1.10 有理数的混合运算（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学七年级上册

第1章 有理数 1.10 有理数的混合运算 （第1课时）有理数的混合运算 年 级：七年级上册 学 科：数学（北京版） 情境引入 同一组数字，为什么结果不同？ 算一算 与各得多少？ 交流 前者先乘后加，后者先算括号，结果分别为和。 再想 在中，第一步应算什么？ 任务 加入负数、乘方和多层括号后，仍需先确定运算顺序。 新知讲授 概念与法则 概念与法则 同级运算中应按从左到右的顺序进行；不同级的运算，按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行。 同级 。 不同级 。 新知讲授 概念的进一步说明 概念与法则 在有括号的情形下，先做括号内的运算，再做括号外的运算；如果有多层括号，那么由里到外依次进行。 例子 。 提醒 多层括号由内向外逐层处理。 新知讲授 把五种运算分级 第一级 加法与减法。如，按从左到右计算。 第二级 乘法与除法。如，不能先算后面的乘法。 第三级 乘方。如，先算，再取相反数。 综合 ：先乘方，再除法，最后加法。 新知巩固 同级运算的方向 计算，能先算吗？ 答：不能；应为。 解 先算，再算。 若先算，就把原式改成了另一个算式。 方法：乘除同级，依次从左到右。 注意：除号后没有括号时，不能自行扩大除数范围。 新知巩固 先乘除再加减 计算：。 答： 解 先算乘法：。 再算加法：。 方法：乘法的级别高于加法。 注意：加上负数，相当于减去它的绝对值。 新知巩固 先乘方再乘法 计算：。 答： 解 先算乘方：。 再乘后加：。 方法：依次计算乘方、乘法、加法。 注意：负数的奇次幂是负数。 新知巩固 先算括号 计算：。 答： 解 括号内。 原式。 方法：先括号内，再括号外。 注意：不能把只与括号内的相乘。 新知巩固 两层括号 计算：。 答： 解 由内到外：，。 原式。 方法：多层括号从最内层开始。 注意：减去要转化为加上。 新知巩固 看最后一步是什么 的最后一步是什么运算？ 答：求一个积与一个商的差。 解 外层减号把原式分成一个积和一个商。 分别算出、，最后求差。 方法：从整体结构找最后一步。 注意：减去负的商，相当于加上它的相反数。 新知巩固 幂前负号的位置 计算：。 答： 解 ，。 原式。 方法：先分清两个乘方的底数。 注意：幂前负号不一定属于底数。 新知巩固 分数乘除连续运算 计算：。 答： 解 从左到右：。 再除：。 方法：乘除同级；也可先将除法化为乘法。 注意：除以一个非零数，等于乘它的倒数。 新知巩固 负数的括号 计算：。 答： 解 先算。 原式。 方法：先乘方，再把减法转化为加法。 注意：减去负数不是加上负数。 新知巩固 括号中的多个运算 计算：。 答： 解 中括号内先算、。 原式。 方法：括号内部仍遵守运算层级。 注意：括号前的减号要保留到最后。 新知巩固 利用分配律简算 计算：。 答： 解 分配到每一项：。 原式。 方法：利用分配律分别乘，再求差。 注意：第二项仍有减号，不能漏写。 新知巩固 纠错：先加后乘 有人计算，为什么错？ 答：没有括号时应先乘法，原式。 解 原式应先算。 再算；加括号改变了原式的值。 方法：按运算层级定位第一处错误。 注意：不能为先加法而擅自添括号。 新知巩固 纠错：先乘后除 有人把算成，为什么错？ 答：同级要从左到右，原式。 解 原式先算，再算。 错解把除数从扩大成，改变了原式。 方法：同级运算严格从左到右。 注意：“先乘除”不等于“先乘后除”。 新知巩固 多层括号中的乘方 计算：。 答： 解 先算内层：。 再算外层：。 方法：先内层括号，再乘方和外层运算。 注意：先得到负数底数，再算偶次幂。 例题讲解 例 1 计算：。 答： 解 先算括号：。 再算乘除：。 最后算减法：。 方法：先括号，再乘除，最后求差。 注意：两个负数相减时，减号不能遗漏。 例题讲解 例 2 计算：。 答： 解 先算乘方：，。 中括号内。 原式。 方法：先各自算出商与中括号内的和。 注意：分数加减先通分，外层减号要保留。 课堂练习 练习 计算，并用计算器检验计算结果： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 先算除法：。 原式。 解第（2）题 先算乘除：，。 原式。 方法：先乘方，再乘除，最后加减。 注意：同级运算从左到右；有括号先算括号内。 课堂练习 练习 计算，并用计算器检验计算结果： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 ，，。 原式。 解第（4）题 。 原式。 方法：先乘方，再乘除，最后加减。 注意：同级运算从左到右；有括号先算括号内。 课堂练习 练习 计算，并用计算器检验计算结果： （5） 解第（5）题 先算乘方：，。 中括号内。 原式。 方法：先乘方，再乘除，最后加减。 注意：同级运算从左到右；有括号先算括号内。 课堂总结 有理数的混合运算 无括号 先乘方，再乘除 最后加减 同级 按从左到右 不能先乘后除 有括号 先内后外 多层由里向外 简便运算 观察式子结构 正确使用运算律 特别提醒：同级运算从左到右，乘除之间没有谁永远优先。 针对训练 训练1 顺序入门 计算：。 答： 解 先算除法：。 再算加法：。 方法：除法先于加法计算。 注意：两个负数相加仍是负数。 针对训练 训练2 先乘方 计算：。 答： 解 先算、。 再相减：。 方法：先求幂与积，再求差。 注意：减去负的积，要加上它的相反数。 针对训练 训练3 判断运算顺序 （1）乘除同级，先乘后除。 × 同级应从左到右。 （2）有括号先算括号内部。 √ 多层括号由里向外。 （3）等于。 × 分别为和。 方法：逐项核对同级顺序、括号与底数。 注意：错误说法需说明违反的运算法则。 方法总结 计算方法梳理 方法1　分层确定顺序 ① 有括号先算括号内，多层由里向外 ② 无括号先乘方，再乘除，最后加减 方法2　核对负号与底数 ① 乘方的底数是否包含负号，要看括号 ② 减去一个负数，转化为加它的相反数 针对训练 训练4 多层括号 计算：。 答： 解 先算括号：。 再乘后减：。 方法：先括号内，后乘法，最后减法。 注意：括号前的不参与括号内的运算。 针对训练 训练5 含分数混合式 计算：。 答： 解 先算括号：。 原式。 方法：括号内先通分，再从左到右乘除。 注意：约分只针对乘法中的因数。 针对训练 训练6 错解辨析 小明算，改正计算。 答：。 解 第一处错误是先算了，应先算。 所以原式。 方法：从第一处改变运算顺序的位置纠错。 注意：乘法两侧的加减项不能先合并。 方法总结 计算与核对 方法1　逐步计算 ① 每步只完成允许先做的运算 ② 未参与运算的项及符号要照抄 方法2　查找错解 ① 从第一处不等价的等号查起 ② 同级运算不能擅自改成先乘后除 针对训练 训练7 同级从左到右 计算：。 答： 解 先除：。 再乘：。 方法：乘除同级，按从左到右计算。 注意：不能把整体当作除数。 针对训练 训练8 乘方与减法 计算：。 答： 解 先算、。 原式。 方法：先计算幂，再处理幂前的负号。 注意：偶次幂为正，不表示它前面的负号消失。 针对训练 训练9 简算也要守规则 计算：。 答： 解 利用分配律：。 又，故原式。 方法：观察分母，用分配律便于约分。 注意：简算也必须保留外层减号。 方法总结 处理变式与错解 方法1　看清乘方结构 ① 区分负数的幂与一个幂的相反数 ② 负数偶次幂为正，奇次幂为负 方法2　选择简便方法 ① 观察整数与各分母是否便于约分 ② 使用分配律时每一项都要乘到 针对训练 训练10 填括号改变结果 给添加一对括号，使结果为。 答：。 解 不加括号时。 要得到，需先算，再算。 方法：从目标结果反推要先计算的部分。 注意：只添一对括号，不改变数字与运算符号。 针对训练 训练11 应用：购买用品 班级购入本单价元的笔记本和支单价元的笔，用元付款，应找回多少元？ 答：元。 解 笔记本费用元，笔的费用元。 总费用元，找回元。 方法：各项费用求和后，再从付款中减去。 注意：找零不是总费用，结论要对应问题。 针对训练 训练12 应用：冷却与回温 液体初温℃，连续分钟每分钟降温℃，随后回升℃。最后温度是多少？ 答：℃。 解 降温总变化℃。 最后温度℃。 方法：用初温加上各阶段的温度变化。 注意：下降取负，回升取正；变化量与温度不同。 方法总结 实际问题的两步 方法1　建立混合算式 ① 明确付款与费用、初温与变化量的关系 ② 连续发生相同变化时先用乘法求总变化 方法2　检查实际意义 ① 计算结果必须对应所问的量和单位 ② 用总费用与付款、升降方向核对合理性 $