第1讲 集合的概念导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的概念，涵盖集合含义、元素与集合关系、表示方法及分类等核心知识点。课堂导入从初中数集入手搭建学习支架，引导学生衔接旧知，逐步理解集合的确定性、互异性和无序性等关键特性。 资料亮点在于题型分层设计，从概念辨析到综合应用，结合元素特性培养数学思维的推理能力，通过自然语言、列举法等多种表示方法训练数学语言表达，助力学生用数学眼光抽象现实问题中的集合关系，提升学习效率与核心素养。

第1讲 集合的概念 【知识梳理】 知识点 1 集合的含义 1. 元素 一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2. 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3. 对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1. 元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2. 集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3. 集合相等： 根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等； （2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与1，2，3，4构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1. 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2. 集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】 ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3. 集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 【题型归纳】 题型一、集合的含义及辨析 【判断一组对象能否组成集合的标准】 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1. 考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． （1）2026年全国高考数学试卷中的所有难题； （2）观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会对接的电视观众； （3）接近1的全体实数； （4）篮球比林书豪打得好的球员． 2. 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 3. 下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（   ）． A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 4. 下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．保定高中2026级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 题型二、元素与集合关系的判断 【元素与集合关系的判断方法】 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 5. 下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 7. 集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 8. 若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 9. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、根据元素与集合的关系求参数 【利用集合中元素的特异性求参数】 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 10. 含有三个实数的集合，若且，求的值． 11. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 12. 已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 13. 设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. （1）设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； （2）设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； （3）设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 题型四、集合的表示方法 14. 把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； （5）由方程的所有整数解组构成的集合S． 15. 用适当的方法表示下列集合： （1） 一年中有31天的月份的全体； （2） 大于小于12.8的整数的全体； （3） 所有能被3整除的数的集合； （4） 方程的解集； （5） 不等式的解集； （6） 抛物线上的点组成的集合． 题型五、集合相等 16. （多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 17. 已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型六、集合与方程综合 18. 已知集合. （1）若，求集合； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 19. 已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数取值范围. 20. 设为实数，集合． （1）若，求S； （2）若，求满足的条件； （3）设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【课后训练】 1. 集合{(x，y)|y=3x+1}表示(　　) A. 函数y=3x+1 B. 点(x，y) C. 平面直角坐标系中所有的点组成的集合 D. 函数y=3x+1的图象上的所有点组成的集合 2. 已知集合A={x∈R|1<x<3}，则下列关系正确的是(　　) A.1∈A B.2∉A C.3∈A D.4∉A 3. 设集合M={a2-a，0}，若a∈M，则实数a的值为(　　) A.0 B.2 C.2或0 D.2或-2 4. 已知集合M=，则M等于(　　) A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4} 5. (多选题)已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A.x1x2∈A B.x2x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 6. 一次函数y=2x与y=3x-2的图象的交点组成的集合用列举法表示为　　　　　.  7. 已知集合A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m=　　　　　，集合A=　　　　　.  8. 设集合A={1，-2，a2-1}，B={1，a2-3a，0}，若A，B相等，则实数a=　　　　　.  9. 选择适当的方法表示下列集合: （1）一年中有31天的月份组成的集合; （2）由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合. 10. 设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2-2x. （1）求元素x应满足的条件; （2）若-2∈A，求实数x. 11. 设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a+b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且A=B，求a，b的值. 12. 已知集合A={x|ax2-3x+2=0}，其中a为常数，且a∈R. （1）若集合A中至少有一个元素，求a的取值范围; （2）若集合A中至多有一个元素，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念 【知识梳理】 知识点 1 集合的含义 1. 元素 一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2. 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3. 对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1. 元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2. 集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3. 集合相等： 根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等； （2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与1，2，3，4构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1. 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2. 集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】 ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3. 集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 【题型归纳】 题型一、集合的含义及辨析 【判断一组对象能否组成集合的标准】 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 1. 考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． （1）2026年全国高考数学试卷中的所有难题； （2）观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会对接的电视观众； （3）接近1的全体实数； （4）篮球比林书豪打得好的球员． 【答案】（1）试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是无法确定的，故不能组成一个集合 （2）观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会对接的电视观众没有明确的判定标准，元素无法确定，不能组成一个集合 （3）接近1的实数没有一个明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一个集合 （4）哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以不能组成一个集合 2. 下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 3. 下列所给的对象能构成集合的是：①所有的正三角形；②高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题；③比较接近1的正数；④溆浦县第三中学2025年下学期高一年级16岁以下的学生；⑤平面直角坐标系内到原点距离等于1的点（   ）． A．①④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据集合的概念逐个确定即可． 【详解】①能构成集合；②不能构成集合，“难题”标准不确定；③不能构成集合，“比较接近1”的标准不明确； ④能构成集合；⑤能构成集合．故选：A． 4. 下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．保定高中2026级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D，无限接近于，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误，故选：C 题型二、元素与集合关系的判断 【元素与集合关系的判断方法】 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 5. 下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由于，，，，故②错误，①③④正确. 6. 集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 7. 集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数，奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确.故选：B 8. 若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件.若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 9. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，则， 当只存在一个正数时，不妨设，则，则， 当只存在一个负数时，不妨设，则，则， 当时，，则，所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 题型三、根据元素与集合的关系求参数 【利用集合中元素的特异性求参数】 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 10. 含有三个实数的集合，若且，求的值． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可. 【详解】因为中，为分母，所以.又因为，所以.因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去.当时，集合为 .综上所述，，. 所以 11. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 12. 已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C 13. 设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. （1）设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； （2）设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； （3）设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是可积数集，理由如下：因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. (2)；(3)或 【分析】（1）根据可积数集得定义判断； （2）由新定义可得，或，或，或，或，或，讨论求解； （3）由题意可得，，分，，讨论求解. 【详解】（1）略 （2）若为可积数集，则，或，或，或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或，解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或，解得，或，或，或； 若，则，或，或，或，解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. （3）若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去.综上，所求实数的取值范围为或. 题型四、集合的表示方法 14. 把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； （5）由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且；(2) (3) ；(4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得：一位自然数：；两位无重复：； 三位无重复：；故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离，距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法：， 用描述法为：． 15. 用适当的方法表示下列集合： （1） 一年中有31天的月份的全体； （2） 大于小于12.8的整数的全体； （3） 所有能被3整除的数的集合； （4） 方程的解集； （5） 不等式的解集； （6） 抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月；(2) (3)；(4)；(5)；(6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 题型五、集合相等 16. （多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合，故选：BD． 17. 已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以，所以.故选：B 题型六、集合与方程综合 18. 已知集合. （1）若，求集合； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或，所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 19. 已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素，关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且.故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即. 综上可知，实数的取值范围是. 20. 设为实数，集合． （1）若，求S； （2）若，求满足的条件； （3）设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【答案】(1)；(2)或；(3). 【分析】（1）将代入方程，求解即可； （2）由为方程的根可求出a的值，再讨论是否为的根即可. （3）分类讨论，是的根时，确定a的值，再考虑另一个方程的判别式情况，验证是否符合题意，同理讨论-2是的根，综合即可求得答案. 【详解】（1）若，则方程为，即，解得或，故； （2）由题意知；又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根；若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； （3）由题意知，则，且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得，此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根，结合，即得的两根必为和2，则，即，此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得，此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时，，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 【课后训练】 1. 集合{(x，y)|y=3x+1}表示(　　) A. 函数y=3x+1 B. 点(x，y) C. 平面直角坐标系中所有的点组成的集合 D. 函数y=3x+1的图象上的所有点组成的集合 【解析】由集合描述法的定义可知，该集合表示函数y=3x+1的图象上的所有点组成的集合. 【答案】D 2. 已知集合A={x∈R|1<x<3}，则下列关系正确的是(　　) A.1∈A B.2∉A C.3∈A D.4∉A 【解析】因为集合A={x∈R|1<x<3}，所以1∉A，2∈A，3∉A，4∉A，故选D. 3. 设集合M={a2-a，0}，若a∈M，则实数a的值为(　　) A.0 B.2 C.2或0 D.2或-2 【解析】∵集合M={a2-a，0}，∴a2-a≠0，即a≠0，且a≠1.又a∈M，∴a=a2-a，∴a=2.故选B. 4. 已知集合M=，则M等于(　　) A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4} 【解析】因为集合M=，所以5-a可能为1，2，3，6，即a可能为4，3，2，-1，所以M={-1，2，3，4}，故选D. 5. (多选题)已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　) A.x1x2∈A B.x2x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 【解析】由题意，可知集合A表示奇数集，B表示偶数集，则x1，x2是奇数，x3是偶数，因此x1+x2+x3应为偶数，即x1+x2+x3∉A，D错误；A，B，C显然正确. 6. 一次函数y=2x与y=3x-2的图象的交点组成的集合用列举法表示为　　　　　.  【解析】由题意，得={(2，4)}. 【答案】{(2，4)} 7. 已知集合A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m=　　　　　，集合A=　　　　　.  【解析】若m=2，则m2-3m+2=0，这与m2-3m+2≠0矛盾，不合题意;若m2-3m+2=2，则m=0或m=3，当m=0时，与m≠0矛盾，不合题意;当m=3时，此时集合A的元素为0，3，2，符合题意. 【答案】3　{0，2，3} 8. 设集合A={1，-2，a2-1}，B={1，a2-3a，0}，若A，B相等，则实数a=　　　　　.  【解析】由集合A，B相等，得解得a=1. 【答案】1 9. 选择适当的方法表示下列集合: （1）一年中有31天的月份组成的集合; （2）由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合. 【答案】（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （2）用描述法表示该集合为{(x，y)|y=-x+4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}. 10. 设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2-2x. （1）求元素x应满足的条件; （2）若-2∈A，求实数x. 【答案】(1)由集合中元素的互异性，得x≠3，且x2-2x≠x，x2-2x≠3，解得x≠-1，且x≠0，且x≠3. 故元素x满足的条件为x≠-1，且x≠0，且x≠3. (2)若-2∈A，则x=-2或x2-2x=-2. 因为方程x2-2x+2=0无解，所以x=-2. 11. 设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a+b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且A=B，求a，b的值. 【解析及答案】由于集合B中的元素是0，，b，故a≠0，b≠0.因为A=B，知a+b=0，即b=-a，所以=-1.故a=-1，b=1. 12. 已知集合A={x|ax2-3x+2=0}，其中a为常数，且a∈R. （1）若集合A中至少有一个元素，求a的取值范围; （2）若集合A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1)当集合A中恰有一个元素时，若a=0，则方程化为-3x+2=0，此时关于x的方程ax2-3x+2=0只有一个实数根x=; 若a≠0，则令Δ=9-8a=0，解得a=，此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根. 当集合A中有两个元素时，则a≠0，且Δ=9-8a>0，解得a<，且a≠0，此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根. 综上，当a≤时，集合A中至少有一个元素. (2)当集合A中没有元素时，则a≠0，Δ=9-8a<0，解得a>，此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根. 当集合A中恰有一个元素时，由(1)知，此时a=0或a=. 综上，当a=0或a≥时，集合A中至多有一个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $