3.2 探索三角形相似的条件 第2课时教学课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等判定三角形相似”，课堂导入先复习“两角分别相等判定相似”，通过动手操作改变夹角画三角形引出问题，分类讨论“两边成比例+角相等”的两种情况，用画图验证反例，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过动手画图（如固定60°夹角画三角形、SSA反例操作）培养几何直观，通过分类讨论和从特例到一般的推理培养推理意识，规范符号语言书写和例题步骤化解析培养数学语言。学生能提升探究与推理能力，教师可借助结构化流程和分层作业优化教学。

第三章 图形的相似 2. 探索三角形相似的条件 第2课时：利用两边成比例且夹角相等判定三角形相似 授课教师：XX老师 授课班级：九年级(X)班 北师大新版数学九年级上册 1.7.2013 同学们好！今天我们继续学习第三章《图形的相似》。在上一节课中，我们学习了如何利用两个角相等来判定两个三角形相似。今天，我们将探索另一种判定方法——利用两边成比例且夹角相等来判定三角形相似。 ‹#› 课程目录 01. 教学目标 02. 复习回顾 03. 新知探究 04. 对比辨析 05. 例题解析 06. 随堂练习 07. 课后小结 梳理知识，总结方法，构建知识体系 1.7.2013 本节课我们将按照这七个环节来进行。首先，我们会复习上节课的内容；然后明确本节课的学习目标；接着，我们将通过动手操作来探究新的判定定理，并通过对比辨析加深理解；之后，我们会通过例题和练习来巩固所学知识；最后进行课堂小结。 ‹#› 01教学目标 目标1： 经历探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的过程，掌握定理并运用其解决简单问题；重点辨析“两边成比例且其中一边的对角相等”不能判定相似的情况。（重点） 目标2： 通过动手操作、观察比较与合作交流，亲历定理的探究过程，培养逻辑推理能力、几何直观与探究精神，学会用数学语言规范表达推理过程。（重点） 目标3： 感受几何图形的结构美，体会数学推理的严谨性与实际应用价值。（难点） 学习建议：紧扣“夹角相等”这一核心条件理解判定定理；通过画图对比直观辨析“SSA”的反例；多动手操作验证，结合典型例题巩固定理应用，注重推理过程的规范书写与逻辑表达。 1.7.2013 本节课我们的目标是：掌握“两边成比例且夹角相等”的判定定理，并理解为什么“SSA”不能判定相似。同时，在探究过程中培养大家的推理能力和学习兴趣。 ‹#› 02复习回顾 温故知新：相似三角形的定义与判定 核心知识点梳理 01 相似三角形的定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。这是相似图形最本质的特征描述。 02 已学判定方法（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。这是我们目前掌握的最直接、最常用的判定依据，只要找到两组对应角相等即可判定。 03 符号语言规范：在△ABC和△A'B'C'中，∵ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'。（注意对应顶点字母需按顺序书写） 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下。什么是相似三角形？我们已经学过的判定方法是什么？没错，就是“两角分别相等的两个三角形相似”。这个定理是我们今天学习的基础。 ‹#› 02复习回顾： 题目：如图，在△ABC中，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E。请问△ADE与△ABC是否相似？请说明理由。 结论：△ADE ∽ △ABC 理由：∵ DE ∥ BC（已知） ∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等） ∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似） 1.7.2013 我们来看一道简单的题目。在这个图形中，DE平行于BC，那么三角形ADE和三角形ABC相似吗？请一位同学来回答。对，相似，因为根据平行线的性质，我们可以找到两组分别相等的角，从而利用上节课学的定理来判定。 ‹#› 03新知探究 思考探究：两边成比例的三角形相似吗？ 我们已经知道“两角分别相等”可判定三角形相似。那么，如果两个三角形仅有“两边成比例”，它们的形状就一定相同吗？这是否能作为相似的判定依据？ 01 仅两边成比例 假设两根木棍长度固定（成比例），但夹角可自由变化。改变夹角大小，三角形的形状会随之改变，说明仅“两边成比例”无法锁定三角形的形状。 1.7.2013 现在我们来思考一个新问题：如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？大家可以想象一下，用两根长度固定的木棍，改变它们的夹角，形成的三角形形状是不同的。所以，只有两边成比例，是不能判定两个三角形相似的。 ‹#› 03新知探究 思考探究：两边成比例的三角形相似吗？ 我们已经知道“两角分别相等”可判定三角形相似。那么，如果两个三角形仅有“两边成比例”，它们的形状就一定相同吗？这是否能作为相似的判定依据？ 02 两边成比例，再增加一个角 结论：仅有“两边成比例”不能判定两个三角形相似。 追问：在两边成比例的条件下，再增加一个角相等，这两个三角形相似吗？ 1.7.2013 现在我们来思考一个新问题：如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？大家可以想象一下，用两根长度固定的木棍，改变它们的夹角，形成的三角形形状是不同的。所以，只有两边成比例，是不能判定两个三角形相似的。 ‹#› 03新知探究：探讨条件 相似三角形判定的条件分析 思考：两边成比例 + 一角相等，需考虑哪些情况？ 我们从角的位置进行分类讨论： 1.非夹角相等：该角是其中一条成比例边的对角（在一侧）； 如果两个三角形“两边成比例”，且“其中一边的对角相等”，它们一定相似吗？ 即：在△ABC和△A'B'C'中，若，且∠B = ∠B'，那么△ABC ∽ △A'B'C' 一定成立吗？ 探究：接下来我们将通过画图验证与逻辑推理，分析这种情况下三角形的形状是否唯一，从而判断该条件能否作为相似的判定定理。 1.7.2013 既然只有两边成比例不够，那我们再增加一个条件：一个角相等。这个角的位置有两种可能：一种是这个角正好是两条成比例边的夹角，另一种是这个角是其中一条边的对角。本节课我们先来重点研究第一种情况。 ‹#› 04 新知探究：画图验证 探究“SSA”条件下的三角形唯一性 动手操作：按步骤画一画 ① 画∠B = 30°，在一边截取线段 AB = 4cm； ② 以点 A 为圆心，3cm 为半径画弧，交射线 BM 于点 C； ③ 连接 AC，观察画出的△ABC，思考：这样的三角形唯一吗？ 画图发现： 以A为圆心画弧时，弧与射线BM有两个交点（C和C'），能画出两个不同的三角形（△ABC 和 △ABC'），二者均满足“两边及其中一边的对角相等”。 核心结论： “两边及其中一边的对角确定（SSA）”，该条件下三角形的形状不唯一。 1.7.2013 我们也可以通过画图来验证。请大家按照屏幕上的步骤画一画。你会发现，当我们以A为圆心画弧时，可能会与射线BC有两个交点，这样就得到了两个不同的三角形，它们都满足“两边和其中一边的对角相等”的条件，但形状却不同。这也直观地证明了，SSA不能作为判定三角形全等的依据。 ‹#› 03新知探究：画图验证 相似三角形判定的条件分析 我们再来画三角形ABC与△A'B'C'，使∠B=∠B'=36°，AB=6，AC=4，：A'B'=3，A'C'=2 计算图中的值。 1.7.2013 既然只有两边成比例不够，那我们再增加一个条件：一个角相等。这个角的位置有两种可能：一种是这个角正好是两条成比例边的夹角，另一种是这个角是其中一条边的对角。本节课我们先来重点研究第一种情况。 ‹#› 03新知探究：画图验证 相似三角形判定的条件分析 思考：两边成比例 + 一角相等，需考虑哪些情况？ 在与中，∠B=∠ 显然，一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，所以与不相似。 1.7.2013 既然只有两边成比例不够，那我们再增加一个条件：一个角相等。这个角的位置有两种可能：一种是这个角正好是两条成比例边的夹角，另一种是这个角是其中一条边的对角。本节课我们先来重点研究第一种情况。 ‹#› 一般性验证 固定∠B的度数，保持AB与A'B'、AC与A'C'的比例关系，改变AC的长度或位置，会发现能画出形状不同的三角形（如一个是锐角三角形，一个是钝角三角形），说明满足条件的三角形不一定相似。 辨析本质，总结结论 结论：不一定相似！这种情况属于“两边成比例且其中一边的对角相等”，类似于全等三角形判定中的“SSA”（边边角），它不能判定三角形全等，同样也不能判定三角形相似，存在反例证明结论不成立。 相似三角形判定的条件分析 04 新知探究：画图验证 1.7.2013 这个问题可以转化为：在两个三角形中，如果两边成比例，且其中一边的对角相等，它们一定相似吗？大家可以先思考一下，也可以和同桌讨论。我们可以尝试通过画图来构造反例，会发现满足这个条件的两个三角形，形状可能并不相同，这就说明“两边成比例且其中一边的对角相等”并不能判定两个三角形相似，这和我们之前学的全等三角形判定中的“SSA”情况是类似的。 ‹#› 03新知探究：探讨条件 相似三角形判定的条件分析 思考：两边成比例 + 一角相等，需考虑哪些情况？ 我们从角的位置进行分类讨论： 2.夹角相等：该角是两条成比例边的夹角（夹在中间）。 几何观察 角的位置是判定相似的关键。夹角相等能锁定三角形的形状，但它们一定相似吗？ 1.7.2013 既然只有两边成比例不够，那我们再增加一个条件：一个角相等。这个角的位置有两种可能：一种是这个角正好是两条成比例边的夹角，另一种是这个角是其中一条边的对角。本节课我们先来重点研究第一种情况。 ‹#› 03新知探究 动手画一画，量一量 活动要求：同桌合作，动手实践 01 绘制△ABC：使∠A = 60°，AB = 4cm，AC = 6cm。请用直尺和量角器规范作图。 02 绘制△A'B'C'：使∠A' = 60°，A'B' = 2cm，A'C' =3cm。注意保持夹角相等，边长按比例缩小。 1.7.2013 接下来，请同学们动手画一画。请按照屏幕上的要求，和你的同桌一起，分别画两个三角形，使它们满足两边成比例且夹角相等的条件。画好后，量一量，算一算，看看你有什么发现。 ‹#› 03新知探究 动手画一画，量一量 活动要求：同桌合作，动手实践 思考探究：① 计算'的比值，它们有什么关系？② 测量∠B与∠B'、∠C与∠C'的度数，是否相等？③ 结合发现，判断两个三角形是否相似？ 1.7.2013 接下来，请同学们动手画一画。请按照屏幕上的要求，和你的同桌一起，分别画两个三角形，使它们满足两边成比例且夹角相等的条件。画好后，量一量，算一算，看看你有什么发现。 ‹#› 03新知探究 数据分析与相似判定 探究一：对应边的比例关系 计算结果： = 2，结论：两组对应边的比值相等，即对应边成比例。 探究二：角度验证与相似判定 测量发现：∠B = ∠B' ≈ 58°，∠C = ∠C' ≈ 62°，且∠A = ∠A'。 判定结论：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）。 1.7.2013 好，我们来分享一下大家的发现。通过计算，我们发现两组对应边的比值都是2，是成比例的。通过测量，我们发现另外两组角也是分别相等的。既然我们找到了两组分别相等的角，根据上节课的定理，这两个三角形就是相似的。 ‹#› 03新知探究 新知探究：结论猜想 我们已经通过∠A=60°、k=2的特例观察到了三角形相似的现象。那么这个规律是否具有普遍性？如果更换角度和比例，结论是否依然成立？ 01 从特殊到一般的验证 回顾特例：当∠A=60°，对应边比例时，两三角形相似。尝试推广：若将角度改变∠A的度数，调整k的数值，依然能观察到相似的特征。这说明规律可能并非偶然。 02 得出结论 结论：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形一定相似。即“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。 1.7.2013 刚才我们通过一个具体的例子发现了这个规律。那么，这个规律是否具有普遍性呢？我们可以换一组角度和比例再试一次，结果会是一样的。由此，我们可以大胆地提出一个猜想。 ‹#› 03新知探究 相似三角形的判定定理（二） 定理核心内容归纳 定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。简言之：两边成比例，夹角相等，两三角形相似。 01 符号语言书写规范 在△ABC和△A'B'C'中，∵ 且 ∠A = ∠A'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'。 02 核心易错点警示（必记） ⚠️ “夹角”是判定的关键！必须是成比例两边的夹角相等，若不是夹角（如其中一边的对角），则不能判定两个三角形相似。 1.7.2013 我们的猜想是正确的！这就是我们今天学习的第二个判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。请大家特别注意，这里的“夹角”两个字非常关键，必须是成比例两边的夹角相等，才能判定相似。 ‹#› 05 例题解析 学以致用 典型例题：相似三角形判定应用 例1：在△ABC和△DEF中，AB=12cm，BC=18cm，∠B=60°；DE=6cm，EF=9cm，∠E=60°。请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明判定的依据。 思路分析：先计算两组对应边的长度比值，验证是否成比例；再确认两组对应边的夹角是否相等。若两者同时满足，则可依据“两边成比例且夹角相等”的判定定理得出相似结论。 判定步骤：① 计算比值：= =2， =2，对应边成比例；② 验证夹角：∠B=∠E=60°，夹角相等；③ 结论：根据判定定理，△ABC∽△DEF。 1.7.2013 学完了定理，我们就要学会应用。接下来，我们来看一道例题，看看如何运用“两边成比例且夹角相等”这个定理来解决问题。 ‹#› 05 例题解析 学以致用 解：△ABC∽△DEF，理由如下： ∵AB=12cm，BC=18cm，DE=6cm，EF=9cm， ∴ ， ∴ 在△ABC和△DEF中。 ∠B=∠E=60°， ∴△ABC∽△DEF 1.7.2013 学完了定理，我们就要学会应用。接下来，我们来看一道例题，看看如何运用“两边成比例且夹角相等”这个定理来解决问题。 ‹#› 05 例题解析：例题2 例2：如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，已知AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求线段DE的长度。。 利用相似三角形求线段的长度 1.7.2013 这是例题2。题目告诉我们一些线段的长度和比例关系，让我们求DE的长。大家思考一下，如何将已知条件和我们刚学的定理联系起来？ ‹#› 05 例题解析：思路分析 在几何问题中，求线段长度常借助相似三角形的性质。观察图形可知，DE 和 BC 是两条线段，我们能否通过寻找包含它们的相似三角形来求解？核心思路是利用相似三角形的判定定理，通过角和边的关系来推导。 步骤1：寻找公共角，确立相似基础 观察图形特征：△ADE 和 △ABC 拥有公共角 ∠A，即 ∠DAE = ∠BAC。这是证明两三角形相似的第一个关键条件，满足了“角相等”的判定前提。 步骤2：验证边成比例，完成判定 验证比例关系：需计算夹角∠A两边的比值，即验证与是否相等。若比值相等，结合公共角，可判定△ADE ∽ △ABC，进而利用相似比求解 DE。 利用相似三角形求线段的长度 1.7.2013 要计算DE的长度，我们可以考虑证明三角形ADE和三角形ABC相似。首先，我们发现它们有一个公共角∠A。接下来，我们需要验证这个夹角的两边是否成比例。 ‹#› 05 例题解析 。 利用相似三角形求线段的长度 1.7.2013 学完了定理，我们就要学会应用。接下来，我们来看一道例题，看看如何运用“两边成比例且夹角相等”这个定理来解决问题。 ‹#› 05 例题解析：方法总结 相似三角形判定与求解的核心方法归纳 01 判定相似四步法 ①找角：先锁定相等角（如公共角、对顶角）； ②找边：计算该角两边的长度比值； ③判比例：验证两组比值是否相等； ④下结论：若两边成比例且夹角相等，即可判定相似。 02 求解线段三步走 ①证相似：先证明两个目标三角形相似； ②列比例：依据相似性质列出对应边比例式； ③代求值：代入已知线段数值，解方程求出未知线段长度，注意结果的合理性。 03 核心易错点警示 ① 必须是夹角相等，非夹角相等不能判定相似； ② 列比例时找准对应边，避免顺序混乱； ③ 计算时注意单位统一，结果需代入原比例式检验。 提示：掌握判定步骤是解题基础，找准对应关系是解题关键；课后可尝试用这些方法解决课本上的相似三角形习题，巩固理解。 1.7.2013 通过这道例题，我们总结一下方法。利用“两边成比例且夹角相等”判定相似，关键是先找到相等的角，再验证这个角的两边是否成比例。而利用相似求线段长度，关键是先证明相似，再列出比例式进行计算。同时大家要注意，判定相似时必须是夹角相等，这是最容易出错的地方，列比例式时也要仔细找准对应边，避免出错。 ‹#› 06 随堂练习：练习1 判断下列各组中的两个三角形是否相似，并说明理由： 1. △ABC中，AB=4，AC=6，∠A=50°；△DEF中，DE=2，DF=3，∠D=50°。 2. △ABC中，AB=5，BC=8，∠B=40°；△DEF中，DE=10，EF=16，∠E=40°。 3. △ABC中，AB=3，AC=4，∠B=50°；△DEF中，DE=6，DF=8，∠E=50°。 (1) 结论：相似 理由：∵ = = 2， = = 2，∴ =。又∵ ∠A = ∠D = 50°，满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，故 △ABC ∽ △DEF。 (2) 结论：相似 理由：∵ = = ， = = ，∴ =。又∵ ∠B = ∠E = 40°，满足“两边成比例且夹角相等”的判定条件，故 △ABC ∽ △DEF。 (3) 结论：不一定相似 理由：∵ = = ，但 ∠B 和∠E 并非成比例的两边的夹角，不满足判定定理的条件，因此无法判定两三角形相似（即“SSA”不能判定相似）。 1.7.2013 接下来是随堂练习。第一题，请大家判断这三组三角形是否相似，并说明理由。 ‹#› 06 随堂练习：练习2 如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且满足 。已知边BC的长度为9，请求出线段DE的长度。 1.7.2013 第二题，这是一道求解题。已知AD/AB = AE/AC = 2/3，BC=9，求DE的长。请大家尝试解答。 ‹#› 06 随堂练习：练习2 · 解：在△ADE与△ABC中， ∵，且∠A为公共角， ∴△ADE ∽ △ABC（两边成比例且夹角相等）。 ∴，代入BC=9 ，得 DE=6。 答：线段DE的长为6。 1.7.2013 这道题的解题思路和例题非常相似。首先，我们证明三角形ADE和三角形ABC相似，然后利用相似三角形的性质列出比例式，最后代入数值求解。答案是DE=6。 ‹#› 07 课堂小结：知识梳理 三角形相似判定要点回顾 01. 核心判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，“夹角”是判定的核心关键条件。 02. 常见判定误区 两边成比例且其中一边的对角相等，不能判定两三角形相似，需警惕此易错点。 03. 基础判定方法 两角分别相等的两个三角形相似，这是最直观且常用的判定依据。 04. 判定方法整合 灵活结合“角角”与“边角边”判定，根据题目条件选择最优方法解题。 牢记判定条件，规避相似误区，构建清晰的三角形相似判定知识体系。 1.7.2013 好了，我们来总结一下本节课的内容。我们学习了一个新的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。同时，我们也明确了一个重要结论：两边成比例且其中一边的对角相等，不能判定相似。加上上节课学的，我们现在有两种判定三角形相似的方法。 ‹#› 08 课后作业 分层作业设计——进阶式巩固与探索 01 基础作业 完成教材习题3.4的第1、2题。通过基础题型的练习，巩固相似三角形的判定定理，加深对“两边成比例且夹角相等”等核心判定条件的理解，夯实本节课的知识基础。 02 中档挑战 在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上且AD=AE。请利用相似三角形的判定定理，证明△ABE ∽ △ACD，体会全等与相似的内在联系，提升逻辑推理与几何证明能力。 03 拓展探究 在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点且CF=CD。尝试证明△ABE ∽ △ECF，探索相似三角形在特殊四边形中的应用，进一步掌握相似判定的灵活运用技巧，提升几何思维。 提示：基础题请独立完成，中档题鼓励小组讨论交流，拓展题尝试自主探索；完成后对照课堂笔记自查，重点梳理相似判定的核心逻辑。 1.7.2013 最后是课后作业。基础题请大家完成教材上的习题。中档题和拓展题需要大家灵活运用今天所学的定理进行证明，希望大家认真完成。 ‹#› 谢谢指导！ THANKS 课后小任务：请同学们课后及时复习本节课核心知识点，完成练习册对应习题巩固基础，并尝试梳理解题思路框架。 1.7.2013 今天的课就到这里。感谢同学们的积极参与！请大家课后及时复习，完成作业。希望大家能真正掌握今天所学的知识。下课！ ‹#› $