3.4 点、线、面、体（第1课时）2026-2027学年数学北京版七年级上册

第3章 简单的几何图形 3.4 点、线、面、体 （第1课时）点、线、面、体 年 级：七年级上册 学 科：数学（北京版） 情境引入 留下一个点 动手：用铅笔在纸上轻轻点一下，再标记这个位置。 观察：小点主要表示位置；实际铅笔痕迹有大小。 思考：笔尖继续移动，会留下怎样的图形？ 情境引入 移动的痕迹 观察笔尖沿直尺运动与圆规旋转，比较两种痕迹。 新知讲授 位置与点 用点表示车站或星体的位置，点的名称用大写字母。 新知讲授 点动成直线的印象 笔尖沿直尺移动，留下直的痕迹。 新知讲授 点动成曲线的印象 圆规的笔尖绕固定点转动，留下圆的痕迹。 新知讲授 线动成平面 雨刷器摆动时，一条边扫过一片区域。 新知讲授 线动成曲面 长方形的一条边绕另一条平行边旋转，留下曲面。 新知讲授 面动成体 硬币旋转的过程中，我们好像看到一个球。 新知讲授 概念与结论 点可以用来表示位置。 新知讲授 概念与结论 我们常用一个大写字母来表示点，比如，图中的点记为“点”。 表示：大写字母紧邻相应的点，如“点”。 注意：字母用于区分点，点的位置由小点确定。 新知讲授 概念与结论 我们看到，如果把笔尖看成一个点，当这个点运动时，便得到了一条线。这条线可能是直线，也可能是曲线，这给我们以“点动成线”的印象。 新知讲授 概念与结论 雨刷器的摆动给我们以“线动成面”的印象。当“线动成面”时，所成的面可能是平面，也可能是曲面。 新知讲授 概念与结论 如图，在图形计算器的“几何”功能界面上，使长方形以为轴旋转，边留下的痕迹即为一个曲面。 新知讲授 概念与结论 下面我们来做一个试验：把一枚硬币立在桌面上，用左手的食指指尖轻轻按在硬币的顶部，然后用右手的手指对硬币的边缘用力一弹，这枚硬币便旋转起来。当它旋转时，我们好像看到了一个球。这给我们以“面动成体”的印象。 例题讲解 探索1 如图，用一支削尖的铅笔，使笔尖沿着直尺的一边在纸上移动，会出现一个什么图形？ 沿直尺移动 答：画出一段直的线，体现点动成线。 笔尖被直尺边引导，只沿笔直方向移动。 方法：跟踪笔尖沿直尺边的连续位置。 注意：研究笔尖轨迹，不是铅笔整体。 例题讲解 探索2 如图，使圆规装有铅笔的一只脚在纸上绕着它的另一只装有铁尖的脚旋转一周，铅笔会画出一个什么图形？ 答：圆，体现点动成线。 笔尖与圆规铁尖的距离保持不变。 绕固定的铁尖旋转一周，轨迹是圆。 方法：固定圆规铁尖，观察笔尖旋转一周的轨迹。 注意：笔尖与铁尖的距离保持不变。 例题讲解 思考与交流 燃放烟花时形成的美丽曲线，给我们以“点动成线”的印象。你还能举出类似的例子吗？ 答：如夜间挥动的小光点留下光迹。 解 发光位置可以看作点，连续位置连成光迹。 方法：把移动的发光位置看作点，再观察亮痕。 注意：例子要体现点运动留下线。 例题讲解 图形计算器活动 在图形计算器的“几何”功能界面上画一个点，然后选中这个点，在“菜单”的“跟踪”中选中“几何跟踪”，然后拖动这个点，你能看到如图那样的图形。用图形计算器还可以画出美丽的天坛图（图）。 答：展示移动点形成轨迹。 选中点并开启轨迹，再拖动这个点。 沿拖动方向连续留下的痕迹形成曲线。 方法：启用点的跟踪后，观察拖动形成的轨迹。 注意：菜单名称对应教材所用设备。 例题讲解 思考与交流 汽车前面挡风玻璃上的雨刷器在摆动时，可以刮去雨水。雨刷器在运动过程中给我们以什么印象？ 答：线动成面。 解 雨刷器近似线段，摆动扫过一片区域。 方法：把雨刷器看作线段，把扫过区域看作面。 注意：运动对象和形成的区域不要混淆。 例题讲解 巩固例题 星图 星图用一个小点表示一颗星的位置。这个点是在表示星的实际大小吗？ 答：不是，主要表示位置。 忽略实际大小，突出位置。 方法：明确星图中小点所表达的位置。 注意：不把示意点大小当作星体实际大小。 例题讲解 巩固例题 运动与痕迹 一个光点沿圆形轨道移动，留下的轨迹属于什么现象？ 答：点动成线。 圆是曲线。 运动的是点的形象。 方法：先确认运动的是点、线还是面。 注意：运动对象与形成的图形要对应。 例题讲解 巩固例题 运动对象 雨刷器与笔尖的运动分别体现哪一种现象？ 答：雨刷器：线动成面；笔尖：点动成线。 先确认运动对象是点还是线。 方法：先确认运动的是点、线还是面。 注意：运动对象与形成的图形要对应。 课堂练习 巩固练习 平面与曲面 线运动形成的面一定是平面吗？举出一个相反例子。 答：不一定，也可以形成曲面。 直线段绕平行轴转动可扫出圆柱侧面。 方法：先确认运动的是点、线还是面。 注意：运动对象与形成的图形要对应。 课堂练习 巩固练习 硬币的转动 静止的硬币面与绕直径旋转后的视觉形象分别近似什么图形？ 答：圆与球。 面的位置不断变化，形成体的印象。 方法：先确认运动的是点、线还是面。 注意：运动对象与形成的图形要对应。 课堂总结 点、线、面、体 点 表示位置 大写字母命名 点动成线 可以形成直线 也可以形成曲线 线动成面 可以形成平面 也可以形成曲面 面动成体 观察连续旋转 形成空间形象 特别提醒：点主要用于表示位置。 针对训练 训练1 规范表示 用一个大写字母表示图中的点，并说明它主要表示什么。 答：如点，主要表示位置。 大写字母紧邻所表示的点。 方法：用大写字母标记确定的位置。 注意：点的名称与位置一一对应。 针对训练 训练2 现象分类 铅笔尖沿纸面画出曲线，属于点动成线还是线动成面？ 答：点动成线。 移动的是笔尖所表示的点。 方法：先把笔尖看成运动的点。 注意：曲线同样是点运动留下的线。 针对训练 训练3 判断纠错 “点运动只能得到直线。”对吗？ 答：不对，也可能得到曲线。 圆规画圆就是例子。 方法：用圆规画圆提供曲线的例子。 注意：点动成线不限于直线。 方法总结 识图与表达 方法1　点的位置 ① 用一个大写字母标记点。 ② 点主要用于表示位置。 方法2　识别点动 ① 确定哪个位置在连续变化。 ② 沿变化位置观察留下的线。 针对训练 训练4 对象辨析 雨刷器转动扫过玻璃的一片区域，体现什么现象？ 答：线动成面。 雨刷器近似一条线段。 方法：把雨刷器看作一条移动的线段。 注意：研究的是扫过的区域。 针对训练 训练5 平面与曲面 线运动形成的面只有平面一种吗？ 答：不是，还可能是曲面。 圆柱侧面是曲面的例子。 方法：对比雨刷器扫面与线段绕轴扫面。 注意：所成的面可能是平面或曲面。 针对训练 训练6 球的印象 硬币绕一条直径旋转，形成什么立体图形的印象？ 答：球。 圆面在不同位置连续变化。 方法：想象圆面绕直径连续转动。 注意：静止圆面与旋转后的体要区别。 方法总结 条件与推理 方法1　点动成线 ① 直尺可引导点沿直线运动。 ② 圆规可使点留下圆的轨迹。 方法2　线动成面 ① 把移动的细长边看作线。 ② 观察它扫过的是平面还是曲面。 针对训练 训练7 分类说明 流星划过夜空留下亮痕，主要体现哪一种现象？ 答：点动成线。 把发光位置看作点。 方法：把发光位置的连续变化看作点运动。 注意：观察亮痕而不是发光物的大小。 针对训练 训练8 改正命名 图中位置点被写为“点”。改写为符合本课约定的名称。 原来的标注 改正后 答：点。 点用一个大写字母表示。 方法：按点用大写字母表示的约定改写。 注意：小写字母与大写字母要区分。 针对训练 训练9 同类举例 圆规画圆与笔尖画直线有什么共同点？ 答：都体现点动成线。 轨迹虽不同，运动对象相同。 方法：比较两种运动中都在移动的对象。 注意：轨迹形状不同不影响点动成线。 方法总结 作图与检验 方法1　面动成体 ① 观察一个面连续转动的过程。 ② 描述形成的立体形象。 方法2　区分运动对象 ① 先辨点、线或面。 ② 再描述它形成的图形。 针对训练 训练10 模型辨析 “长方形的一条边绕轴运动”与“整个长方形绕轴运动”研究的对象相同吗？ 答：不同，前者是一条线，后者是一个面。 对应形成面与体的不同印象。 方法：分清运动的是一条边还是整个面。 注意：线成面与面成体不可混淆。 针对训练 训练11 应用 地铁图 地铁示意图中圆点大小没有按车站实际面积绘制，是否妨碍表示站点位置？ 答：不妨碍。 这里用点突出位置。 方法：明确示意图用点表达的位置。 注意：点不表示车站的实际面积。 针对训练 训练12 应用 清洁玻璃 一条直的刮水器左右移动，把玻璃上一片区域刮干净。这体现什么数学现象？ 答：线动成面。 把刮水器看作线段。 它连续移动扫过平面区域。 方法：把刮水器及其扫过区域分别抽象。 注意：移动的线与形成的面要对应。 方法总结 实际问题中的图形 方法1　生活中的抽象 ① 保留位置与形状特征。 ② 忽略大小、材料等无关细节。 方法2　现象说明 ① 说清什么在运动。 ② 说清运动后看到什么图形。 $