3.2 某些简单立体图形的展开图（第1课时）2026-2027学年数学北京版七年级上册

第3章 简单的几何图形 3.2 某些简单立体图形的展开图 （第1课时）某些简单立体图形的展开图 年 级：七年级上册 学 科：数学（北京版） 情境引入 打开一个纸盒 把纸盒沿适当的棱剪开并铺平，观察各个面的连接。 情境引入 折叠前后 平面展开图折回后，各个面要正好围成立体图形。 新知讲授 长方体的六个面 底面 正面 顶面 背面 左面 右面 把顶面、底面、正面、背面、左面、右面逐一对应。 新知讲授 圆柱的展开 侧面展开为长方形，上、下底面分别是圆。 观察：两个底面保持圆形。 辨析：侧面沿一条竖直线剪开并铺平。 新知讲授 圆锥帽的展开 锥形帽的侧面展开为扇形，帽子本身没有底面。 观察：把帽子侧面沿一条直边剪开。 辨析：本题展开的是侧面，不包含底面圆。 新知讲授 三棱柱的组成 观察纸盒：两个三角形底面与三个长方形侧面相连。 观察：两个三角形分别封住两端。 辨析：三个长方形连接成一圈侧面。 新知讲授 折叠检查 数量合适之后，还要检查面的位置及是否重叠。 观察：先核对六个正方形是否齐全。 辨析：再检查折起后是否有两个面重合。 新知讲授 概念与结论 正面 顶面 底面 背面 左面 右面 某些特殊形状的立体图形是由若干个平面图形围成的，我们可以把它展开成平面图形。 新知讲授 概念与结论 正面 顶面 底面 背面 左面 右面 图是一个装粽子的纸盒，它是一个立体图形，共有六个面，每个面都是长方形。我们可以将它展开成图的形状。 新知讲授 概念与结论 图是一个圆柱形的茶叶筒，将它的侧面及上、下两个底面展开后，可以得到图的形状。 新知讲授 概念与结论 图是一顶锥形帽，它的侧面展开后可以得到图的形状。 例题讲解 探索1 在图所示的三个图形中，哪些是由三棱柱纸盒展开后得到的图形？ （1） （2） （3） 答：（）（）。 （）（）能分别封住三棱柱两端。 （）的三角形接在错误的边上。 方法：把三矩形围成侧面，检查两三角形能否封两端。 注意：三角形接错边会使底面无法封合。 例题讲解 探索2 在图所示的三个图形中，哪些是由正方体纸盒展开后得到的图形？ （1） （2） （3） 答：（）（）。 （）（）折起后恰有六个不同的面。 （）只有五个正方形，缺少一个面。 方法：先清点正方形数量，再试折检查重叠。 注意：图（）实际只有五个正方形。 例题讲解 巩固例题 面数检查 一个候选正方体展开图只有个正方形，能折成封闭的正方体吗？ 答：不能。 正方体有个面。 先检查面数是否足够。 方法：先数正方形是否满六个。 注意：五个面不足以围成正方体。 例题讲解 巩固例题 六格长条 个正方形排成一条长条，能折成正方体吗？ 答：不能。 面数正确只是必要条件。 折叠后不能形成六个不同方向的面。 方法：沿公共边试折，检查相邻面的方向。 注意：面数对了仍可能重叠。 例题讲解 巩固例题 底面的位置 圆柱展开图中的两个圆都接在长方形的同一条长边，能同时封住上下底面吗？ 答：不能。 两个底面应分别封住相对的两端。 方法：把侧面卷成筒，追踪两圆封住的位置。 注意：同一条长边对应的是同一个开口。 例题讲解 巩固例题 对面识别 图中十字形正方体展开图，中央面与最远端的面折起后是什么关系？ 答：互为对面。 按折叠方向逐面跟踪。 方法：固定中央面，沿公共边逐面折起。 注意：相对面不相邻，没有公共棱。 例题讲解 巩固例题 剪开方式 同一个正方体沿不同的棱剪开，展开图一定相同吗？ 答：不一定。 不同剪法可得到不同有效展开图。 方法：比较不同棱的剪开位置。 注意：同一立体图形可以有不同展开图。 例题讲解 巩固例题 圆柱侧面 一个圆柱纸筒只把侧面剪开，不包括两个底面，展开后是什么形状？ 答：长方形。 分清“侧面”与“全部表面”。 方法：只展开侧面，沿竖直方向剪开铺平。 注意：底面圆不属于本题展开范围。 例题讲解 巩固例题 补全展开图 给圆柱侧面的长方形补上两个底面，应补什么图形？放在哪里？ 答：补两个相同的圆，分别接在长方形相对的两条边。 两圆对应上下底面。 方法：从上、下两个开口确定底面位置。 注意：两个圆大小相同，分别对应两端。 例题讲解 巩固例题 图形配对 把两个圆加一个长方形的展开图，与圆柱、圆锥、长方体配对。 答：对应圆柱。 两个圆作底面。 长方形作侧面。 方法：以圆作底面、长方形作侧面试围。 注意：圆锥侧面不能用整个长方形代替。 例题讲解 巩固例题 标记跟踪 正方体展开图中在一个面的内部画点，折叠后这个点会变成棱或顶点吗？ 答：不会，仍在原来的那个面上。 折叠改变面的位置。 点与所在面的关系保留。 方法：追踪带点的同一个面如何移动。 注意：面的内部点不会因折叠变成棱上点。 课堂练习 巩固练习 巩固例题 操作说明 判断一个展开图时，为什么既要看面数又要试折？ 答：还需检查是否重叠、是否缺面。 正确数量不能保证连接方式正确。 方法：分别核验面数与折叠后的连接。 注意：面数正确仍可能缺面或重叠。 课堂练习 巩固练习 巩固例题 三棱柱底面 三棱柱的两个三角形底面能接在侧面带的同一端吗？ 答：不能同时封住两个不同的底面。 要分别封住侧面带的两端。 方法：先把侧面带围成筒，再检查两端。 注意：两个底面应分别封住两个开口。 课堂总结 某些简单立体图形的展开图 展开 立体图形的面 展开为平面图形 折回 沿公共边折叠 恢复立体图形 典型模型 长方体、圆柱 圆锥、三棱柱 验证 核对面数与连接 检查缺面和重叠 特别提醒：核对每类面的数量。 针对训练 训练1 展开图识别 三个长方形、两个三角形可围成哪种熟悉的立体图形？ 答：三棱柱。 还应有正确的连接方式。 方法：根据两个底面和三个侧面识别模型。 注意：面数合适还要连接正确。 针对训练 训练2 判断纠错 “有个正方形的连通图都能折成正方体。”对吗？ 答：不对。 六格长条不能折成正方体。 方法：用六格长条作反例并尝试折叠。 注意：六个正方形不保证能围成正方体。 针对训练 训练3 圆柱配对 一个长方形和两个相同的圆对应哪个立体图形的展开？ 答：圆柱。 长方形是侧面。 两个圆是底面。 方法：把两个圆认作底面，矩形认作侧面。 注意：两个底面应封住不同的开口。 方法总结 识图与表达 方法1　由面认模型 ① 辨认底面和侧面的形状。 ② 核对每类面的数量。 方法2　展开图有效性 ① 先检查面数是否齐全。 ② 再检查折起后的连接关系。 针对训练 训练4 面数辨析 候选展开图有个长方形和个正方形，可能对应底面为正方形的长方体吗？ 答：可能。 还要检查边长和连接位置。 方法：核对四个侧面与两个底面的形状。 注意：还需检查相接边的长度是否匹配。 针对训练 训练5 开口模型 锥形生日帽只展开侧面，得到圆还是扇形？ 答：扇形。 不能把底面圆当作侧面展开。 方法：把圆锥帽的侧面沿直边展开。 注意：本题不包括圆锥的底面。 针对训练 训练6 展开图比较 图①和图②能否都折成正方体？ ① ② 答：都能。 两种不同的有效展开图。 方法：分别沿各图公共边试折。 注意：不同的展开图可以对应同一立体图形。 方法总结 条件与推理 方法1　侧面展开 ① 沿合适的边剪开侧面。 ② 把曲面展开为对应平面图形。 方法2　区分研究范围 ① 只展开侧面时不加入底面。 ② 全表面展开要保留所有面。 针对训练 训练7 缺面判断 格候选图缺少一个面，能否仅凭格确定它是完整正方体展开图？ 答：不能。 完整正方体需要个面。 方法：先清点完整模型需要的面数。 注意：五个面不能封成正方体。 针对训练 训练8 底面方向 圆柱的两个底面应接在侧面展开图的同一端还是相对两端？ 答：相对两端。 分别封住筒的上下开口。 方法：把侧面卷起，追踪两个开口。 注意：两底面不能都封在同一端。 针对训练 训练9 操作表达 怎样用纸验证一个六格图能否折成正方体？ 答：剪下后沿公共边折叠，检查缺面与重叠。 不要拉伸或任意剪断连接。 方法：沿公共边折叠并检查各面位置。 注意：验证时不拉伸或任意剪开图形。 方法总结 作图与检验 方法1　折叠验证 ① 沿公共边逐面折起。 ② 检查是否缺面或重叠。 方法2　追踪面的位置 ① 标记原来的面或边。 ② 折叠后检查它的位置和相邻关系。 针对训练 训练10 综合识别 一张扇形纸和一个圆主要用于制作哪一种熟悉的立体图形？ 答：圆锥。 扇形作侧面，圆作底面。 尺寸还要相配。 方法：分别对应圆锥的侧面与底面。 注意：扇形弧长和底面周长还要相配。 针对训练 训练11 应用 包装制作 工厂制作封闭圆柱包装，已有侧面纸片，还需要准备几张什么形状的纸片？ 答：张相同的圆形纸片。 分别封住上下底面。 方法：根据剩下的两个开口确定纸片。 注意：两个圆形底面大小应相同。 针对训练 训练12 应用 模型检查 同学用六格长条做正方体包装，折后出现重叠。他应怎样检查和修改？ 答：改用有效的正方体展开图。 先保持个正方形。 再改变连接位置并试折。 方法：保持六个面，改变无效的连接位置。 注意：修改后必须再次试折检查。 方法总结 实际问题中的图形 方法1　包装设计 ① 明确要封闭哪几个开口。 ② 选择相应底面与侧面材料。 方法2　尺寸检查 ① 相接边的长度要匹配。 ② 完成后用模型实际核验。 $