专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，新疆专用）高二数学上学期

专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知空间中三个不同的点，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间向量的加法法则化简可得结果． 【详解】 因为 故选：B． 2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）若非零向量，满足， ，则与的夹角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【分析】 设与的夹角为θ，则由，，可得，从而可求得与的夹角 【详解】 设与的夹角为θ， 因为，所以， 所以， 因为非零向量，满足， 所以， 因为，所以，即， 故选：B 3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】 A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 4．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 直接利用相等向量的定义,结合平行六面体的几何特征即可求解． 【详解】 如图， 在平行六面体中，与相等的向量有3个， 分别是，，． 故选：BC． 5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】 依题意有. 故选：B. 6．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用向量的加法法则直接求解. 【详解】 在四面体中，，分别是，的中点， 故选：A． 7．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（     ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 【答案】BD 【分析】 对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】 对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误； 对于B，由共面向量定理易知得B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 8．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，设，，，是的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用向量加法、减法和数乘运算，用表示出. 【详解】 . 故选：B 【点睛】 本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法和数乘运算. 9．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（     ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【分析】 根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】 相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 10．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】 因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 11．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）如图，空间四边形中，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】 因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 12．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）下列说法正确的是（       ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【分析】 根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】 对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（     ） A.  B.  C. 三棱锥的体积为 D. 和的夹角为 【答案】ABD 【分析】 根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确. 【详解】 对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而，所以，即A正确； 对于B，知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为，可得，可得，即D正确. 故选：ABD. 14．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知空间向量，，满足，，则的值为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】 由得， 两边平方得， 又，所以， 所以. 故选：A 15．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）（多选）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 平面平面 【答案】ABD 【分析】 A由空间向量加法结合图形可判断选项正误；B由A结合空间向量模长公式可判断选项正误；C验证是否为0可判断选项正误；D取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理即可判断选项正误. 【详解】 对于A，由图，，故A正确； 对于B，由A， ，故B正确； 对于C， ，则与BC不垂直，故C错误； 对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得， 注意到, 则，又，平面， 则平面，又平面，则平面平面，故D正确. 故选：ABD 16．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A. 空间四边形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 【答案】B 【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形. 【详解】由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同, 即四边形ABCD是平行四边形.故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题. 17．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】 设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 【点睛】 关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解. 18．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】 因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得 ，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】 因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 20．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知空间三点，则在上的投影向量坐标为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】 由三点， 可得，则， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 21．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知是空间中不共面的向量，若． （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的值． 【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系． (1) 小问详解： 因为三点共线，则， 又，   ， 有 解得 ； (2) 小问详解： 因为四点共面，则，    则，    有 ，得. 22．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据向量共面的基本定理计算即可求解. 【详解】 ， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为： 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据斜坐标的定义直接计算可得. 【详解】 因为向量在基底下的斜坐标为， 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 如图，连接，    则. 故选：C 3．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（     ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【分析】 举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】 当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 4．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（       ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】A 【分析】 设，分别求出的模长和两两之间的数量积，将用表示，并利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【详解】    如图，不妨取，则，，， ，，. 因为， 则 ，故. 故选：A. 5．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】 由， 所以，故. 故选：D 6．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】 连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 7．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案. 【详解】 由题意知在空间四边形中，，，，且，，    则 ， 故选：D 8．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）在空间向量中，能作为基底的一组向量是　　　　　　　　： ①，，； ②，，； ③，，． 【答案】② ③ 【分析】 逐一分析① ② ③ ，检查是否共面，分析即可得答案. 【详解】 对于① ：， 所以共面，不能作为空间向量中的基底，故① 错误； 对于② ：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即 ，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故② 正确； 对于③ ：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即 ，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故③ 正确； 故答案为：② ③ 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知空间向量，，则的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 根据空间向量的数量积的坐标表示求解即可. 【详解】 由题意，. 故选：C 2．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）设，向量，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】 由，则，解得，，故. 故选：B. 3．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知，，则向量的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 用B点坐标减去A点坐标可得． 【详解】 因为，，所以, 故选：A 4．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知空间向量，，若，则的值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】 若，则．因为，， 所以，解得． 故选：C． 5．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知点，若向量，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】 设，因为，且， 则 ，所以 ，即. 故选：A 6．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知，，且，则x的值为（       ） A.  B.  C. 6 D. －6 【答案】D 【分析】 空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之. 【详解】 因为，所以，解得. 故选：D. 7．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）已知空间向量，，且，则（       ） A.  B. 16 C. 4 D.  【答案】A 【分析】 利用向量平行的关系计算未知数，然后求解即可. 【详解】 由题可知，解得， 所以. 故选：A. 8．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（       ）. A.  B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D.  【答案】AB 【分析】 由向量的坐标运算可判断A，由数量积的坐标运算可判断B，由关于平面对称的点的坐标特点可判断C，由向量模的坐标运算可判断D. 【详解】 对A，，故A正确； 对B，，所以，故B正确； 对C，点关于平面对称的点的坐标为，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：AB. 9．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知向量，，若，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 由空间平行向量，先求出的值，再由模长公式求解模长. 【详解】 由，则，即， 有， 所以， 所以，则 故选：D 10．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（       ） A.  B. 3 C. 2 D. 5 【答案】B 【分析】 根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】 因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 11．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知向量，，且，则（     ） A.  B. 2 C. 4 D. 6 【答案】A 【分析】 根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【详解】 因为向量，，所以， 又因为，所以，所以， 解得. 故选：A. 12．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知向量，，若，则实数的值为（       ） A. 8 B.  C.  D. 14 【答案】B 【分析】 根据向量垂直，数量积为零，即可求得答案. 【详解】 因为，所以，即，解得：. 故选：B. 13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）（多选）在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（     ） A. 点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为 B. 点在平面Ozx面上 C. 点，的中点坐标是 D. 两点，间的距离为3 【答案】BCD 【分析】 A项，通过计算即可求出关于坐标平面的对称点的坐标；B项，通过点的坐标即可得出点在面上；C项，通过中点坐标公式即可得出结论；D项，根据两点间距离公式计算即可. 【详解】 由题意， 对A，点 关于坐标平面的对称点的坐标为，A错误; 对于B，点 的坐标为 0，则点 在平面上，B正确; 对于C，点与点，则的中点坐标是，C正确; 对于 D，两点，间的距离为：，D正确. 故选：BCD. 14．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）（多选）已知向量，则下列选项错误的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据空间向量的坐标表示和几何意义判断A；根据空间向量数量积的坐标表示即可判断B；根据空间垂直向量的坐标表示即可判断C；根据空间共线向量的坐标表示即可判断D. 【详解】 A：，则，故A错误； B：， 所以，故B错误； C：，所以， 则，故C正确； D：，若， 则存在非零实数，使得， 即，得 ，无解， 故不成立，故D错误. 故选：ABD 15．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，结合投影向量的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为点，则，且， 所以， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知向量，且，那么（       ） A.  B.  C.  D. 5 【答案】A 【分析】 根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】 由向量，，且， 得，则，则. 故选：A 17．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）已知空间向量，，则下列计算正确的是（       ） A.  B.  C. 与的夹角满足 D.  【答案】ABC 【分析】 对A，由向量数量积坐标运算求解判断；对B，由向量的模长公式求解判断；对C，由向量的夹角公式求解；对D，由空间向量垂直的坐标关系求解判断. 【详解】 对于A，由向量的数量积坐标运算得，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由题意，，所以，故C正确； 对于D，由，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABC. 18．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意，只需限制：数量积为负数且向量不能反向共线，即可解题. 【详解】 由题意可得，且不能反向共线， 即 解得或. 故选：A． 19．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知向量，，若， 则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】 因为向量，，且， 故，解得. 故选：B. 20．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知向量，若，则等于（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】 因为， 可得：， 解得， 故选：B 21．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知向量，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据向量四则运算的坐标表示计算求解即可. 【详解】 因为， 所以，， 故选：D 22．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）已知空间中三点，则下列说法正确的有（     ） A.  B. 与是共线向量 C. 与夹角为 D. 在上投影向量的长度为 【答案】AD 【分析】 根据空间向量模的坐标运算判断A；根据共线向量的坐标形式判断B；利用向量夹角的坐标形式计算判断C；利用投影向量公式及模长运算公式计算判断D. 【详解】 对于A，由题意得，所以，正确； 对于B，，，不存在实数，使得， 所以与不是共线向量，错误； 对于C，，，所以， 又，所以， 因为，所以，错误； 对于D，因，， 则在上投影向量为， 其长度为，故D正确. 故选：AD. 23．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知，且，则（     ） A. 3 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，利用空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】 由向量，因为，可得，解得. 故选：D. 24．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）若，，，则的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 【答案】A 【分析】 应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值. 【详解】 由题设，则. 故选：A 25．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】 因为， 则，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：AC 26．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知空间向量，，则下列结论正确的是（       ） A. 向量在向量上的投影向量是 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】 对于A：因为，， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：A. 27．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B.  C. 12 D. 14 【答案】C 【分析】 根据空间向量坐标运算以及空间向量垂直的坐标表示可以计算得到答案. 【详解】 因为，所以， 解得， 故选：C. 28．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得. 【详解】 由，得， ， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 29．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知向量，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据空间向量共线的坐标表示，求出的值. 【详解】 向量，且， 所以，解得， 故选：B. 30．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（     ） A. 向量与向量的夹角为 B.  C. 向量与向量，共面 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】 利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量数量积为0可得向量垂直B正确； 得出向量共面判断C；根据投影向量的定义可计算出投影向量可判断D. 【详解】 因为，所以， 可得，则向量与向量的夹角为，故A错误； 因为， 所以，即B正确； 由向量，，，可知， 向量与向量，共面， 所以C正确. 根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D正确； 故选：BCD 31．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（       ） A. 2 B.  C. 或 D.  【答案】D 【分析】 由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】 因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 32．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. (1) 小问详解： 由，得. (2) 小问详解： 由（1）知，， 由，得 ， 所以. 33．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知，，且，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可. 【详解】 因为，，设， 所以，， 因为，所以 ， 解得，得到. 故答案为： 34．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知，，若，则　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间向量共线的坐标表示，由对应分量成比例即可求解. 【详解】 ，，且，故， 因此， 所以， 故， 故答案为： 35．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）向量在向量上的投影向量为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据投影向量的坐标公式进行求解即可. 【详解】 向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 36．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）写出两个向量的坐标，然后通过向量垂直的坐标公式求解； （2）通过向量平行设出向量的坐标、再通过向量的模长求解. (1) 小问详解： 由题意知， ， 所以， 又，所以， 解得. (2) 小问详解： 因为，又， 设， 又，所以，解得， 当时，；当时，， 所以向量的坐标为或. 37．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知向量，若，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】 由题意可得， 则，解得. 故答案为：. 38．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据向量的坐标运算求，的值，进而求投影向量. 【详解】 因为， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 39．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知，，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用空间向量线性运算的坐标表示及模长的坐标表示求解. 【详解】 向量，，则， 所以. 故答案为： 40．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. (1) 小问详解： ， ， ； (2) 小问详解： 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 41．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 【答案】（1）证明：如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故；      （2）     （3）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直； （2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （3）求出的坐标，由公式计算出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以 因为，且， 所以； (3) 小问详解： 因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 42．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）若，则　　　　　　　　　　　　，若与互相垂直，则实数　　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 空1：直接根据空间向量的坐标运算和数量积坐标公式即可；空2：根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】 空1：，则； 空2：， 若与互相垂直，则， ，. 故答案为：；. 43．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）     （2）      (1) 小问详解： 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. (2) 小问详解： 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 44．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接根据向量平行得到关于的方程，求解即可； （2）直接根据向量垂直得到关于的方程,然后解出即可; (1) 小问详解： 因为，，所以， ， 因为，则，解得. (2) 小问详解： 若，则，解得. 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 推导出，利用空间向量法可得出线面关系. 【详解】 因为，，则，即，因此，. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 依题意可得，即可得到，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】 因为，所以，所以，即， 所以 ，解得 ． 故选：B． 3．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】 由题意可知，，则，故或. 故选：D 4．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】 如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以.    故选：C. 5．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出平面的一个法向量，利用点到平面距离的向量求法计算可得结果. 【详解】 设平面的一个法向量为， 则 ，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故选：D 6．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【详解】由面面平行和线面平行的性质可判断A；由面面垂直和线面垂直的性质可判断B；由面面垂直和线面平行的性质可判断C；由面面垂直和线面垂直的性质可判断D. 【详解】 对于A，若，可得或，故A错误； 对于B，若，可得或，故B错误； 对于C，若，则，或，或与相交，故C错误； 对于D，若，则，正确. 故选：D. 【点评】 本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题. 7．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）（多选）下列给出的命题正确的是（       ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BC 【分析】 利用空间向量研究线面、面面关系可判定A、B，利用基底的概念可判定C，利用空间中四点共面的推论可判定D. 【详解】 易知，则直线l与平面平行或在面内，故A错误； 易知，则，故B正确； 若不能作为基底， 则存在，使得， 整理得， 又是空间的一组基底，则 ，显然方程无解，假设不成立，故C正确； 由空间四点共面的推论可知：若，且时， 四点共面，所以D错误. 故选：BC 8．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，点是体对角线的中点，则顶点到平面距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据正四棱柱性质利用线面垂直可得顶点到平面的距离即为顶点到平面的距离，计算可得结果. 【详解】 连接交于点，连接交于点，连接，如下图所示：    由点是体对角线的中点，根据四棱柱性质可知点在线段上，即平面； 因此顶点到平面的距离即为顶点到平面的距离， 因为是直四棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又因为为菱形，所以， 且，平面，可得平面； 因此即为顶点到平面的距离， 由，可得， 所以顶点到平面距离为. 故选：A 9．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）（多选）空间内有四点，则（       ） A. 点到直线EF的距离为 B. 点到直线EF的距离为 C. 点到平面EFN的距离为 D. 点到平面EFN的距离为 【答案】AD 【分析】 利用空间向量的坐标运算求点到直线、点到平面的距离. 【详解】 因为，所以EF的一个单位方向向量为． 因为，所以点到直线EF的距离为． 设平面EFN的法向量为，因为， 所以 令，得． 因为， 所以点到平面EFN的距离为． 故选:AD. 10．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（       ） A. 直线与直线为异面直线 B. 平面 C. 二面角的正弦值为 D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【分析】 连接、交于点，连接，即可证明，从而得到平面，即可判断A、B，建立空间中直角坐标系，利用空间向量法判断C，求出外接圆的半径，即可求出正三棱柱外接球的半径，即可判断D. 【详解】 连接、交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以，平面，平面， 所以平面，故B正确； 又，平面，所以与不平行且无公共点， 所以直线与直线为异面直线，故A正确； 取的中点，连接，则，又平面，则平面，又， 如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，取， 又平面的法向量可以为， 设二面角为，显然为锐二面角， 则，所以， 即二面角的正弦值为，故C错误； 外接圆的半径， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以该球的表面积，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点在线段上 C. 当时，点在棱上 D. 当时，点在线段上 【答案】ACD 【分析】 判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可． 【详解】 对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确； 对于B，当时，，，连接，即， 即，所以点在线段上，故B错误；    对于C，当时，，，所以， 所以，即，所以点在棱上，故C正确； 对于D，当时，，， 由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确． 故选：ACD. 12．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　） A. 26 B. 13 C. 2 D. 1 【答案】D 【分析】 求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】 设平面的法向量，则 ，令，得， 所以这个四棱锥的高. 故选：D 13．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是（       ） A. 平面截该正方体所得的截面为正三角形 B. 平面平面 C. 直线与所成角为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】 分别取，，的中点为，，，连接各中点，求出平面截该正方体所得的截面为正六边形判断A；利用面面平行的判定定理证明判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面夹角正弦，即可判断CD. 【详解】 对于A，分别取，，的中点为，，，连接各中点，如下图所示： 因为，所以，同理 ，， 即可知在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形，即A错误； 对于B，因为点分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点分别为，的中点，所以， 又，所以，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，即平面平面，故B正确； 对于C，建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 不妨取正方体的棱长为2， 则，，，，， 所以，， 所以直线ME与所成的角的余弦值为， 所以直线ME与所成的角为，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 设平面EFM的一个法向量为， 则 ，取，则，， 所以平面EFM的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误． 故选：BC. 14．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】    根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， 则， 设平面的法向量为， 则 ，解得 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：D 15．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，则以下说法正确的是（       ） A. 直线与平面所成角的正切值为 B. 二面角所成角的大小为 C. 直线与直线所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】 建立适当空间直角坐标系后借助空间向量夹角的余弦公式与点到平面距离公式逐项计算即可得. 【详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、 、、； 对A：由轴平面，则平面的法向量可为， 又，则， 设直线与平面所成角为，则， 则，故A正确； 对B：、， 设平面的法向量为， 则有 ，取，则， 设二面角所成角的大小为，由图可知为锐角 又平面的法向量为， 则， 故二面角所成角的大小为，故B正确； 对C：、， 设直线与直线所成的角为 则， 故直线与直线所成的角为，故C正确； 对D：、、， 设平面的法向量为， 则有 ，取，则， 则点到平面的距离，故D错误.    故选：ABC. 16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列结论中，正确结论的是（     ） A. 异面直线和所成的角为45° B. 平面 C.  D. 直线平面 【答案】BC 【分析】 可用几何法或建立空间直角坐标系来进行逐一判断. 【详解】    对于A：如图，连接，是棱的中点，是棱的中点，. 在正方体中，由且， 可得四边形为平行四边形，因此，则， 为异面直线与所成的角． 连接，易知为等边三角形，因此， 即异面直线与所成角为， 故A错误. 对于B：由选项A的解析过程可知， 又平面，平面， 平面， 故B正确. 对于C：不妨设正方体的棱长为2，并且以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因此. ， 故C正确. 对于D：同选项C建立相同的空间直角坐标系，因此有 假设平面成立，因为平面，则必有. 与不垂直，与假设矛盾，因此不垂直于平面. 故D错误. 故选：BC. 17．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论中错误的是（　　　　） A. AE∥平面C1BD B. 四面体ACEF的体积不为定值 C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D. 四面体ACDF的体积为定值 【答案】B 【分析】 根据面面平行的性质定理，判断A选项是否正确，根据锥体体积计算公式，判断BCD选项是否正确. 【详解】 对于A选项，易得平面与平面平行，所以平面成立，A选项结论正确. 对于B选项，由于长度一定，所以三角形面积为定值.到平面的距离，也即到平面的距离一定，所以四面体体积为定值，故B选项结论错误. 对于C选项，由于长度一定，所以三角形面积为定值. 到平面的距离，也即到平面的距离一定，所以三棱锥体积为定值，故C选项结论正确. 对于D选项，由于三角形面积为定值，到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值. 综上所述，错误的结论为B选项. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查利用面面平行证明线面平行，考查三棱锥（四面体）体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 18．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（       ） A.  B.  C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 【答案】AC 【分析】 利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答. 【详解】 对于A，，，， 依题意，，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为， 则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确； 对于D，因为，，在上的投影为， 所以点O到直线BC的距离是，故D错误. 故选：AC. 19．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（       ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B. 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 【答案】BD 【分析】 对于A，由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，求出组合体的体积即可； 对于B，由线面垂直，线线垂直，又有公共点即可判断； 对于C，设为的中点，令为的中点，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，结合图形可知当，，三点共线时，可求最小值； 对于D，结合B、C选项可判断. 【详解】 对于A，因为，所以等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为，故A不正确； 对于B，在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点， 所以，，又，相交于点，又都在平面内， 所以平面，又，与平面有一个公共点， 所以在平面内，所以四点共面，故B正确； 对于C，在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 由图可知当，，三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小， 在直角中，，所以，故C不正确； 对于D，由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，， 由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为，由此可知异面直线与所成角的范围为，故D正确. 故选：BD. 20．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 【详解】 如图： 因为，所以， 则， 又，所以， 则， 又平面，平面，所以，， 即， 又，所以 所以 ， ，， 所以， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：A 【点睛】 方法点睛：以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 21．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 补全底面为正方形ABCG，由正方形性质有面面，进而可证为平行四边形，则为直线与平面所成角，△中由余弦定理知，结合棱锥侧面为全等三角形知，即可求的取值范围. 【详解】 由，，将底面补全为正方形ABCG，如下图示， O为ABCG对角线交点且，又有，， ∴面，而面，故面面， 若H为DG的中点，连接FH，又为棱的中点，则且， 而，，有平行且相等，即为平行四边形. ∴可将平移至，直线与平面所成角为，且中， 令，，即， ∴△中，，即， ∵，即， ∴，解得（舍去）， 综上有， 故选：C 【点睛】 关键点点睛：补全几何体，应用正方形、中位线、平行四边形性质，根据线面角的定义确定对应的平面角，结合余弦定理及空间角的范围，求线面角的范围. 22．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面．     （2）      【分析】 (1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由 ，解得 ，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 23．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 【答案】（I） （II） 【详解】 试题分析:（I）以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得 和 的坐标，可得cos＜ ， ＞，可得答案； （II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），设平面C1AD的法向量为 =（x，y，z），由 可得 =（1，﹣1， ），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ， ＞|= ，进而可得答案． 解：（I）以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴ =（2，0，﹣4）， =（0，2，4）， ∴cos＜ ， ＞= = ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为： ； （II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为 =（x，y，z）， 则可得 ，即 ，取x=1可得 =（1，﹣1， ）， 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ， ＞|= ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为： 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角． 24．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； （2）若点D满足，，试确定点D的坐标． 【答案】（1）垂直     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解； （2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可． (1) 小问详解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． (2) 小问详解： 设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即 ． 即点D的坐标为． 25．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知平面，四边形为正方形． （1）证明： （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， ∵，， ∴ ∴；     （2）      【分析】 （1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，，进而可得，可证结论． （2）求得的一个法向量，的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求与平面所成角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为， ∵，， ∴ ，∴ ，令，则， ∴平面的一个法向量为； ∵ ∴， ∴与平面所成角的正弦值为. 26．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点.    （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 取上的中点，连接，. ，分别是和的中点，且. 又，且， 四边形是平行四边形，. 平面，平面.平面.     （2）      【分析】 （1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得平面且， 因此以点为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题易知，平面，所以为平面的法向量. 设平面的法向量为，根据所建立的空间直角坐标系， 可知，，， 有，. 令，则，， 即平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则有. 27．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 28．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明:因为平面，平面，所以； 底面为菱形，所以； 又因为，平面，所以平面.     （2）      【分析】 由线面垂直性质定理得，菱形对角线垂直，可证； 建立空间直角坐标系，用平面与平面的法向量，求夹角余弦值，再转换为正弦值. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 如图：  设，取的中点，连接，则 ，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又， 所以，，，，，      则，. 设平面的法向量为， 则 ， 取，则，则， 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， ，则， ，即平面与平面所成角的正弦值为. 29．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 用向量法先求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可得答案. 【详解】 以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4，则， 所以 设平面的一个法向量为，所以 ， 所以 ，解得, 设直线与平面所成角为， 因为， 所以. 30．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    不妨设，则， ，于是， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为： 31．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点．    （1）求直线与平面所成角的正弦值： （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （2）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. (1) 小问详解： 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，   则，，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则 ，取，则， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (2) 小问详解： 存在点，使得点到平面的距离为，且，理由如下： 设，其中， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则 ，取，则， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E，使得点到平面的距离为，此时. 32．