新疆维吾尔自治区喀什第二中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

喀什二中2026-2027学年第一学期高二年级10月考试 数学试卷 命题人：包爱祥 试卷分值：150 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，其中，则（    ） A．12 B． C．6 D． 4．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 5．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 7．正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，底面，底面为矩形，，是上一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分） 9．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线为异面直线 C．直线与直线所成的角为 D．平面 10．关于空间向量,以下说法正确的是（  ） A．空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点,有,则四点共面 C．设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底 D．若,则是钝角 11．已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．平面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 13．是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 14．在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15．（13分）已知空间三点. (1)求的面积； (2)若向量，且，求点的坐标. 16．（15分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. (3)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分）如图，四棱锥中，底面 是矩形，，，，M是的中点，. (1)证明：平面； (2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 19．（17分）已知四棱锥中，平面平面，，，为等腰直角三角形，. (1)证明：平面； (2)若是线段上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)点满足（2）中条件，在线段上是否存在点（不与端点重合）使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什二中2026-2027学年第一学期高二年级10月月考 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C C C C AD ABC 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 2．D 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】, 故向量在向量上的投影向量为， 故选：D 3．D 【分析】建基底，把用基底表示，然后平方，即可求出. 【详解】根据条件，以，，作为一组基底， 因为， 所以， 即， 所以, 因为， 所以， 所以. 故选：D. 4．B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 5．C 【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案. 【详解】由与三点共面以及， 可得，，所以. 故选：C. 6．C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 7．C 【分析】由正三棱锥中，可知三条侧棱互相垂直，可补为正方体求解. 【详解】正三棱锥中，，, 所以, 故, 同理可得, , 以为棱构造正方体， 则该棱锥外接球即为该正方体的外接球， 如图， 所以， 故球的表面积为, 故选：C 8．C 【详解】因为底面，所以， 又，故平面，故，此时，，则. 因为，所以，即. 9．AD 【分析】利用线面平行的判定即可判断A；根据即可判断BC，建立合适的空间直角坐标系，证明，最后结合线面垂直的判定即可. 【详解】对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误； 对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 则， 则， 则， 则，又因为平面，所以平面. 故选：AD. 10．ABC 【分析】将三个向量平移至共起点,由两个向量共线,可知三个向量一定共面,将写为,将式子移项,根据向量的减法,即可得,即四点共面,根据空间中基底是三个不共面的向量构成的,可得选项C的正误,若,夹角可为,可判断选项D. 【详解】解:由题知,关于选项A: 因为向量的两个要素为方向和大小, 跟向量所在位置无关, 可将三个向量平移至共起点, 根据两条相交直线可以确定一个平面知这三个向量一定共面, 故选项A正确; 关于选项B: 因为, 即, 即, 即, 即, 根据空间向量共面定理可得:四点共面, 故选项B正确; 关于选项C: 因为是空间中的一组基底, 则为不共面的三个向量, 与共线,与共线, 所以不共面, 故也是空间的一组基底, 故选项C正确; 关于选项D: 若, 则夹角可为, 不是钝角, 故选项D错误. 故选:ABC 11．AD 【分析】对A，利用判断；对B，平面即平面，由与平面关系可判断；对C，直接找到线面角对应的直角三角形，计算边长得到正切值；对D，由，分析动点到平面的距离是否为定值，结合的面积是否为定值判断体积. 【详解】对于A：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 由题意得，设， 向量，， 故，A正确； 对于B：平面即平面，直线过平面内一点且不在平面内，直线与平面相交，不平行，B错误； 对于C：因为平面，则为在平面上的射影， 所以即直线与平面所成角，在中，（是中点）， ，故，C错误； 对于D： 因为，平面，平面，故平面， 上所有点到平面的距离恒为正方体棱长（定值）， 因此为定值，而，D正确. 12． 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 13． 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. 14．/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． 15．(1) (2)或 【分析】（1）求出的夹角为，利用三角形面积公式得到答案； （2）根据平行关系和模长得到，于是或，求出点的坐标. 【详解】（1）设向量的夹角为，由空间三点， 可得， ， 可得， 因为，所以， 所以三角形的面积为. （2）因为，所以，其中， 因为，可得， 所以， 于是或， 即点的坐标为或. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 17．(1)连接交于点，连接. 因为底面是正方形，所以为的中点. 因为为的中点，所以是的中位线，. 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量点到平面的距离公式求解即可； （3）由空间向量直线与平面的夹角求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为，因为，， 所以令，得. 因为，所以点到平面的距离. （3）结合（2）中坐标系，知， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1)证明：取的中点，连接，与交于Q点， 在底面矩形中，易知， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 易知，所以， 由题意可知, 所以，而相交，且平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理结合勾股定理逆定理可证得结论成立； （2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）由上可知，，， 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 解得，即. 19．(1) 取的中点，连接， 由题意可知：，，则， 且，即，可得， 可知四边形为正方形，可得， 则，可得， 又因为为等腰直角三角形，，可知， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面， 所以平面. (2) (3) 由（2）可得：，， 设，，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 所以存在点，此时. 【分析】（1）取的中点，结合题意可证，结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，即可证线面垂直； （2）建系标点，设，结合线面平行可得，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，求平面的法向量，利用空间向量结合二面角列式解出的值，进而分析判断. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：平面，， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为， 若平面， 则，解得，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 又因为，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $