第31讲 由三角函数性质求参数的值与范围·讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数性质求参数核心考点，涵盖零点与交点、单调、最值等六大考点，按考情分析、知识清单、典题精练、高考真题逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 讲义采用整体代换与数形结合策略，如零点问题通过相位范围和图象分析列不等式组，培养数学思维与几何直观，典题分考法分层练习配合即时反馈，保障复习效果，提升学生逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供有力支撑。

第31讲 由三角函数性质求参数的值与范围·讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 3 考点一：零点与交点问题 3 考点二：单调问题 6 考点三：最值问题 8 考点四：极值问题 10 考点五：对称性问题 11 考点六：性质的综合问题 12 四、高考真题 13 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数的图象与周期性，求两三角函数图象的交点个数 2025 第4题 单选 第19题 解答 22分 直接 正切函数的对称中心性质求参数最值；三角函数的最值问题及含参三角不等式恒成立求参数范围 2026 第13题 填空 5分 直接 三角函数的奇偶性与单调性，结合区间特征求参数的值 近三年全国一卷对本讲知识点的考查较为频繁，既有客观题的基础性质考查，也有解答题的综合压轴考查，分值占比在5分至22分之间，是高考的重点与难点板块. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查三角函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、对称性、周期性）的综合应用，常结合交点个数、最值条件等求参数（如、）的值或范围. （2） 命题趋势：从单一的性质考查向多性质融合转变，常与三角恒等变换、导数工具结合，在解答题中作为压轴题的一部分出现，对逻辑推理和代数变形能力要求较高. （3） 试题特点：综合性强，思维跨度大.试题往往具有较强的抽象性，要求考生具备严密的逻辑推理能力、分类讨论思想以及熟练运用整体代换法破局的能力. 3. 备考策略 （1） 扎实掌握正弦、余弦、正切函数的图象与基本性质，熟练运用整体代换法处理含参三角函数的零点、交点、单调区间及对称性问题. （2） 强化数形结合思想，在处理交点个数、极值点分布等问题时，善于利用图象直观分析参数的边界条件，列出严密的不等式组. （3） 提升综合解题能力，熟练掌握三角恒等变换技巧，并能结合导数工具处理复杂的三角函数最值与恒成立问题. 二、知识清单 1. 三角函数的周期与对称性基本性质 （1） 周期公式：函数与（）的最小正周期. （2） 对称轴与对称中心： ① （）的对称轴方程为（），对称中心坐标为（）. ② 相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为. （3） 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为（），则（其中分别为对称轴与对称中心的横坐标）. 2. 三角函数的单调性与极值点分布 （1） 极值点位置：（）取得最大值时，（）；取得最小值时，（）. （2） 单调区间长度限制：已知单调区间，则该区间长度不超过半个周期，即. 3. 三角函数在给定区间内的零点个数问题 （1） 函数（）在区间内没有零点，则满足： （2） 函数（）在区间内没有零点，则满足： （3） 函数（）在区间内有2个零点，则满足： （4） 函数（）在区间内有3个零点，则满足： （5） 函数（）在区间内有个零点，则满足： （6） 函数（）在区间内有个零点，则满足： 三、典题精讲 考点一：零点与交点问题 考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围 例1.（2025·衡水中学·检测）已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】已知函数在给定区间内的零点个数求参数范围，切入点是采用整体代换法.先求出整体相位的取值范围，再结合正弦函数的图象与直线的交点分布情况，列出满足交点个数的不等式组即可破题. 【解析】令，则.∵，∴.要使在上能取到3个零点，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为（当时），故需满足，解得.要使在上能取到4个零点，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为（当时），故需满足，解得.为使在内恰有3个零点，需同时满足和，因此的取值范围为.故选：A. 【规律】处理三角函数在闭区间上零点个数问题，通用步骤为：化简解析式为的形式；利用整体思想求出相位的范围；画出基本三角函数图象，根据零点个数卡住相位区间的右端点，列出关于的不等式组求解. 考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围 例2.（2026·黄冈·9月调研）已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 【答案】（1） 1 （2） 【思路】第一问利用三角恒等变换将函数化为的形式，结合周期公式求出.第二问根据图象平移规则“左加右减、上加下减”求出的解析式，解方程求出所有零点的表达式，从小到大列举出前几个零点，根据恰有3个零点的条件卡住区间右端点的范围. 【解析】（1）.又的最小正周期为，，则，∴.（2）由（1）知，∴.由时，得到，∴或.即或.∵在区间上有且仅有3个零点，由，令，得；令，得.由，令，得；，得.∴.故的取值范围是. 【规律】图象平移时务必注意是对自变量本身进行加减，若前有系数需先提取系数.处理含参区间的零点个数问题时，直接解出零点的通式，并按大小顺序依次写出具体的零点值，是避免漏解和错解的最稳妥方法. 考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围 例3.（2026·衡水·4月检测）若为函数的一个零点，且的最小正周期，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】已知具体的零点，直接将其代入函数解析式，利用正弦函数为零的条件求出关于整数的表达式.再根据周期的范围反解出的范围，从而锁定整数的值，最终确定. 【解析】由题得，∴.则，∵，∴.∴，∴，∴，则.故选：C. 【规律】已知零点、极值点或对称轴求参数时，代入对应条件得到参数的通项公式（含整数），再利用题目给定的其他限制条件（如周期范围、参数范围等）建立关于的不等式，通过求整数来确定参数的唯一值. 考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值 例4.（2026·枣庄·一模）记函数的两个零点为和，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先利用辅助角公式将函数化为单一三角函数的形式，得到方程.观察到无法直接求出和的具体值，应联想到利用三角函数的对称性.求出整体相位的范围，找到该区间内正弦图象的对称轴，从而得到与的关系，最后利用二倍角公式求解. 【解析】，其中.由，得.∵，∴.∵，.∴直线与曲线在上有两个交点，且关于对称.∴，即.∴.故选：D. 【规律】遇到求两零点之和的问题，若方程无法直接求解，核心思想是利用函数的对称性.找出两零点所在区间的对称轴，则必有，从而将两根之和转化为已知量. 【考点一 方法总结】 1. 处理三角函数在闭区间上零点个数问题，通用步骤为：化简解析式为的形式；利用整体思想求出相位的范围；画出基本三角函数图象，根据零点个数卡住相位区间的右端点，列出关于的不等式组求解. 2. 图象平移时务必注意是对自变量本身进行加减，若前有系数需先提取系数.处理含参区间的零点个数问题时，直接解出零点的通式，并按大小顺序依次写出具体的零点值，是避免漏解和错解的最稳妥方法. 3. 已知零点、极值点或对称轴求参数时，代入对应条件得到参数的通项公式（含整数），再利用题目给定的其他限制条件（如周期范围、参数范围等）建立关于的不等式，通过求整数来确定参数的唯一值. 4. 遇到求两零点之和的问题，若方程无法直接求解，核心思想是利用函数的对称性.找出两零点所在区间的对称轴，则必有，从而将两根之和转化为已知量. 考点二：单调问题 考法5：根据给定单调区间求参数范围 例5.（2026·黄骅中学·一模）函数恒有，且在上单调递增，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】条件“恒有”说明是函数的最大值点，由此可列出关于的方程，得到的表达式（含整数）.再利用函数在给定区间上单调递增，说明该区间长度不超过半个周期，且整体相位区间必须落在正弦函数的某个单调递增区间内，由此建立不等式组锁定的值.注意可能为负，需分类讨论. 【解析】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即.∴，∴.已知在上单调递增，∴，即，解得.当时，∵，∴.∵在上单调递增，∴.解得，∴.解得，故.当时，∵，∴或.取，则，∵.∴，故在上单调递减，不满足题意.同理可得，时，也不满足题意.综上可得：. 【规律】已知函数在某区间单调，处理方法有两种：一是整体代换法，令整体相位落在基本三角函数的单调区间内，列出不等式组；二是利用周期限制，单调区间的长度必然小于等于半个周期，由此初步缩小参数范围，再进行验证. 考法6：结合单调性与对称性求参数范围 例6.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（ 　　） A. 在区间上有且仅有3个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 【答案】C 【思路】本题综合考查三角函数的各项性质.突破口在于“区间内有且仅有4条对称轴”，先写出对称轴的通式，令其落在内，通过限制整数的取值个数（恰好4个连续整数），列出关于的不等式组求出的范围.随后利用的范围逐一检验零点个数、周期范围和单调性. 【解析】函数.令，得.函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数满足.得，可得.则.∴，即的取值范围是，故C正确.∵，∴，由于得.当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误.周期，由，得.∴，∴的最小正周期不可能是，故B错误.∵，∴.又，∴.又，∴在区间上不一定单调递增，故D错误.故选：C. 【规律】根据区间内对称轴（或零点、极值点）的个数求参数范围，最严谨的做法是写出特征点的通式，转化为不等式在区间内有固定个数的整数解问题，通过卡住边界整数列出不等式组. 【考点二 方法总结】 1. 已知函数在某区间单调，处理方法有两种：一是整体代换法，令整体相位落在基本三角函数的单调区间内，列出不等式组；二是利用周期限制，单调区间的长度必然小于等于半个周期，由此初步缩小参数范围，再进行验证. 2. 根据区间内对称轴（或零点、极值点）的个数求参数范围，最严谨的做法是写出特征点的通式，转化为不等式在区间内有固定个数的整数解问题，通过卡住边界整数列出不等式组. 考点三：最值问题 考法7：恒等变换化简求最值 例7.（2026·黄冈·4月模拟）已知函数，若，，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】审题时需敏锐捕捉到的最大值为2，最小值为-2.条件等价于函数在给定区间内必须同时取到最大值2和最小值-2.由此转化为整体相位区间必须同时覆盖余弦函数的最大值点和最小值点，列出不等式即可求出的范围. 【解析】由于的取值范围是，，∴当且仅当且.∵，∴.要使在上能取到2，则区间内至少要包含一个形如的数.其中最小的可能值为（当时），故需满足，解得.要使在上能取到，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为（当时），故需满足.解得；为使均在内，需同时满足和，因此最小的为.故选：C. 【规律】遇到三角函数值乘积或和差达到极限值的问题，通常隐含着函数在指定区间内必须取到最值的条件.将抽象的代数关系转化为图象上最值点的覆盖问题，是解题的核心技巧. 考法8：结合区间最值与相位范围求参数 例8.（2025·衡水中学·检测）（多选）已知函数在上有最大值，无最小值，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 【答案】CD 【思路】首先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简.条件“在开区间上有最大值无最小值”意味着整体相位区间包含了正弦图象的波峰，但没有包含波谷.据此列出关于的不等式组，结合为正整数求出其确切值.最后代入得到具体解析式，逐一验证各个选项的性质. 【解析】.当时，.∵函数在上有最大值，无最小值，∴存在，使得.整理得，，∴，解得.又∵，故，得. A. ，∴函数不是奇函数，故A错误； B. 当时，，∵，∴函数在上不单调递增，故B错误； C. 令，，则，，∴离轴距离最近的对称轴方程为，故C正确； D. 的最小正周期为，故D正确.故选：CD. 【规律】处理开区间上的最值问题，必须严格区分开闭区间的端点能否取到最值点.有最大值说明区间内部包含，无最小值说明区间端点不能越过和，据此列出严密的不等式链是解题关键. 考法9：结合最值与对称轴、零点求参数 例9.（2026·金科大联考·2月联考）已知函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】条件暗示处函数取得最大值或最小值，即是函数的一条对称轴.由此可得与的关系式.再结合周期的范围得出的范围，进而利用的范围限制求出和的精确值.最后代入区间求值域. 【解析】∵，且，∴.且，∴直线是曲线的一条对称轴，∴，解得，且，∴，∵，解得，此时，则，且，∴. 【规律】挖掘题目中的隐含条件是解题的先决条件.形如或的式子，本质上都在指明是函数的最值点，也就是对称轴所在位置. 【考点三 方法总结】 1. 遇到三角函数值乘积或和差达到极限值的问题，通常隐含着函数在指定区间内必须取到最值的条件.将抽象的代数关系转化为图象上最值点的覆盖问题，是解题的核心技巧. 2. 处理开区间上的最值问题，必须严格区分开闭区间的端点能否取到最值点.有最大值说明区间内部包含，无最小值说明区间端点不能越过和，据此列出严密的不等式链是解题关键. 3. 挖掘题目中的隐含条件是解题的先决条件.形如或的式子，本质上都在指明是函数的最值点，也就是对称轴所在位置. 考点四：极值问题 考法10：根据区间内极值点个数求参数范围 例10.（2025·南阳一中·三模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】极值点即为三角函数图象的波峰或波谷位置.先求出整体相位的取值范围，由于区间左端点固定为，要使区间内恰有一个极值点，则区间右端点必须越过第一个极值点，但不能越过第二个极值点.据此列出不等式求解. 【解析】∵，∴当时，有.∵在区间内恰有一个极值点，结合正弦函数图象，得，解得，∴的取值范围为.故选：A. 【规律】处理极值点个数问题，依然采用整体代换法.将极值点转化为整体相位等于的点，根据给定区间内包含此类点的个数，卡住区间的端点即可. 考法11：结合极值点与周期、对称性求参数 例11.（2024·上饶六校·5月模拟）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（ 　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【思路】先利用辅助角公式将函数化简.由于区间的左端点对应的相位固定，且恰有两个极值点，可以直接写出这两个极值点对应的具体相位值.将两式相加求出的值，最后代入目标函数中利用诱导公式求值. 【解析】由题意得，，则，由为两个极值点，则，解得，∴.故选：C. 【规律】当题目明确给出极值点、零点等特征点的个数较少时，可以直接利用整体相位等于具体的特征值列出方程组，通过方程组的加减消元求出参数或变量之间的关系. 【考点四 方法总结】 1. 处理极值点个数问题，依然采用整体代换法.将极值点转化为整体相位等于的点，根据给定区间内包含此类点的个数，卡住区间的端点即可. 2. 当题目明确给出极值点、零点等特征点的个数较少时，可以直接利用整体相位等于具体的特征值列出方程组，通过方程组的加减消元求出参数或变量之间的关系. 考点五：对称性问题 考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数 例12.（2025·金科新未来·5月联考）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ 　　） A. 在上有3个零点 B. 在上有3个极值点 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【思路】由对称轴条件代入正弦函数的对称轴公式，结合的范围求出的唯一值，从而确定函数解析式.接着针对各个选项，分别令整体相位等于零点、极值点、对称中心、对称轴的通式，验证在给定区间内的解的个数或等式是否成立. 【解析】由题意得，即，∵，故，.对于A选项，令可得，令，解得，即或2，故在上有2个零点，A选项错误.对于B选项，令可得，令，解得，即，故在上有3个极值点，B选项正确.对于C选项，令，，故的图象关于点对称，C选项正确.对于D选项，令，，故不是图象的对称轴，D选项错误.故选：BC. 【规律】已知对称轴求参数，直接代入即可.判断函数在某区间上的零点或极值点个数，最通用的方法是写出零点或极值点的通式，令其落在给定区间内，求出整数的个数. 【考点五 方法总结】 1. 已知对称轴求参数，直接代入即可.判断函数在某区间上的零点或极值点个数，最通用的方法是写出零点或极值点的通式，令其落在给定区间内，求出整数的个数. 考点六：性质的综合问题 考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式 例13.（2026·前黄高中·检测）已知函数的最小正周期为，若函数在区间上单调递减，且，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先利用积化和差公式（或展开后降幂）将函数化简，结合周期求出.条件代入解析式后，可化简为两个正弦值互为相反数的形式，利用和差化积公式将其转化为乘积为0的形式.再结合在区间上单调递减的限制，对两种情况分别讨论，求出的表达式，进而求出绝对值的最小值. 【解析】.其最小正周期为，解得，又∵，∴.∵，得.由和差化积公式得：.即，下面分和两种情况讨论.∵函数在区间上单调递减，∴，∴.故当时，必有.分析的单调递减区间：令.得的递减区间为，，结合.可得，（或互换），.且当时，有，，此时不等式的等号成立.若，则，.∵的递减区间为，.∴，，∴，即.又∵关于在时递增，在时递减.∴的最小值为.∴的最小值为. 【规律】处理复杂的三角函数等式，和差化积公式是强有力的降维工具.将和差形式转化为乘积形式后，即可利用零因子定律分情况讨论.同时，必须时刻关注单调区间对变量差值范围的隐性限制. 【考点六 方法总结】 1. 处理复杂的三角函数等式，和差化积公式是强有力的降维工具.将和差形式转化为乘积形式后，即可利用零因子定律分情况讨论.同时，必须时刻关注单调区间对变量差值范围的隐性限制. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】∵函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，∴在上函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C. 2.（2025·全国一卷）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，即的对称中心是，即，又，则时最小，最小值是，即.故选：B. 3.（2025·全国一卷）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）法1：，∵，∴，∴.当时，即，当时，即，∴在上为增函数，在为减函数，∴在上的最大值为. 法2：我们有. ∴. 这得到，同时又有，故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，若任意与交集为空，则且，此时无解，矛盾，故无解；故存在，使得. 法2：由余弦函数的性质知的解为，若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为1的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.故存在，使得成立. （3）法1：记，∵，∴为周期函数且周期为，∴只需讨论的情况. 当时，， 当时，，此时，令，则，而，，∴. 当，在（2）中取，则存在，使得，取，则，取即，∴，∴，综上，可取，使得等号成立.综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立，则对这样的，同样有.∴对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有，，，∴均不超过，再结合，就得到均不超过. 假设，则，故.但这是不可能的，∵三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在直线左侧.∴假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明，知存在，使得.∴满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 4.（2026·全国一卷）已知是偶函数，在区间单调递增，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿. 【答案】； 【解析】∵是偶函数，∴.又，∴或.若，则.要使其在单调递增，需且半周期，即.此时或.但此时在上实际是单调递减的，矛盾.若，则.要使其在单调递增，需且，即.又，∴或.当时，，.当时，，.综上，，. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 由三角函数性质求参数的值与范围·讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 3 考点一：零点与交点问题 3 考点二：单调问题 4 考点三：最值问题 5 考点四：极值问题 6 考点五：对称性问题 6 考点六：性质的综合问题 7 四、高考真题 7 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第7题 单选 5分 直接 三角函数的图象与周期性，求两三角函数图象的交点个数 2025 第4题 单选 第19题 解答 22分 直接 正切函数的对称中心性质求参数最值；三角函数的最值问题及含参三角不等式恒成立求参数范围 2026 第13题 填空 5分 直接 三角函数的奇偶性与单调性，结合区间特征求参数的值 近三年全国一卷对本讲知识点的考查较为频繁，既有客观题的基础性质考查，也有解答题的综合压轴考查，分值占比在5分至22分之间，是高考的重点与难点板块. 2. 命题角度与特色 （1） 核心考点：重点考查三角函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、对称性、周期性）的综合应用，常结合交点个数、最值条件等求参数（如、）的值或范围. （2） 命题趋势：从单一的性质考查向多性质融合转变，常与三角恒等变换、导数工具结合，在解答题中作为压轴题的一部分出现，对逻辑推理和代数变形能力要求较高. （3） 试题特点：综合性强，思维跨度大.试题往往具有较强的抽象性，要求考生具备严密的逻辑推理能力、分类讨论思想以及熟练运用整体代换法破局的能力. 3. 备考策略 （1） 扎实掌握正弦、余弦、正切函数的图象与基本性质，熟练运用整体代换法处理含参三角函数的零点、交点、单调区间及对称性问题. （2） 强化数形结合思想，在处理交点个数、极值点分布等问题时，善于利用图象直观分析参数的边界条件，列出严密的不等式组. （3） 提升综合解题能力，熟练掌握三角恒等变换技巧，并能结合导数工具处理复杂的三角函数最值与恒成立问题. 二、知识清单 1. 三角函数的周期与对称性基本性质 （1） 周期公式：函数与（）的最小正周期. （2） 对称轴与对称中心： ① （）的对称轴方程为（），对称中心坐标为（）. ② 相邻两条对称轴之间的距离为；相邻两个对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为. （3） 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为（），则（其中分别为对称轴与对称中心的横坐标）. 2. 三角函数的单调性与极值点分布 （1） 极值点位置：（）取得最大值时，（）；取得最小值时，（）. （2） 单调区间长度限制：已知单调区间，则该区间长度不超过半个周期，即. 3. 三角函数在给定区间内的零点个数问题 （1） 函数（）在区间内没有零点，则满足： （2） 函数（）在区间内没有零点，则满足： （3） 函数（）在区间内有2个零点，则满足： （4） 函数（）在区间内有3个零点，则满足： （5） 函数（）在区间内有个零点，则满足： （6） 函数（）在区间内有个零点，则满足： 三、典题精练 考点一：零点与交点问题 考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围 例1.（2025·衡水中学·检测）已知函数在上有三个零点，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围 例2.（2026·黄冈·9月调研）已知函数的最小正周期为. （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围. 考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围 例3.（2026·衡水·4月检测）若为函数的一个零点，且的最小正周期，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值 例4.（2026·枣庄·一模）记函数的两个零点为和，则（ 　　） A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 1. 处理三角函数在闭区间上零点个数问题，通用步骤为：化简解析式为的形式；利用整体思想求出相位的范围；画出基本三角函数图象，根据零点个数卡住相位区间的右端点，列出关于的不等式组求解. 2. 图象平移时务必注意是对自变量本身进行加减，若前有系数需先提取系数.处理含参区间的零点个数问题时，直接解出零点的通式，并按大小顺序依次写出具体的零点值，是避免漏解和错解的最稳妥方法. 3. 已知零点、极值点或对称轴求参数时，代入对应条件得到参数的通项公式（含整数），再利用题目给定的其他限制条件（如周期范围、参数范围等）建立关于的不等式，通过求整数来确定参数的唯一值. 4. 遇到求两零点之和的问题，若方程无法直接求解，核心思想是利用函数的对称性.找出两零点所在区间的对称轴，则必有，从而将两根之和转化为已知量. 考点二：单调问题 考法5：根据给定单调区间求参数范围 例5.（2026·黄骅中学·一模）函数恒有，且在上单调递增，则＿＿＿＿＿＿. 考法6：结合单调性与对称性求参数范围 例6.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（ 　　） A. 在区间上有且仅有3个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 【考点二 方法总结】 1. 已知函数在某区间单调，处理方法有两种：一是整体代换法，令整体相位落在基本三角函数的单调区间内，列出不等式组；二是利用周期限制，单调区间的长度必然小于等于半个周期，由此初步缩小参数范围，再进行验证. 2. 根据区间内对称轴（或零点、极值点）的个数求参数范围，最严谨的做法是写出特征点的通式，转化为不等式在区间内有固定个数的整数解问题，通过卡住边界整数列出不等式组. 考点三：最值问题 考法7：恒等变换化简求最值 例7.（2026·黄冈·4月模拟）已知函数，若，，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 考法8：结合区间最值与相位范围求参数 例8.（2025·衡水中学·检测）（多选）已知函数在上有最大值，无最小值，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 是离轴距离最近的对称轴 D. 的最小正周期为 考法9：结合最值与对称轴、零点求参数 例9.（2026·金科大联考·2月联考）已知函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿. 【考点三 方法总结】 1. 遇到三角函数值乘积或和差达到极限值的问题，通常隐含着函数在指定区间内必须取到最值的条件.将抽象的代数关系转化为图象上最值点的覆盖问题，是解题的核心技巧. 2. 处理开区间上的最值问题，必须严格区分开闭区间的端点能否取到最值点.有最大值说明区间内部包含，无最小值说明区间端点不能越过和，据此列出严密的不等式链是解题关键. 3. 挖掘题目中的隐含条件是解题的先决条件.形如或的式子，本质上都在指明是函数的最值点，也就是对称轴所在位置. 考点四：极值问题 考法10：根据区间内极值点个数求参数范围 例10.（2025·南阳一中·三模）已知函数在区间内恰有一个极值点，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法11：结合极值点与周期、对称性求参数 例11.（2024·上饶六校·5月模拟）已知函数在区间上恰有两个极值点，则的值为（ 　　） A. 1 B. C. D. 2 【考点四 方法总结】 1. 处理极值点个数问题，依然采用整体代换法.将极值点转化为整体相位等于的点，根据给定区间内包含此类点的个数，卡住区间的端点即可. 2. 当题目明确给出极值点、零点等特征点的个数较少时，可以直接利用整体相位等于具体的特征值列出方程组，通过方程组的加减消元求出参数或变量之间的关系. 考点五：对称性问题 考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数 例12.（2025·金科新未来·5月联考）（多选）已知函数的图象关于直线对称，则（ 　　） A. 在上有3个零点 B. 在上有3个极值点 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【考点五 方法总结】 1. 已知对称轴求参数，直接代入即可.判断函数在某区间上的零点或极值点个数，最通用的方法是写出零点或极值点的通式，令其落在给定区间内，求出整数的个数. 考点六：性质的综合问题 考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式 例13.（2026·前黄高中·检测）已知函数的最小正周期为，若函数在区间上单调递减，且，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【考点六 方法总结】 1. 处理复杂的三角函数等式，和差化积公式是强有力的降维工具.将和差形式转化为乘积形式后，即可利用零因子定律分情况讨论.同时，必须时刻关注单调区间对变量差值范围的隐性限制. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）当时，曲线与的交点个数为（ 　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2.（2025·全国一卷）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 3.（2025·全国一卷）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设为实数，证明：存在，使得； （3）若存在使得对任意，都有，求的最小值. 4.（2026·全国一卷）已知是偶函数，在区间单调递增，则＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $