圆锥曲线：面积最值与范围问题、斜率最值与范围问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线面积与斜率的最值范围问题，通过精选典例覆盖椭圆、抛物线、双曲线，以题载法构建知识逻辑，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积最值与范围问题|5题（椭圆/抛物线）|结合曲线方程求三角形或四边形面积，涉及参数范围与最值求解|从曲线方程到面积表达式构建，通过函数思想或不等式求最值，体现几何直观与运算能力| |斜率最值与范围问题|6题（椭圆/双曲线/抛物线）|涉及直线斜率关系、范围确定，含切线斜率及交点斜率问题|建立斜率与曲线方程的联系，通过方程思想转化为参数范围问题，培养逻辑推理与模型意识|

圆锥曲线：面积最值与范围问题、斜率最值与范围问题专项训练 圆锥曲线：面积最值与范围问题、斜率最值与范围问题专项训练 考点目录 面积最值与范围问题 斜率最值与范围问题 考点一 面积最值与范围问题 例1．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②，得， 所以； （2）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点F为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 例2．（25-26高二下·江西·期末）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，且，过点的直线与及圆依次交于A，D，B，C四点，如图所示. (1)求E的方程； (2)求的值； (3)过A，D两点分别作的切线，，记，求与的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2)9 (3)18 【分析】（1）根据抛物线定义直接求解即可； （2）求出抛物线的焦点坐标，设直线：，设点，，将直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明即可； （3）求出切线与的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出与的面积和，换元，利用导数法求出最小值. 【详解】（1）因为在上，且， 由抛物线的定义，得，解得， 所以的方程为. （2）由（1）得，圆的方程为， 设直线：，，， 由消去并整理，得， 显然判别式，，， ，， 所以. （3）设切线的方程为， 代入的方程，得. 又，所以， 则，解得. 所以的方程为， 同理可求切线的方程为， 与的方程联立，解得，，所以. 故点到直线：的距离， 所以 . 令，则， 令，则，在上单调递增， 所以， 所以与的面积之和的最小值为18. 例3．（25-26高二下·广东河源·期末）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过准线上一点作平行于轴的直线交抛物线于点，当点的横坐标为时，． (1)求抛物线的方程． (2)直线交抛物线于，两点， ①若，求点的坐标； ②求的面积的最小值． 【答案】(1) (2)① N点的坐标为，和，；② 【分析】（1）利用焦半径公式可得，求解即可； （2）（i）设，，，求得直线NF的方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系可得，，由题意可得，求解即可；（ii）由（i）可得，可得，利用换元法与导数，可求得的面积的最小值． 【详解】（1）由题意知：，解得， 所以抛物线C的方程为． （2）（i）设，则直线NF为，即， 设，，联立方程：，消元得， ，由韦达定理得，， 则， 将韦达定理代入得：，解得或， 因此N点的坐标为，和，． （ii）由（i）可得， 故， ， 令，则，因此， 设，，， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为，即的最小值为． 变式1．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，三角形的面积有最大值，最大值为 【分析】（1）直线与椭圆交于，两点，联立方程组则，即可得到 m的取值范围为. （2）设直线与椭圆的交点，，并设，由韦达定理得到， 因为点M在直线上，得到， 消去m，再确定的范围即可求解. （3）先利用弦长公式得到 ，再由两点间的距离公式得到，则三角形的面积，可知当，三角形的面积有最大值. 【详解】（1）设这组平行直线的方程为， 把代入椭圆方程， 得， 这个方程的根的判别式． 由，得，所以的取值范围为． （2）设直线与椭圆的交点，，并设， 则，，             因为点在直线上，所以，         与联立，消去，得，             又由（1）可知，所以， 所以M的轨迹方程为． （3）由韦达定理，，， 则 ，                 由（2）知，， 所以线段的垂直平分线的方程为， 所以点的坐标为，             则，         三角形的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以当，即时，的面积有最大值，最大值为. 变式2．（2026·甘肃白银·三模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，，其左、右焦点和上顶点构成直角三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，椭圆上的，两点满足，求（为坐标原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可求a的值；因为左、右焦点和上顶点构成的三角形为直角三角形，判断椭圆上顶点为直角顶点，结合椭圆的关系，可联立求解b，得到椭圆标准方程； （2）由可知三点共线，所以可设过点M的直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根和、两根积，结合三角形面积公式表示出面积，对面积表达式通过换元、基本不等式求解最大值. 【详解】（1）由题意，椭圆左右顶点距离，得，, 左、右焦点和上顶点构成直角三角形，直角顶点只能在椭圆上顶点处， 由勾股定理得：，化简得， 又椭圆满足，得， 因此椭圆E的标准方程为； （2）由得三点共线， 由题意可设直线，， 联立直线与椭圆方程，可得， 由得，由韦达定理得：， 的面积：， 令，则，代入得， 由，当且仅当，即时取等号， 因此， 即面积的最大值为：. 考点二 斜率最值与范围问题 例1．（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程； ②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积； （2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围. 【详解】（1）①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以， 又离心率，所以，解得， 因此椭圆的方程为. ②因为是的左顶点，所以，设直线， 则由得， 已知是方程的一个根（对应点），由韦达定理得， 因此，因为，且，故， 同理得，由，得，整理得， 即，因，故， 此时，为等腰直角三角形，面积为. （2）已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点， 设直线的方程为，，由得直线斜率为， 将代入椭圆方程，整理得， 该方程一个根为，由韦达定理得， 由弦长公式得， 将上式中替换为，得， 由，即，化简得 ，整理得， 由椭圆条件，代入得，移项整理， 即，等价于，所以或，解得， 故的取值范围是. 例2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）利用两点间的距离公式，结合配方法，可求的最小值. （2）设直线：，与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示出，，进而用表示出， （i）根据，求出，可得直线的方程； （ii）利用的取值范围，可确定的取值范围. 【详解】（1）设，则， 所以， 即当时，. （2）如图： 设与联立，有， 由，得， 设，，则，， 得， 则， （i）当时，，直线的方程为； （ii）因为直线，存在斜率，所以， 故， 所以， 即的取值范围． 例3．（2026·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率可以得到的关系，再利用左焦点到点的距离是，计算出； （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，把通过转化为，韦达定理表示出，从而求出k的取值范围. 【详解】（1）由于椭圆 的离心率 ， 则 ，， 由于 ，故，，， 所以 ， 由于椭圆的左焦点为 ， 已知点 ，且 到 的距离为 ， 则，即，, 因为 ，所以 ， ，故 ， ， 所以椭圆 的方程为：； （2）由（1）可知，左焦点 ， 设过 且斜率为 的直线方程为， 、 ， 联立 ，得 ， 经检验， 根据韦达定理，可知， 由于 ，则，即， 即， 即， 整理，得， 将和 代入， 得， 化简得，解得， 所以的取值范围为. 变式1．（2026·天津·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点．已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线与椭圆相切，过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线，垂足分别为两点（两点不重合）．记直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的面积求出与的关系，再结合椭圆参数关系，即可得解. （2）先求椭圆方程，再根据直线的斜率分类讨论，再结合韦达定理和换元法，即可求解. 【详解】（1）由已知，点，有上顶点，，为直角三角形， 所以，因此，解得， ， 故椭圆的离心率. （2）由已知，椭圆的右顶点为，是椭圆的切线， 而直线与椭圆相切，所以， 由（1）知，所以，故椭圆的方程为. 对于直线， ①斜率不存在时，直线， 此时， 则，所以； ②当斜率时，直线，此时两点重合，不符合题意，所以； ③当斜率存在且时，直线， 设点，点，则点，点，如下图， 联立椭圆与直线方程：，消去，得， 所以，又， 所以， 其中， 且， 所以， 令，则， 代入得， 因为，所以，则，即. 综上，的取值范围为. 变式2．（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再利用离心率定义计算即可得； （2）由题意可求出椭圆方程，设出直线的方程，联立曲线方程，可得到与交点纵坐标有关韦达定理，再表示出、后，即可借助韦达定理计算的取值范围. 【详解】（1）由已知，，，则， 故； （2）由直线与椭圆相切，故椭圆左顶点坐标为，即， 则，即椭圆方程为， 设直线，、，则、， 联立，消去可得， 恒成立， 有，， 又，， 则 ， 由，故， 即的取值范围为. 变式3．（2026·上海青浦·模拟预测）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或 (3) 【分析】（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解； （2）利用点和点的中点可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求得点坐标； （3）第三问分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率存在时，设斜率为，设点、坐标，写出直线方程，最终将转化为与斜率的关系，可通过直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题. 【详解】（1）由题意可知，，所以， 又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为， 由得，， 所以弦的长为. （2）因为，且直线过点， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点, 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或. （3）当直线的斜率不存在时，不妨设， 所以， 故； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设， 由得，， 所以， 所以， 化简得， ①当时， ，当且仅当时等式成立； ②当时，，当且仅当时等式成立； ③当时，； 综上所述可得，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：面积最值与范围问题、斜率最值与范围问题专项训练 圆锥曲线：面积最值与范围问题、斜率最值与范围问题专项训练 考点目录 面积最值与范围问题 斜率最值与范围问题 考点一 面积最值与范围问题 例1．（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D. (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值. 例2．（25-26高二下·江西·期末）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，且，过点的直线与及圆依次交于A，D，B，C四点，如图所示. (1)求E的方程； (2)求的值； (3)过A，D两点分别作的切线，，记，求与的面积之和的最小值. 例3．（25-26高二下·广东河源·期末）已知抛物线：（）的焦点为，准线为，过准线上一点作平行于轴的直线交抛物线于点，当点的横坐标为时，． (1)求抛物线的方程． (2)直线交抛物线于，两点， ①若，求点的坐标； ②求的面积的最小值． 变式1．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知椭圆：，斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． (1)求直线在轴截距的取值范围； (2)求点的轨迹方程； (3)线段的垂直平分线交轴于点，当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 变式2．（2026·甘肃白银·三模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，，其左、右焦点和上顶点构成直角三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设点，椭圆上的，两点满足，求（为坐标原点）面积的最大值． 考点二 斜率最值与范围问题 例1．（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，． (1)若椭圆的离心率为． ①求椭圆的方程； ②若时，求的面积； (2)当时，求的取值范围． 例2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）已知双曲线，过点的直线与的上、下两支分别交于点，． (1)若点是上的动点，求的最小值； (2)设为坐标原点，直线，的斜率分别为，， （i）若，求直线的方程； （ii）求的取值范围． 例3．（2026·湖南长沙·三模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围. 变式1．（2026·天津·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点．已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线与椭圆相切，过点的直线与椭圆交于两点，过点作的垂线，垂足分别为两点（两点不重合）．记直线的斜率分别为，求的取值范围． 变式2．（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围． 变式3．（2026·上海青浦·模拟预测）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $