第18讲 三角函数的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第18讲 三角函数的概念 模块一 三角函数的定义 模块二 同角三角函数 应用1：知一求二 应用2：弦切转化 课后作业 附解析 14 目标双一流 领先高考培优课程 第18讲 三角函数的概念 课堂思维碰撞 1.掌握核心定义：借助单位圆，准确理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；掌握利用角的终边上 任意一点坐标求三角函数值的方法。 2. 熟悉定义域与值域：明确正弦、余弦函数的定义域为R,正切函的定义域为(xx≠乃+M,k∈Z: 2 掌握各象限内三角函数值的符号规律(“一全正、二正弦、三正切、四余弦”)。 3.熟练公式应用：掌握同角三角函数的基本关系及诱导公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）， 并能熟练进行任意角三角函数值的求值与化简。 模块一 三角函数的定义 识点睛 1.任意角三角函数的定义（核心重点】) ·单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(X,y)，,那么： 目标双一流 领先高考培优课程 >正弦：sina=y >余弦：C0s0=X >正切：tana=y(x≠0) X ·终边上任意点定义法：设P(X,y)是角终边上除原点外的任意一点，点P到原点的 距离r=x2+y>0,那么： sina=y r cosq=x r tanc&=义(x≠0) 2.三角函数的定义域与符号规律 ·定义域：sina和cosc的定义域是全体实数R;tanc的定义域是 {aa≠L+km,k∈Z}。 。各象限符号规律（极度重要！）： >第一象限：全为正（一全正） >第二象限：只有正弦为正（二正弦） >第三象限：只有正切为正（三正切） 2 目标双一流 领先高考培优课程 >第四象限：只有余弦为正（四余弦） 纳 回【例1 (1)已知角a的终边经过点P(-3,4),则sin= tan a= (2)判断sin120°、cos210°、tan300°的符号（填“正”或“负”）。 【答案】(1) 4 3。(2)正：负：负。 目 【解析】(1)已知x=-3,y=4:则r=-3P+4=5° 根据定义： sina=y=4 y.cosC=二三二E；阳hq三=、4 x 3 (2)-120°.是第二象限角，正弦为正；-210是第三象限角，余弦为负；300是第四象限角，-正切为 负。 31 回【例2】 (单选)如图，一质点在半径为1的圆。上以点P 2’2为起点，按顺时针方向做 匀遮圆周运动，角速度为66,5s时到达点M(,）,测%=（) 3 目标双一流 领先高考培优课程 3 1 A.-1 B. 2 c.2 D. 【答案】B 囼 【解析】设单位圆与x轴正半轴的交点为A, V31 因为 2’2 则sin∠AoP=1 31 由于 2’2 在第一象限，不妨取∠AOP= 6 rad/s 因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为6 设经过5s后，质点到达点M, ∠AOM=π_π 5= 2π 3，于 Yo=sin( 2元 66 故选：B 125 间 【练习1】 已知角a的终边经过点(13’13，则2sina+cosa= 2 【答案】13 囼 【解析】因为角。 的终边经过点 )- 12-5 所以sina=' 5 13,cosa= x12 目标双一流 领先高考培优课程 故答案为： 13 0间【练习2】 (单选)设a是大于0的实数，角a的终边经过点(3a,4a）,则sina的值为( 4 A. 5 B.5 。 【答案】B 【解析】因为“是大于0的实数，角“的终边经过点(3a,-4), sina=上 -4a -4a4 所 V9a2+16a2 5a5,故选：B. 回 【练习3】已知P(4,m)是角a终边上一点，且 sin a=- 3-5 1)求实数的值； (2)角终边与单位圆交点A的坐标. 【容案灯3，②4昌 囼 【解析】解：(1)因为P(-4,m）是角a终边上一点， sina=-3 m 3 sin a= 所以 V(-4)2+m25,且 <0'解得 m=-3 -4-3 (2)所以P(4,-3),则OP=V(4)2+(-3)}2=5,所以角a的终边与单位圆交于 、55 目标双一流 领先高考培优课程 模块二 同角三角函数 识点睛 同角三角函数的基本关系 设任意角&的终边与单位圆交于点P(x,y,报据定义有sina=y,cosa=x,tana=Y( X X≠0。 1.平方关系：因为点P在单位圆上，满足x2+y2=1,代入即得 sin2a+cos2a=1° 变形：sina=1-cosa,cos2a=1-sin2a。 2.商数关系：当X≠0时， sinc&=Y=tana,即 cOSa X tana=sina cosa (a-kr+Z.kEZ) 变形：sina=cosa·tana,cosa=sinc。 tan a 型归纳 (一）基本应用“知一求二” 6 目标双一流 领先高考培优课程 sina,cosa,tana知道其中-个，可以用sina+cos2a=1,tana= sinc求出另外两个，只有当a角 cOSa 的象限确定时，答案唯一，若α象限不确定，可能有两组解。 7 0间【例3】 (单选)已知cosa= 3,且a为第四象限角，则sina=() 14 V14 √2 √2 7 7 C. 3 0 3 【答案】D 【解析】因为为第四限角所以sina=一1-cosa=-1-g=-3.故 故选：D. 【练习4】 (单选)已知∈(0，π)，则cosr= ”是Sinr= ”的（) A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解标】因为x∈(0，m,所以sinx>0, 3 得sin2x=16 4 COSX= inx 又 5,由sin2x+cos2x=1,可得° 25,所以 4 因为x∈(0，)，又 sinx= 5, 当∈0， 9 3 2时， cosx>0,由sin2x+cos2x=l,可得cosx= 25,此时C0sx= 7 目标双一流 领先高考培优课程 当t∈ π 9 2, )时，cosr<0,由sinx+cosS2x=-1,可得cosr= 25,此时c0sr=- 5, 3 综上，x∈(0，)，则cosr 了是：Sin=4 ”的充分不必要条件，故选：C 5 sina= 【练习5】 (单选)已知角是第二象限角， 13, 则coS=() 12 2 A.13 B.13 C.13 D.13 【答案】A 目 【解折】因为角“是第二象限角，所以cosa<0,又sinu+cosa=l,所以 cosa=--sin 13.故选：A. 0间 【练习6】 (单选)已知角 ∈[0，，且满足sin9+2cos8=0,则sin8的值为() 25 2W5 5 5 A. 5 & 5 C.5 D. 【答案】A sin20=4 【解析】由∫sin8+2cos0=0,得 所以，。 sin20+cos20=1 cos20=1,又 0e[0,π] 5 sino=25 5 故选：A. 8 目标双一流 领先高考培优课程 (二）基本应用“弦切转换” 齐次式求值，当遇到分式，分子和分母中每一项次方相同，只有Sin@,CosQ时，可以通过分 子分母同时除以COSQ把里面的每一项从弦化切或常数。 ☐回【例4】 (单选)已知tanc=3,则 2cosC-=(） cosa-sina -1 A. B.1 C.3 D.-3 【答案】A 2cosa 2 【解析】 cosa-sina1-tana,故选：A sina-2cosa 目【练习7) (单选)已知tana=3,则2sina+cosa() 1 A.-2 B.7 C.7 D.7 【答案】C sina-2cosa_tana-21 【解析】由题得2sina+cosa 2tan+17.故选：C ☐回【例5】 (多透)10已知0∈(0，z).sin0-c0s0=1 3,则下列结论正确的是() 9 目标双一流 领先高考培优课程 cos0=- 12 tan 60 A B. 13 C.tan0=- 12 D.1+tan20 169 9 【答案】AD 解】，。由设cos0=sin8-<1-=-d<0→0∈之，π乃 131313 故A正确： 对于BC,因为sin20+cos20=1, sin0-cos0=17 13, 所以c0s20+ cos0417)2 13 1,化简得169c0s20+221c0s0+60=0' 解得cosB-、5 cos0=-12 13 13, 当c0s0=、 3时， sin0=17 cos0=175-12 13 131313,则 an8=-12 当cos0=、12 13时， sin0=17 cos6=17l25 5 13 Γ131313，则 an0=_ 2, 所以B,C错误： 12 12 tan 5 60 对于D,由前面的解析可知， tan0=-l2时，1+tan2日 12 169 169, 1+ 5 5 25 5 5 tan0 12 12 60 2 当 5时，1+tan20 5 169 169, tan 0=- 1+ 12 12 144 tane 60 综上1+tan20 169,所以D正确， 故选：AD 10 目标双一流 领先高考培优课程 ∈(0，π)2sina+cosa=1 【练习8】 (单选)若 tana=() ,则 A. 5 B.4 C.4 D.3 【答案】D 囼 a∈(0，π) sina>0 【解析】由 ,则 由2sina+cosa=l, 两边平方可得 4sin2 a+4sin a cosa+cos2 a =1 即3sin2a+4 sinco=0(sina≥0：则3sina+4cosa=0→tana= sina 4 2C0S03 故选：D 【练习9】 (单选)已知 ina+cosa= 13a∈(0， ,则tana等于() 5 5 12 12 A.12 B.12 C.5 D.5 【答案】B 目 > .sina+cosa = 【解析】 13, 49 .(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa 169, 11 目标双一流 领先高考培优课程 49 120 .∴2 sinacosa= -1= <0 .sin'a+cos2a =1, 169 169 从i而sin'a+cos'a-2 sincosa= 120 289 169 169, (sina-cosa)289 169,可得sina-c0sa= 13, ga∈(0，元，则sina>0且cosa<0,:sina-cosa=J7 sina+cosa=- 7 13,与 13联解， 5 sina 13 可得 cosa=-12,因此 sina5·故选：B. tana= 13 cosa 12 练习10（多选）已 sin@+cos0= ,0∈(0，)，则下列等式正确的是() A. sin0cos0=_ 2 25 B.sin-cos0=7 C. tan0=-3 D.sin0-cos20=7 5 母 【答案】ABD 囼 【解析】对于A,由 ine+cos0 5,则(sin6+cos6}= 25,化简得 in0.cos0=-12 5 故A正确： 对于B,由 in0.cos0=-1 25<0,0e(0,,则sin0>0,cos0<0,即sin0-cos0>0. 12 目标双一流 领先高考培优课程 sin0-cos0=1-2sin0 cos0=1+ 24_49 2525' ∴.sin0-cos0= 5,故B正确； 、1 sin0+cos= 5 sin0=4 5 对于C,由 7,解得 sin0-cos0= 5 c0s0=-3,所以 5 an0=-4,故C错误： 3 177 对于D, sin20-cos20=(sine+cos)(sin0-cos0)=x 5525,故D正确 故选：ABD 【练习11】 (山)已知n0是关于*的方程2r+x-1=0 的一个实根，且“是第一象限角， 3sina-sinacos+2cos 的值： 1 1 1 (2)已 sina+cosa=2,且a∈(0，m),求sina cosa的值. 9 4√7 【答案】(1)5：(2)3· 1 【解析】(1)解方程2x2+x-1=0,得x=-1, 2, tana tana是关于x的方程2x2+x-1=0的一个实根，且o是第一象限角，则 2 13 目标双一流 领先高考培优课程 3sina-sinacosa+co3sin'a-sinacosa+2coa 3tan'a-tana+2 3x11 +2 42 sin a+cos a tan a+1 1 1 5 、1 sina+cosa (2) 2,且a∈(0，)， (sina+cosa)=1+2sinacosa= 则2 s=-3 , ,而a∈(0，) cosa-sina=-/(cosa-sina)2=-1-2sinacosa=- 3 则&∈ 1+- 2, 7 1 1 cosa-sina 2 4v7 sina cosa sinacosa 33 8 回【例6】 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较 1 小的内角为a,大正方形的面积为1，小正方形的面积是3，则sina+cosa= a V15 【答案】3 14 目标双一流 领先高考培优课程 【解析】直角三角形中较小的内角为，斜边为1， sina,cosa 则直角三角形的两条直角边分别为 所以小正方形的边长为cosa-sina,即 1 2 1-2sina cosa= 2sina cosa= 也即 3,可得 3 (cosa+sin a)=1-2sinacos1+ -5 33, 因a为锐角，则sinc+cosa= v15 15 3故答案为：3。 间【练习12】 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），直角三角形中 im0+cos 较小的锐角为0，若 5 ,则图中的大正方形与小正方形的面积之比为 D B 【答案】5 囼 【解析】如图所示， 设大正方形边长为1，则DG=sin0=CF,CG=cos0,小正方形的边长为cos0-sin9, 35 9 4 in0+cos0= 2sin0cos0= 由 两边同时平方得 1+2sin0cos-5. 5, 15 目标双一流 领先高考培优课程 所以(cos0-sin0)}=1-2cos0sin0= , 12 则图中的大正方形与小正方形的面积之比为(cos0-sin0) =5故答案为：5 (选讲：巧用三角函数中的“1”+基本不等式，) 0回【例7】 (单选）)当0e0受时，若存在实数k,使得2sin0cos0=sn0+9cos9成立。 则实数k的最小值为() A.5 B.8 C.12 D.16 【答案】B 【解标】0e0孕，则cos0∈0,1小.si血0E0.), 因为2sin20c0s20=sin20+90s20 sin20+9cos0 11 9 1 +、9 2sin20cos20 2 cos20 sin202 (cossinO a0+sn2+9cos8)≥a0+29)=8 cos20 sin202 sin209cos20 当且仅当cos20 sin6,即0=7 3时等号成立，所以k的最小值是8. 故选：B 16 目标双一流 领先高考培优课程 课后作业 一、选择题。 1.已知角a的终边经过点P(3,-4),则cos的值为() A 5 83 D4 5 2.若sina<0且tana>0,则角c是() A第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3已知c0s0=-之，且9为第二象限角，则an0的值为() A 3 B.-V3 3 c 3 3 二、填空题。 4.角a的终边在直线y=-2x上，且a为第二象限角，则sina= 5.已知角a的终边经过点P(-3a,4a)(a<0),则sina+2cosa的值为 三、解答题。 6已知角a的终边上有一点P(x,S)(X≠0，且cos=2x 。 4 17 目标双一流 领先高考培优课程 (1)求x的值： (2)求sina和tana的值。 【作业解析】 一、选择题 1【答案】A。解析：已知X=3,y=-4,则r=32+-4=5。根据定义，c0sG=-3 r59 2.【答案】C。解析：sina<0说明a在第三或第四象限（或y轴负半轴）；tana>0说 明Q在第一或第三象限。取交集，Q必为第三象限角。 ?【答案】B:解折：因为Qms0=之且日在第二家限，可设终边上一点P-1,y)(y>0 ).由r=2得y=陌.所以am0=-返=-3. X-1 二、填空题 4【答案】 25 。解析：在第二象限取点P(-1,2),则r=-1+2-5。所以 sina=业=2-2/5 r 55 5.【答案】 号。解析：因为a<0,所以x=-3a>0,y=4a<0,点在第四象限。 18 目标双一流 领先高考培优课程 r=(-3a2+(4a7=5a=-5a° sina=4a-4 cosa=-3a-3 -5a -5a5 所以sina+2cosa=-4+2×3=2 5 55 三、解答题 6.【解析】 (1)由题意知 r=V+5根据定义cosa=X=X ΓrVX+5 又已知 x所以 cosa=-4 Vx2+54 Xo 因为x≠0两边约去X得一1一=2。 x+54 121 两边平方得 X2+5168解得X=3,即x=±3。 (2)当x=3时，r3+5=22.sin=E-0 tand= 5_V15 2V24 33 5_V10 当x=3时，r=22。sinc=)万4，tana V5V15 -9339 19 目标双一流高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第18讲 三角函数的概念 模块一 三角函数的定义 模块二 同角三角函数 应用1：知一求二 应用2：弦切转化 课后作业 9 目标双一流 领先高考培优课程 第18讲 三角函数的概念 课堂思维碰撞 1.掌握核心定义：借助单位圆，准确理解任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；掌握利用角的终边上 任意一点坐标求三角函数值的方法。 2. 熟悉定义域与值域：明确正弦、余弦函数的定义域为R,正切函的定义域为(xx≠乃+M,k∈Z: 2 掌握各象限内三角函数值的符号规律(“一全正、二正弦、三正切、四余弦”)。 3.熟练公式应用：掌握同角三角函数的基本关系及诱导公式一（终边相同的角的同一三角函数值相等）， 并能熟练进行任意角三角函数值的求值与化简。 模块一 三角函数的定义 识点睛 1.任意角三角函数的定义（核心重点】) ·单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(X,y)，,那么： 目标双一流 领先高考培优课程 >正弦：sina=y >余弦：C0s0=X >正切：tana=y(x≠0) X ·终边上任意点定义法：设P(X,y)是角终边上除原点外的任意一点，点P到原点的 距离r=x2+y>0,那么： sina=y r cosq=x r tanc&=义(x≠0) 2.三角函数的定义域与符号规律 ·定义域：sina和cosc的定义域是全体实数R;tanc的定义域是 {aa≠L+km,k∈Z}。 。各象限符号规律（极度重要！）： >第一象限：全为正（一全正） >第二象限：只有正弦为正（二正弦） >第三象限：只有正切为正（三正切） 2 目标双一流 领先高考培优课程 >第四象限：只有余弦为正（四余弦） 型 归纳 回【例1) (1)已知角a的终边经过点P(-3,4),则sin= tana= (2)判断sin120°、cos210°、tan300°的符号（填“正”或“负”）。 V31 回【例2习 (单选)如图，一质点在半径为1的圆。上以点P 22 为起点，按顺时针方向做 0 匀波园阳远动，角决为d肉5尔时到达点W代喝，测则=（了 珠 P 3 A.-1 B.- 2 c.2 D. 2 3 目标双一流 领先高考培优课程 12 5 【练习1】 已知角α的终边经过点(13’13 则2sina+cosa= 目【练习2】 (单选)设是大于0的实数，角C的终边经过点 3a,-4a ,则sina的值为( 4 4 A.5 B.5 C. -5 D. 必 【金图3】归知P(-生m是角口袋边上一点，且ma= 5 (1)求实数的值； (2)角终边与单位圆交点A的坐标 模块二 同角三角函数 识 点 睛 同角三角函数的基本关系 4 目标双一流 领先高考培优课程 设任意角a的终边与单位圆交于点P(x,y),根据定义有sina=y,cosa=X,tanc=y( X X*0)。 1.平方关系：因为点P在单位圆上，满足x2+y=1,代入即得 sin2a+cos2a=1° 变形：sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sina。 2商教关系：当X≠0时，snC=y=tana,即 cOSa X tan&=sng(a≠ka+g,k∈Z。 coSa 变形：sina=cosa~tana,cos&=sinc。 tan a (一)基本应用“知一求二” sima,cosa,tanc知道其中一个，可以用sin'a+cos'&=l,tana=snc来出另外两个，只有当&角 cosa 的象限确定时，答案唯一，若以象限不确定，可能有两组解。 √7 0间【例3】 (单选)已知cosQ= 3,且a为第四象限角，则sina=() V14 V14 √2 V2 A 7 B. 7 C.3 D. 3 目标双一流 领先高考培优课程 【练习4】 (年随)已知re@刘，rosr S"是：sin= ”的() A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5 【练习5】（单选）已知角是第二象限角， sina = 13,则c0s=() 12 5 5 2 A.13 B.13 C.13 D.13 间【练习6) (单选)已知角9∈[0，可，且满足sin0+2cos0=0,则sin0的值为() 25 2W5 5 A.5 B.- 5 c.5 D. 5 (二）基本应用“弦切转换” 齐次式求值，当遇到分式，分子和分母中每一项次方相同，只有sin0,cosa时，可以通过分 子分母同时除以COS0把里面的每一项从弦化切或常数。 6 目标双一流 领先高考培优课程 回【例4】 (单选)已知tana=3,则 2cosa=() cosa-sina A.-1 B.1 C.3 D.-3 sina-2cosa 间【练习) (单选)已知tana=3,则2sina+cosa() 1 A.-2 B.7 C.7 D.7 17 回【例5】 (多选)10已知B∈(0，x),sin6-c0s0 13,则下列结论正确的是() π 2 cos0=<12 C.tan0=-5 tan 60 A. B. 13 12 D.1+tan20169 【练习8】 (单选)若 e(0,)2sina+cos=1ana=() 5 3 4 A.5 B.4 C.4 D.3 7 目标双一流 领先高考培优课程 0间 > sina+cosa=- 【练习9】 (单选)已知 13,a∈(0，π ,则tana等于() 5 5 12 12 A.12 B.12 c.5 D.5 练习10（多选）已知 s血0+cos0=50E0,元则下列等式正确的是（ sin@cos0=-12 A 25 B.sin-cos0= tan0=-3 4 D.sin0-cos0= 25 【练习11】 (1)已知tana是关于x的方程2 2x2+x-1= 0的一个实根，且“是第一象限角， 求3sin2a-sic+2cos“的值： 1 11 (2)已知 sina cosa =2,且a∈(0，元)，求sina cosa的值. 8 目标双一流 领先高考培优课程 回【例6) 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较 1 小的内角为a,大正方形的面积为1，小正方形的面积是3，则sina+cosa=」 今a 0日【练习12】 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），直角三角形中 sin0+cos0= 较小的锐角为8，若 ,则图中的大正方形与小正方形的面积之比为 D D G E H B B 9 目标双一流 领先高考培优课程 课后作业 一、选择题。 1.已知角a的终边经过点P(3,-4),则cos的值为() 3 A 5 8-3 5 2.若sina<0且tana>0,则角a是() 10 目标双一流 领先高考培优课程 A第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3. 己知c0s0=-1 且9为第二象限角，则tan0的值为() A 3 B.-3c. 3 3 3 3 二、填空题。 4.角ax的终边在直线y=-2x上，且a为第二象限角，则sina= 5.已知角a的终边经过点P(-3a,4a)(a<0),则sina+2cosa的值为 三、解答题。 台已知角a的终边上有一点P(x,5)(xr0,且c0s=2x 4t。 (1)求x的值： (2)求sina和tana的值。 11 目标双一流