2.1 用字母表示数（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学七年级上册

第2章 一元一次方程 2.1 用字母表示数 （第1课时）用字母表示数与代数式 年 级：七年级上册 学 科：数学（北京版） 新知讲授 从问题进入本课 学习任务 用字母表示数与代数式 已有基础 数的运算律和数量关系。 今天关注 把具体数量关系推广到一般情形。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 上面问题中得到的，，，，，，…这样的式子，称为代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 例子 表示先乘再加。 辨析 与也都是代数式。 新知讲授 思考与交流 请你用字母表示有理数的乘法交换律、结合律和乘法对加法的分配律。想一想用字母表示有理数的运算律有什么意义。 答：；；；字母可以表示任意有理数，表达简单明了，体现普遍性。 解 交换两个乘数的位置，积不变，可写 结合顺序改变时写 分配时分别乘、 字母、、可代表任意有理数，因此式子表达普遍规律 方法：用字母保留运算律的运算次序。 注意：等号两边表示同一个结果。 新知讲授 实践 数量关系表 .某种练习册每本元，请你根据购买练习册的数量计算应付的金额，填写表，并进行概括： 购买的数量/本 … 应付的金额/元 … 总金额=每本价格×购买本数。 ；；买本为元。 方法：总价等于单价乘数量。 注意：单价和总价使用相同的金额单位。 新知讲授 实践 .某种练习册每本元，请你根据购买练习册的数量计算应付的金额，填写表，并进行概括： 答：，，，…， 解 总金额=每本价格×本数 ，，，买本为 方法：总价等于单价乘数量。 注意：单价和总价使用相同的金额单位。 新知讲授 实践 .观察下面的一列数，找出其中的规律并填空：，，，，，…，那么它的第个数是____，第个数是____。（为正整数） 答：； 解 ，， 对应第项为 第项 方法：把序号与对应数逐项配对，寻找关系。 注意：用前几项检验，序号取正整数。 新知讲授 思考与交流 当表示有理数时，一定是负数吗？为什么？ 答：不一定。时；时；时。 解 取，则为正数 取，则 时才为负数 方法：按原数为正、零、负三种情况讨论。 注意：相反数的符号随原数改变。 新知讲授 探索规律 观察，，，，……什么样的两个数的积等于这两个数的和？设表示正整数，请用关于的等式表示规律。 答： 解 把第一个因数写为，第二个写为 两边都等于 方法：分别写出两数的积与和，再比较。 注意：分母中的正整数不能取零。 新知讲授 探索规律 在有公共边的三角形和正方形边上有规律地排列点；每边、、个点时各有多少点？每边个点时有多少点？ 每边2个点 每边3个点 每边4个点 答：，，；（含共享边上的点） 共有个顶点，条不同的边，每条边内部有个点 方法：分别计数边上的点，再扣除重复点。 注意：公共边和公共顶点不能重复计算。 例题讲解 例 1 用字母，表示下面的数量关系： （1） 比小； （2） ，互为相反数； （3） 与的倍相等； （4） 的倍与的差等于； （5） 的一半与的和等于。 解第（1）题 以为基准少，所以 解第（2）题 或 是的相反数，所以 互为相反数的和为 第（1）题：按语句中的和、差、倍数写关系。 注意：先分清谁与谁比较，再写运算顺序。 第（2）题：互为相反数的两数之和为零。 注意：相反数不等于一定是负数。 例题讲解 例 1 用字母，表示下面的数量关系： （1） 比小； （2） ，互为相反数； （3） 与的倍相等； （4） 的倍与的差等于； （5） 的一半与的和等于。 解第（3）题 的倍是，与相等 解第（4）题 的倍为 减去后等于 方法：按语句中的和、差、倍数写关系。 注意：先分清谁与谁比较，再写运算顺序。 例题讲解 例 1 用字母，表示下面的数量关系： （1） 比小； （2） ，互为相反数； （3） 与的倍相等； （4） 的倍与的差等于； （5） 的一半与的和等于。 解第（5）题 的一半为 再与相加等于 方法：按语句中的和、差、倍数写关系。 注意：先分清谁与谁比较，再写运算顺序。 例题讲解 例 2 填空：每瓶酸奶元，小红买瓶酸奶用了____元，小红买瓶酸奶用了____元。 答：； 解 单价乘瓶数： 买瓶为 方法：总价等于单价乘数量。 注意：单价和总价使用相同的金额单位。 例题讲解 例 2 填空：在“手拉手”活动中，甲班捐献图书m本，乙班捐献图书本，那么甲、乙两班一共捐献图书____本。 答： 解 两班总数为甲班m本加乙班本，得到 方法：总数等于各部分数量相加。 注意：所加的数量必须使用相同单位。 例题讲解 例 2 填空：塞罕坝林场的建设者们，在“黄沙遮天日，飞鸟无栖树”的荒漠沙地上艰苦奋斗、甘于奉献，创造了荒原变林海的人间奇迹，用实际行动铸就了牢记使命、艰苦创业、绿色发展的塞罕坝精神。塞罕坝成功营造起百万亩人工林海，创造了世界生态文明建设史上的典型。某中学七年级有名学生，他们每人都有一个心愿，要为塞罕坝林场的发展贡献自己的力量，于是他们决定将自己压岁钱中的一部分捐献出来用于护林。如果平均每人捐献元，那么他们一共捐款____元。 答： 解 每人元、共人，总额 方法：总捐款等于人数乘每人捐款。 注意：每人金额与总人数相乘。 例题讲解 例 2 填空：如果甲、乙两地相距，汽车每小时行驶，那么从甲地到乙地需要____h。 答： 解 时间=路程÷速度 方法：行驶时间等于路程除以速度。 注意：速度为正，千米与千米每时对应小时。 课堂练习 练习1 在跳绳比赛中，小华每分钟跳次，小明每分钟比小华多跳次，那么小华分钟跳了多少次？小明分钟跳了多少次？ 答：次；次 解 小华：次数=每分钟次数×分钟数= 小明每分钟次，分钟为次 方法：先求各自每分钟次数，再乘分钟数。 注意：两人的速度和时间分别对应。 课堂练习 练习2 如图，圆的直径为，正方形的边长为，且四个顶点都在圆上，求图中绿色部分的面积（用字母和表示）。 直径 答： 圆半径，圆面积 绿色部分面积=圆面积-正方形面积= 方法：绿色面积等于圆面积减去正方形面积。 注意：圆的半径是直径的一半。 课堂练习 练习3 是有理数，那么一定大于吗？为什么？ 答：不一定。时大于，时相等，时小于。 解 比较差： 方法：分别考察字母为正、零、负的情形。 注意：一个反例即可否定“一定”。 课堂总结 用字母表示数与代数式 字母表示 表示数与数量 关系表达 抓住和差积商 代数式 数和字母都是 观察规律 由具体到一般 特别提醒：字母可表示的数由题意决定。 针对训练 训练1 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 用、表示：比大。 （2） 用m、表示：m的倍等于的一半。 解第（1）题 “比大”以为基准 在上加 方法：按语句中的和、差、倍数写关系。 注意：先分清谁与谁比较，再写运算顺序。 针对训练 训练1 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 用、表示：比大。 （2） 用m、表示：m的倍等于的一半。 解第（2）题 m的倍是 的一半是 方法：按语句中的和、差、倍数写关系。 注意：先分清谁与谁比较，再写运算顺序。 针对训练 训练2 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 一本书元，买本。写出总价。 （2） 一次购买支笔，每支元。写出总价。 解第（1）题 元 总价=单价×数量 把与相乘 方法：总价等于单价乘数量。 注意：单价和总价使用相同的金额单位。 针对训练 训练2 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 一本书元，买本。写出总价。 （2） 一次购买支笔，每支元。写出总价。 解第（2）题 元 代表数量 总价为 方法：总价等于单价乘数量。 注意：单价和总价使用相同的金额单位。 针对训练 训练3 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 个苹果平均分给人，每人多少个？ （2） 共有张卡片，平均分给人，每人多少张？ 解第（1）题 个 把总数平均分成份 除数是 方法：每份数量等于总量除以份数。 注意：份数是正整数，结果须符合实际。 针对训练 训练3 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 个苹果平均分给人，每人多少个？ （2） 共有张卡片，平均分给人，每人多少张？ 解第（2）题 张 除数是人数 实际人数不能为 方法：每份数量等于总量除以份数。 注意：份数是正整数，结果须符合实际。 方法总结 把题意译成数学 方法1　抓住关键词 ① 先明确每个量的含义 ② 把一个整体用括号保护 方法2　用反例辨析 ① 检验边界情况 ② 不能凭一次相等下结论 针对训练 训练4 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 甲队有m人，乙队比甲队多人。两队共多少人？ （2） 一根绳长L米，用去米。还剩多少米？ 解第（1）题 人 乙队人数是 总数为甲加乙 方法：总数等于各部分数量相加。 注意：所加的数量必须使用相同单位。 针对训练 训练4 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 甲队有m人，乙队比甲队多人。两队共多少人？ （2） 一根绳长L米，用去米。还剩多少米？ 解第（2）题 米 原长减去用去的长度 实际有 方法：剩余量等于原有量减去用去量。 注意：用去量不能超过原有量。 针对训练 训练5 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 判断：字母只能表示正数。 （2） 判断：表示的相反数，所以一定是负数。 解第（1）题 错 在有理数范围，可为正数、或负数 字母表示的范围由题意决定 解第（2）题 错 当时， 相反数不能按符号外观判断 第（1）题：分别考察字母为正、零、负的情形。 注意：一个反例即可否定“一定”。 第（2）题：按原数为正、零、负三种情况讨论。 注意：相反数的符号随原数改变。 针对训练 训练6 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 下列哪些是代数式：，，，？ （2） 指出错误并改正：与的积写成。 解第（1）题 ，， 单独数与字母也是代数式 表示相等关系 解第（2）题 应写 积表示乘法 和才表示加法 第（1）题：按代数式定义检查数、字母和运算。 注意：等式与代数式的结构不同。 第（2）题：按语句中的和、差、倍数写关系。 注意：先分清谁与谁比较，再写运算顺序。 方法总结 处理顺序与符号 方法1　分层计算 ① 先处理括号与乘方 ② 再处理乘除及加减 方法2　符号检查 ① 负数作为整体代入 ② 结果符号回看题意 针对训练 训练7 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 用字母表示：任意一个有理数与相加仍是它本身。 （2） 用字母表示：任意一个数与它的相反数之和为。 解第（1）题 用表示任意有理数 写出相等关系 解第（2）题 相反数为 两数相加得 第（1）题：用字母保留运算律的运算次序。 注意：等号两边表示同一个结果。 第（2）题：互为相反数的两数之和为零。 注意：相反数不等于一定是负数。 针对训练 训练8 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 数列，，，，…的第个数是什么？ （2） 数列，，，，…的第个数是什么？ 解第（1）题 第项，第项 第项 解第（2）题 比对应偶数小 检查时得 方法：把序号与对应数逐项配对，寻找关系。 注意：用前几项检验，序号取正整数。 针对训练 训练9 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 按规律排列的点数为，，，，…，第组有多少点？ （2） 一排相邻正方形，第个用根小棒，此后每增加个多根。个共需多少根？ 解第（1）题 个 第组个 得 解第（2）题 根 第一个独立计根 其余个各增加根 方法：把序号与对应数逐项配对，寻找关系。 注意：用前几项检验，序号取正整数。 方法总结 从具体走向一般 方法1　寻找不变量 ① 保留共同结构 ② 分清改变的量与不变量 方法2　代入检验 ① 选简单数检查表达 ② 发现反例及时改正 针对训练 训练10 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 一长方形长、宽。写出面积与周长。 （2） 表示有理数，一定比大吗？ 解第（1）题 面积；周长 面积长×宽 周长两组长和宽 解第（2）题 不一定 时相等 时 第（1）题：长方形面积为长乘宽，周长为邻边和的两倍。 注意：面积与周长的单位不同。 第（2）题：分别考察字母为正、零、负的情形。 注意：一个反例即可否定“一定”。 针对训练 训练11 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 学校买盒彩笔，每盒支，另买支。共多少支？ （2） 公交车原有人，到站下车人、上车人。现有多少人？ 解第（1）题 支 盒装共支 再加散装支 解第（2）题 人 先减去下车人数 再加上车人数 第（1）题：先求整份的总数，再加零散部分。 注意：份数、每份数量与补加量要区分。 第（2）题：现有人数等于原有人数减下车再加上车。 注意：上下车对应不同的运算符号。 针对训练 训练12 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 体育馆每排个座位，共m排，留出个座位。可售票多少张？ （2） 步行速度，行走。距起点多少千米？ 解第（1）题 张 总座位数 减去保留座位 解第（2）题 速度与时间单位对应 路程=速度×时间 第（1）题：先求全部座位，再减去预留座位。 注意：可售票数应为非负整数。 第（2）题：路程等于速度乘时间。 注意：时间单位须与速度中的时间单位一致。 方法总结 应用题中的表达 方法1　先列后算 ① 先写表示数量的式子 ② 已知数值再代入 方法2　回到情境 ① 结果写出单位 ② 检查实际取值范围 $