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出侧面的平面方程，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】 设正四棱锥的底面中心为，连接，则底面，. 设，的中点为，，连接，. 以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设平面的一般方程为， 则 ，解得 ， 所以平面的一般方程为，即. 所以底面中心到侧面的距离为 . 故答案为：. 33．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 【答案】（1）证明：由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面.     （2）1     （3）存在，.      【分析】 （1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. (3) 小问详解： 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 34．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故；     （2）     （3）存在，，理由如下： 令，， ，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 【分析】 （1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 所以到平面的距离． (3) 小问详解： 略 35．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.    （1）是否存在点，使得平面？ （2）求的取值范围. （3）求点到直线的距离的最小值. 【答案】（1）存在，     （2）     （3）      【分析】 （1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用，及即可求出点坐标； （2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解； （3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可. (1) 小问详解：    如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则 ，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 (2) 小问详解： 由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解：    由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则 ，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 36．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值： （3）设为的中点，求二面角的大小. 【答案】（1）在中， 为的中点，， 面面，且面面平面， 平面， 又平面；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）证明平面，则； （2）由线面角的向量求法求解； （3）由二面角的向量求法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在直角梯形中，为中点， ，且，则四边形为平行四边形， ， 由（1）可知，平面， 所以可得两两垂直， 故以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 设平面的一个法向量， 由 ，取，则，得； 设直线与平面所成角为， 则. 直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 平面， 平面，即为平面的一个法向量， 为的中点， 点的坐标为，而， 设平面的一个法向量为， 由 ，取，则，得. . 由图可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 所以二面角为. 37．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，是的中点．    （1）求二面角的余弦值； （2）求点到面的距离； （3）若点为线段上一点，且平面，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）2      【分析】 （1）取中点，由面面垂直和正方形证明得到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标及向量，然后由向量的数量积求出平面的法向量，再由向量的数量积求出二面角的余弦值； （2）由（1）得到平面法向量，由向量在法向量上的投影长即可求得点到面的距离； （3）设，然后得到，设平面法向量，列出方程组，再由线面平行得到方程，联立解得，即可求出的值. (1) 小问详解： 取中点，连接， ∵，∴， 又∵平面平面，且平面平面， ∴平面，平面，平面， ∴，， 在正方形中，， ∴以分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，，， ∵平面，∴是平面的一个法向量， 设向量为平面的一个法向量， 则 ，令，则 ，即， 设二面角为，， 则， (2) 小问详解： 由（1）可知，向量为平面的一个法向量， 且， 则点到面的距离等于向量在的投影长， 故， (3) 小问详解： 设， 则，， 设向量为平面的一个法向量， 则 ， 又∵平面，则， ∴令，则 ， 则，即， ∴. 38．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，连接交于点O，连接，    则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面．     （2）．     （3）存在，，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则 取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时．      【分析】 （1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则 取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． (3) 小问详解： 略 39．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，M是棱上的点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由题设可得， 所以， 所以，即， ，即， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；     （2）     （3）存在，，理由如下： 假设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设与平面所成的角为，则. 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 故， 整理得，故或（舍）， 所以当时，存在点满足题意.      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用线面角的向量公式可求的值，从而得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. (3) 小问详解： 略 40．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】 如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有 ，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： 41．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面；     （2）     （3）      【分析】 （1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； (3) 小问详解： 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 42．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知直线经过点，且方向向量为，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】 由题意可得与同向的单位向量， 设，则， 点到直线 的距离． 故答案为： 43．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面；     （2）①；② 存在，      【分析】 （1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）① 建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值；② 设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解：    ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ② 存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 44．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】 取中点为，连接， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，故底面， 又因为底面为等边三角形，所以， 如图，以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的所有棱长都为， 则、、、、 所以，， 设与所成角为， 则. 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 45．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为E为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面．     （2）      【分析】 （1）取的中点，通过构造平行四边形得到线线平行，进而得到结果； （2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，又， 所以两两垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则 ， 取，得，所以． 设平面的法向量为， 则 ， 取，得，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 46．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知正四棱柱中，，，为线段的中点，为线段的中点．      （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）证明：直线平面并且求出直线到平面的距离． 【答案】（1）     （2） 由（1）知：，，，， ，， 又平面，平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离，设该距离为， 则，即直线到平面的距离为.      【分析】 （1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果； （2）根据，由线面平行的向量证明可得结论；将所求距离转化为点到平面的距离，由点面距离的向量求法可求得结果. (1) 小问详解： 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，        则，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则 ，令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求二面角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角为时，求. 【答案】（1）因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，所以. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 所以平面平面. （2）；（3）1或2. 【分析】 （1）证明平面即可得出平面平面； （2）建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小； （3）由可知，在中利用余弦定理计算． 【详解】 （1）略 （2）在平面内，过点作，则，因为平面， 平面，所以.如图建立空间直角坐标系，则 ，，，，. 当为中点时，. 所以，，，. 设平面的方向量为，则 令，得，，所以. 设平面的方向量为，则 则，令，则. 所以，. 因为二面角为锐二面角，得二面角的余弦值为. （3）设，则 . 由（1）得，平面.所以，平面的一个方向量为， 由题意：，故，即. 所以，，即. 解得，. 所以或. 【点睛】 本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 48．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 49．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用等面积法即可求出点到直线的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离. (1) 小问详解： 解：连接，，过点作于，如图所示 在直角三角形中， 在直角三角形中， 直线平面，平面 故点到直线的距离为. (2) 小问详解： 解：在正方体中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，，， ，，, 设平面的一个法向量为： 则 ，即 ，令得 点到平面的距离为. 50．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． （1）写出点，，的坐标； （2）求平面的一个法向量； （3）证明：直线平面． 【答案】（1）；；     （2）（答案不唯一）     （3） 由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线平面.      【分析】 （1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. (1) 小问详解： 根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. (2) 小问详解： 因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以 ，得 ， 令，所以，所以平面的一个法向量为. (3) 小问详解： 略 51．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点．    （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. (1) 小问详解： 因为是正方形，所以． 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    所以、、、、． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则 ，取，则，， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． (2) 小问详解： 由（1）知，，． 设平面的一个法向量为，则 ，         取，可得，则， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 52．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，，点E是PD的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面PAD所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，交于，连接，底面ABCD是菱形，故为的中点， 由点E是PD的中点，则，面，面， 所以平面；      （2）.      【分析】 （1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角余弦值，进而求其正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由侧面底面ABCD，，即， 侧面底面ABCD，侧面，则底面ABCD， 底面ABCD是菱形，，如图作，则可构建空间直角坐标系， 则， 所以， 令分别为平面与，平面PAD的一个法向量， ，取，则， ，取，则， 所以平面与平面PAD所成角的余弦值为，故其正弦值为. 53．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点在靠近的三等分点处      【分析】 （1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. (1) 小问详解： 过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则 ， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. (2) 小问详解： 因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． (3) 小问详解： 设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有 ，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 54．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，　　　　　　　　；点的轨迹的长度为　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度． 【详解】 因为平面，平面，所以，又，所以， 又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系， 则，设，所以，则 ①当在上时，设，因为，所以，故，则 所以； ②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为 由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以 即在线段上运动时，， 点的轨迹为线段． 则． 故答案为：；. 55．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线． （1）求点C到平面的距离； （2）在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）先作出点C到平面的距离，再解三角形去求的长即可解决； （2）利用面面平行性质定理去作出点D，再利用等边三角形的性质去求∠BOD的大小 (1) 小问详解： 连接CO并延长交AB于M， 又正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，则， 又平面ABC，平面ABC 则，又，,平面,平面 则平面，则点C到平面的距离为 由圆柱的底面半径为1，可得，则 则 (2) 小问详解： 连接，在平面ABC内过点O作交劣弧于D，连接 由，平面，平面，可得平面 由，平面，平面，可得平面 又，平面，平面 则平面平面，又平面，则平面， 连接OB，则 56．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以；      （2）.      【分析】 （1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有 ，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 57．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）在四面体中，平面，平面，，异面直线与的夹角，则的最大值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 将四面体补成长方体，推导出，然后利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】 在四面体中，平面，平面， 将四面体补成长方体，如下图所示： 因为，所以，异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，则，所以，， 所以，， 所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 58．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点.    （1）求证：平面； （2）若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面.     （2）四点共面，理由如下： 在底面中，过作，交于， AI    由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 可得，，， 若平面，则，且，使得， 则有 ，解得 ，故. 所以直线平面， 即可得，，，四点共面.      【分析】 （1）利用线面垂直的性质以及判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系可求得，即可证明，，，四点共面. (1) 小问详解： 因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面. (2) 小问详解： ，，，四点共面，理由略. 59．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， ∵为的中点，∴，， 又∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面     （2）      【分析】 （1）取中点，通过证明，即可求证； （2）求得平面法向量，由面面角的向量法公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过作,因为侧面底面，相交于， 所以底面，在过作，交于， 由条件可知两两垂直，如图建系， ∴，，， ∴，， 设平面的一个法向量，， 则 ，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为，∴， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 60．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． （1）证明：平面PAD； （2）若，求二面角的余弦值； 【答案】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面；     （2）      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）根据，，，证明，，由，建立空间直角坐标系，写出点的坐标及向量的坐标，求出平面的法向量，即可求出结果； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， 所以，，， 设平面BDM的法向量为，所以 即 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 61．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在正方体中，，分别为棱和的点，则与所成角的余弦值的范围是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，利用空间向量法求解线线角可得，根据换元法，结合基本不等式和二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】 建立如图空间直角坐标系，    设正方体的棱长为1，， 则， 设，则， 当或时，； 当或时，令， 则， 当且仅当时，等号成立， 令，则，函数在为增函数， 所以，故，得. 故答案为： 62．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）和不垂直，理由如下： 设，则， 在中，，所以为等边三角形，所以， 因为，，所以，从而， 所以在直角中，，， 又因为，所以，所以在中，满足， 故为直角三角形，则； 又因为，，所以平面； 因为，所以，所以， 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，； 所以，，，，， 所以，，所以， 所以不成立，故和不垂直.     （2）      【分析】 （1）根据已知条件可设，计算出，的值，从而证明到，再由可证平面；所以建立空间直角坐标系，用坐标表示向量和，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证. （2）在第一问的基础上，分别求出平面与平面的法向量，利用公式计算可得平面与平面的夹角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知，，，所以平面， 故为平面的一个法向量； 又，，设平面的法向量， 所以 ，即 ，取，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．B 2．B 3．C 4．BC 5．B 6．A 7．BD 8．B 9．C 10．D 11．A 12．D 13．ABD 14．A 15．ABD 16．B 17．B 18．【答案】 【分析】 根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】 因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得 ，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 19．【答案】 【分析】 应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】 因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 20．【答案】 【分析】 根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】 由三点， 可得，则， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 21．【答案】（1），；     （2）.      【分析】 （1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系． (1) 小问详解： 因为三点共线，则， 又，   ， 有 解得 ； (2) 小问详解： 因为四点共面，则，    则，    有 ，得. 22．【答案】 【分析】 根据向量共面的基本定理计算即可求解. 【详解】 ， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为： 考点02 空间向量基本定理 1．D 2．C 3．BCD 4．A 5．D 6．A 7．D 8．【答案】② ③ 【分析】 逐一分析① ② ③ ，检查是否共面，分析即可得答案. 【详解】 对于① ：， 所以共面，不能作为空间向量中的基底，故① 错误； 对于② ：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即 ，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故② 正确； 对于③ ：假设共面，则存在实数x，y，使得， 则，即 ，显然不成立， 此方程无解，所以不共面，可以作为基底，故③ 正确； 故答案为：② ③ 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．C 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．A 8．AB 9．D 10．B 11．A 12．B 13．BCD 14．ABD 15．C 16．A 17．ABC 18．A 19．B 20．B 21．D 22．AD 23．D 24．A 25．AC 26．A 27．C 28．B 29．B 30．BCD 31．D 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用向量的坐标运算求出. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. (1) 小问详解： 由，得. (2) 小问详解： 由（1）知，， 由，得 ， 所以. 33．【答案】 【分析】 利用空间向量的坐标运算建立方程，求解坐标即可. 【详解】 因为，，设， 所以，， 因为，所以 ， 解得，得到. 故答案为： 34．【答案】 【分析】 根据空间向量共线的坐标表示，由对应分量成比例即可求解. 【详解】 ，，且，故， 因此， 所以， 故， 故答案为： 35．【答案】 【分析】 根据投影向量的坐标公式进行求解即可. 【详解】 向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 36．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）写出两个向量的坐标，然后通过向量垂直的坐标公式求解； （2）通过向量平行设出向量的坐标、再通过向量的模长求解. (1) 小问详解： 由题意知， ， 所以， 又，所以， 解得. (2) 小问详解： 因为，又， 设， 又，所以，解得， 当时，；当时，， 所以向量的坐标为或. 37．【答案】 【分析】 根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】 由题意可得， 则，解得. 故答案为：. 38．【答案】 【分析】 根据向量的坐标运算求，的值，进而求投影向量. 【详解】 因为， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 39．【答案】 【分析】 利用空间向量线性运算的坐标表示及模长的坐标表示求解. 【详解】 向量，，则， 所以. 故答案为： 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. (1) 小问详解： ， ， ； (2) 小问详解： 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 41．【答案】（1）证明：如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故；      （2）     （3）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直； （2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （3）求出的坐标，由公式计算出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，所以 因为，且， 所以； (3) 小问详解： 因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 42．【答案】①     ② 【分析】 空1：直接根据空间向量的坐标运算和数量积坐标公式即可；空2：根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】 空1：，则； 空2：， 若与互相垂直，则， ，. 故答案为：；. 43．【答案】（1）     （2）      (1) 小问详解： 因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. (2) 小问详解： 由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接根据向量平行得到关于的方程，求解即可； （2）直接根据向量垂直得到关于的方程,然后解出即可; (1) 小问详解： 因为，，所以， ， 因为，则，解得. (2) 小问详解： 若，则，解得. 考点04 空间向量的应用 1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．BC 8．A 9．AD 10．ABD 11．ACD 12．D 13．BC 14．D 15．ABC 16．BC 17．B 18．AC 19．BD 20．A 21．C 22．【答案】（1） 由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 底面，底面， 又，， 且平面, 平面， 所以是平面的一个法向量． 因为， 所以． 又平面，所以平面．     （2）      【分析】 (1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由 ，解得 ，令， 得平面的一个法向量为． 设直线与平面所成的角为， 则． 故：直线与平面所成角的正弦值为． 23．【答案】（I） （II） 【详解】 试题分析:（I）以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得 和 的坐标，可得cos＜ ， ＞，可得答案； （II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0），设平面C1AD的法向量为 =（x，y，z），由 可得 =（1，﹣1， ），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ， ＞|= ，进而可得答案． 解：（I）以 ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴ =（2，0，﹣4）， =（0，2，4）， ∴cos＜ ， ＞= = ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为： ； （II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为 =（x，y，z）， 则可得 ，即 ，取x=1可得 =（1，﹣1， ）， 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ， ＞|= ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为： 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角． 24．【答案】（1）垂直     （2）      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，将空间向量用坐标形式表示，将立体几何问题转化为代数问题，从而可解； （2）利用向量平行的坐标关系列方程组求解即可． (1) 小问详解： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由于OA，OC的中点分别为E，F． 因此，，得． 又，所以，即， 故EF与OB垂直． (2) 小问详解： 设，则，， ，， 由，，， 因此存在实数，，使得，， 即 ． 即点D的坐标为． 25．【答案】（1）证明：以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， ∵，， ∴ ∴；     （2）      【分析】 （1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，，进而可得，可证结论． （2）求得的一个法向量，的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求与平面所成角的正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设平面的一个法向量为， ∵，， ∴ ，∴ ，令，则， ∴平面的一个法向量为； ∵ ∴， ∴与平面所成角的正弦值为. 26．【答案】（1） 取上的中点，连接，. ，分别是和的中点，且. 又，且， 四边形是平行四边形，. 平面，平面.平面.     （2）      【分析】 （1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得平面且， 因此以点为原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题易知，平面，所以为平面的法向量. 设平面的法向量为，根据所建立的空间直角坐标系， 可知，，， 有，. 令，则，， 即平面的法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则有. 27．【答案】 【分析】 利用向量的线性运算求得，根据向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 28．【答案】（1）证明:因为平面，平面，所以； 底面为菱形，所以； 又因为，平面，所以平面.     （2）      【分析】 由线面垂直性质定理得，菱形对角线垂直，可证； 建立空间直角坐标系，用平面与平面的法向量，求夹角余弦值，再转换为正弦值. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 如图：  设，取的中点，连接，则 ，所以平面. 故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为为直线与平面所成的角，所以. 又， 所以，，，，，      则，. 设平面的法向量为， 则 ， 取，则，则， 又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为， ，则， ，即平面与平面所成角的正弦值为. 29．【答案】 【分析】 用向量法先求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可得答案. 【详解】 以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4，则， 所以 设平面的一个法向量为，所以 ， 所以 ，解得, 设直线与平面所成角为， 因为， 所以. 30．【答案】 【分析】 根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    不妨设，则， ，于是， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为： 31．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （2）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. (1) 小问详解： 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴， 建立如图所示空间直角坐标系，   则，，，， ，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则 ，取，则， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为； (2) 小问详解： 存在点，使得点到平面的距离为，且，理由如下： 设，其中， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则 ，取，则， 则点到平面的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E，使得点到平面的距离为，此时. 32．【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求出侧面的平面方程，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】 设正四棱锥的底面中心为，连接，则底面，. 设，的中点为，，连接，. 以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设平面的一般方程为， 则 ，解得 ， 所以平面的一般方程为，即. 所以底面中心到侧面的距离为 . 故答案为：. 33．【答案】（1）证明：由平面，平面，则， 又，，平面，所以平面.     （2）1     （3）存在，.      【分析】 （1）由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论； （2）构建以A为原点，建立空间直角坐标系，根据已知确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值； （3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量垂直的坐标表示求，即可确定结果. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 为的中点，，得，， 则有，，，， 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，得， 设直线与面所成角为，则有， 所以直线与面所成角的正弦值为1. (3) 小问详解： 若线段上存在点使、、、四点共面，设，， 则，， 若、、、四点共面，则在平面内， 又平面的一个法向量为，则有，解得. 所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时. 34．【答案】（1） 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则,，，，， 则，， 有，故；     （2）     （3）存在，，理由如下： 令，， ，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时． 【分析】 （1）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，再计算出，后相乘即可得； （2）求出平面的法向量后由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，，则，又， 则，，， 设平面的法向量为，则 ， 取，得， 所以到平面的距离． (3) 小问详解： 略 35．【答案】（1）存在，     （2）     （3）      【分析】 （1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用，及即可求出点坐标； （2）由（1）知，利用模长公式结合二次函数求值域即可求解； （3）取中点为，则点轨迹为线段，所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，利用向量法求出异面直线与的距离即可. (1) 小问详解：    如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则 ，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 (2) 小问详解： 由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. (3) 小问详解：    由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则 ，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 36．【答案】（1）在中， 为的中点，， 面面，且面面平面， 平面， 又平面；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）证明平面，则； （2）由线面角的向量求法求解； （3）由二面角的向量求法求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在直角梯形中，为中点， ，且，则四边形为平行四边形， ， 由（1）可知，平面， 所以可得两两垂直， 故以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ， ， 设平面的一个法向量， 由 ，取，则，得； 设直线与平面所成角为， 则. 直线与平面所成角的正弦值为； (3) 小问详解： 平面， 平面，即为平面的一个法向量， 为的中点， 点的坐标为，而， 设平面的一个法向量为， 由 ，取，则，得. . 由图可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为. 所以二面角为. 37．【答案】（1）     （2）     （3）2      【分析】 （1）取中点，由面面垂直和正方形证明得到三条两两垂直直线，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标及向量，然后由向量的数量积求出平面的法向量，再由向量的数量积求出二面角的余弦值； （2）由（1）得到平面法向量，由向量在法向量上的投影长即可求得点到面的距离； （3）设，然后得到，设平面法向量，列出方程组，再由线面平行得到方程，联立解得，即可求出的值. (1) 小问详解： 取中点，连接， ∵，∴， 又∵平面平面，且平面平面， ∴平面，平面，平面， ∴，， 在正方形中，， ∴以分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，，， ∵平面，∴是平面的一个法向量， 设向量为平面的一个法向量， 则 ，令，则 ，即， 设二面角为，， 则， (2) 小问详解： 由（1）可知，向量为平面的一个法向量， 且， 则点到面的距离等于向量在的投影长， 故， (3) 小问详解： 设， 则，， 设向量为平面的一个法向量， 则 ， 又∵平面，则， ∴令，则 ， 则，即， ∴. 38．【答案】（1） 如图，连接交于点O，连接，    则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面．     （2）．     （3）存在，，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则 取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时．      【分析】 （1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则 取． 设直线与平面所成角为, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． (3) 小问详解： 略 39．【答案】（1） 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由题设可得， 所以， 所以，即， ，即， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；     （2）     （3）存在，，理由如下： 假设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设与平面所成的角为，则. 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 故， 整理得，故或（舍）， 所以当时，存在点满足题意.      【分析】 （1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用线面角的向量公式可求的值，从而得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设平面的法向量为， 所以 ，令，得， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. (3) 小问详解： 略 40．【答案】 【分析】 以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】 如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有 ，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： 41．【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面；     （2）     （3）      【分析】 （1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有 ， ， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； (3) 小问详解： 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 42．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】 由题意可得与同向的单位向量， 设，则， 点到直线 的距离． 故答案为： 43．【答案】（1）    取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面；     （2）①；② 存在，      【分析】 （1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）① 建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值；② 设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解：    ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， ， 平面与平面所成角的余弦值为； ② 存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意， 设，， ，， 设平面的法向量为， 则 ，令，则， 所以点到平面的距离， 解得，即. 44．【答案】 【分析】 根据异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】 取中点为，连接， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，故底面， 又因为底面为等边三角形，所以， 如图，以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的所有棱长都为， 则、、、、 所以，， 设与所成角为， 则. 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 45．【答案】（1） 取的中点，连接， 因为E为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面．     （2）      【分析】 （1）取的中点，通过构造平行四边形得到线线平行，进而得到结果； （2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，又， 所以两两垂直， 以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则 ， 取，得，所以． 设平面的法向量为， 则 ， 取，得，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 46．【答案】（1）     （2） 由（1）知：，，，， ，， 又平面，平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离，设该距离为， 则，即直线到平面的距离为.      【分析】 （1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果； （2）根据，由线面平行的向量证明可得结论；将所求距离转化为点到平面的距离，由点面距离的向量求法可求得结果. (1) 小问详解： 以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，        则，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则 ，令，解得：，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. (2) 小问详解： 略 47．【答案】（1）因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，所以. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 所以平面平面. （2）；（3）1或2. 【分析】 （1）证明平面即可得出平面平面； （2）建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小； （3）由可知，在中利用余弦定理计算． 【详解】 （1）略 （2）在平面内，过点作，则，因为平面， 平面，所以.如图建立空间直角坐标系，则 ，，，，. 当为中点时，. 所以，，，. 设平面的方向量为，则 令，得，，所以. 设平面的方向量为，则 则，令，则. 所以，. 因为二面角为锐二面角，得二面角的余弦值为. （3）设，则 . 由（1）得，平面.所以，平面的一个方向量为， 由题意：，故，即. 所以，，即. 解得，. 所以或. 【点睛】 本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 48．【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用等面积法即可求出点到直线的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离. (1) 小问详解： 解：连接，，过点作于，如图所示 在直角三角形中， 在直角三角形中， 直线平面，平面 故点到直线的距离为. (2) 小问详解： 解：在正方体中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，，， ，，, 设平面的一个法向量为： 则 ，即 ，令得 点到平面的距离为. 50．【答案】（1）；；     （2）（答案不唯一）     （3） 由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线平面.      【分析】 （1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. (1) 小问详解： 根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. (2) 小问详解： 因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以 ，得 ， 令，所以，所以平面的一个法向量为. (3) 小问详解： 略 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. (1) 小问详解： 因为是正方形，所以． 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    所以、、、、． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则 ，取，则，， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． (2) 小问详解： 由（1）知，，． 设平面的一个法向量为，则 ，         取，可得，则， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 52．【答案】（1） 连接，交于，连接，底面ABCD是菱形，故为的中点， 由点E是PD的中点，则，面，面， 所以平面；      （2）.      【分析】 （1）连接，交于，连接，易得，再由线面平行的判定定理证结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角余弦值，进而求其正弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由侧面底面ABCD，，即， 侧面底面ABCD，侧面，则底面ABCD， 底面ABCD是菱形，，如图作，则可构建空间直角坐标系， 则， 所以， 令分别为平面与，平面PAD的一个法向量， ，取，则， ，取，则， 所以平面与平面PAD所成角的余弦值为，故其正弦值为. 53．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点在靠近的三等分点处      【分析】 （1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. (1) 小问详解： 过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则 ， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. (2) 小问详解： 因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． (3) 小问详解： 设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有 ，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 54．【答案】①     ② 【分析】 由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度． 【详解】 因为平面，平面，所以，又，所以， 又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系， 则，设，所以，则 ①当在上时，设，因为，所以，故，则 所以； ②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为 由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以 即在线段上运动时，， 点的轨迹为线段． 则． 故答案为：；. 55．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）先作出点C到平面的距离，再解三角形去求的长即可解决； （2）利用面面平行性质定理去作出点D，再利用等边三角形的性质去求∠BOD的大小 (1) 小问详解： 连接CO并延长交AB于M， 又正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，则， 又平面ABC，平面ABC 则，又，,平面,平面 则平面，则点C到平面的距离为 由圆柱的底面半径为1，可得，则 则 (2) 小问详解： 连接，在平面ABC内过点O作交劣弧于D，连接 由，平面，平面，可得平面 由，平面，平面，可得平面 又，平面，平面 则平面平面，又平面，则平面， 连接OB，则 56．【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以；      （2）.      【分析】 （1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有 ，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 57．【答案】 【分析】 将四面体补成长方体，推导出，然后利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】 在四面体中，平面，平面， 将四面体补成长方体，如下图所示： 因为，所以，异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，则，所以，， 所以，， 所以，， 则，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 58．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面.     （2）四点共面，理由如下： 在底面中，过作，交于， AI    由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，. 可得，，， 若平面，则，且，使得， 则有 ，解得 ，故. 所以直线平面， 即可得，，，四点共面.      【分析】 （1）利用线面垂直的性质以及判定定理证明即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系可求得，即可证明，，，四点共面. (1) 小问详解： 因为平面，平面，所以， 又因为， 又，平面，平面， 所以平面. (2) 小问详解： ，，，四点共面，理由略. 59．【答案】（1） 取中点，连接，， ∵为的中点，∴，， 又∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面     （2）      【分析】 （1）取中点，通过证明，即可求证； （2）求得平面法向量，由面面角的向量法公式即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过作,因为侧面底面，相交于， 所以底面，在过作，交于， 由条件可知两两垂直，如图建系， ∴，，， ∴，， 设平面的一个法向量，， 则 ，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为，∴， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 60．【答案】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面；     （2）      【分析】 （1）根据线面平行的判定定理，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，即可证明结论； （2）根据，，，证明，，由，建立空间直角坐标系，写出点的坐标及向量的坐标，求出平面的法向量，即可求出结果； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， 所以，，， 设平面BDM的法向量为，所以 即 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 61．【答案】 【分析】 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，利用空间向量法求解线线角可得，根据换元法，结合基本不等式和二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】 建立如图空间直角坐标系，    设正方体的棱长为1，， 则， 设，则， 当或时，； 当或时，令， 则， 当且仅当时，等号成立， 令，则，函数在为增函数， 所以，故，得. 故答案为： 62．【答案】（1）和不垂直，理由如下： 设，则， 在中，，所以为等边三角形，所以， 因为，，所以，从而， 所以在直角中，，， 又因为，所以，所以在中，满足， 故为直角三角形，则； 又因为，，所以平面； 因为，所以，所以， 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，； 所以，，，，， 所以，，所以， 所以不成立，故和不垂直.     （2）      【分析】 （1）根据已知条件可设，计算出，的值，从而证明到，再由可证平面；所以建立空间直角坐标系，用坐标表示向量和，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证. （2）在第一问的基础上，分别求出平面与平面的法向量，利用公式计算可得平面与平面的夹角的余弦值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知，，，所以平面， 故为平面的一个法向量； 又，，设平面的法向量， 所以 ，即 ，取，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点04 空间向量的应用 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知空间中三个不同的点，则（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）若非零向量，满足， ，则与的夹角为（       ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（     ） A. 若与关于平面对称，则 B. 若，则A，B，C，D共面 C. 若，则A，B，C，D共面 D. 若三点共线，则 8．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，设，，，是的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（     ） A. 空间中任意两个单位向量都相等 B. 空间中零向量的方向是确定的 C. 空间中相反向量的模长相等 D. 空间中共线的向量必在同一条直线上 10．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）如图，空间四边形中，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）下列说法正确的是（       ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（     ） A.  B.  C. 三棱锥的体积为 D. 和的夹角为 14．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知空间向量，，满足，，则的值为（    ） A.  B.  C.  D.  15．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）（多选）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 平面平面 16．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A. 空间四边形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 17．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数　　　　　　　　　　. 20．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知空间三点，则在上的投影向量坐标为　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知是空间中不共面的向量，若． （1）若三点共线，求的值； （2）若四点共面，求的值． 22．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为　　　　　　　. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（     ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 4．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（       ） A.  B.  C.  D. 5 5．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（     ） A.  B.  C. 1 D. 2 6．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  7．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）在空间向量中，能作为基底的一组向量是　　　　　　　　： ①，，； ②，，； ③，，． 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知空间向量，，则的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 2．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）设，向量，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知，，则向量的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知空间向量，，若，则的值为（       ） A.  B.  C. 4 D. 6 5．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知点，若向量，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知，，且，则x的值为（       ） A.  B.  C. 6 D. －6 7．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）已知空间向量，，且，则（       ） A.  B. 16 C. 4 D.  8．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（       ）. A.  B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D.  9．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）已知向量，，若，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 2 10．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（       ） A.  B. 3 C. 2 D. 5 11．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知向量，，且，则（     ） A.  B. 2 C. 4 D. 6 12．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知向量，，若，则实数的值为（       ） A. 8 B.  C.  D. 14 13．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）（多选）在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（     ） A. 点关于坐标平面Oyz的对称点的坐标为 B. 点在平面Ozx面上 C. 点，的中点坐标是 D. 两点，间的距离为3 14．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）（多选）已知向量，则下列选项错误的为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）已知向量，且，那么（       ） A.  B.  C.  D. 5 17．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）（多选）已知空间向量，，则下列计算正确的是（       ） A.  B.  C. 与的夹角满足 D.  18．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知向量，，若， 则等于（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知向量，若，则等于（       ） A.  B.  C. 2 D. 4 21．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）已知向量，则（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）已知空间中三点，则下列说法正确的有（     ） A.  B. 与是共线向量 C. 与夹角为 D. 在上投影向量的长度为 23．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知，且，则（     ） A. 3 B. 4 C.  D.  24．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）若，，，则的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 25．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知空间向量，，则下列结论正确的是（       ） A. 向量在向量上的投影向量是 B.  C.  D.  27．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知，，且，则的值为（    ） A. 6 B.  C. 12 D. 14 28．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）已知向量，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  30．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（     ） A. 向量与向量的夹角为 B.  C. 向量与向量，共面 D. 向量在向量上的投影向量为 31．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）若向量，且与的夹角余弦为，则等于（       ） A. 2 B.  C. 或 D.  32．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知. （1）求向量的坐标； （2）若，求的值. 33．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）已知，，且，则点的坐标为　　　　　　． 34．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知，，若，则　　　　　　　　. 35．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）向量在向量上的投影向量为　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知空间三点，，，设，. （1）若，求的值； （2）若向量满足，且，求向量的坐标. 37．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）已知向量，若，则　　　　　　　　　　　. 38．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是　　　　　　　　　　　　　. 39．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）已知，，则　　　　　　. 40．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 41．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 42．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）若，则　　　　　　　　　　　　，若与互相垂直，则实数　　　　　　　　　　　　. 43．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）已知，，求： （1）； （2）向量与夹角的余弦值. 44．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知， （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 考点04 空间向量的应用 1．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 2．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，若，则的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 3．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 4．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是 （       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）（多选）下列给出的命题正确的是（       ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 对空间任意一点O与不共线的三点，若（其中），则四点共面 8．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，点是体对角线的中点，则顶点到平面距离为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）（多选）空间内有四点，则（       ） A. 点到直线EF的距离为 B. 点到直线EF的距离为 C. 点到平面EFN的距离为 D. 点到平面EFN的距离为 10．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）（多选）已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（       ） A. 直线与直线为异面直线 B. 平面 C. 二面角的正弦值为 D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 11．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（     ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点在线段上 C. 当时，点在棱上 D. 当时，点在线段上 12．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　） A. 26 B. 13 C. 2 D. 1 13．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）（多选）如图，在正方体中，，，分别为棱，，的中点，则下列结论正确的是（       ） A. 平面截该正方体所得的截面为正三角形 B. 平面平面 C. 直线与所成角为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 14．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）（多选）已知正方体的棱长为1，则以下说法正确的是（       ） A. 直线与平面所成角的正切值为 B. 二面角所成角的大小为 C. 直线与直线所成的角为 D. 点到平面的距离为 16．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）（多选）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列结论中，正确结论的是（     ） A. 异面直线和所成的角为45° B. 平面 C.  D. 直线平面 17．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论中错误的是（　　　　） A. AE∥平面C1BD B. 四面体ACEF的体积不为定值 C. 三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D. 四面体ACDF的体积为定值 18．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（       ） A.  B.  C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 19．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）（多选）如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（       ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B. 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 20．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 23．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 24．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系； （2）若点D满足，，试确定点D的坐标． 25．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）已知平面，四边形为正方形． （1）证明： （2）求与平面所成角的正弦值． 26．（25-26学年高二上·新疆生产建设兵团第二师八一中学·期中）如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点.    （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 27．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　. 28．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 29．（2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐实验学校·二模）在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为　　　　　　　　． 30．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二·新疆区乌鲁木齐·期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为是的中点．    （1）求直线与平面所成角的正弦值： （2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 32．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，且，，不同时为零），点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心到侧面的距离等于　　　　　　　　　　　　　　. 33．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第一中学·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面； （2）求直线与面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由. 34．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．用空间向量法求解下列问题． （1）求证：． （2）求线段的中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 35．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.    （1）是否存在点，使得平面？ （2）求的取值范围. （3）求点到直线的距离的最小值. 36．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区塔城地区第一高级中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值： （3）设为的中点，求二面角的大小. 37．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，是的中点．    （1）求二面角的余弦值； （2）求点到面的距离； （3）若点为线段上一点，且平面，求的值． 38．（25-26学年高二上·新疆克拉玛依独山子区第二中学·期中）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．    （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 39．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，M是棱上的点，且． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）棱上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 40．（2026·新疆乌鲁木齐实验学校·质量监测）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为　　　　　　　　 41．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 42．（25-26学年高二上·新疆乌鲁木齐第四十一中学·期中）已知直线经过点，且方向向量为，则点到直线的距离为　　　　　　　　　　. 43．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点.    （1）求证：平面； （2）若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 44．（25-26学年高二上·新疆农业大学附属中学·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　　　　　　　　　　. 45．（25-26学年高二上·新疆治州阿图什·期中）如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 46．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县·期中）已知正四棱柱中，，，为线段的中点，为线段的中点．      （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）证明：直线平面并且求出直线到平面的距离． 47．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求二面角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角为时，求. 48．（25-26学年高二上·新疆疏附·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 　　　　　　　． 49．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）如图所示在棱长为1的正方形中，E为线段的中点， （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 50．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． （1）写出点，，的坐标； （2）求平面的一个法向量； （3）证明：直线平面． 51．（25-26学年高二上·新疆喀什·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点．    （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 52．（24-25学年高二上·新疆区乌鲁木齐·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，侧面底面ABCD，，点E是PD的中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面PAD所成角的正弦值． 53．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 54．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第十一中学·期中）在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，　　　　　　　　；点的轨迹的长度为　　　　　　　　. 55．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线． （1）求点C到平面的距离； （2）在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由． 56．（24-25学年高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中）在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 57．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）在四面体中，平面，平面，，异面直线与的夹角，则的最大值为　　　　　　. 58．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点.    （1）求证：平面； （2）若，判断，，，四点是否共面，说明理由. 59．（24-25学年高二上·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐新疆实验中学·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 60．（24-25学年高二上·新疆喀什·期中）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点． （1）证明：平面PAD； （2）若，求二面角的余弦值； 61．（25-26学年高二上·新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县·期中）如图，在正方体中，，分别为棱和的点，则与所成角的余弦值的范围是　　　　　　　　　　 62．（24-25学年高二上·新疆兵地联盟·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，. （1）判断直线与是否垂直，并说明理由； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $