第01讲 数列的概念（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦数列概念核心考点，涵盖数列定义、分类、表示方法及周期性、单调性、最值等函数性质，按知识解构-题型破译-真题溯源逻辑架构，通过知识精讲拆解核心知识，题型归纳提炼方法技巧，真题训练感知高考考向，帮助学生系统构建数列知识体系。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如针对周期性问题引导学生通过递推公式算前几项找周期，用余数思想求项；单调性问题采用作差作商比较法推理判断。设置基础演练与重难创新分层练习，配合即时反馈，确保学生高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第01讲 数列的概念 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的概念 知识点2 数列的分类 知识点3 数列的两种常用的表示方法 题型破译 题型1 数列的周期性 【方法技巧】数列的周期性 题型2 数列的单调性 【方法技巧】数列的单调性 题型3 数列的最大（小）项 【方法技巧】数列的最大（小）项 题型4 数列中的规律问题 【方法技巧】数列中的规律问题 题型5 数列的最值问题 【方法技巧】数列的最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 数列的基本概念与通项公式 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T3（5 分） 数列的递推公式与前 n 项和 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T12（5 分） 数列的概念综合应用 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（6 分） 考情分析 数列的概念是天津高考数学必考基础考点，是数列模块的入门核心内容，以选择题、填空题为主要考查形式，单题分值 5 分，偶尔会在数列解答题第一问中出现，分值 6 分，整体难度中等，属于必拿分基础考点。高频考查方向为：①数列的基本概念、通项公式的求解与应用，包括根据数列前几项写通项、由通项公式求指定项；②数列的递推公式、前 n 项和与通项的关系，是本模块高频重难点；③数列的函数性质（单调性、周期性）与基础综合应用，常结合不等式、函数性质考查。本模块是等差数列、等比数列的学习基础，是天津高考数列解答题的必备前提，必须熟练掌握核心知识点。 复习目标 1. 理解数列的基本概念，掌握数列的表示方法，能根据数列前几项写出通项公式，理解数列是特殊的函数，掌握数列的定义域、值域特征； 2. 掌握数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项，熟练掌握前 n 项和与通项的核心关系，能利用求解数列的通项公式； 3. 掌握数列的函数性质，能判断数列的单调性、周期性，能解决数列的最值、范围相关问题； 4. 能综合运用数列的概念解决基础综合问题，筑牢数列模块的学习基础，为后续等差数列、等比数列的学习做好充分准备。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的概念 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是 、 和 ． 必记结论 数列是按一定次序排列的一列数，顺序是数列的本质特征，这是和集合最核心的区别。集合元素无序、互异；数列允许数字重复，调换顺序就得到不同数列。数列中的每一个数称为项，an表示数列的第n项，n代表项数。 数列可以看作特殊函数，定义域是正整数集N∗或者它的有限子集{1,2,…,n}，自变量为项数n，函数值就是数列的项an。 按项数划分：有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）；按增减性划分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 通项公式是an与序号n之间的关系式，代入n可求出对应项，注意不是所有数列都有通项公式，由前几项写通项，结果不唯一。 Sn表示数列前n项和，核心公式：a1=S1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1，使用该式务必检验n=1是否成立。解题要把握数列的函数属性，分清项和项数，注意n的取值范围。 自主检测在数列中，，，记为数列的前项和，则（    ） A．0 B．18 C．10 D．9 知识点2 数列的分类 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分：： 必记结论 数列主要有两种分类方式。按项数多少分为有穷数列和无穷数列：项数有限的是有穷数列；项数无限的是无穷数列。按项的增减变化分为四类：递增数列，从第二项起，每一项都大于它的前一项；递减数列，从第二项起，每一项都小于它的前一项；常数列，各项全部相等；摆动数列，各项大小交替变化。 注意区分概念，递增、递减数列均要求从第二项开始比较。常数列既是递增也是递减数列。判断数列类型，要对比相邻两项大小。做题时看清是按项数分类还是按增减性分类，不要混淆。无穷数列没有最后一项，有穷数列存在最后一项。 自主检测设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 知识点3 数列的两种常用的表示方法 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 总结： （1）若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证． （2）在数列中，若最大，则若最小，则 必记结论 数列两种核心表示方法为通项公式法、递推公式法。通项公式是直接反映第n项an​与项数n关系的式子，可直接代入任意正整数n，快速求出数列任意一项，适用范围广、计算便捷。 递推公式是已知首项或前几项，通过相邻项的关系式，依次推出后续项。它无法直接求任意项，需逐项推导。 核心考点：并非所有数列都有通项公式，多数复杂数列仅能使用递推公式。解题时优先用通项公式求值，无通项公式时，借助递推公式分析数列规律、判断数列性质。 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 数列的周期性 例1-1（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 例1-2（2026·天津河西·二模）在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 方法技巧 数列的周期性 若存在正整数T，使对任意n∈N∗，都有an+T=an，则数列为周期数列，T为最小正周期。 高考通用解题方法：依据递推公式连续算出前若干项，观察重复规律，确定周期T。求an时，利用余数思想：n÷T取余数，余数对应周期内项的位置即可求值。 高频技巧：周期数列求和可分组求和，整周期直接乘组数，剩余余项单独相加。做题无需证明周期，算出重复循环即可使用，是高考小题速解核心方法。 【变式训练1-1】若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【变式训练1-2】在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练1-3】数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型2 数列的单调性 例2-1设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 例2-2设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 数列的单调性 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 【变式训练2-1】已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)集合共有4个元素，求实数范围. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 题型3 数列的最大（小）项 例3-1设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 例3-2数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 例3-3设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； (3)设（），数列的前项积为，求的最大值. 方法技巧 数列的最大（小）项 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 【变式训练3-1】已知等比数列的前n项和为，， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前2n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【变式训练3-2】已知是各项均为正数的无穷数列，前n项和为，且（）给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有．其中正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4 数列中的规律问题 例4-1下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 例4-2将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（      ） A．8，7，6，5，4，3，2，1 B．1，2，3，4，5，6，7，8 C．2，4，6，8，1，3，5，7 D．1，3，5，7，2，4，6，8 方法技巧 数列中的规律问题 数列规律问题常出现在小题当中，解题核心是观察给出的数列各项，建立项数 n 与数列项 aₙ之间的联系。先写出数列前几项，观察数字变化特点，留意正负交替、倍数变化、平方立方、分组循环等情况。遇到正负交替，可借助 (-1) 的 n 次方或者 (-1) 的 n 加 1 次方调整符号。 若是分组规律，先划分组别，明确每组的项数以及每组内部数字特点。遇到循环数列，找出周期，利用余数找到对应位置的项。 根据有限项写通项公式，结果不唯一，高考写出合理的一个即可。做题时一定要代入 n=1，n=2，n=3 进行检验，防止通项公式和已知项不匹配。 【变式训练4-1】数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】已知数列，则是这个数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【变式训练4-3】以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 题型5 数列的最值问题 例5-1已知在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)当n为何值时前n项和取得最大，并求出此最大值. 例5-2已知首项大于0的等差数列的公差，且满足；等比数列的前项和为．若，，成等差数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和，数列的前项和； (3)求的最大值，并求出此时的值． 方法技巧 数列的最值问题 数列求最值主要有三种常用方法。第一种是单调性法，通过比较 a (n+1) 和 a (n) 的大小，判断数列递增或者递减，递增数列的最小项为首项，递减数列的最大项为首项。第二种是作差法，计算 a (n+1) 减 a (n)，根据差值正负判断增减，进而确定最值。第三种是不等式组法，求最大项列不等式 a (n) 大于等于 a (n1)，a (n) 大于等于 a (n+1)；求最小项列 a (n) 小于等于 a (n1)，a (n) 小于等于 a (n+1)，解出正整数 n。 注意数列定义域是正整数，不能直接套用函数求最值。求出 n 之后要代入验算，注意 n 的取值范围，避免出现非正整数解。 【变式训练5-1】数列前n项和，，则数列的最小项为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 【变式训练5-3】已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 4．（2010·天津·高考真题）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明成等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）记，证明. 5．（2011·天津·高考真题）已知数列与满足 ，，，且． (1)求，的值； (2)设，，证明是等比数列； (3)设为的前项和，证明（）. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项 3．在数列中，若，则的值为______． 4．观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？ 5．（1）求数列，，，…的前项的和； （2）求数列5，55，555，…的前项的和． 6．已知数列前n项和为． (1)试写出数列的前5项； (2)数列是等差数列吗？ (3)你能写出数列的通项公式吗？ 7．根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式． (1) (2) 8．已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 9．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放几个？ 10．求下列数列的一个通项公式： (1)，2，，4，… (2)，，，，… 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考数列的概念侧重考查数列定义、通项与前 n 项和关系，an​与Sn​的转化是高频基础考点。常考查数列的函数属性，涉及单调性、周期性、最值。小题侧重辨析项数、下标、递推关系；大题第一问常依托概念求通项。注重区分数列与函数差异，重视n为正整数的约束条件。命题立足教材基础，为等差、等比数列以及后续综合题型做好铺垫，重点检验学生概念理解与基础运算能力 1．已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知数列为不单调的等比数列，，数列满足，则数列的最大项为（    ）． A． B． C． D． 5．在数列中，若（），则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 6．已知正项数列的前项和满足，则__________. 7．已知数列的前n项和为，则数列的前10项和为______． 8．已知数列满足，，则________. 9．已知数列的通项公式为，则是该数列的第__________项． 10．已知数列的前项和为，且．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列． (3)求数列的通项公式． 重难·创新演练 设题创新:创新题型多围绕新定义数列、分段递推、子数列、奇偶分类展开，侧重阅读理解与逻辑推理。常结合an与Sn的变形设置陷阱，容易忽略n=1的验证。部分考题将数列和函数、不等式结合，考查周期性、存在性、最值探究。解题不能照搬固有模板，必须回归题干定义。训练重点强化下标辨析、分类讨论，做完务必检验首项是否符合通项。重视子数列、抽项问题，理清项与项数对应关系，提升抽象读题与严谨演算的应试能力。 1．（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 3．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 4．数列的前项和，则数列中的最大项为__________． 5．已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项． 6．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 7．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 8．已知数列对任意的，都有，且. ①当时，______. ②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则______. 9．已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是_____. 10．已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并证明. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 数列的概念 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 数列的概念 知识点2 数列的分类 知识点3 数列的两种常用的表示方法 题型破译 题型1 数列的周期性 【方法技巧】数列的周期性 题型2 数列的单调性 【方法技巧】数列的单调性 题型3 数列的最大（小）项 【方法技巧】数列的最大（小）项 题型4 数列中的规律问题 【方法技巧】数列中的规律问题 题型5 数列的最值问题 【方法技巧】数列的最值问题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 数列的基本概念与通项公式 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T5（5 分） 天津卷 T3（5 分） 数列的递推公式与前 n 项和 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T11（5 分） 天津卷 T12（5 分） 数列的概念综合应用 天津卷 T18（5 分） 天津卷 T18（6 分） 考情分析 数列的概念是天津高考数学必考基础考点，是数列模块的入门核心内容，以选择题、填空题为主要考查形式，单题分值 5 分，偶尔会在数列解答题第一问中出现，分值 6 分，整体难度中等，属于必拿分基础考点。高频考查方向为：①数列的基本概念、通项公式的求解与应用，包括根据数列前几项写通项、由通项公式求指定项；②数列的递推公式、前 n 项和与通项的关系，是本模块高频重难点；③数列的函数性质（单调性、周期性）与基础综合应用，常结合不等式、函数性质考查。本模块是等差数列、等比数列的学习基础，是天津高考数列解答题的必备前提，必须熟练掌握核心知识点。 复习目标 1. 理解数列的基本概念，掌握数列的表示方法，能根据数列前几项写出通项公式，理解数列是特殊的函数，掌握数列的定义域、值域特征； 2. 掌握数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项，熟练掌握前 n 项和与通项的核心关系，能利用求解数列的通项公式； 3. 掌握数列的函数性质，能判断数列的单调性、周期性，能解决数列的最值、范围相关问题； 4. 能综合运用数列的概念解决基础综合问题，筑牢数列模块的学习基础，为后续等差数列、等比数列的学习做好充分准备。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 数列的概念 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 必记结论 数列是按一定次序排列的一列数，顺序是数列的本质特征，这是和集合最核心的区别。集合元素无序、互异；数列允许数字重复，调换顺序就得到不同数列。数列中的每一个数称为项，an表示数列的第n项，n代表项数。 数列可以看作特殊函数，定义域是正整数集N∗或者它的有限子集{1,2,…,n}，自变量为项数n，函数值就是数列的项an。 按项数划分：有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）；按增减性划分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 通项公式是an与序号n之间的关系式，代入n可求出对应项，注意不是所有数列都有通项公式，由前几项写通项，结果不唯一。 Sn表示数列前n项和，核心公式：a1=S1，当n≥2时，an=Sn−Sn−1，使用该式务必检验n=1是否成立。解题要把握数列的函数属性，分清项和项数，注意n的取值范围。 自主检测在数列中，，，记为数列的前项和，则（    ） A．0 B．18 C．10 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，所以，，， ，，，，…， 故数列为周期数列，周期为4， 所以. 故选：C. 知识点2 数列的分类 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分：： 必记结论 数列主要有两种分类方式。按项数多少分为有穷数列和无穷数列：项数有限的是有穷数列；项数无限的是无穷数列。按项的增减变化分为四类：递增数列，从第二项起，每一项都大于它的前一项；递减数列，从第二项起，每一项都小于它的前一项；常数列，各项全部相等；摆动数列，各项大小交替变化。 注意区分概念，递增、递减数列均要求从第二项开始比较。常数列既是递增也是递减数列。判断数列类型，要对比相邻两项大小。做题时看清是按项数分类还是按增减性分类，不要混淆。无穷数列没有最后一项，有穷数列存在最后一项。 自主检测设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且数列为单调递减数列， 所以对任意的，，即， 可得对任意的恒成立，所以， 解得，故实数的取值范围是. 知识点3 数列的两种常用的表示方法 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 总结： （1）若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证． （2）在数列中，若最大，则若最小，则 必记结论 数列两种核心表示方法为通项公式法、递推公式法。通项公式是直接反映第n项an​与项数n关系的式子，可直接代入任意正整数n，快速求出数列任意一项，适用范围广、计算便捷。 递推公式是已知首项或前几项，通过相邻项的关系式，依次推出后续项。它无法直接求任意项，需逐项推导。 核心考点：并非所有数列都有通项公式，多数复杂数列仅能使用递推公式。解题时优先用通项公式求值，无通项公式时，借助递推公式分析数列规律、判断数列性质。 自主检测（2026·天津滨海新区·三模）设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴ ，故D错误. 题●型●破●译 题型1 数列的周期性 例1-1（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 例1-2（2026·天津河西·二模）在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】，故， ，故，，，， ，……， 故当，为奇数时，，当，为偶数时，， 且当时，随着的增大，不减， 其中，， ， 所以使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为2026. 方法技巧 数列的周期性 若存在正整数T，使对任意n∈N∗，都有an+T=an，则数列为周期数列，T为最小正周期。 高考通用解题方法：依据递推公式连续算出前若干项，观察重复规律，确定周期T。求an时，利用余数思想：n÷T取余数，余数对应周期内项的位置即可求值。 高频技巧：周期数列求和可分组求和，整周期直接乘组数，剩余余项单独相加。做题无需证明周期，算出重复循环即可使用，是高考小题速解核心方法。 【变式训练1-1】若数列满足，且则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】由题意可得， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，， 所以数列从第二项起是以1，1，0为周期的数列， 则. 故选：B 【变式训练1-2】在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】由题意得，用替换式子中的，得， 两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列. 又，，. 所以数列的前2024项和. 故选：A. 【变式训练1-3】数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题知，， 又，所以，是周期为3的周期数列. 对于A，若，，则，则或 若，则，得， 又， 由周期性可知，当时，满足，A不满足题意； 对于B，若，，则，即， 又，消元整理得， 即，无实数解，故B满足题意； 对于C，若，，则， 解得，显然恒成立，C不满足题意； 对于D，若，，则， 解得，显然此时恒成立，D不满足题意. 故选：B 题型2 数列的单调性 例2-1设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故. 故选：A. 例2-2设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选： 方法技巧 数列的单调性 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 【变式训练2-1】已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)集合共有4个元素，求实数范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）当时，用替换得：， 将原式与 时的式子相减得： ， 两边乘以 得， ； 当 时，有，上式也成立， 故 是首项为 、公比为 的等比数列， 因此， 点 在直线 上， 所以， 故是首项为、公差为的等差数列， 因此， （2）由 (1) 知 ，，， 所以， 故. （3）由 (1) 知 ，，所以，该表达式对有意义， 令， 计算部分值：，，，，， 又 ， 当时， 故对恒成立， 在时单调递减，所以对恒成立. 集合的元素是满足的自然数（）， 要求恰好有 4 个元素，即恰好有 4 个，即， 使得， 当时，均满足，至少有 5 个元素； 当 （即时， 满足， 而不满足，恰好 4 个元素； 当时，满足条件的 减少至 2 个或更少. 因此， 恰有 4 个元素当且仅当， 即 【变式训练2-2·变考法】【新思维】已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式训练2-3】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵数列是递增数列， ∴当时，单调递增，即，则， 当时，单调递增，则， 又，即，则，则， ∴. 故选：B. 题型3 数列的最大（小）项 例3-1设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．14 D． 【答案】B 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故， 则. 设，，解得，由对勾函数的单调性， 易知在上单调递减，在上单调递增， 故可能在或处取得最小值. 而，， 得的最小值为，则的最小值为. 故选：B. 例3-2数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 例3-3设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； (3)设（），数列的前项积为，求的最大值. 【答案】(1)，. (2) (3) 【详解】（1）设的公差为，的公比为（）， ，，又，， ， （2）当为奇数时， ， 数列的前项中所有奇数项之和 ， 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ①－②得 . . . （3），， 当和时，； 当时，，即 又，，，，， ，，当时，， 的最大值为. 方法技巧 数列的最大（小）项 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 【变式训练3-1】已知等比数列的前n项和为，， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前2n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以； （2）由有， 所以 ； （3）由(1)知，， 存在正整数n，使得成立， 当n为偶数时，，， 由，得， 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以， 当n为奇数时，，， 由，得， 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为，所以， 综上，m的取值范围是 【变式训练3-2】已知是各项均为正数的无穷数列，前n项和为，且（）给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有．其中正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】当时，，解得， 当时，，整理得， 所以，又，所以，则，故①正确； 由，得，所以， 因为，所以单调递增，则单调递减， 所以，即各项中的最大值为2，故②正确； 因为，且单调递增， 所以，则，所以不存在，使得，故③错误； 因为单调递减，且，所以， 当时，，满足， 当时，， 综上，，都有，故④正确，故正确的有3个. 题型4 数列中的规律问题 例4-1下列有关数列的说法正确的是______（填写序号） ①数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 ②数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 ③已知数列1，，，2，，…，则第8个数是 ④数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】②③ 【详解】数列，与数列的顺序不同，所以不是同一个数列，所以①错误； 数列的通项公式为，则，所以110是该数列的第11项，所以②正确； 已知数列，则按此规律排列，该数列的通项公式为，所以第8个数是，所以③正确； 对于数列，第三项均不满足，所以④错误. 故答案为：②③. 例4-2将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（      ） A．8，7，6，5，4，3，2，1 B．1，2，3，4，5，6，7，8 C．2，4，6，8，1，3，5，7 D．1，3，5，7，2，4，6，8 【答案】A 【详解】数列经过一次“洗牌”变为， 再经过一次“洗牌”变为，第三次“洗牌”后变为， 所以所得新数列是. 故选：A 方法技巧 数列中的规律问题 数列规律问题常出现在小题当中，解题核心是观察给出的数列各项，建立项数 n 与数列项 aₙ之间的联系。先写出数列前几项，观察数字变化特点，留意正负交替、倍数变化、平方立方、分组循环等情况。遇到正负交替，可借助 (-1) 的 n 次方或者 (-1) 的 n 加 1 次方调整符号。 若是分组规律，先划分组别，明确每组的项数以及每组内部数字特点。遇到循环数列，找出周期，利用余数找到对应位置的项。 根据有限项写通项公式，结果不唯一，高考写出合理的一个即可。做题时一定要代入 n=1，n=2，n=3 进行检验，防止通项公式和已知项不匹配。 【变式训练4-1】数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 【变式训练4-2·变载体】已知数列，则是这个数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】C 【详解】由数列，可得数列的通项公式为， 令，解得，所以是这个数列的第10项. 故选：C. 【变式训练4-3】以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于初始的正三角形，边长，周长, 由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍. 因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以. 从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以. 以此类推，可得,代入可得： , 令,则, 则, 令，解得, 令，解得. 所以，. 故选：B 题型5 数列的最值问题 例5-1已知在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)当n为何值时前n项和取得最大，并求出此最大值. 【答案】(1) (2) (3)，最大值为36. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，故， 所以. （2）由（1）得，所以 （3）因为，故时取得最大，最大值为36. 例5-2已知首项大于0的等差数列的公差，且满足；等比数列的前项和为．若，，成等差数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和，数列的前项和； (3)求的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)， (2)， (3)，2或3 【详解】（1）等差数列的公差， ， 整理可得，，解得，. 设等比数列的公比为，则， 由题意可得，即，，则， 解得或. 若，则，解得，不符合题意. 所以，，则，解得，. （2）数列 的前 项和为 ， 数列 的前 项和为 . （3）令，则. 当时，，则； 当时，，则； 当时，，此时，数列单调递减，即， 所以，当或时，取最大值，且最大值为. 方法技巧 数列的最值问题 数列求最值主要有三种常用方法。第一种是单调性法，通过比较 a (n+1) 和 a (n) 的大小，判断数列递增或者递减，递增数列的最小项为首项，递减数列的最大项为首项。第二种是作差法，计算 a (n+1) 减 a (n)，根据差值正负判断增减，进而确定最值。第三种是不等式组法，求最大项列不等式 a (n) 大于等于 a (n1)，a (n) 大于等于 a (n+1)；求最小项列 a (n) 小于等于 a (n1)，a (n) 小于等于 a (n+1)，解出正整数 n。 注意数列定义域是正整数，不能直接套用函数求最值。求出 n 之后要代入验算，注意 n 的取值范围，避免出现非正整数解。 【变式训练5-1】数列前n项和，，则数列的最小项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得： 当时，， 所以，即，即. 当时，，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，. 所以. 当为奇数时，，随着的增大而减小，且均为正数； 当为偶数时，，随着的增大而减小； 令，则， 令，则. 所以当时，且为偶数时，，所以随的增大而增大. 所以当为偶数时，的最小值是，. 此时，数列的最小项为. 综上所述，数列的最小项为. 故选：D. 【变式训练5-2】已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（    ）项. A．2026 B．2027 C．4048 D．4049 【答案】A 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 【变式训练5-3】已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 3．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)① 由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； ② 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）略 （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 4．（2010·天津·高考真题）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明成等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）记，证明. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析 【详解】（本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分． （I）证明：由题设可知，，，，， ． 从而，所以，，成等比数列． （II）解：由题设可得 所以 . 由，得 ，从而. 所以数列的通项公式为或写为，． （III）证明：由（II）可知，， 以下分两种情况进行讨论： （1） 当n为偶数时，设n=2m 若，则， 若，则 . 所以，从而 （2） 当n为奇数时，设． 所以，从而 综合（1）和（2）可知，对任意有 5．（2011·天津·高考真题）已知数列与满足 ，，，且． (1)求，的值； (2)设，，证明是等比数列； (3)设为的前项和，证明（）. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 又， 当时，，又，所以， 当时，，所以． （2）证明：对任意，①，②， ②-①得，即，所以， 所以是等比数列． （3）证明：，由（2）知，当且时， ， 故对任意的，． 由①得，所以，. 所以，. 因此，， 于是，. 故 所以，对任意的， ， 所以（）. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【详解】由题意 故选：D 2．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第21项 【答案】B 【详解】由题意可知，被开方数是首项为1，公差为2的等差数列，所以该数列的通项公式为，令，解得， 故选：B. 3．在数列中，若，则的值为______． 【答案】27 【详解】由题意可得， 故， 故答案为：27 4．观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么第20行最左边的数是几？第20行所有数的和是多少？ 【答案】第20行最左边的数是，所有数的和是. 【详解】由题设，第19行最右边的数是，故第20行最左边的数是， 又第20行最右边的数是，该行共有39个数， 故第20行所有数的和是. 5．（1）求数列，，，…的前项的和； （2）求数列5，55，555，…的前项的和． 【答案】；. 【详解】（1）易得数列的前项的和； （2）观察可知数列5，55，555，…的通项为：， 故其前项的和为： 6．已知数列前n项和为． (1)试写出数列的前5项； (2)数列是等差数列吗？ (3)你能写出数列的通项公式吗？ 【答案】(1)； (2)不是等差数列； (3). 【详解】（1）由得，，， ，， 所以. （2）由（1）知，所以数列不是等差数列. （3）当时，； 当时，； 综上. 7．根据下面图形排列的规律，继续画下去，在括号里填上对应的点数，并写出点数的一个通项公式． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1） 有，，，故； （2） ，，，故. 8．已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 【答案】(1)数列为递减数列，   (2)数列为递增数列，   【详解】（1），且，， 数列为递减数列，如图：    （2），， 数列为递增数列，如图：    9．在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个.如此下去，第六层放几个？ 【答案】36 【详解】最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，可知，第n层放个， 所以第六层放36个. 10．求下列数列的一个通项公式： (1)，2，，4，… (2)，，，，… 【答案】(1) (2) 【详解】（1）1，2，3，4，…，的一个通项为，所以，2，，4，…的一个通项为 （2）1，4，9，16，…，可用表示， 而2，5，10，17，…可用，故 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考数列的概念侧重考查数列定义、通项与前 n 项和关系，an​与Sn​的转化是高频基础考点。常考查数列的函数属性，涉及单调性、周期性、最值。小题侧重辨析项数、下标、递推关系；大题第一问常依托概念求通项。注重区分数列与函数差异，重视n为正整数的约束条件。命题立足教材基础，为等差、等比数列以及后续综合题型做好铺垫，重点检验学生概念理解与基础运算能力 1．已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 2．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以， 故选：C. 3．已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 4．已知数列为不单调的等比数列，，数列满足，则数列的最大项为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知或， 又为不单调的等比数列，所以，则， 故， 若要求的最大项，需为偶数，则， 根据指数函数的单调性可知当时，为的最大项. 故选：C 5．在数列中，若（），则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】D 【详解】当时，， 当时，，所以， 当时，，所以. 故选：D. 6．已知正项数列的前项和满足，则__________. 【答案】 【详解】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 7．已知数列的前n项和为，则数列的前10项和为______． 【答案】0 【详解】数列的前n项和为，数列的前10项和为. 故答案为：0. 8．已知数列满足，，则________. 【答案】 【详解】，. 故答案为：. 9．已知数列的通项公式为，则是该数列的第__________项． 【答案】12 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故答案为： 10．已知数列的前项和为，且．在数列中，． (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列． (3)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2)证明:由，可得， 即，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. (3) 【详解】（1）由题意知，当时， 因为， 所以的通项公式为 （2）略； （3）由（2）知是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 重难·创新演练 设题创新:创新题型多围绕新定义数列、分段递推、子数列、奇偶分类展开，侧重阅读理解与逻辑推理。常结合an与Sn的变形设置陷阱，容易忽略n=1的验证。部分考题将数列和函数、不等式结合，考查周期性、存在性、最值探究。解题不能照搬固有模板，必须回归题干定义。训练重点强化下标辨析、分类讨论，做完务必检验首项是否符合通项。重视子数列、抽项问题，理清项与项数对应关系，提升抽象读题与严谨演算的应试能力。 1．（2026·天津和平·三模）已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，当时，， 当时，，化简得， 又不满足， 所以数列从第二项起为公比为3的等比数列，所以. 2．（2026·天津北辰·二模）数列的前n项和，且，，则（   ） A．52 B．53 C．54 D．55 【答案】C 【详解】数列的前n项和，且， 令时，，所以， 所以当，， 所以，即得， 即，所以是以1为首项以2为公比的等比数列， 所以，所以 ， 则 . 3．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 4．数列的前项和，则数列中的最大项为__________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，由已知，，， 则， 当时，，满足， 所以， 设， 则， 设数列中的第项最大， 则应满足，即， 整理得，解得， 又，所以， 又， 所以数列中的最大项为. 故答案为：. 5．已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项． 【答案】 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 6．已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由于数列的前项和满足， 当时，，解得； 当时，有和，两式相减得， 由于，代入后化简得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即， 根据题意，存在，使得成立，即存在，使得成立，即， 令，则有， 由于， 因为当时，，当时，，当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 因此数列的最大值为，所以， 则实数的取值范围是. 7．已知数列的前项和，则的前8项和为__________． 【答案】32 【详解】已知，. 当时，. 满足上式，所以，. 则当时，；当时，； 所以 8．已知数列对任意的，都有，且. ①当时，______. ②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则______. 【答案】 1 1 【详解】①因为（偶数），所以； 因为（偶数），所以； 因为（偶数），所以； 因为（奇数），所以； 因为（偶数），所以； 因为（偶数），所以； 观察可得，从​开始，数列以4，2，1为周期循环，周期为3. 因为从项开始循环，故是循环部分的第项，，余数为0， 所以是周期中的最后一项，即. ②当（，为奇数）时，为偶数，其后经过次除以2得到下一个奇数， 该奇数也必须为，故有，整理得， 因为，所以必有且，解得，故. 故答案为：； 9．已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】数列前项和分别为，且，又， 当时，，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，令，所以，即， 所以， 则， 所以， 所以，又因为，所以，所以， 对任意的，恒成立，则， 则的取值范围是. 故答案为：. 10．已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并证明. 【答案】(1)证明见解析， (2)，证明见解析 【详解】（1）设，需证为等差数列，即证常数， 已知（），代入：， 化简分母：， 故：， 因此（常数）， 即是公差为1的等差数列， 由是等差数列，首项，公差， 故：， 即，解得：； （2）由，且，则：， 故：， 化简： ， 因此： ， 前项和， ， 由于又数列为递增数列，数列为递减数列，所以为递增数列， 当时，； 当时，，故（）； 综上，. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $