3.2.3 三边成比例的判定方法（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师大版九年级上册 3.2.3 三边成比例的两个三角形相似 专项练习 ## 知识点梳理 ### 相似三角形判定定理3：**三边对应成比例的两个三角形相似** 简称：**SSS相似** 在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中： 若$\boldsymbol{\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}}$ 则$\boldsymbol{\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'}$ > 对比记忆 - 全等SSS：三边对应相等； - 相似SSS：三边对应成比例。 > 做题步骤 1. 把两个三角形的三边分别从小到大排序； 2. 计算三组对应边的比值； 3. 比值全部相等\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)则两三角形相似。 > 易错提醒 1. 一定要**对应边相比**\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)先排序\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)避免对应搞错； 2. SSS相似不需要找角\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)只用边长； 3. 三组比值必须全部相等\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)只有两组比值相等不能判定。 ## 一、选择题（每题4分\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)共20分） 1. $\triangle ABC$三边$\(3,4,5\)$；$\triangle DEF$三边$\(\(\boldsymbol{6}\),\(\boldsymbol{8}\),10\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)则（） A.不相似 B.$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$ C.无法判断 D.全等 2. 一个三角形三边长为$\(2,3,4\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)另一个三角形三边为$\(4,\(\boldsymbol{6}\),\(\boldsymbol{8}\)\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)对应边之比是（） A.$\(\(\boldsymbol{1:2}\)\)$ B.$\(2:1\)$ C.$\(1:3\)$ D.$\(2:3\)$ 3. 下列说法正确的是（） A.两组边成比例\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)两三角形相似 B.三边对应成比例\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)两三角形相似 C.有一组边相等就相似 D.一边对应成比例\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)两三角形相似 4. $\triangle ABC$三边：$\(5,\(\boldsymbol{6}\),7\)$；$\triangle MNP$三边：$\(10,12,14\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)则$\triangle ABC$与$\triangle MNP$相似比为（） A.$\(2:1\)$ B.$\(\(\boldsymbol{1:2}\)\)$ C.$\(1:3\)$ D.$\(2:3\)$ 5. 三角形甲边长$\(4,\(\boldsymbol{6}\),\(\boldsymbol{8}\)\)$；三角形乙边长$\(\(\boldsymbol{6}\),9,12\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)判断相似（） A.相似 B.不相似 C.缺少角度无法判断 D.全等 ## 二、填空题（每题4分\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)共20分） 1. 三边________的两个三角形相似（SSS相似）。 2. $\triangle ABC$三边$\(2,3,4\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)$\triangle A'B'C'$三边$\(\(\boldsymbol{6}\),9,12\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)则$\dfrac{AB}{A'B'}=$________。 3. 两个三角形三边之比都是$\(3:4:5\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)这两个三角形一定________。 4. $\triangle ABC$三边$\(3,5,7\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)$\triangle DEF$三边$\(\(\boldsymbol{6}\),10,14\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)$\triangle ABC\backsim\triangle$________。 5. 判断SSS相似\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)先把两个三角形的边按________排列\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)再求比值。 ## 三、解答题（共\(\boldsymbol{6}\)0分） 1.（1\(\boldsymbol{8}\)分）已知$\triangle ABC$三边$AB=4\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)BC=\(\boldsymbol{6}\)\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)AC=\(\boldsymbol{8}\)$； $\triangle A'B'C'$三边$A'B'=2\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)B'C'=3\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)A'C'=4$。 求证：$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$。 2.（20分）$\triangle ABC$三边：$5\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)12\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)13$；$\triangle DEF$三边：$10\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)24\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)2\(\boldsymbol{6}\)$。 （1）判断是否相似； （2）求相似比。 3.（22分）一个三角形三边为$\(3,4,\(\boldsymbol{6}\)\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)另一个三角形最长边是$12$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)且两个三角形三边成比例\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)求另外两条边长。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：$\dfrac3\(\boldsymbol{6}\)=\dfrac4\(\boldsymbol{8}\)=\dfrac5{10}=\dfrac12$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)三边成比例\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)SSS相似。 2.A 解析：$2:4=3:\(\boldsymbol{6}\)=4:\(\boldsymbol{8}\)=\(\(\boldsymbol{1:2}\)\)$。 3.B 解析：SSS相似定理原话。 4.B 解析：$5:10=\(\boldsymbol{6}\):12=7:14=\(\(\boldsymbol{1:2}\)\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)相似比$\(\(\boldsymbol{1:2}\)\)$。 5.A 解析：$4:\(\boldsymbol{6}\)=\(\boldsymbol{6}\):9=\(\boldsymbol{8}\):12=\dfrac23$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)三边成比例。 ### 填空题 1.对应成比例 2.$\dfrac13$ 3.相似 4.$DEF$ 5.从小到大（由短到长） ### 解答题 1.证明： $\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac42=2$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)$\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac\(\boldsymbol{6}\)3=2$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac\(\boldsymbol{8}\)4=2$ $\therefore \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}$ $\therefore \triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$（三边对应成比例\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)两三角形相似） 2.解： （1）排序：$\triangle ABC:5,12,13$；$\triangle DEF:10,24,2\(\boldsymbol{6}\)$ $\dfrac{5}{10}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{13}{2\(\boldsymbol{6}\)}=\dfrac12$ 三边对应成比例\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle DEF$。 （2）相似比：$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{1:2}\)\)}$ 3.解： 设另外两边长为$\(x,y\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)原三角形三边$\(3,4,\(\boldsymbol{6}\)\)$\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)最长边为\(\boldsymbol{6}\)\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)新三角形最长边12。 比例$k=\dfrac{12}{\(\boldsymbol{6}\)}=2$ $x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)$ 答：另外两条边长为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{6}\)}$和$\boldsymbol{\(\boldsymbol{8}\)}$。 ## 易错点总结 1. 一定要**从小到大排边长**\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)防止对应边找错； 2. SSS相似\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)三组比值必须全部相等； 3. 相似比是**原三角形比新三角形**\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)顺序不能颠倒； 4. 直角三角形三边$\(3,4,5\)$是高频模型\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)边长同倍数放大缩小一定相似。 下一节：**3.3 相似三角形的性质**\(x=3\times2=\(\boldsymbol{6}\)，y=4\times2=\(\boldsymbol{8}\)\)继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 3.2.3三边成比例的判定方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 图形的相似 素养目标 1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点） 素养目标 相似三角形的判定定理1： 的两个三角形相似. 两角分别相等 相似三角形的判定定理2： 两边 且 相等的两个三角形相似. A B C A' B' C' 几何语言： 如图所示，在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ,∠A= , ∴△ABC∽△A'B'C'. 成比例 夹角 ∠A' 情境导入 02 新知导入 复习导入 任务一：动手操作，探索并验证三边成比例的两个三角形相似 问题1：如果两个三角形的三边成比例，那么它们的三个角会有什么关系？它们相似吗？ 猜测它们相似，但不确定三个角是否真的相等. 03 新知探究 问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗? 画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。 设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗? C B A C′ B′ A′ 03 新知探究 问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗? 画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。 设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗? ∠A=∠A′，△ABC∽△A′B′C′ 。 理由：∵∠A=∠A′， =k，∴△ABC∽△A′B′C′。 C B A C′ B′ A′ 03 新知探究 问题 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗? 画△ABC与△A′B′C′， 使都等于给定的值k。 设法比较∠A与∠A′的大小。△ABC与△A′B′C′相似吗? 改变k值，结论还成立吗？ 改变k值的大小，上述结论仍然成立。 03 新知讲解 提炼概念 总结： 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 几何语言：如图. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ， ∴△ABC∽△A'B'C'. 知识点 三边成比例的判定方法 1.如图，在和 中， ____ _____, 。 返回 举一反三 9 2.若的三边长分别是3，5，6，则与相似的 的边长 可能是( ) D A.，， B.，， C.，， D.，， 返回 举一反三 10 3.在中，，，在中，， 。 若________，则 。横线上应填( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 03 新知讲解 任务二：辨析条件，明确“对应边成比例”的含义 问题：已知△ABC的三边分别是AB＝3，AC＝4，BC＝5，△A'B'C'的三边分别是A'B'＝6， A'C'＝8， B'C'＝10. 但是有的同学有疑惑，这两个三角形的三组边的比值不同，所以不相似.是如何理解的？ 忽略了“对应”的重要性. 新课探究 例1 如图，在△ABC和△ADE中， = ，∠BAD=20°， 求∠CAE的度数。 A B C D E 新课探究 例1 如图，在△ABC和△ADE中， = ，∠BAD=20°， 求∠CAE的度数。 解：∵ = ， ∴△ABC∽△ADE( 三边成比例的两个三角形相似)。 ∴ ∠BAC=∠DAE， ∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE。 ∵ ∠BAD=20°， ∴ ∠CAE=20°。 A B C D E 03 新知讲解 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC与△A′B′C′ 相似吗?你有哪些判断方法? A′ C′ A B′ C B 03 新知讲解 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，△ABC与△A′B′C′ 相似吗?你有哪些判断方法? △ABC∽△A′B′C′。 方法一 ∵ ∠A=∠A=45°，= =， ∴△ABC∽△A′B′C′。 方法二 ∵ = =， ∴△ABC∽△A′B′C′。 A′ C′ A B′ C B 03 新知讲解 判定两个三角形相似的基本思路： 证明两个 三角形相似 已有一组角相等，可证 已有两组边成比例，可证 这两边的夹角相等； 第三组边的比值与前两组边的比值相等 另一组角相等； 夹等角的两边成比例 3.下列命题中正确的是（    ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似       ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似     ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A.①③         B.①④           C.①②④           D.①③④ 4.如图所示，正方形网格中每个小正方形边长为1，点A，B，C都在格点上，AC，BC分别与网格线交于点 D，E，则 DE的长为( ) A. B. C.1 D. A B 当堂检测 7.如图，在正方形网格中，△ABC，△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠BAC的度数为 . 5.已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，则△ABC与△DEF (填“相似”或“不相似”). 相似 6.已知△ABC的三边长分别为3，，，△A1B1C1的两边长分别为1和，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC与△A1B1C1相似. 135° 当堂检测 4.如图，网格中每个小正方形的边长为1，和 相似吗？ 解：，， ， ，， ， ， 。 返回 举一反三 20 5. 在如图所示的象棋盘 （各个小正方形的边长均相等）中，根据 “马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位 置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在 位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在 ( ) B A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 返回 举一反三 21 6.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分 别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为 _ _______________________。 ，3或，或， 返回 举一反三 22 7. 如图，点在边长为 的正方形 的边上，。用直尺与圆规在 边上 画了一点，根据图中点 的位置，证明 。 举一反三 23 解：易知,, 。 ， ， ， ， ， ， 。 返回 举一反三 24 探索三角形相似的条件-第3课时 相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似. 判定定理3的应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $