第7讲 弦长与面积专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

弦长与面积 弦长与面积 弦长 提高题的第一步仍是选对直线的设法。过 轴上定点、且斜率可能不存在时，设 一次覆盖所有情形，联立后两根之积往往是常数（抛物线焦点弦是 ，椭圆与双曲线则与 、、 有关）。求出两根之和与两根之积之后， 直接代入弦长公式即可。 第二处要点是把「弦长」与「别的量」互相翻译。弦长常常出现在这些条件里：给出弦长反求基本量（求 、求 ）；给出两条焦半径之比（此时先定两根之和，再求弦长）；给出弦长在某范围内（此时先写出弦长的表达式，再解不等式）。这三类的入口都是「先把弦长写成参数的函数」。 第三处要点是弦长与面积的联系。焦点弦与原点围成的三角形面积 ，与弦长用的是同一个 ；所以一道题同时问弦长与面积时，先把 算出来，两个量一起得到。这是最省时间的一种合并。 最后是检查。算完弦长要回看两件事：直线是否真的与曲线交于两点（判别式为正）；交点是否落在题目指定的分支里（双曲线的同支与异支、抛物线的哪一侧都会影响符号）。若题目给的是「弦长」而非「有向弦长」，最后的结果应当是正数，出现负值就说明中间有符号错。 还有一处容易忽略：弦长与焦半径之比可以互相换算。给出「两条焦半径之比」时，先用定义把其中一条写成另一条的倍数，再由两根之积（抛物线是定值）反解，最后把两条相加即得弦长 —— 这条路比先求端点坐标再算距离短一步。 例1（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，其中点在轴上方，设与的面积分别为，则 = __________. 变式1-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则 = __________. 例2（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点。若，则的外接圆的半径为_____. 变式2-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴。若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________． 例3（单选·★★★★☆） 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则 = （ ） A. 4 B. 3 C. D. 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 变式3-2（单选·★★★★☆） 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 面积 提高题里的面积，多半是「条件给出面积、反求别的量」，或者是「面积随参数变化、求最值」。两种情形的入口是一样的：先把面积写成参数的函数，再按题目要求处理。 写面积函数时优先用「弦长 × 点到弦的距离 ÷ 2」这一形式。弦长用弦长公式，点到弦的距离用点到直线距离公式，两个式子里的 或 都只算一次，合并之后再化简，比拆成几块分别算要省力。 最值问题要留意定义域。参数（斜率或截距）的取值范围由「直线与曲线有两个交点」确定，即判别式大于零；若题目还要求交点在某个象限或某一支，范围会进一步缩小。最值往往在这个范围的端点或对称位置取到，所以要先把范围写清楚再求最值。 还有一类是面积之间的比值。底边相同（或共线）的两个三角形，面积之比等于两条高之比；若两个三角形共用一条边上的点，比值的计算往往可以大幅简化。凡是题目问「面积之比」而不是「面积」，先找公共底边或公共高，能省掉一半计算。 最后是检查。面积必须是正数，出现负值说明中间取了错误的符号；用坐标法算完可以换一种底边粗估一次，量级对不上就说明某一步的代换出了问题。 用好这几个工具，面积类题目基本都能一次做对。 例4（单选·★★★★☆） 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点。当的周长最大时， = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（多选·★★★★☆） 已知直线与椭圆交于、两点，轴，垂足为，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的斜率等于直线的斜率的倍 B. 可能是直角 C. 一定是直角 D. 四边形的面积最大值是 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 例5（单选·★★★★☆） 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-1（多选·★★★★☆） 已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，。若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（ ） A. B. 的最小值为5 C. D. 四边形的面积的取值范围为 变式5-2（填空·★★★★☆） 平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 例6（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线：的左右顶点分别为为在第一象限内的一点，线段与的渐近线分别相交于两点，记，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. D. 的面积等于 学科网（北京）股份有限公司 $ 弦长与面积 弦长与面积 弦长 提高题的第一步仍是选对直线的设法。过 轴上定点、且斜率可能不存在时，设 一次覆盖所有情形，联立后两根之积往往是常数（抛物线焦点弦是 ，椭圆与双曲线则与 、、 有关）。求出两根之和与两根之积之后， 直接代入弦长公式即可。 第二处要点是把「弦长」与「别的量」互相翻译。弦长常常出现在这些条件里：给出弦长反求基本量（求 、求 ）；给出两条焦半径之比（此时先定两根之和，再求弦长）；给出弦长在某范围内（此时先写出弦长的表达式，再解不等式）。这三类的入口都是「先把弦长写成参数的函数」。 第三处要点是弦长与面积的联系。焦点弦与原点围成的三角形面积 ，与弦长用的是同一个 ；所以一道题同时问弦长与面积时，先把 算出来，两个量一起得到。这是最省时间的一种合并。 最后是检查。算完弦长要回看两件事：直线是否真的与曲线交于两点（判别式为正）；交点是否落在题目指定的分支里（双曲线的同支与异支、抛物线的哪一侧都会影响符号）。若题目给的是「弦长」而非「有向弦长」，最后的结果应当是正数，出现负值就说明中间有符号错。 还有一处容易忽略：弦长与焦半径之比可以互相换算。给出「两条焦半径之比」时，先用定义把其中一条写成另一条的倍数，再由两根之积（抛物线是定值）反解，最后把两条相加即得弦长 —— 这条路比先求端点坐标再算距离短一步。 例1（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，其中点在轴上方，设与的面积分别为，则 = __________. 【切入点】两个三角形都以 为底，所以面积之比就是两个交点的纵坐标绝对值之比 —— 先把两个交点解出来。 【关键】由 得 、、，右焦点 。斜率为 的直线为 。代入双曲线：，即 ，整理得 ，两根为 与 。 时 ，即 ； 时 ，即 。所以 。 【易错】两处。一是两个三角形共用底边 ，高分别是两点的纵坐标绝对值，所以比值不必算面积本身；二是「 在 轴上方」这句话用来指认哪个是 ——代入 得正纵坐标，恰好符合。 【答案】 变式1-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则 = __________. 【切入点】 说明 是 到准线的垂足，所以 ；把它与 联立，就能定出 的位置。 【关键】设 。由定义 。又 ，所以 。由 得 ，即 。又 ，所以 ，即 ，，进而 。 以 为底：，所以 。 【易错】两处。一是 的写法： 与 的水平距离是 ，与焦半径的表达式恰好相同；二是方程解出的是重根 ，说明这样的点 恰好是通径端点。 【答案】 例2（填空·★★★★☆） 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点。若，则的外接圆的半径为_____. 【切入点】弦过右焦点，设 后用弦长公式；由弦长先定出 ，再判断三角形是否为直角三角形。 【关键】由 得 、、，左顶点 、右焦点 。设直线 ，代入得 。于是 ，解得 或 。两种情形下都有 ，即 ，所以 ， 是外接圆的直径。于是 。 【易错】本题不必分两种 讨论到底 ——只要说明「无论哪一种，」，就能断定 是直径，答案直接是弦长的一半。若强行求圆心与半径，两种情形都要算，会多花一倍时间。 【答案】 变式2-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴。若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为__________． 【切入点】把三个点的坐标用 写出来，圆与直线都随之确定，再用「直线被圆截得的弦长」列方程。 【关键】焦点 ，准线 ，所以 ； 轴说明 。以 为直径的圆：圆心为原点、半径为 ，即 。直线 过 与 ，斜率为 ，方程为 。圆心到它的距离为 ，所以弦长为 。由 得 。 【易错】两处。一是「以 为直径的圆」的圆心： 与 关于原点对称，中点恰为原点，半径 ；二是直线 的斜率由纵坐标之差 除以横坐标之差 得 ，不要看成 。 【答案】 例3（单选·★★★★☆） 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则 = （ ） A. 4 B. 3 C. D. 【切入点】同一个焦点弦给出两个条件（弦长与面积），而两者都用 或 表示，联立即可解出 。 【关键】设过焦点的直线为 ，代入 得 ，所以 、，。弦长 ，即 。面积 ，即 。令 ，由第一式 ，代入第二式：，所以 ，。故选 A。 【易错】两处。一是面积公式里的系数：， 而不是 ；二是最后一步的指数运算：。 【答案】A 变式3-1（填空·★★★★☆） 已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 【切入点】底边 固定，所以面积最小值等于 到直线 距离的最小值；把 参数化后求点到直线的距离即可。 【关键】、 确定的直线为 ，。设 ，它到直线的距离为 ，最小值为 （ 时取到）。所以面积最小值为 。 【易错】 的参数化用 而不是 ，后者要讨论正负号。另外 恒正，所以绝对值可以直接去掉。 【答案】 变式3-2（单选·★★★★☆） 已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「圆 经过直线 、 的四个交点」这句话把圆定死 —— 四个交点是 ，它们到原点的距离都是 。 【关键】圆 的方程为 ，它与 轴的交点为 、，。 是第一象限内的交点：把 代入 ，整理得 ，所以 。于是 。故选 B。 【易错】第一步的识别是关键：四个点 到原点等距，所以圆是以原点为圆心的圆，半径 —— 这正是「以 为直径的圆」。第二步联立时消 比消 简单，因为 才是面积需要的高。 【答案】B 面积 提高题里的面积，多半是「条件给出面积、反求别的量」，或者是「面积随参数变化、求最值」。两种情形的入口是一样的：先把面积写成参数的函数，再按题目要求处理。 写面积函数时优先用「弦长 × 点到弦的距离 ÷ 2」这一形式。弦长用弦长公式，点到弦的距离用点到直线距离公式，两个式子里的 或 都只算一次，合并之后再化简，比拆成几块分别算要省力。 最值问题要留意定义域。参数（斜率或截距）的取值范围由「直线与曲线有两个交点」确定，即判别式大于零；若题目还要求交点在某个象限或某一支，范围会进一步缩小。最值往往在这个范围的端点或对称位置取到，所以要先把范围写清楚再求最值。 还有一类是面积之间的比值。底边相同（或共线）的两个三角形，面积之比等于两条高之比；若两个三角形共用一条边上的点，比值的计算往往可以大幅简化。凡是题目问「面积之比」而不是「面积」，先找公共底边或公共高，能省掉一半计算。 最后是检查。面积必须是正数，出现负值说明中间取了错误的符号；用坐标法算完可以换一种底边粗估一次，量级对不上就说明某一步的代换出了问题。 用好这几个工具，面积类题目基本都能一次做对。 例4（单选·★★★★☆） 已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点。当的周长最大时， = （ ） A. B. C. D. 【切入点】周长里含有两条焦半径，用椭圆定义把它们换成常数，剩下的一项再单独处理。 【关键】 中 、，、。它的四条边是 。由三角不等式 ，所以周长不超过 ，等号在 过 时取到。过 且斜率为 的直线为 ，代入椭圆得 ，所以 。故选 C。 【易错】两处。一是周长的最大值要用三角不等式给出，而不是直接设参数求最值；二是等号取到的位置是「直线经过 」，题目只要求「不经过 」，所以这个位置允许。 【答案】C 变式4-1（多选·★★★★☆） 已知直线与椭圆交于、两点，轴，垂足为，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的斜率等于直线的斜率的倍 B. 可能是直角 C. 一定是直角 D. 四边形的面积最大值是 【切入点】、 关于原点对称，、 的坐标随之很简洁；四项分别用斜率、向量点积、鞋带公式处理。 【关键】设 ，则 ，、。A 项：、，后者是前者的 倍，A 对。C 项：取 作检验，直线 与椭圆的另一交点 满足 ，即 ，C 对。B 项：同一个特例下 ，故 不是直角，B 错。D 项：设 ，对四边形 用鞋带公式得 ，最大值为 ，D 对。故选 ACD。 【易错】B、C 两项用特例判断最快：取一个具体的 把 、 算出来，看点积是否为零；若要说明「对任意 成立」，再补一句对称性或参数化的论证。D 项用参数化写面积最简洁，不必按四个顶点的坐标硬算。 【答案】ACD 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（ ） A. B. 的内心在定直线上 C. 若，则 D. 若，则的面积为 【切入点】直线过 （准线与 轴的交点），设成 后两根之积是常数，四项都围绕这个常数展开。 【关键】 中 。设 ，代入得 ，所以 、。A 项：；又 ，，两者相等，A 对。B 项：把 的内心按边长加权平均算出来，其纵坐标恒为 ，即内心始终落在 轴上，B 对。C 项：由 反解出的 不等于 ，C 错。D 项： 化简后得 ，与 联立解得 ，所以 ， 到 的距离为 ，，D 对。故选 ABD。 【易错】两处。一是 A 项同时用到「斜率的绝对值」与「焦半径」，焦半径 由抛物线的定义给出；二是 D 项里 相等有两种可能（相等或互补），化简后只有一个分支能给出正数解。 【答案】ABD 例5（单选·★★★★☆） 椭圆的左、右焦点分别为、，上点位于第一象限内，为坐标原点，，线段与轴交于点且，若的面积等于，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两条几何条件（ 在 上、）都是关于坐标的线性关系，联立即可把 的坐标用 表示出来。 【关键】设 、，，则 。由 在直线 上得 ；由 与 平行得 。两式联立得 、。由 得 ，即 。于是 。故选 A。 【易错】两处。一是向量平行用「交叉相乘差为零」判断，不要用斜率（ 未必竖直）；二是余弦定理的顶点是 ，对应的对边是 。 【答案】A 变式5-1（多选·★★★★☆） 已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，。若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（ ） A. B. 的最小值为5 C. D. 四边形的面积的取值范围为 【切入点】曲线 的上方部分是两条射线，与椭圆的交点可以直接解出；切线用替换法写出后，与 联立即得 、。 【关键】 在上方即 ，与椭圆联立得 ，所以 、。A 项：，所以 是钝角，，与选项不符，A 错。B 项：设 ，切线为 ，与 联立算得 ，B 对。C 项：取 验算，，C 对。D 项：四边形 的面积为 ，由 得 ，故取值范围为 ，D 对。故选 BCD。 【易错】A 项的陷阱在钝角：由斜率公式算出的正切是 ，但点积为负说明 是钝角，正切应取负号。D 项的范围由「 在 、 之间」给出，漏掉它就会写成 。 【答案】BCD 变式5-2（填空·★★★★☆） 平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________. 【切入点】两条抛物线被同一条横线所截，把两个焦半径都用同一个纵坐标表示，相等条件即可定出这条横线。 【关键】设横线为 。 中 ，，； 中 ，，。由焦半径公式 、，两者相等解得 ，。此时 、，四边形 的四条边都与坐标轴平行，是矩形：宽 、高 ，所以面积为 。 【易错】两处。一是两条抛物线的 不同，焦半径公式里的 也不同；二是四边形是矩形：、 在 轴上，、 在 上，两组对边分别平行于坐标轴。 【答案】 例6（单选·★★★★☆） 已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【切入点】 的底边在 轴上、长为 ，所以面积只与 的纵坐标有关；而 在圆上，纵坐标的上界由圆心与半径决定。 【关键】椭圆 的左焦点 ，所以 ，。以 为直径的圆，圆心纵坐标为 、半径为 ，所以 ，。设 ，、。令 ，求导得驻点 ，比较得 时 最大，所以 。故选 A。 【易错】两处。一是圆上点的纵坐标上界是「圆心纵坐标加半径」；二是 两个驻点都要代入比较，取较大的那一个（ 给 ， 只给 ）。 【答案】A 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知双曲线：的左右顶点分别为为在第一象限内的一点，线段与的渐近线分别相交于两点，记，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. D. 的面积等于 【切入点】两条渐近线与线段 交出 、，用双曲线的参数方程 可以把三个点在一次参数化里算清。 【关键】设 （ 为锐角）。，所以 ；，所以 。C 项：，C 对。D 项：，，所以 ，D 对。B 项：沿 参数化，记 ，、、，而 ，所以 ，B 对。A 项： 化为 ，与 矛盾，不存在这样的 ，A 错。故选 BCD。 【易错】两处。一是 要用 算： 指向左，直接算 会把符号弄反；二是 B 项沿直线参数化后比的是参数之差，不必分别求两点坐标。 【答案】BCD 学科网（北京）股份有限公司 $