第23讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)与三角函数的应用讲义（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换与应用，系统梳理φ（左右平移）、ω（周期伸缩）、A（振幅伸缩）的参数影响，构建从参数变换到与y＝sinx关系，再到性质（定义域、值域等）及简谐运动等应用的完整学习支架。 资料以知识详解夯实基础，10类典例结合简谐运动、摩天轮高度等实例，培养数学眼光观察现实、数学思维推理变换逻辑、数学语言表达模型。课中助力教师分层教学，课后作业分层设计帮助学生巩固查漏。

第23讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)与三角函数的应用 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 知识点02：ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 知识点03：A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点04：y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系 知识点05：函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 知识点06：简谐运动 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：相位变换及解析式特征 题型02：上下平移变换及解析式特征 题型03：周期变换及解析式特征 题型04：振幅变换及解析式特征 题型05：描述正(余)弦型函数图象的变换过程 题型06：求图象变化前(后)的解析式 题型07：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型08：几何中的三角函数模型 题型09：三角函数在生活中的应用 题型10：三角函数在物理学中的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 【例1】说明函数的图象是由的图象经过怎样的变换得到，并求该函数的一个零点。 【知识点02】ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 【例2】说明相对的图象变换方式，并求其最小正周期。 【知识点03】A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 【例3】说明的图象变换，并求函数最值。 【知识点04】y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系 由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图． 注意点： (1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响． (2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． 【例4】用先平移后伸缩的方法，写出由得到的完整变换步骤。 【知识点05】函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称中心（，0）(k∈Z) 对称轴x＝＋ (k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋ (k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 【例5】求的最小正周期、值域与最值。 【知识点06】简谐运动 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. 2．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 注意点：如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin（），应先变成y＝sin＝sin（） 【例6】某简谐运动位移满足（单位：cm），求该振动的振幅、周期、频率。 【题型01】相位变换及解析式特征 【典例1-1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式1-1】（24-25高一下·北京·阶段检测）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【变式1-2】要得到函数的图像，只需把函数的图像向右平移______个单位. 【变式1-3】函数为的图象可以看作是由的图象经过怎样的变换而得到的？ 【题型02】上下平移变换及解析式特征 【典例2-1】要得到函数的图象，只需将函数 的图象（    ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【变式2-1】要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 【变式2-2】将函数的图象向下平移1个单位长度.得到函数的图象，则函数的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【变式2-3】函数为的图象可以看作是由的图象经过怎样的变换而得到的？ 【题型03】周期变换及解析式特征 【典例3-1】为了得到新函数的图象，只需把原函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【变式3-1】要得到函数的图象，只需要将函数的图象上各点（    ） A．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 D．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 【变式3-2】将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数__________的图象． 【变式3-3】（多选）下列能产生的图象的变换是（    ） A．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 B．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 C．将函数的图象沿轴向左平移3个单位； D．将函数的图象沿轴向右平移3个单位． 【题型04】振幅变换及解析式特征 【典例4-1】函数的振幅为（    ） A． B． C． D．2 【变式4-1】函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到（    ） A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 B．纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的3倍 【变式4-2】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像. 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·河北邯郸·阶段检测）已知是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型05】描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【典例5-1】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式5-1】为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式5-2】要得到函数的图象，可以将函数的图象沿轴________． 【变式5-3】要得到函数的图象，需要将函数的图象作怎样的变换？ 【题型06】求图象变化前(后)的解析式 【典例6-1】（25-26高一下·安徽蚌埠·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到余弦曲线，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·全国·课后作业）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象对应的函数解析式为______． 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)求的最大值； (2)设，则把函数的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，可得到函数的图象？ 【题型07】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例7-1】（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】（25-26高一上·广东惠州·期末）将的图像向右平移个单位可得到的图像，则当时，的图象与余弦曲线共有______交点. 【变式7-2】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 【变式7-3】（25-26高一下·陕西汉中·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若方程在上的解为，，求. 【题型08】几何中的三角函数模型 【典例8-1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设，现有下述四个结论，其中错误的结论为（    ） A．水深为尺 B．芦苇长为尺 C． D． 【变式8-1】如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【变式8-2】若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则______． 【变式8-3】如图，正方形的边长2，分别为线段上的动点.    (1)设，试用来表示的周长； (2)当的周长为4时，求的大小. 【题型09】三角函数在生活中的应用 【典例9-1】（25-26高一下·广东佛山·期末）一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一下·湖北随州·阶段检测）在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-2】（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 【变式9-3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）某摩天轮的直径为米，最高点距离地面达110米，共有个座舱（图为摩天轮示意图）．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），.求 (1)的解析式； (2)甲进舱分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人第一次距离地面高度相等？ 【题型10】三角函数在物理学中的应用 【典例10-1】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【变式10-2】如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为________，第二次到达平衡位置O所需要的时间为________s．    【变式10-3】（25-26高一下·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 知识点01参数φ对图象的影响（左右平移） 研究对象： 核心规律：为初相，仅控制图象左右平移，不改变周期、振幅、图象形状，遵循左加右减原则。 1. ：图象向左平移个单位； 2. ：图象向右平移个单位。 知识点02参数ω(ω>0)对图象的影响（水平伸缩） 研究对象： 核心规律：控制图象水平伸缩，改变函数周期，不改变振幅、初相。 1. 周期通用公式： 2. ：横坐标缩短为原来的倍，周期变小； 3. ：横坐标伸长为原来的倍，周期变大。 知识点03参数A(A>0)对图象的影响（竖直伸缩） 研究对象： 核心规律：为振幅，控制图象竖直伸缩，决定函数最值与值域，不改变周期、相位。 1. ：纵坐标伸长为原来倍； 2. ：纵坐标缩短为原来倍； 3. 基础值域：。 知识点04正弦函数完整图象变换关系 由变换为两种标准顺序： 1. 先平移、后伸缩（推荐、不易错） 左右平移个单位 → 横坐标伸缩为原来倍 → 纵坐标伸缩为原来倍 2. 先伸缩、后平移（高频易错） 横坐标伸缩为原来倍 → 左右平移个单位 → 纵坐标伸缩为原来倍 易错核心：先伸缩后平移，平移量需除以。 知识点05函数核心性质 1. 定义域： 2. 值域： 3. 最小正周期： 4. 最值：， 5. 单调递增区间： 6. 单调递减区间： 知识点06三角函数应用——简谐运动模型 简谐运动位移解析式： 1. 振幅：质点偏离平衡位置的最大距离； 2. 周期：完成一次全振动的时间； 3. 频率：单位时间内完成全振动的次数； 4. 初相：决定振动的初始位置与初始状态。 知识点07本节核心易错点总结 1. 三种参数变换相互独立：管平移、管水平伸缩与周期、管竖直伸缩与最值，互不干扰； 2. 图象变换顺序决定平移量，先伸缩后平移必须换算平移距离，是高频丢分点； 3. 求解单调区间、最值时，需将视为整体代换，不可直接对计算； 4. 简谐运动中周期与频率互为倒数，概念不可混淆； 5. 解析式含常数时，值域、最值均需整体上下平移，不能忽略。 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南娄底·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是4，初相是 3．（25-26高一下·重庆江津·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川达州·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·北京昌平·期末）将函数的图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，若以与图象上相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·青海海东·期末）以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（    ） A．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高一下·四川南充·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递增 C．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象 D．当时，曲线与的图象有4个交点 11．（25-26高一下·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数 来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 三、填空题 12．函数的振幅是________，初相是________． 13．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 14．（25-26高一下·甘肃定西·期中）函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）将的图象怎样变换可得到函数的图象？ 16．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数 (1)化简的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的对称中心和单调递减区间. 17．一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 18．（24-25高一上·全国·课后作业）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 ，其振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； (2)证明：为定值. 19．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)与三角函数的应用 （知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 知识点02：ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 知识点03：A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点04：y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系 知识点05：函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 知识点06：简谐运动 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：相位变换及解析式特征 题型02：上下平移变换及解析式特征 题型03：周期变换及解析式特征 题型04：振幅变换及解析式特征 题型05：描述正(余)弦型函数图象的变换过程 题型06：求图象变化前(后)的解析式 题型07：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 题型08：几何中的三角函数模型 题型09：三角函数在生活中的应用 题型10：三角函数在物理学中的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 【例1】说明函数的图象是由的图象经过怎样的变换得到，并求该函数的一个零点。 解：第一步：判断图象变换方式 对比解析式，，根据左加右减原则： 该函数图象由的图象向右平移个单位得到。 第二步：求解函数零点 令，得： ，即 取，得一个零点为。 答：由向右平移个单位得到；一个零点为（答案不唯一）。 【知识点02】ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 【例2】说明相对的图象变换方式，并求其最小正周期。 解：第一步：分析图象伸缩变换 两个函数初相相同，仅系数不同，。 故的图象由的图象横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到。 第二步：计算最小正周期 代入周期公式：。 答：横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）；最小正周期为。 【知识点03】A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 【例3】说明的图象变换，并求函数最值。 解：1. 变换方式：由图象纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变）得到。 2. 最值求解：由， 得。 答案：纵坐标缩为原来倍；最大值，最小值。 【知识点04】y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系 由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种途径可以通过图形表示，如图． 注意点： (1)两种变换仅影响平移的单位长度，其余参数不受影响． (2)若相应变换的函数名称不同，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． 【例4】用先平移后伸缩的方法，写出由得到的完整变换步骤。 解：步骤1：平移变换。将向左平移个单位，得； 步骤2：水平伸缩。纵坐标不变，横坐标缩短为原来倍，得； 步骤3：竖直伸缩。横坐标不变，纵坐标伸长为原来2倍，得。 答：左移个单位→横坐标缩为→纵坐标伸为2倍。 【知识点05】函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称中心（，0）(k∈Z) 对称轴x＝＋ (k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋ (k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 【例5】求的最小正周期、值域与最值。 解：由解析式得： 1. 周期： 2. 值域：，即 3. 最值： 答：周期，值域，最大值1，最小值-5。 【知识点06】简谐运动 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. 2．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 注意点：如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin（），应先变成y＝sin＝sin（） 【例6】某简谐运动位移满足（单位：cm），求该振动的振幅、周期、频率。 解：对比标准式得： 振幅： 周期： 频率： 答：振幅4cm，周期，频率。 【题型01】相位变换及解析式特征 【典例1-1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 【变式1-1】（24-25高一下·北京·阶段检测）要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】B 【分析】根据图象平移的性质即可求解. 【详解】要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平行移动个单位, 故选：B 【变式1-2】要得到函数的图像，只需把函数的图像向右平移______个单位. 【答案】（答案不唯一) 【分析】结合左右平移变换即可求出结果. 【详解】， 所以，则， 当时，，故只需把函数的图像向右平移个单位， 故答案为：. 【变式1-3】函数为的图象可以看作是由的图象经过怎样的变换而得到的？ 【答案】向左平移个单位长度 【分析】利用诱导公式以及三角函数图象变换可得结论. 【详解】， 因此，将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象. 【点睛】本题考查三角函数图象的相位变换，属于基础题. 【题型02】上下平移变换及解析式特征 【典例2-1】要得到函数的图象，只需将函数 的图象（    ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 【答案】A 【解析】利用三角函数图像变换规律，得出结论． 【详解】要得到函数的图象，这里， 则只需将函数的图象向上平移2个单位． 故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数图像变换的规律，属于基础题． 【变式2-1】要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】B 【解析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可 【详解】解：由函数，， 所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得 的图像， 故选：B 【变式2-2】将函数的图象向下平移1个单位长度.得到函数的图象，则函数的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】由条件可得，又，函数为奇函数，则的图象关于点对称，排除A，B，根据，可排除C，从而得到答案. 【详解】易知，由 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 故函数的图象关于点对称，排除A，B； 又，排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数对称性的应用，根据解析式选择函数图象时可根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）和特殊点处函数值等进行验证排除.属于中档题. 【变式2-3】函数为的图象可以看作是由的图象经过怎样的变换而得到的？ 【答案】向上平移5个单位 【详解】根据三角函数上下平移“上加下减”原则，向上平移5个单位，函数整体加5。 原函数： 平移后解析式： 因此，将函数 的图象向上平移5个单位可得函数的图象. 【题型03】周期变换及解析式特征 【典例3-1】为了得到新函数的图象，只需把原函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【分析】利用正弦函数的图象变换判断即得. 【详解】函数的图象由函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），A正确. 故选：A 【变式3-1】要得到函数的图象，只需要将函数的图象上各点（    ） A．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 C．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 D．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据正弦型三角函数的周期关系，确定伸缩变换的比例即可得结论. 【详解】因为的最小正周期，函数最小正周期， 所以，则横坐标缩短为原来的，纵坐标不变. 故选：A. 【变式3-2】将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数__________的图象． 【答案】 【分析】利用三角函数图象变换规律可得结果. 【详解】将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩变换，属于基础题 【变式3-3】（多选）下列能产生的图象的变换是（    ） A．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 B．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 C．将函数的图象沿轴向左平移3个单位； D．将函数的图象沿轴向右平移3个单位． 【答案】AD 【分析】根据三角函数图象平移规律逐项判断可得答案. 【详解】对于A：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得函数的图象，故A正确； 对于B：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得函数的图象，故B错误； 对于C：函数的图象沿轴向左平移3个单位， 得函数的图象，故C错误； 对于D：根据诱导公式函数的图象沿轴向右平移3个单位，得函数的图象，故D正确． 故选：AD. 【题型04】振幅变换及解析式特征 【典例4-1】函数的振幅为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用三角函数振幅的定义求解即可. 【详解】因为该函数符合的形式，所以函数的振幅为2， 故选：D. 【变式4-1】函数的图象可看成是由的图象按下列哪种变换得到（    ） A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 B．纵坐标变为原来的3倍，横坐标变为原来的 C．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D．纵坐标变为原来的，横坐标变为原来的3倍 【答案】B 【分析】根据函数与的关系，是要经过两种变换得来，其中振幅变换影响的是的值，是周期变换，也就是图像上每个点的横坐标要进行伸缩变换即可得到答案. 【详解】解：将图像上每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，则函数变为，在此基础上，再将这个函数图像上的每个点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，就得到. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，关键是要弄清这几种变换是怎么进行的，属于中档题. 【变式4-2】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到____________的图像. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图像变换的性质进行求解即可. 【详解】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到的图像， 故答案为： 【点睛】本题考查了正弦型函数图像的变换性质的应用，属于基础题. 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·河北邯郸·阶段检测）已知是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分与讨论，再结合正弦函数的周期，振幅逐项判断即可； 【详解】当时，； 当时，周期为，振幅为， 对A，当时，，故A正确； 对B，由，可得，所以，所以振幅小于2，故B错误； 对C，当时，，故C正确； 对D，由可得，所以，所以振幅大于2，故D正确； 故选：ACD 【题型05】描述正(余)弦型函数图象的变换过程 【典例5-1】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得结论. 【详解】因为，要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位长度， 故选：C. 【变式5-1】为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，再根据函数的平移变换法可得函数的变换情况. 【详解】由已知 ， 设将函数向左平移个单位，得， 所以，解得， 即将函数向左平移个单位长度可得， 故选：D. 【变式5-2】要得到函数的图象，可以将函数的图象沿轴________． 【答案】向左平移个单位 【详解】试题分析：，函数的图像向左平移个单位即可得到的图像 考点：函数的图像变换 【变式5-3】要得到函数的图象，需要将函数的图象作怎样的变换？ 【答案】答案见解析 【分析】利用诱导公式和三角函数的平移变换易得. 【详解】因， 而，因. 故要将函数的图象左移个单位长度即得函数的图象． 【题型06】求图象变化前(后)的解析式 【典例6-1】（25-26高一下·安徽蚌埠·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到余弦曲线，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移规则逆向推导,再利用诱导公式变换匹配选项. 【详解】由题意，,将替换为，可得：,AC错误； 由，对变形：，B正确，D错误. 【变式6-1】（25-26高一下·广东茂名·阶段检测）先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】遵循三角函数图象变换的“左加右减”平移规则和横坐标伸缩变换规则得到的解析式. 【详解】将函数的图象向右平移，可得到函数 的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 故. 【变式6-2】（25-26高一下·全国·课后作业）把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象对应的函数解析式为______． 【答案】 【分析】利用三角函数图象变换可得出结果. 【详解】把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）, 得到的图象对应的函数解析式为. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)求的最大值； (2)设，则把函数的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，可得到函数的图象？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式和辅助角公式可得，可求最大值； （2）设把函数的图象向左平移t个单位长度，利用平移求得， 令，计算求解即可. 【详解】（1） ， 因，故的最大值为． （2）设把函数的图象向左平移t个单位长度，可得到函数的图象， 则有恒成立， 故有，得， 要使为最小正数，则取，此时， 即把函数的图象沿x轴至少向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 【题型07】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例7-1】（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质判断即可 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到， 令，，解得，， 故的单调递增区间为，，故C正确 【变式7-1】（25-26高一上·广东惠州·期末）将的图像向右平移个单位可得到的图像，则当时，的图象与余弦曲线共有______交点. 【答案】4 【分析】的图像向右平移个单位可得，再结合余弦曲线求解交点个数即可. 【详解】由题意知，，余弦曲线为， 则，即，整理得， 当，时，解为； 当，即，时，解为， 所以的图象与余弦曲线共有4个交点, 故答案为：4. 【变式7-2】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知，函数在上单调递减，则的取值可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，即可根据函数图像的平移求解. 【详解】当，时，， 由于在上单调递减，故应有， 故，且， 解得，故只能为0，则． 故选：ACD 【变式7-3】（25-26高一下·陕西汉中·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若方程在上的解为，，求. 【答案】(1)，对称中心为，. (2). 【分析】（1）先按照三角函数图象变换规则，依次对做横坐标缩短、纵坐标伸长、向右平移变换，逐步化简求出解析式，再利用余弦函数对称中心的性质，令相位等于解出，即可写出对称中心坐标. （2）先代入方程化简得到余弦等式，确定在给定区间内对应相位的范围，利用余弦函数在该区间内的轴对称性，得出两根满足的关系式，求出的值，再代入余弦公式算出结果. 【详解】（1）①横坐标缩短到原来的：将中替换为，得. ②纵坐标伸长到原来的2倍：将函数值乘以2，得. ③向右平移个单位：根据“左加右减”，得. 令，，解得，， 所以对称中心为，. （2）由，得，即. 令 已知，则. 方程的解关于函数直线对称，即，即. 化简得，故. 【题型08】几何中的三角函数模型 【典例8-1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设，现有下述四个结论，其中错误的结论为（    ） A．水深为尺 B．芦苇长为尺 C． D． 【答案】B 【分析】设尺，则尺，根据几何关系，由勾股定理即可求出x，由此可逐项求解. 【详解】设尺，则尺， 尺，，，AC=13尺. ，由，解得（负根舍去）． ，故ACD正确，错误的结论为B． 故选：B. 【变式8-1】如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【分析】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D 【变式8-2】若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则______． 【答案】 【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】   令，，则，， 不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示， 因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形， 所以，所以， 所以，即. 故答案为： 【变式8-3】如图，正方形的边长2，分别为线段上的动点.    (1)设，试用来表示的周长； (2)当的周长为4时，求的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用表示出相关边长，即可得结果； （2）由题设及（1）可得，结合和角正切公式求得，即可得的大小. 【详解】（1）四边形是正方形，且边长为2， 在中，，则，故， 同理，在中，故， 在中，， 所以 （2）由（1）及题设知：， 即，即， 即，即， 又，故， 所以，则. 【题型09】三角函数在生活中的应用 【典例9-1】（25-26高一下·广东佛山·期末）一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据得，当秒时，点位于最低点， 则经过时间秒后车轮转过的角度， 则点到铁轨表面的高度为. 得到符合初始条件. 【变式9-1】（25-26高一下·湖北随州·阶段检测）在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意作图，根据勾股定理和三角函数关系式计算即可. 【详解】如图，过作于点，在中，km， 作. 在中，，所以. 因为小时，所以受台风影响的时间为4小时. 【变式9-2】（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 【答案】40 【详解】设两点间的距离为厘米，， 则，所以． 因为，所以． 由，得，解得， 则两点间的距离大于6厘米的时长是秒． 【变式9-3】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）某摩天轮的直径为米，最高点距离地面达110米，共有个座舱（图为摩天轮示意图）．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），.求 (1)的解析式； (2)甲进舱分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人第一次距离地面高度相等？ 【答案】(1) (2)85 (3) 【分析】（1）首先根据周期求，再根据最值求和，根据初始的高度求，即可求得函数的解析式； （2）根据（1）的结果，代入求值； （3）首先设甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，并求，经过后，分别求甲和乙的高度，根据高度相等求. 【详解】（1）摩天轮转动t分钟时游客的高度， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期， 则，所以， 由题意可得，，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， （2）由（1）知，当时，； （3）甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则， 经过后，乙距离地面的高度， 点B相对于A始终落后，甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：，经验证成立， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等． 【题型10】三角函数在物理学中的应用 【典例10-1】（24-25高一下·吉林长春·阶段检测）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A 【变式10-1】（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 【变式10-2】如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系为，那么单摆摆动的频率为________，第二次到达平衡位置O所需要的时间为________s．    【答案】 /0.5 【分析】由周期得出频率，进而得出第二次到达平衡位置O所需要的时间. 【详解】单摆摆动的频率 当时，，故第一次到达平衡位置O的所需要的时间为． 所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为 故答案为：；. 【变式10-3】（25-26高一下·广东清远·期末）如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． (1)求，，，的值； (2)小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ (3)小球在什么时间内是下降状态？ 【答案】(1)，，， (2)19次 (3)小球在内是下降状态． 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质结合图形计算即可； （2）利用三角函数的周期性计算即可； （3）根据三角函数的单调性计算即可. 【详解】（1）由图2可知，， 最小正周期，所以， 由五点作图法可知，当时，，所以， 所以， 当时，． （2）小球往复运动一次所需时间为， 小球1秒内往复运动的次数为， 所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）． （3）令， 得， 所以小球在内是下降状态． 知识点01参数φ对图象的影响（左右平移） 研究对象： 核心规律：为初相，仅控制图象左右平移，不改变周期、振幅、图象形状，遵循左加右减原则。 1. ：图象向左平移个单位； 2. ：图象向右平移个单位。 知识点02参数ω(ω>0)对图象的影响（水平伸缩） 研究对象： 核心规律：控制图象水平伸缩，改变函数周期，不改变振幅、初相。 1. 周期通用公式： 2. ：横坐标缩短为原来的倍，周期变小； 3. ：横坐标伸长为原来的倍，周期变大。 知识点03参数A(A>0)对图象的影响（竖直伸缩） 研究对象： 核心规律：为振幅，控制图象竖直伸缩，决定函数最值与值域，不改变周期、相位。 1. ：纵坐标伸长为原来倍； 2. ：纵坐标缩短为原来倍； 3. 基础值域：。 知识点04正弦函数完整图象变换关系 由变换为两种标准顺序： 1. 先平移、后伸缩（推荐、不易错） 左右平移个单位 → 横坐标伸缩为原来倍 → 纵坐标伸缩为原来倍 2. 先伸缩、后平移（高频易错） 横坐标伸缩为原来倍 → 左右平移个单位 → 纵坐标伸缩为原来倍 易错核心：先伸缩后平移，平移量需除以。 知识点05函数核心性质 1. 定义域： 2. 值域： 3. 最小正周期： 4. 最值：， 5. 单调递增区间： 6. 单调递减区间： 知识点06三角函数应用——简谐运动模型 简谐运动位移解析式： 1. 振幅：质点偏离平衡位置的最大距离； 2. 周期：完成一次全振动的时间； 3. 频率：单位时间内完成全振动的次数； 4. 初相：决定振动的初始位置与初始状态。 知识点07本节核心易错点总结 1. 三种参数变换相互独立：管平移、管水平伸缩与周期、管竖直伸缩与最值，互不干扰； 2. 图象变换顺序决定平移量，先伸缩后平移必须换算平移距离，是高频丢分点； 3. 求解单调区间、最值时，需将视为整体代换，不可直接对计算； 4. 简谐运动中周期与频率互为倒数，概念不可混淆； 5. 解析式含常数时，值域、最值均需整体上下平移，不能忽略。 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南娄底·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【详解】函数图象左右平移，依照左加右减的法则， 把的图象向右平移个单位，可得到的图象. 2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（   ） A．振幅是2，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是2，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】C 【详解】由题意，振幅是2，初相是. 3．（25-26高一下·重庆江津·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据伸缩变换的变换法则即可判断． 【详解】由中，得到， 对应乘，则横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变． 所以为了得到函数的图象， 只需把函数图象上所有的点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变. 4．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数后，结合题意进行运算即可求出结果. 【详解】 所以 ， 由题意可得，为偶函数，所以，解得， 又，所以的最小值为. 故选：A． 5．（25-26高一下·四川达州·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是4厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标3的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，记，两点间的距离为厘米，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得出，求出，最后解不等式即可. 【详解】设，则，所以， 若，则， 若，则，所以. 由，得，则， 因为，所以，则，解得. 6．（25-26高一下·北京昌平·期末）将函数的图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，若以与图象上相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【详解】如图， 不妨取轴右侧的连续三个交点，分别记为的最小正周期为，可得， 由的面积为及对称性知，，解得， 进而，代入得， 即，并结合，得， 所以．令， 解得，所以函数图象的对称中心是， 所以是函数图象的一个对称中心． 7．（24-25高一下·青海海东·期末）以下对函数的图象的变换中，可以得到函数的图象的是（    ） A．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 B．先将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度 C．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．先将的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】C 【详解】对于选项A，得到函数的图象； 对于选项B，得到函数的图象； 对于选项C，得到函数的图象； 对于选项D，得到函数的图象． C选项正确. 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）    A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据辅助角公式化简两函数解析式，即可利用函数图象平移求解B，根据对数的运算性质化简解析式，即可利用平移求解D，对于AC，根据平移的性质可判断. 【详解】对于A，无法通过平移由得到，故A错误， 对于B，，，故可以将的图象向右平移个单位得到的图象，故B正确， 对于C，要想由得到,只需向左平移个单位即可，故C正确， 对于D，，，故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确， 故选：BCD. 10．（25-26高一下·四川南充·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递增 C．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象 D．当时，曲线与的图象有4个交点 【答案】ABD 【分析】根据图象利用五点法可得.求的对称轴和单调区间，即可判断AB；根据图象变换判断C；画出与的图象，结合图象判断D. 【详解】图像最高点纵坐标为 2，得， 由得，且，则，解得， 将点代入得，即， 则，即， 且，可得，，所以. 选项 A：令，可得， 当时，则，所以函数的图象关于直线对称，故A 正确； 选项 B：令，解得， 当时，可得函数的递增区间为， 且，所以函数在区间上单调递增，故B 正确； 选项 C：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得 不是，故C 错误； 选项 D：当时，画出与的图象， 由图象可知：当时，曲线与的图象有4个交点，故D 正确. 11．（25-26高一下·湖北随州·期末）受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 10 13 10 7 10 若该天从与的关系可近似地用函数 来表示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．时的水深约为 D．若某条船12：00以后进入该港口装货，并当天驶离，已知当水深不低于11.5米时该船才能安全进出港口，忽略进出港时间，则该船当天在港口停留的时间最多为4小时 【答案】BCD 【详解】由表格数据可知，，故，解得，故A错误； 因为，故，解得，故B正确； ，故，， ，故C正确； ，即， ，又，， 故该船当天在港口停留的时间最多为4小时，D正确. 三、填空题 12．函数的振幅是________，初相是________． 【答案】 3 【分析】根据振幅和初相的定义可得答案. 【详解】振幅， 令则初相. 故答案为:3, 13．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为______． 【答案】2 【详解】因为正弦型简谐振动函数（）的振幅为， 所以满足函数的简谐振动的振幅为2. 14．（25-26高一下·甘肃定西·期中）函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 【答案】①②③ 【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.对于⑤，利用三角函数图象的平移、对称变换即可判断. 【详解】因为 对于①：当时，为函数的最小值， 故图象关于直线对称，即①正确； 对于②：因为， 所以图象C关于点对称；故②正确； 对于③：令， 解得：， 所以的递增区间为， 当时，是的一个递增区间，故③正确； 对于④：的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误. 对于⑤；因，可理解为将函数的图象向上平移1个单位长度， 再保持轴上方部分不变，并将轴下方部分沿着轴向上翻折得到， 故其周期并非的周期的一半，即⑤错误. 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）将的图象怎样变换可得到函数的图象？ 【答案】答案见解析 【分析】利用先伸缩再平移变换即可得解. 【详解】分两步完成： 第一步：把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象； 第二步：将所得图象沿x轴向左平移个单位，即得的图象． 16．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数 (1)化简的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的对称中心和单调递减区间. 【答案】(1) (2)的对称中心，；单调递减区间，. 【分析】（1）利用二倍角公式化为，再用辅助角公式化简即可； （2）根据图形变换得，再整体代入对称中心公式以及单调递减区间计算即可. 【详解】（1） （2）依题意得，， 令，得，故的对称中心，； 由，得 所以的单调递减区间，. 17．一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可，即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即； 当点 在点 时，角 最小，此时 ； 当点 在点 时，角 最大，此时 ； 故此函数的定义域是 . （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可， 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 18．（24-25高一上·全国·课后作业）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 ，其振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式； (2)证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据振幅为2求出A，将点代入解析式即可解得； （2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明. 【详解】（1）由振幅为2，，可得，， 由噪声声波曲线经过点，得， 而，， 则，则， 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反， 所以. （2）由（1）， 则 ， 即为定值0. 19．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $