第17讲 任意角和弧度制 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第17讲 任意角和弧度制 模块一 任意角的概念 1 课后作业 附解析 9 模块三 弧长和扇形面积公式 4 模块二 弧度制 3 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第17讲 任意角和弧度制 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握核心概念：准确理解任意角（正角、负角、零角）的概念，掌握象限角及终边相同角的集合表示方法 。 2. 理解弧度制：深刻理解弧度的定义（长度等于半径长的圆弧所对的圆心角），掌握角度制与弧度制的互化关系（ ）。 3. 熟练公式应用：掌握弧度制下的扇形弧长公式 和面积公式 ，并能进行相关的计算。 模块一 任意角的概念 知 识 点 睛 任意角的概念 · 定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 · 分类： · 正角：按逆时针方向旋转形成的角。 · 负角：按顺时针方向旋转形成的角。 · 零角：一条射线没有做任何旋转形成的角。 · 象限角：将角的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限） · 终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 。 热 点 题 型 归 纳 【例1】与 终边相同的角的集合是 ；在该集合中，属于 范围内的角是 ____________。 【练习1】 （多选）下列各角中，与终边相同的角为（ ） A. B. C. 370° D. 380° 【练习2】 （单选）若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 模块二 弧度制 知 识 点 睛 · 定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角，记作 。 · 换算关系（极度重要！）： · 常用特殊角的互化： ， ， ， ， ， 。 注意：①终边相同的角不一定相等：相等的角终边一定相同，但终边相同的角相差 的整数倍。 ②弧度制下的负角：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 。在套用弧长和面积公式时，角度要取绝对值 。 ③角度与弧度的混用：在同一个式子中，不能同时出现角度和弧度（如 是绝对错误的写法） 热 点 题 型 归 纳 【例2】（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 60°化成弧度是 B. 角终边落在第一象限，则角为锐角 C. 角是第二象限角，则是第三象限角 D. 角与角的终边相同 【练习3】 （单选） 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【练习4】（单选）已知是第三象限角，那么是（ ） A. 第二象限角 B. 第四象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角 模块三 弧长和扇形面积公式 知 识 点 睛 弧长与扇形面积公式（弧度制下） 设扇形的半径为 ，弧长为 ，圆心角的弧度数为 ( )，则： · 弧长公式： · 扇形面积公式： 热 点 题 型 归 纳 【例3】 （单选） 半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【练习5】 （单选）已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ） A. B. C. D. 【练习6】 （单选） 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【例4】 （单选）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【练习7】 （单选） 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（ ）. A. B. C. D. 【练习8】 （单选）如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【练习9】 （单选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. B. C. D. 【例5】 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）． （1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 【练习10】 （单选）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ） A. B. C. D. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 第一象限角一定不是负角 B. 小于 的角一定是锐角 C. 钝角一定是第二象限角 D. 终边相同的角一定相等 1. 与 终边相同的角中，属于 范围内的角是（ ） A. B. C. D. 1. 将 化为弧度，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准运算，规范表达） 1. 在 到 范围内，与角 终边相同的角是 ____________。 1. 已知扇形的半径 ，弧长 ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 6. 写出与下列各角终边相同的角的集合 ，并把 中适合不等式 的元素 写出来： （1） ； （2） 。 1. 要在半径 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧 的长为 。 （1）求该扇形的圆心角 的弧度数； （2）求该扇形的面积 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第17讲 任意角和弧度制 模块一 任意角的概念 1 课后作业 附解析 11 模块三 弧长和扇形面积公式 5 模块二 弧度制 3 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第17讲 任意角和弧度制 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握核心概念：准确理解任意角（正角、负角、零角）的概念，掌握象限角及终边相同角的集合表示方法 。 2. 理解弧度制：深刻理解弧度的定义（长度等于半径长的圆弧所对的圆心角），掌握角度制与弧度制的互化关系（ ）。 3. 熟练公式应用：掌握弧度制下的扇形弧长公式 和面积公式 ，并能进行相关的计算。 模块一 任意角的概念 知 识 点 睛 任意角的概念 · 定义：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 · 分类： · 正角：按逆时针方向旋转形成的角。 · 负角：按顺时针方向旋转形成的角。 · 零角：一条射线没有做任何旋转形成的角。 · 象限角：将角的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限） · 终边相同的角：所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 。 热 点 题 型 归 纳 【例1】与 终边相同的角的集合是 ；在该集合中，属于 范围内的角是 ____________。 【答案】 ； 。 【解析】 根据终边相同角的集合公式直接写出。令，得，该角在 范围内。 【练习1】 （多选）下列各角中，与终边相同的角为（ ） A. B. C. 370° D. 380° 【答案】AD 【解析】与终边相同的角为， 当时，；当时，；所以AD选项正确，BC选项错误.故选：AD 【练习2】 （单选）若与角终边相同，则是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角；故选：C 模块二 弧度制 知 识 点 睛 · 定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角，记作 。 · 换算关系（极度重要！）： · 常用特殊角的互化： ， ， ， ， ， 。 注意：①终边相同的角不一定相等：相等的角终边一定相同，但终边相同的角相差 的整数倍。 ②弧度制下的负角：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 。在套用弧长和面积公式时，角度要取绝对值 。 ③角度与弧度的混用：在同一个式子中，不能同时出现角度和弧度（如 是绝对错误的写法） 热 点 题 型 归 纳 【例2】（多选）下列说法中正确的是（ ） A. 60°化成弧度是 B. 角终边落在第一象限，则角为锐角 C. 角是第二象限角，则是第三象限角 D. 角与角的终边相同 【答案】AD 【解析】对于A,化成弧度是,A正确， 对于B，角的终边落在第一象限，但角为不是锐角，B错误， 对于C，角α是第二象限角，则，则 ， 故 是在第三象限或者第一象限的角，C错误， 对于D, ，故 与角 的终边相同D正确， 故选：AD 【练习3】 （单选） 是第几象限角（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】A 【解析】，故 终边相同， 又，第一象限的角，所以是第一象限的角，故选：A 【练习4】（单选）已知是第三象限角，那么是（ ） A. 第二象限角 B. 第四象限角 C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角 【答案】D 【解析】由，，则，， 为奇数时，在第四象限，为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限.故选：D 模块三 弧长和扇形面积公式 知 识 点 睛 弧长与扇形面积公式（弧度制下） 设扇形的半径为 ，弧长为 ，圆心角的弧度数为 ( )，则： · 弧长公式： · 扇形面积公式： 热 点 题 型 归 纳 【例3】 （单选） 半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】不妨设扇形的弧长为，所对的圆心角的弧度数为， 则有，即，解得， 所以该扇形圆心角的弧度数为4. 故选：D. 【练习5】 （单选）已知一个扇形的面积为，半径为2，则其圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由扇形面积公式得，， 故选：C． 【练习6】 （单选） 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 【例4】 （单选）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知，所以是等边三角形， 所以，, 所以扇形的面积为，的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为. 故选：B. 【练习7】 （单选） 莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，则以点分别为圆心， 圆弧所对每个扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是， 则．故选：A 【练习8】 （单选）如图所示的曲边三角形（图中实线）是机械加工使用的某种钻头的横截面．它是分别以正（图中虚线）的三个顶点为圆心，以其边长a为半径所作的三段圆弧，，构成的封闭图形，称做鲁洛克斯（F．Reuleaux）三角形．则鲁洛克斯三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】鲁洛克斯三角形的周长为. 故选：B. 【练习9】 （单选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积，故选：C 【例5】 某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）． （1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 【答案】（1），． （2）（ⅰ），；（ⅱ）的最大值为， ． 【解析】（1）由题可知，解得． 又由，可得， 所以关于的函数解析式为，． 因为函数在时单调递减， 所以，可得． （2）（ⅰ）花坛的面积为， 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用之比为． （ⅱ）令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时． 【练习10】 （单选）中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，取AD的中点为M，连接BM，CM，延长AB，CD交于点O， 由题意，△AOB为等腰三角形，又∵，∴AD//BC， 又∵M为AD的中点，，∴AM与BC平行且相等， ∴四边形ABCM为平行四边形，∴，同理， ∴△ABM，△CDM都是等边三角形，∴△BOC是等边三角形， ∴该玉佩的面积，故选：B. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 第一象限角一定不是负角 B. 小于 的角一定是锐角 C. 钝角一定是第二象限角 D. 终边相同的角一定相等 1. 与 终边相同的角中，属于 范围内的角是（ ） A. B. C. D. 1. 将 化为弧度，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准运算，规范表达） 1. 在 到 范围内，与角 终边相同的角是 ____________。 1. 已知扇形的半径 ，弧长 ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 6. 写出与下列各角终边相同的角的集合 ，并把 中适合不等式 的元素 写出来： （1） ； （2） 。 1. 要在半径 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧 的长为 。 （1）求该扇形的圆心角 的弧度数； （2）求该扇形的面积 。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】C。解析：A错误，如 是第一象限角；B错误，如 小于 但不是锐角；C正确，钝角的范围是 ，终边一定在第二象限；D错误，终边相同的角相差 的整数倍，不一定相等。 2. 【答案】B。解析： ，所以 与 终边相同。再找 内的角： 。 3. 【答案】B。解析： 。 二、 填空题 4. 【答案】 。解析：与 终边相同的角是 。令 ，可得 ，该角在 范围内。 5. 【答案】 。解析：根据弧度数公式 ，代入得 。 三、 解答题 6. 【解析】 （1）终边相同的角的集合为 。 令 ，得 ； 令 ，得 ； 令 ，得 。 所以适合不等式的元素 有： 。 （2）终边相同的角的集合为 。 令 ，得 ； 令 ，得 ； 令 ，得 。 所以适合不等式的元素 有： 。 7. 【解析】 （1）根据弧长公式 ，得 。 因为是正角，所以圆心角 。 （2）根据扇形面积公式 ，代入得 。 答：该扇形的圆心角为 ，面积为 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $