第19讲 诱导公式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第19讲 诱导公式 模块一 熟悉特殊角与诱导公式 模块二 诱导公式的应用 3 模块三 角的拼凑 6 课后作业 附解析 9 目标双一流 领先高考培优课程 第19讲 诱导公式 课堂思维碰撞 1.掌握核心公式：借助单位圆的对称性，准确理解并掌握诱导公式二至公式六的推导过程与内容。 2.熟练记忆口诀：深刻理解并牢记“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀，能准确判断三角函数名是 否改变以及符号的正负。 3.熟练化简求值：能够运用诱导公式，将任意负角、大角的三角函数逐步转化为锐角三角函数进行求值、 化简与简单的恒等式证明。 模块一 熟悉特殊角与诱导公式 1借助单位国说出下列角的三角西教值：0，，2 2熟态石，年，3三个特殊角的三角函教值 πππ 3.诱导公式： 1 目标双一流 领先高考培优课程 >公式一（终边相同）：sin(2km+a&)=sina,cos2km+&)=cosa,tan(2k+a=tana( k∈z >公式二（关于原点对称)：sin(π+a)=-sina,cos(π+a)=-cosc,tanπ+a)=tana >公式三（关于x轴对称）：sin(-a=-sinc,cos(-a&)=cosc,tan(-a）=-tana >公式四（关于y轴对称）：sin(π-a)=sinc,cos(π-c)=-cosa,tan(π-a)=-tana 之公式五（关于y=x对称）：sin(受-a)=cosa,cos(受-a)=sna ”公式六（关于y=x对称）：sin(受+a)=cosa,cos(受+a)=-sina 回【例1】 填空：@sin(π+若=一一；②cos-骨=一：@sin-晋 【答案】 2。 目 【解折10根据公式二，sn红+后》=-sn骨= 6 ②根指公式三，c05(一学=c0s号方：®根据公式二， 2 目标双一流 领先高考培优课程 sin子=n+竖=sn学 (-)=-cos42 π 2 ),根据公式五，-sin 24 元 3π -sin- 【练习1】 2cos)+tan元+3tan2元 -sin+cos2 3n 6 6 4 2 【答案】3 32 2 【解析】原式=2·0+1+3： 3 2 --10+1*1-号+号+1=3 【练习2】 sinl20°=()：sin390°=() 【答案】 1 2’2 【解析】 因为sin120'=sin180°-60'=sin60=23 :由诱导公式可得 5in390=sin30+360=sin30,sin30=7,sin390=5。 a 【练习3】 求值：sin2120+cos180°+tan45°-cos2-330+sin-210*月 【答案】 1-2 囼 【解析】原式=sin260°+(-1)+1-cos230+sin30 32 3 1-1: 2 22 3 目标双一流 领先高考培优课程 模块二 诱导公式的应用 知识 公式记忆：“奇变偶不变，符号看象限” 这组口铁适月于形知k:受士a(k∈2)的祷导公式 >奇变偶不变：看k的奇偶性。若k为奇数，函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦）；若k为偶 数，函数名不变。 >符号看象限：把Q一律视为锐角，判断原三角函数在k,兀±《所在象限的符号，并赋给转化后的 函数。 >化简步骤： ·第一步：负化正。利用公式三，将负角转化为正角。 ·第二步：大化小。利用公式一，将大于2π（或360°)的角化为0~2π范围内的角。 ·第三步：化到锐角。利用公式二、四、五、六，将0~2π范围内的角化为锐角三角函数。 4 目标双一流 领先高考培优课程 热点( 题 型归纳 π cos + 2 sin(-π-a） 回【例2】 已知角 终边上的一点 求 9π 的值 cos +a C P(-4,3) 2 3 【答案】 4 3 sina= 、 【解析】因为点P(4,3)在角α终边上，所以 5,cosa= ,化简： π cos +asin(-π-a) -sin a sin a -m+e cos o--a)sin -sin a sin a sina-3 -sinacosa cosa 4 3W10 【练习4】 如图，角。的终边与单位圆交于点P x, 10 x<0 (l)求tana; cos - cos(a+3π) 2 (2)求 sin 2*a +sin(-a) 1 【答案】(1)-3： (2)2. 