精品解析：广西部分校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

广西部分校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，结合复数虚部定义求解即可. 【详解】由于， 所以的虚部为：. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得或， 所以，所以. 3. 声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB 3096—2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22：00至次日6：00．按此标准，若某商住混合区在19：00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由 落在昼间确定声强级上限为 ，再按声强级的定义解对数不等式，把声强级限制转化为实际声强的范围. 【详解】 位于 到 之间，属昼间时段，故该商住混合区的声强级应满足 ； 由 得 ，即 ，故 ， 最大值为 ； 4. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论列式求解即可. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是. 故选：A 5. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设正数等比数列的公比为， 由等比数列通项公式： ，已知， ， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当时取等号（取得最小值）， 解方程：，，舍去负根， 再利用等比数列性质，， ，. 6. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解. 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定点的横坐标，再结合双曲线渐近线方程求出点的纵坐标，已知，在中，用、、表示，即可得到，进而求解离心率 【详解】对于双曲线，设半焦距为，满足， 左右焦点为，离心率， 由轴，得横坐标为，不妨令在渐近线上，代入得， 是直角三角形，直角在处，记， 已知，则，， 又，所以， 则，因此. 8. 一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A、D作差分解后符号不能确定，分别用与的反例否定；B、C直接由同向不等式可加性与不等式两边同加同一个数的不变性证得. 【详解】由得，，，； 对于A，，由知该差的符号由的符号决定， 取，，得，A错误； 对于B，由与相加得，B正确； 对于C，由两边同加得，C正确； 对于D，，由知仅当时才有， 取（此时）得，D错误. 10. 已知等差数列的前n项和为，前n项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用等差数列的通项公式，结合已知的和两个条件，求解首项​和公差，得到的通项公式.对于​，将得到的通项代入后得到关于的二次函数，结合为正整数的条件分析其最小值；对于，通过判断数列各项正负，确定​取最小值时对应的；对于​，分析各项的正负情况，通过比较不同对应的的正负，判断最小值对应的位置. 【详解】已知是等差数列，设公差为： 选项，由等差数列通项公式，代入，： ， 解得，，因此，错误； 选项，，看作关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 因为取正整数，比较和可知当时取得最小值：，正确； 选项，由，令得，即前8项均为负，从第项开始均为正数，因此​的最小值为，正确； 选项，由选项知数列的前8项均为负，因此是7个负数相乘，结果为负，而​是8个负数相乘，结果为正. 当时，均为正数，此时恒为正数.因此的最小值为，正确. 11. 已知函数满足：，，，且，则（ ） A. B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 为偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令得到，令即可判断A；令即可判断B；令可判断C，结合BC可得函数为周期函数，周期为，即可求出，可判断D. 【详解】令，则， 又，则，所以， 令，则，故A正确； 令，则，即， 所以直线为的图象的一条对称轴，故B正确； 令，则， 因为且不恒为，则， 又定义域为，定义域关于原点对称，所以为奇函数，故C错误； 由可知， 又，所以，即， 则，所以函数为周期函数，周期为， 由得，， 所以， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】若两个非零向量互相垂直，则它们的数量积为0. 因为向量，，， 所以，解得. 将代入得，根据向量加法的坐标运算规则， 得. 根据平面向量模长公式：若向量，则， 代入得：. 13. 有4张卡片，有一张卡片上标有数字0，有两张卡片上分别标有数字1，2，另一张卡片的两面分别标有数字3，4，将这4个卡片摆在一起，使4张卡片上4个数字组成一个四位数，则这样的四位数共有__________个． 【答案】36 【解析】 【详解】两面分别标有数字3，4的一张卡片选择一面数字，有种方法； 4张卡片上4个数字组成一个四位数，千位不能为0，有种方法； 百位、十位、个位由余下的3个数字全排列，有种方法， 所以这样的四位数共有个． 14. 设抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设与相交于点.若，且的面积为是抛物线上的一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，分析可得点纵坐标为，结合面积可得，设，结合两点间距离公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：焦点，准线，则， 由对称性不妨设，则，解得， 将点代入，可得，即， 由得，可知点纵坐标为， 则的面积为，解得， 所以抛物线方程为，点坐标为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 所以当点是抛物线的顶点时，取最小值3. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2） 的分布列为 0 1 2 1 【解析】 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 【小问2详解】 根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点为的中点，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式化条件为，再由三角形内角和性质求得，最后应用二倍角余弦公式求值； （2）利用余弦定理及得、，从而得，再由平方关系求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 所以，即， 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以， 所以， 在中，由余弦定理，得， 所以， 综上，，又，，所以， 所以. 17. 如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 由题意得，. 四边形为平行四边形， ，. 又，， ，， 四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先由几何知识证明，再结合线面平行即可求解证明； （2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，四边形为矩形. 又平面平面，，，. 则以点为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为. 则，即， 令，可得， 设求与平面所成角为， 所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 18. 已知椭圆的左顶点为，点是C上的一点． （1）求C的方程； （2）已知圆，点G是C上的动点，以EG为直径的圆交圆E于F，H两点，求四边形EFGH的面积的最小值； （3）过点的直线l交C于M，N两点，点Q是线段MN上异于M，N的一点，且，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据顶点及点在椭圆上列方程计算求解即可求解； （2）根据垂直关系得出面积结合椭圆方程及二次函数最值计算求解最小值； （3）先设直线，再联立结合韦达定理及弦长公式，最后得出点Q在定直线上即可证明； 【小问1详解】 由题意知 解得，， 所以C的方程为． 【小问2详解】 解：以EG为直径的圆交圆E于F，H两点，所以，， 所以， 所以四边形EFGH的面积， 设，则，所以，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以四边形EFGH的面积的最小值为． 【小问3详解】 证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，易得，或，，此时． 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，， 由得， 则 ， 解得或，所以，， 因为，所以，即，即， 解得，所以 ，所以点Q在直线上， 又直线是线段AP的垂直平分线，所以 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的值表示出切线方程，代入点可求结果； （2）根据和进行分类讨论，由此确定出单调性； （3）当时，将问题转化为“” ，当时，将问题转化为“” ，然后构造函数并分析新函数的单调性，通过分类讨论并结合新函数的端点值确定出满足要求的的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， ，所以曲线在点处的切线为， 又切线过点，所以，所以. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得；由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，在上单调递增，由知时，， 当时，由（2）知当，即时，对成立， 所以时，存在正实数，使得对，从而化为， 当，即时，由（2）知在上单调递减，， 化为，即， ①时，令，则， 当时，在单调递增，存在正实数，使得对， 当时，由得，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 要存在正实数，使得对，则，所以； ②当时，令， 要存在正实数，使得对， 则存在正实数，使得在上单调递减，即对成立， 当时，，此时单调递增，不符合题意， 当时，由得，从而，所以. 综合①②知，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西部分校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB 3096—2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22：00至次日6：00．按此标准，若某商住混合区在19：00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在的一条渐近线上，与轴垂直，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件相互独立 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，前n项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数满足：，，，且，则（ ） A. B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 为偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 有4张卡片，有一张卡片上标有数字0，有两张卡片上分别标有数字1，2，另一张卡片的两面分别标有数字3，4，将这4个卡片摆在一起，使4张卡片上4个数字组成一个四位数，则这样的四位数共有__________个． 14. 设抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设与相交于点.若，且的面积为是抛物线上的一点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点为的中点，，，求的面积． 17. 如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左顶点为，点是C上的一点． （1）求C的方程； （2）已知圆，点G是C上的动点，以EG为直径的圆交圆E于F，H两点，求四边形EFGH的面积的最小值； （3）过点的直线l交C于M，N两点，点Q是线段MN上异于M，N的一点，且，求证：． 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $