函数，也不是奇函数. （2） 由得，所以函数定义域为，且因，，所以 故函数即是奇函数，又是偶函数. 【方法总结】判断函数奇偶性的方法： 第一步，先判断定义域是否关于原点对称;如果不是，则是非奇非偶函数； 第二步，验证； 第三步，判断函数是偶函数还是奇函数. 【及时训练】 判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 答案：（1）奇函数 （2）偶函数 【综合应用，提升能力】三角函数奇偶性与周期性的应用 例题3 定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期是π，且当时,，求的值. 解析：的最小正周期是，. 又因为是R上的偶函数，所以. 【变式探究】 3. 若本例中将“偶函数”变为“奇函数”，其他条件不变，求的值 解： 4. 若本例条件不变，求的值. 解： 【方法总结】 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法： 利用函数的周期性，可以把的函数值转化为x的函数值. 利用奇偶性，可以找到一x与x之间的函数值的关系，从而可解决求值问题 2.推得函数周期的若干形式： (1)若,则函数周期为t; (2)若 ,则函数周期为2t; (3)若，则函数周期为2t； (4)若，则函数周期为2t. 【及时训练】 1.已知函数是奇函数，则φ的值可以是( ). A.0 B. C. D. π 2.若函数为偶函数,且 ，，则 . 答案：（1）B （2）1 【课堂检测】 1.下列函数中，周期为的是( ). A. B. D. 2.已知函数,则下列说法正确的是( ). A. 是周期为1的奇函数 B. 是周期为2的偶函数 C. 是周期为1的非奇非偶函数 D.是周期为2 的非奇非偶函数 3.函数的最小正周期为 . 4.若函数是定义在R上的周期为3的奇函数,且,则= . 答案：1.D 2.B 3.4 4.-3 学科网（北京）股份有限公司 $