會 目标双一流 领先高考培优课程 3V10 1 【解析】(1)由三角函数定义知sinC= 10所以coa=1-sina=10因为cosa=x<0所 以c0sa= √o l0所以tana= sina=-3 cosa sina+cosa tana+11 (2)原式cosa-sina1-tana2. tan(π-a)cos(2π-a）sin 【练习5】 已知f(a)= cos(π+a) )化简fa) 3 (2②若u为第=象限角，且f(a) 5,求tana的值. 3 【答案】(1)sina (2)4 囼 -tana·cosa.cosa =sina 【解析】(1)原式 -cosa 3 3 (2)由(1) f(a=5,1 5,又为第二象限角， 4 cosa=-v1-sin'a = 所以 5,因此ana=ing-3 cosa 4. 【练习6】 已知tana=3.求值： 6 目标双一流 领先高考培优课程 3π (1) cos a+-sin + 2 (2) 2sin(au+元)+cos(2π-a) 2sin2a+sina cosa 21 【答案】 )5 (2)10 3π cos a+ -sin +a 2 【解析】(1) 2 -sina+cosa -tana+1 2sin(a+x)+cos(2x-a)-2sina+cosa -2tana+1 -3+12 tana=3,所以原式-6+15； 2sin2a+sina cosa 2tan2 a+tana (2) 2sin2a+sina cosa= sin2 a+cos2a tan2a+1 2×32+321 因为tana=3,所以原式 32+110 模块三 角的拼凑 3 年花)已hm(5+a)-号.-ma.则m65+o）-() 7 目标双一流 领先高考培优课程 2√2 2W2 √2 2 A. B. 3 C.3 D. 3 【答案】A 囼 【解析】 思路分析：①先分析75°+a与165°+a(之间的特殊角关系， (165°+a)-(75°+a)=90° 因为-180°<a<-90°，所以-105°<75+a<-15 又因为 s75+a）0.w- m(s+e小-小-w(s+a-g-29 cos(165+a）=cos[180-(5-a]=-cos(15-a -fo-(7s+a)--in(75+a)- 故选：A ②也可以直接用换元法，令t=75°+α，a=t-75°， 道题即变成已知c0st三1050<t<-150,则cos(1650+t-75)=cos90+t)= cos(+x)= 1 7练习7已知6 sin(-)）= 3, 3 目标双一流 领先高考培优课程 1 【答案】3 囼 【解析】 6 【练习8】 (单选)若sin20°=m 则tan160=() 772 -7- 1=7i2 V二m2 A. V1-m2 B 1-m D m m 【答案】B tan20°= m 【解析】解：因为si20°=m,所以cos20°=V-m2, -m, 所 tanl60°=tan(160-20'）=-tan20°=-m √1-m2,故选：B 【练习9】 2知f(a)= os(π+a)sina sin(2π+a) 31π 化简)并求3)的值 e,若as(0z)u(@)任-5.求a-sa的t a任e小-9任 9 目标双一流 领先高考培优课程 【1-. 3 3 【解折】()由诱导公式可知f(a)-cos+a小5ine -cosa·sin sin(2π+a） .=-cosa, sina )-m-m0x引-号. ②自山精径awam任-ma-ma=- sina+cosa=5, 1 则（6sima+cosu=sin'a+cos2a+2sina-cosa=1+2sina-cosa= 1 25, 12 lna·cosc= 解得 25,又a∈(0，)，则sina>0,cosa<0, sina-cosa)'=sin2a+cos2a-2sina.cosa= 49 1 sin a-cosa= 所以 25,则 5, 所以 inco(sinc)(sin)7 25 8海df=-sa:信-小-m[传©小-9 m任a小9m[仔m[任-居j]小mg-小号 10 目标双一流 领先高考培优课程 课后作业 一、选择题（公式辨析，夯实基础) 1.下列三角函数值中，为负值的是() Asin7π B. ._π cos C. tan 5n D sin π+ 6 3 2已知sinl元-a]=一号则sina的值为(） D-22 3 3.化简 cos -a 的结果是() A sina -sina C.cosa D.-cosa 4角9满足sin9<0,c0s(π+0)<0 则角日终边一定过第()象限 A.- B.二 C.三 D.四 4元 4π 5已知角9的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过Asn3,c0s sin 3,则 -(y 11 目标双一流 领先高考培优课程 √5 A. 2 B.2 c D.-2 6.(多选)下列说法正确的是() A命题“x∈R,sinx之-l”的否定是“x∈R,sinx<-l” &若a是第二象限角，则sin2+aan(r+a) sin 在第二象限 C.己知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 2V5 D若角a的终边过点(a,2a)a≠0)，则sina= 5 7.(多选)定义：角0与P都是任意角，若满足 8+p=r 2,则称0与p“广义互余”已知 m(π+)三一4，则下列角B中，可能与角“广义互余”的是( A.sinB=15 4 Bcos(x+P)=月 C.tan B=15 D.tanB=v15 5 8.(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是() A.sin(r+a）=-sina 成立的条件是角Q是锐角 元17π B.9与9的终边相同 C.sin.= xx-R+kn.kEZ 2的解集是3 12 目标双一流 领先高考培优课程 C D.若是第二象限角，则2为第一象限或第三象限角 二、填空题（口诀实战，精准运算） 9.利用诱导公式求值： 11π tan 6 10.已知 cos仍+a,且a为第四象限角，则an=—一… 4 （元， 1已知sna-专，则os(5+asn(+a) 三、解答题（逻辑推理，综合应用） 12.求下列三角函数的值： (1)sin 23π；(2) 15π. cos 13z.tan 6 3 4 13 目标双一流 领先高考培优课程 sina=- 14.已知0是第三象限角，且 (1)求tanc的值； sin(π+a)+cos(π-a) ((+cos M 15.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求cosc,sina的值： cos (2)求 的值 in(π-a)+cos(-a) 【作业解析】 一、选择题 14 目标双一流 领先高考培优课程 1.【答案】A。解析：A选项 -m+看-sn后=方为负值：B送原 sin- 6 6 omoπ_1 os(-号=cos 方为正值：c选项m=ana+学=m导1，为正位：0流项 4 4 sin(3+2)=cos”-3 26 62,为正值。 2. 【答案】B。解析：根据诱导公式，sin(π-a=sin。已知sinm-a=-子所以 sin a三一，解得sina=- 3。 3.【答案】B。解析：对于cOs(3亚-a),这里k=3为奇数，所以“奇变”，余弦变正弦：把 2 Q看作锐角， 在第三象限，原函数cOs在第三象限为负，所以结果头 4【答案】D。详解：由0s(π+9)=-cos0<0可得c0s0>0,又sin0<0,可知角0终边一定在第 四象限.故选：D 5【答案】D。解析：已知角终边经过Asin4π，cos4工 3,c0s 3 4 所以sin0= ==C0S 3I=-cosπ=-1 32 32 所以Cos -0o-0sn0=故途D 6.【答案】AC。解析A:命题“VX∈R,sinx≥-1”的否定是“3x∈R,sinr<-1”故A正确： B:因为5in号+a,an(n+a)=tanc,又因为“是第二象限，角cosa<0,ana<0,所 15 目标双一流 领先高考培优课程 以sin +a=cosa<0,tan(+a)=tana<0, 2 则sin经+a,am(π+a在第三家居，改P错员Q,已知m形的面梨为4，周长为10， 1 1+2r=10 则 (1=8 J1=21=ar :.a=8>2 a= 2 r=4,可得r=1或r=4:而 “(舍)或“，故C正确： 2 (a,2a)(a≠0) D:角的终边过点 ,当 0时，sina=a+2a a< 2a 2a=-25 51a5,故D 错误故选：AC. 1 久.【客1Ac折，sinπ+)=-sin=-4.sin0-4:若4+B=无 所以sinB=si (2-aj=cosa=tv15 π ,4，故A符合条件： cos(π+B)=-cos a-sina-4故B天合条件， amB=5,即simA=i5cosB,又sin'p+cosB-l.snB=士 4,故C符合条件： S,即sinB=5 tan B=v1is csB.又smg+eos月=，sinB=± ,故D不符合条件. 故选：AC. 8.【答案】BD。解析：对于A,根据诱导公式，a∈R时，sin(π+o)=-sina,故A错误： 17π=-元+2元-元17π 对于B,99 ，所以9与9的终边相同，故B正确； 16 目标双一流 领先高考培优课程 对于C,由sinx= 3 x= 2可得3 =T+2km成x 2π+2m,k∈Z 或3 故C错误： 对FD,常a是第象限角，则a爱+2元+2m)大e2 2 +km,+k,k∈Z 所以2 ,是第一象限或第三象限角，故D正确.故选：BD. 二、 填空题 号.解析：am(-+2n)=tan是-3 V 9.【答案】 6 63 V 10.【答案】 号。解折：根括诱号公式，cos受+a=一sna方所以sna= 2因为a为 3 3 第四象限角， cosa= 2 tano=- 3。 8 11. 【答案】5。解斩：因为sina= ,所以cos sin(ina-sina 8 故答案：5 三、解答题 12.【解析】 (）sn-22)=sin-2+4mc负化正)=sm君（公武三）=号 6 6 (国os号2-cos4r+学-ca号-分ml41=aml-44m子l 3 4 4 所以原式 =号x1= 2 2。 13.【解析】 17 目标双一流 领先高考培优课程 双第两个角的关系：（号-a+名+a)受所以君+a=受-（受-a. 根据诱号公式五，os君+a)=os受-号-a川=sin(号-a。 已知 sin号-a)=2所以cosg+a)广=2 14.【解析】 【答案】(1)tan=3 (2)-7 sina=-3 cosa=-V1-sina--4 【解析】【小问1详解】由α是第三象限角 得 , tana=sina 3 所以 cosa 4: 3.47 【小问2详解】原式= 手7 5+55 15.【解析】 4 coSa=- 【答案】(1) sina=-3 5, 5.(2)3 4 osa= 【解析】【小问1详解】由三角函数定义，得 5, sina-3 3 -sina 5 【小问2详解】由诱导公式，得原式5n+cosg343 55 18 目标双一流高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第19讲 诱导公式 模块一 熟悉特殊角与诱导公式 模块二 诱导公式的应用 3 模块三 角的拼凑 5 课后作业 7 目标双一流 领先高考培优课程 第19讲 诱导公式 课堂思维碰撞 1.掌握核心公式：借助单位圆的对称性，准确理解并掌握诱导公式二至公式六的推导过程与内容。 2.熟练记忆口诀：深刻理解并牢记“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀，能准确判断三角函数名是 否改变以及符号的正负。 3.熟练化简求值：能够运用诱导公式，将任意负角、大角的三角函数逐步转化为锐角三角函数进行求值、 化简与简单的恒等式证明。 模块一 熟悉特殊角与诱导公式 1借助单位国说出下列角的三角西教值：0，，2 2熟态石，年，3三个特殊角的三角函教值 πππ 3.诱导公式： 1 目标双一流 领先高考培优课程 >公式一（终边相同）：sin(2km+a&)=sina,cos2km+&)=cosa,tan(2k+a=tana( k∈Z >公式二（关于原点对称)：sin(π+a)=-sina,cos(π+a)=-cosc,tanπ+a)=tana >公式三（关于x轴对称）：sin(-a=-sinc,cos(-a&)=cosc,tan(-a）=-tana >公式四（关于y轴对称）：sin(π-a)=sinc,cos(π-c)=-cosa,tan(π-a)=-tana 之公式五（关于y=x对称）：sin(受-a)=cosa,cos(受-a)=sna ”公式六（关于y=x对称）：sin(受+a)=cosa,cos(受+a)=-sina 纳 回【例1】 填态：0sinx+若-一：@cs-背}=一：sn3经子= 3π 目【练习1】 2cos+tan+ -sin- 4 6 6 4 2 0间 2 目标双一流 领先高考培优课程 sinl20°=()；sin390°=() 回 【练习3】 求值：sin2120°+cos180°+tan45-cos2-330'1+sin-210月 模块二 诱导公式的应用 识点 睛 公式记忆：“奇变偶不变，特号看象限” 这组口诀适用于形如k,汇±a(k∈Z)的诱导公式： 1 >奇变偶不变：看k的奇偶性。若k为奇数，函数名改变（正弦变余弦，余弦变正弦）；若k为偶 数，函数名不变。 >符号看象限：把《一律视为锐角，判断原三角函数在K,汇士Q所在象限的符号，并赋给转化后的 3 目标双一流 领先高考培优课程 函数。 》化简步骤： ·第一步：负化正。利用公式三，将负角转化为正角。 ·第二步：大化小。利用公式一，将大于2π（或360）的角化为0~2π范围内的角。 ·第三步：化到锐角。利用公式二、四、五、六，将0~2几范围内的角化为锐角三角函数。 热 题 纳 π cos +a sin(-π-a)） 2 回【例2】 已知角终边上的一点 ,求11 cos/ [-a sin 9 的值 P(-4,3) -+ 2 2 如图，角的终边与单位圆交于点 3V10 Px, 10 且x<0 (l)求tanc; 4 目标双一流 领先高考培优课程 π cos -Q -cos(a+3π) .2 (2)求 sin (元+ +sin(-a) 2 an(-a)-cos(2x)sina 【练习5】 已知f(a)= cos(π+a) (1)化简 f(a) (2)若a为第二象限角，且 (a)= ,求tana的值. 间 【练习6】 己知tana=3.求值： cos a+2 -sin 2 (1) 2sin(a+π)+cos(2π-a) (2) 2sin2a+sina cosa 5 目标双一流 领先高考培优课程 模块三 角的拼凑 热 题 纳 回2 m(5+a）-f,lw<a-w,则s65+a)=() (单选)已知 22 2v2 2 √2 A.3 B. 3 c.3 D.3 cos(+x)=sin( 1 练习7已知6 3,则sin3= 0▣ 【练习8】 （单选)若sin20=m,则tanl60=() m V1-m2 V1-m2 A.V1-m2 .1-m2 C. D m m 6 目标双一流 领先高考培优课程 已知f(a)= cos(π+a)sina 0回 【练习9】 sin(2π+a） 山简o天来5) 31π y若a0nfo)rf(径e小-片.袋na-asn的a: 任小-号任+)n 7 目标双一流 领先高考培优课程 课后作业 一、选择题（公式辨析，夯实基础) 1.下列三角函数值中，为负值的是() Asn2 cos π π， -3 C.t D sin 2已知sin(na=子则sin&的值为（) 3 3.化简 cos 的结果是() A sina B.-sina C.cosa D.-cosa 4角日满足sin8<0,c0s(π+0)水0 则角日终边一定过第()象限 A.- B.二 C.三 D.四 4π 4π 5.已知角日的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过 （3,cos sin- 3 则 3 3 1 A. 2 B.2 c.z D.2 6.(多选)下列说法正确的是() A命题“Vx∈R,sinx之-l”的否定是“3x∈R,sinx<-l” 8 目标双一流 领先高考培优课程 ta,tan(+a） sin B.若a是第二象限角，则气2 在第二象限 C.已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 2W5 D若角a的终边过点(a,2a)(a≠0)，则sina= 5 7.(多选)定义：角0与P都是任意角，若满足 0+o= 2,则称0与p“广义互余”已知 i(π+@=一4，则下列角B中，可能与角a“广义互余的是()了 A.sin B=v15 4 Beos(π+P)=月 C.tan B=15 D.tanB=v15 5 8.(多选)给出下列四个结论，其中正确的结论是() Asin(x+a)=-sin“成立的条件是角a是锐角 π17π B.9与9的终边相同 C.sinx三)的解集是 xx= 元+km,k∈Z e D.若是第二象限角，则2为第一象限或第三象限角 二、填空题（口诀实战，精准运算） 9 目标双一流 领先高考培优课程 9.利用诱导公式求值： 11π tan 6 10.己知 COS +=,且a为第四象限角，则tana= +C= 2厂2 π 1.已知sima-5,则os2十a十sin(x+a) 三、解答题（逻辑推理，综合应用） 12.求下列三角函数的值： (1) sin-23π： -6 3 13.已知 sin 求。 的值。 -0= S 10 目标双一流 领先高考培优课程 sina=- 14.已知0是第三象限角，且 (1)求tanc的值； sin(π+a)+cos(π-a) K2)(2)sin+cos +a 2 的顶点在坐标原点，始边与r轴的非负半轴重合，终边经过点以，~ (1)求cosa,sina的值： cos 2+ (2)y求sin(r-a)+cos(-a） 的值 11 目标双一流