5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦正弦函数、余弦函数的图象，引导学生掌握单位圆画正弦曲线及“五点法”作图，通过复习三角函数定义，利用周期性简化研究，先探究[0,2π]区间图象再扩展到R，搭建从定义到图象的学习支架。 资料以系列思考问题驱动探究，从单位圆定义确定点到提炼五点关键，培养数学眼光的几何直观与抽象能力，结合图形变换与例题解析，锻炼数学思维的推理能力，助力学生用数学语言解决作图、解不等式等问题，提升学习效率与核心素养。

班级： 姓名： 日期： 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 【学习目标】 1．了解利用单位圆画正弦曲线的方法； 2．掌握“五点法”画正、余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正、余弦曲线； 3．会用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题． 【学习重点】“五点法”画正弦曲线和余弦曲线 【学习难点】用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题 【学习过程】 一．复习导入 前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论. 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式 sin(x±2π)=sin x，cos(x±2π)=cos x来表示.这说明，自变量每增加(减少)2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.所以我们研究函数y=sin x，x∈R的图象，只需先研究函数y=sin x，x∈______的图象. 二．探究新知 1.思考：在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0,sinx0)? 事实上，利用信息技术，可使 x0在区间[0，2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(x0，sinx0)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得的比较精确的函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象. 2.思考：根据函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象函数y=sin x，x∈R的图象吗？ 正弦函数的图象叫做______曲线，是一条“__________”的连续_________. 3.思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ （1）观察函数y=sin x，x∈[0,2π]的图象上，以下五个点： ________,________,________,_________,_________在确定图象形状时起关键作用. （2） 用“五点（画图）法”画出正弦函数的简图 4.思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数？ 余弦函数y=cos x，x∈R的图象叫做______曲线. 它是与正弦曲线具有相同形状的“________”的连续光滑曲线. 5.探究：类似于“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间[−π,π]上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表中，然后画出y=cos x，x∈[−π,π]的简图. x cos x 三．例题解析 例1用五点法画出下列函数的简图： (1)y=1+sin x,x∈[0,2π]; (2)y=−cos x,x∈[0,2π]. 练1 用五点法画出下列函数在[-π,π]的简图 (1)y=-sin x； (2)y=2−cos x. 例2　(1)利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合． ①sin x≥；　 ②cos x≤. (2)求函数y=的定义域. 练2 (1)使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是____________________________. (2)函数y=的定义域为___________________________. 例3 判断方程－cos x＝0的根的个数. 练3 判断方程sin x＝lgx的解的个数. 四．课堂小结 这节课，你学会了什么？自己梳理一下吧 五．布置作业 1.在同一直角坐标系中，画出函数y＝sin x,x∈[0,2π], y=cos x,x∈[-,]的图象. 通过观察两条曲线，说出它们的异同. 2.画出y＝|sin x|的图象 3.函数y＝1＋cos x，x∈(,2π)的图象与直线y＝t（t为常数）的交点可能有(　　) A．0个　　　　　B．1个 C．2个 D．3个 4.函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是　　　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $