第11讲 幂函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第11讲 幂函数 模块一 幂函数的定义 1 课后作业 ....................................... 9 模块三 幂函数的性质应用 6 模块二 幂函数的图像与性质 3 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 幂函数 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握核心概念：准确理解幂函数的定义，能熟练判断一个函数是否为幂函数（抓住“系数为1，底数为自变量，指数为常数”三大特征）。 2. 熟悉图象与性质：掌握五个常见幂函数（ ）的图象特征与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）。 3. 熟练应用性质：能利用幂函数的单调性和图象特征解决比较大小、求定义域等简单问题。 模块一 幂函数的定义 知 识 点 睛 幂函数的定义 · 定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 · 三大特征（判断依据）： 0. 系数为1： 前面的系数必须是 （如 不是幂函数）。 0. 底数为自变量：底数必须是 本身（如 不是幂函数）。 0. 指数为常数：指数 必须是常数（如 不是幂函数）。 · 项数只有一项：解析式等号右边只能有一项（如 不是幂函数）。 【小练一下】判断下列函数是否为幂函数： ① ； ② ； ③ ； ④ 。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选）已知点在幂函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 【练习 1】 已知幂函数图像过点，则___________. 【练习2】 已知幂函数 的图象过点 ，求 的值。 【练习3】 （单选）下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 模块二 幂函数的图像与性质 知 识 点 睛 五个常见幂函数的图象与性质（核心重点！） 我们在同一坐标系中研究 ： 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 奇函数 在 上递增 偶函数 递减， 递增 奇函数 在 上递增 非奇非偶 在 上递增 奇函数 在 和 上分别递减 一般幂函数的共性规律（解题利器） ①定义域： 遇到分母为偶数的最简分数指数幂（如 ）要符合；负指数幂（如 ），要注意 ②奇偶性： 对于,a是奇数，函数为奇函数；a是偶数，函数为偶函数； 对于 来说，先看分母n， · 当n为偶数时，分子为偶数，函数为偶函数，分子为奇数，函数非奇非偶（定义域不对称！）； · 当n为奇数时，分子为奇数，函数为奇函数，分子为偶数，函数为偶函数。 ③单调性：因为函数的奇偶性刚分析完，所以只需分析x>0部分的单调性即可； · 当a>0时，函数在上单调递增： a. 当a>1时，函数增长越来越快，x>0时与形状类似； b. 当0<a<1时，函数图像与形状类似，增长越来越慢 · 当a<0时，函数在上单调递减。（x>0时，图像与 形状类似） ④定点：所有的幂函数在 上都有定义，并且图象都过点 。 当a>0时，都过原点，a<0时，不过原点。（是否过原点可用来区分a的正负） 任何幂函数的图象都不过第四象限。 熟悉幂函数的性质后，无论a值是多少，我们都可以把相应的幂函数图像画出来！ 【小练一下】画一画下列函数的图像： 热 点 题 型 归 纳 【例2】 （单选）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【练习4】 已知幂函数在上单调递减，则___________． 【练习5】 已知幂函数的图象关于轴对称，则不等式的解集是______． 【练习6】 （单选）若函数是幂函数，且图像与坐标轴无交点，则 （ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是单调递增函数 D. 在定义域内有最小值 【练习7】 （多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 的图象经过点 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 模块三 幂函数的性质应用 热 点 题 型 归 纳 【例3】 已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求的解析式，并根据定义证明在上单调递增． （2）对恒有意义，求实数的取值范围． 【练习8】 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_________． 【练习9】 （单选）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A B. C. D. 【练习10】 （单选）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 解不等式f(a)<f(b)类，可以先分析f(x)的函数性质，借助图像分析a和b的大小关系。 注意：不等号左右两侧除了变量不同，格式要相同，不同格式可以考虑先化成相同的格式再解，或者换元变成恒成立问题等。 Eg.①当f(x)为R上奇函数，在x>0上单调递增=>f(x)在R上单增，f(a)<f(b)可得a<b； ②当f(x)为R上偶函数，在x>0上单调递增=>f(a)<f(b)可得|a|<|b| （偶函数注意分析完大小后加绝对值） 【例4】 （单选）已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【练习11】 （单选）已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【练习12】 （单选）已知，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列函数中，是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 1. 已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 所有的幂函数图象都经过原点 B. 幂函数 在定义域上是减函数 C. 当 时，幂函数 在 上单调递减 D. 幂函数的图象可以出现在第四象限 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 比较大小： ______ （填“ ”或“ ”）。 1. 若幂函数 是偶函数，则实数 的值为 ____________。 1. 已知幂函数 的图象不过原点，且在 上单调递减，则 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 比较下列各组数的大小，并说明理由： （1） 与 ； （2） 与 。 8. 已知幂函数 ( ) 的图象关于轴对称，且在 上单调递减。 （1）求整数 的值； （2）写出该幂函数的解析式，并画出其大致图象。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第11讲 幂函数 模块一 幂函数的定义 1 课后作业 附解析 13 模块三 幂函数的性质应用 8 模块二 幂函数的图像与性质 4 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 幂函数 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握核心概念：准确理解幂函数的定义，能熟练判断一个函数是否为幂函数（抓住“系数为1，底数为自变量，指数为常数”三大特征）。 2. 熟悉图象与性质：掌握五个常见幂函数（ ）的图象特征与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）。 3. 熟练应用性质：能利用幂函数的单调性和图象特征解决比较大小、求定义域等简单问题。 模块一 幂函数的定义 知 识 点 睛 幂函数的定义 · 定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 · 三大特征（判断依据）： 0. 系数为1： 前面的系数必须是 （如 不是幂函数）。 0. 底数为自变量：底数必须是 本身（如 不是幂函数）。 0. 指数为常数：指数 必须是常数（如 不是幂函数）。 · 项数只有一项：解析式等号右边只能有一项（如 不是幂函数）。 【小练一下】判断下列函数是否为幂函数： ① ； ② ； ③ ； ④ 。 【答案】是，不是，不是，是 【解析】① 是。满足系数为1，底数为 ，指数为常数。② 不是。系数为 。 ③ 不是。项数有两项（ 和 ）。 ④ 是。满足幂函数的三大特征。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选）已知点在幂函数的图像上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由于函数为幂函数，则，解得，则， 由已知条件可得，得，因此，.故选：A. 【练习 1】 已知幂函数图像过点，则___________. 【答案】 【解析】由题意可知， ∵幂函数的图像过点， ∴，即，∴.故答案为：. 【练习2】 已知幂函数 的图象过点 ，求 的值。 【答案】 【解析】设幂函数为 。因为图象过点 ，所以 ，解得 。 所以 。则 。 【练习3】 （单选）下列函数是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合，故选：A. 模块二 幂函数的图像与性质 知 识 点 睛 五个常见幂函数的图象与性质（核心重点！） 我们在同一坐标系中研究 ： 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 奇函数 在 上递增 偶函数 递减， 递增 奇函数 在 上递增 非奇非偶 在 上递增 奇函数 在 和 上分别递减 一般幂函数的共性规律（解题利器） ①定义域： 遇到分母为偶数的最简分数指数幂（如 ）要符合；负指数幂（如 ），要注意 ②奇偶性： 对于,a是奇数，函数为奇函数；a是偶数，函数为偶函数； 对于 来说，先看分母n， · 当n为偶数时，分子为偶数，函数为偶函数，分子为奇数，函数非奇非偶（定义域不对称！）； · 当n为奇数时，分子为奇数，函数为奇函数，分子为偶数，函数为偶函数。 ③单调性：因为函数的奇偶性刚分析完，所以只需分析x>0部分的单调性即可； · 当a>0时，函数在上单调递增： a. 当a>1时，函数增长越来越快，x>0时与形状类似； b. 当0<a<1时，函数图像与形状类似，增长越来越慢 · 当a<0时，函数在上单调递减。（x>0时，图像与 形状类似） ④定点：所有的幂函数在 上都有定义，并且图象都过点 。 当a>0时，都过原点，a<0时，不过原点。（是否过原点可用来区分a的正负） 任何幂函数的图象都不过第四象限。 熟悉幂函数的性质后，无论a值是多少，我们都可以把相应的幂函数图像画出来！ 【小练一下】画一画下列函数的图像： 【解析】：x∈R，奇函数，x>0递减，过（1,1）； ，x≥0，非奇非偶，x>0递增，过原点和（1,1）； ，x∈R，偶函数，x>0递增，过（1,1）； 热 点 题 型 归 纳 【例2】 （单选）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（ ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【解析】由题意可得. 故选：A 【练习4】 已知幂函数在上单调递减，则___________． 【答案】 【解析】由题可得.故答案为： 【练习5】 已知幂函数的图象关于轴对称，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 又因为的图象关于y轴对称，所以， 原不等式整理得，解得．故答案为： 【练习6】 （单选）若函数是幂函数，且图像与坐标轴无交点，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是单调递增函数 D. 在定义域内有最小值 【答案】A 【解析】根据幂函数可知,即,解得或. 当时过故不满足图像与坐标轴无交点. 当时满足条件. 因为是奇函数,故A正确.B错误.又在与上均为减函数,故C错误.又值域为,无最小值.故D错误. 故选：A 【练习7】 （多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. 的图象经过点 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】由幂函数的图象经过点， 则，得，所以幂函数，所以A正确； 又，即的图象经过点，B正确； 且在上单调递增，C正确； 不等式，即，解得，D错误. 故选：ABC. 模块三 幂函数的性质应用 热 点 题 型 归 纳 【例3】 已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求的解析式，并根据定义证明在上单调递增． （2）对恒有意义，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为 是幂函数， 所以，解得或， 当 时，可得，此时定义域不为R，故排除， 当时，可得，由二次函数性质得是偶函数， 证明：任取，且使， 可得， 则，得到在上单调递增. （2）由题意得， 若有意义，则在上恒成立， 可得恒成立，即 恒成立， 令，则 恒成立，由基本不等式得，即， 当且仅当 时取等，此时解得，得到. 【练习8】 若函数的定义域为，值域为，则实数的 取值范围是_________． 【答案】 【解析】由，则有，故， 且有在定义域内单调递增， 则，， 即，， 令，，则，， 则，， 故是关于的方程的两不同非负根， 则有，解得. 故答案为： 【练习9】 （单选）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】设，代入点 得 ， 则 令 函数的值域是. 故选：C. 【练习10】 （单选）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 解不等式f(a)<f(b)类，可以先分析f(x)的函数性质，借助图像分析a和b的大小关系。 注意：不等号左右两侧除了变量不同，格式要相同，不同格式可以考虑先化成相同的格式再解，或者换元变成恒成立问题等。 Eg.①当f(x)为R上奇函数，在x>0上单调递增=>f(x)在R上单增，f(a)<f(b)可得a<b； ②当f(x)为R上偶函数，在x>0上单调递增=>f(a)<f(b)可得|a|<|b| （偶函数注意分析完大小后加绝对值） 【例4】 （单选）已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数，可得函数为减函数， 又当时，，则， 当时，，则， 所以可化为， 则，即， 若存在，则， 解得或，所以的取值范围为.故选：C 【练习11】 （单选）已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为幂函数的定义域为，且在上单调递增，又为奇函数， 故在上单调递增，则由可推出，故充分性成立； 由也可推出，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件.故选：C. 【练习12】 （单选）已知，若，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，易知，所以的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数， 当时，，令，则，对称轴为， 易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 在区间上单调递减， 又是偶函数，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得到 ，解得，且， 故选：C. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列函数中，是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 1. 已知幂函数 的图象经过点 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 所有的幂函数图象都经过原点 B. 幂函数 在定义域上是减函数 C. 当 时，幂函数 在 上单调递减 D. 幂函数的图象可以出现在第四象限 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 比较大小： ______ （填“ ”或“ ”）。 1. 若幂函数 是偶函数，则实数 的值为 ____________。 1. 已知幂函数 的图象不过原点，且在 上单调递减，则 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 比较下列各组数的大小，并说明理由： （1） 与 ； （2） 与 。 已知幂函数 ( ) 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减。 （1）求整数 的值； （2）写出该幂函数的解析式，并画出其大致图象。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】C。解析：根据幂函数的定义，系数必须为1，且只有一项。A选项系数为2，B选项有两项，D选项有两项，均不是幂函数。C选项 符合定义。 2. 【答案】A。解析：将点 代入 ，得 ，即 ，所以 ，解得 。 3. 【答案】C。解析：A错，如 不过原点；B错， 在 和 上分别递减，但不能说在整个定义域上递减；C正确，这是幂函数的基本性质；D错，幂函数图象不过第四象限。 2、 填空题 4. 【答案】 。解析：考察幂函数 ，因为 ，该函数在 上单调递增。因为 ，所以 。 5. 【答案】 。解析：因为 是幂函数，所以系数 ，解得 或 3。 当 时， ，是奇函数，不符合； 当 时， ，是偶函数；故。 6. 【答案】 。解析：根据幂函数的性质，当 时，图象不过原点，且在 上单调递减。 三、 解答题 7. 【解析】 （1）考察幂函数 。因为指数 ，该函数在 上单调递减。因为 ，所以 。 （2）考察幂函数 。因为指数 ，该函数在 上单调递增。因为 ，所以 。 1. 【解析】 （1）因为 在 上单调递减，所以指数 ，解得 。 又因为 ，所以 的可能取值为 。 因为图象关于 轴对称，即 是偶函数，所以指数 必须是偶数。 当 时，指数为 （奇数），舍去； 当 时，指数为 （偶数），符合； 当 时，指数为 （奇数），舍去。 故整数 的值为 。 （2）由（1）知 ，代入得 。 图象特征：定义域为 ，值域为 ，是偶函数（关于 轴对称），在 上单调递减，在 上单调递增，过点 和 ，以坐标轴为渐近线。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $