2.2 整式（第1课时） 课件 2026--2027学年北京版七年级数学上册

第2章 一元一次方程 2.2 整式 （第1课时）整式与合并同类项 年 级：七年级上册 学 科：数学（北京版） 新知讲授 从问题进入本课 学习任务 整式与合并同类项 已有基础 代数式与有理数运算。 今天关注 区分项、系数、次数。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 ，都是由数与字母的积组成的代数式。像这样，由数与字母的积组成的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 例子 是数与字母的积，也是单项式。 辨析 是和，不能看作一个单项式。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 例子 的系数是。 辨析 的系数是，的系数是。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 一个单项式中所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数。 例子 的次数为。 辨析 系数的大小与单项式的次数无关。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 是由单项式，，的和组成的代数式。像这样，由几个单项式的和组成的代数式叫作多项式。每个单项式叫作多项式的项。其中不含有字母的项叫作常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式，多项式中，次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数。 例子 是二次三项式。 辨析 各项为、、，项含前面的符号。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 单项式和多项式统称为整式。 例子 与都是整式。 辨析 的分母含字母，不是整式。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫作同类项。几个常数项也是同类项。 例子 与是同类项。 辨析 与对应指数不同。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 像这样，把几个同类项合并成一项，叫作合并同类项。 例子 可合并为。 辨析 不能合并成一项。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 例子 。 辨析 只把系数相加，字母指数保持不变。 新知讲授 实践（1） 用代数式表示下面的数量关系：长方体钢坯的底面是边长为的正方形，钢坯的高是，根这样的钢坯的体积是____； 答： 解 底面积，单根体积，根体积 方法：总体积等于底面积乘高再乘根数。 注意：正方形底面积是边长的平方。 新知讲授 实践（2） 用代数式表示下面的数量关系：某生活小区需要圆形污水井盖个，如果每个井盖的价格是元，那么购买这些井盖需要____元； 答： 解 总价=单价×个数 方法：总价等于单价乘数量。 注意：单价和总价使用相同的金额单位。 新知讲授 实践（3） 用代数式表示下面的数量关系：张明家的小轿车每百公里耗油。他父亲开车外出前把油箱的油加到了，开车行驶了后，又在路旁的加油站加了油，此时轿车的油箱中有____L油。（注：每百公里耗油量是汽车技术指标的专用名词，即汽车每行驶消耗的汽油的量） 答： 解 耗油 剩余加新油为 方法：现有油量等于原有减消耗再加补充。 注意：先把行驶里程换算为百公里的倍数。 新知讲授 思考与交流 观察上面得到的代数式，前两个式子有什么特点？与第三个式子有什么区别？ 答：前两个是数与字母的积，第三个是几个这样的积的和。 解 与只有数与字母的乘积 包含三个单项式相加，运算结构不同 方法：检查式子是数与字母的积，还是若干项的和。 注意：单独一个数或字母也可作为单项式。 新知讲授 思考与交流 请你观察下面各组单项式，说出它们的特点： （1） ，，； （2） ，，，。 解第（1）题 所含字母相同，相同字母的指数分别相同；系数可以不同。 每项都含、，与的指数都为 系数可以不同 方法：逐一比较所含字母和对应指数。 注意：系数不同、字母书写顺序不同不影响同类项。 新知讲授 思考与交流 请你观察下面各组单项式，说出它们的特点： （1） ，，； （2） ，，，。 解第（2）题 所含字母相同，相同字母的指数分别相同；系数可以不同。 每项都含、，指数、指数 书写顺序不影响乘积 方法：逐一比较所含字母和对应指数。 注意：系数不同、字母书写顺序不同不影响同类项。 新知讲授 思考与交流 如图，形状为长方体的钢锭，一面是边长为的正方形，钢锭的长是。如果第一垛有根，第二垛有根，第三垛有根，那么怎样表示这批钢锭的总体积？ 6根 10根 15根 答： 单根体积为，三垛体积分别、、 运用分配律，合并同类项，得到 方法：总体积等于底面积乘高再乘根数。 注意：正方形底面积是边长的平方。 例题讲解 例 1 判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，请指出它的系数和次数；如果是多项式，请指出它是几次几项式。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 解第（1）题 单项式，系数，次数 为积，系数，指数 解第（2）题 二次三项式 各项为、、 最高次数，共项 方法：确认系数、次数与多项式的项。 注意：分项时，要带着前面的符号。 例题讲解 例 1 判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，请指出它的系数和次数；如果是多项式，请指出它是几次几项式。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 解第（3）题 单项式，系数，次数 系数 字母指数和 方法：数的因数是系数，字母指数和是次数；按加减分项，并找最高的项的次数。 注意：分别核对两题的运算关系、单位和实际取值。 例题讲解 例 1 判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，请指出它的系数和次数；如果是多项式，请指出它是几次几项式。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 解第（4）题 三次二项式 两项为与 最高次数，共项 方法：数的因数是系数，字母指数和是次数；按加减分项，并找最高的项的次数。 注意：分别核对两题的运算关系、单位和实际取值。 例题讲解 例 2 合并下列各式的同类项： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 解第（1）题 解第（2）题 方法：同类项的带符号系数相加。 注意：字母及对应指数保持不变。 例题讲解 例 2 合并下列各式的同类项： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 解第（3）题 解第（4）题 方法：同类项的带符号系数相加。 注意：字母及对应指数保持不变。 例题讲解 例 3 先合并同类项，再求代数式的值： （1） ，其中； （2） ，其中，。 解第（1）题 时为 解第（2）题 ，时为 方法：先合并同类项，再整体代入数值。 注意：负数代入平方时要加括号。 课堂练习 练习1 指出下列各题中的两个单项式是不是同类项。如果是，请合并同类项；如果不是，请说明理由。 （1） 与； （2） 与； （3） 与； （4） 与。 解第（1）题 是， 解第（2）题 是， 方法：逐一比较所含字母和对应指数。 注意：系数不同、字母书写顺序不同不影响同类项。 课堂练习 练习1 指出下列各题中的两个单项式是不是同类项。如果是，请合并同类项；如果不是，请说明理由。 （1） 与； （2） 与； （3） 与； （4） 与。 解第（3）题 是， 解第（4）题 不是，、的指数分别不同。 前项、指数分别、，后项为、 方法：逐一比较所含字母和对应指数。 注意：系数不同、字母书写顺序不同不影响同类项。 课堂练习 练习2 先合并同类项，再求代数式的值： （1） ，其中； （2） ，其中，； （3） ，其中，； （4） ，其中，。 解第（1）题 解第（2）题 方法：先合并同类项，再整体代入数值。 注意：负数代入平方时要加括号。 课堂练习 练习2 先合并同类项，再求代数式的值： （1） ，其中； （2） ，其中，； （3） ，其中，； （4） ，其中，。 解第（3）题 解第（4）题 方法：先合并同类项，再整体代入数值。 注意：负数代入平方时要加括号。 课堂总结 整式与合并同类项 整式 单项式与多项式 同类项 两同为依据 合并 系数相加 求值 先化简再代入 特别提醒：字母和对应指数在合并时不变。 针对训练 训练1 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 指出的系数与次数。 （2） 指出的系数与次数。 解第（1）题 系数，次数 数字因数是 字母指数和 解第（2）题 系数，次数 省略的数字因数是 方法：数的因数是系数，字母指数和是次数。 注意：系数的正负号不能遗漏。 针对训练 训练2 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 多项式有几项？几次？ （2） 多项式是几次几项式？ 解第（1）题 三项，二次 项为、、 最高项次数 解第（2）题 四次三项式 的次数最高 共有项 方法：按加减分项，并找最高的项的次数。 注意：分项保留符号，次数只统计字母指数。 针对训练 训练3 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 判断与是否为同类项。 （2） 判断与是否为同类项。 解第（1）题 是 字母相同 、指数分别相同 解第（2）题 不是 字母相同但指数不对应 指数与不同 方法：逐一比较所含字母和对应指数。 注意：系数不同、字母书写顺序不同不影响同类项。 方法总结 认识整式 方法1　辨认运算结构 ① 积组成单项式，和组成多项式 ② 单独的数和字母也可作单项式 方法2　分清三个概念 ① 系数看数字因数，次数看指数和 ② 多项式按项数和最高次数命名 针对训练 训练4 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 合并同类项：。 （2） 合并同类项：。 解第（1）题 系数 字母不变 解第（2）题 系数 保留 方法：同类项的带符号系数相加。 注意：字母及对应指数保持不变。 针对训练 训练5 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 化简：。 （2） 化简：。 解第（1）题 平方项系数 一次项系数 解第（2）题 分别合并项和项 方法：同类项的带符号系数相加。 注意：字母及对应指数保持不变。 针对训练 训练6 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 判断：。 （2） 判断：。 解第（1）题 错 与不是同类项 不能合并 解第（2）题 错；应为 只合并系数 指数不变 方法：同类项的带符号系数相加。 注意：字母及对应指数保持不变。 方法总结 判断同类项 方法1　逐个比较字母 ① 字母种类相同 ② 对应字母的指数也相同 方法2　排除干扰条件 ① 系数不同不影响判断 ② 字母排列顺序不影响判断 针对训练 训练7 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 化简：。 （2） 化简：。 解第（1）题 解第（2）题 同类项系数和为 可省去 方法：同类项的带符号系数相加。 注意：字母及对应指数保持不变。 针对训练 训练8 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 已知与为同类项，求m。 （2） 已知与为同类项，求。 解第（1）题 同一字母的指数必须相同 因此 解第（2）题 比较的指数 指数均为 方法：逐一比较所含字母和对应指数。 注意：系数不同、字母书写顺序不同不影响同类项。 针对训练 训练9 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 先化简再求值：，其中。 （2） 先化简再求值：，其中。 解第（1）题 原式= 解第（2）题 原式= 方法：先合并同类项，再整体代入数值。 注意：负数代入平方时要加括号。 方法总结 合并与求值 方法1　先合并 ① 带符号的系数相加 ② 字母及对应指数不变 方法2　后代入 ① 用数值整体替换字母 ② 负数代入平方时加括号 针对训练 训练10 巩固与提升 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 写出一个与同类的单项式，并说明次数。 （2） 写出一个二次二项式。 解第（1）题 例如，次数 字母及对应指数保持 系数可选非零有理数 解第（2）题 例如 恰好两项 最高次数为 第（1）题：逐一比较所含字母和对应指数。 注意：系数不同、字母书写顺序不同不影响同类项。 第（2）题：按加减分项，并找最高的项的次数。 注意：分项保留符号，次数只统计字母指数。 针对训练 训练11 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 买本单价元的书又买本相同书。用代数式表示总价并化简。 （2） 一仓库入库箱，出库箱，原有箱。现有多少箱？ 解第（1）题 元 两笔费用属于同类项 合并系数 解第（2）题 箱 合并项 第（1）题：总价等于单价乘数量。 注意：单价和总价使用相同的金额单位。 第（2）题：现存量等于原有加进库再减出库。 注意：先分清每一项表示增量还是减量。 针对训练 训练12 应用与解释 完成下面两个问题，并说明理由。 （1） 长方形长、宽。用两种写法求周长。 （2） 某月两次用水分别和，写出总用水量。时多少？ 解第（1）题 相邻两边和是 周长为 解第（2）题 ； 第（1）题：周长等于四条边的和。 注意：周长使用长度单位。 第（2）题：先求和，再代入求值。 注意：用水量的单位是立方米。 方法总结 数量关系中的整式 方法1　分别列式 ① 先写每一部分的数量 ② 同种数量再相加或相减 方法2　核对含义 ① 系数表示数量或每份数 ② 写清总价、长度、体积等单位 $