精品解析：广西壮族自治区贺州市部分校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，，集合，集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A. 10 B. 16 C. 32 D. 64 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 10. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为 B. 与的等比中项为 C. D. 当取得最大值时，或6 11. 抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为4 B. 若点的坐标为，则周长的最小值为9 C. 当时， D. 以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 13. 已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 14. 在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在频率分布直方图中，如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈左偏分布；如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈右偏分布．在某市的教师招聘考试中，随机抽取50名考生对他们的笔试成绩进行统计，将结果绘制成如下的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，请判断这50名考生笔试成绩的分布情况； （2）若考生的笔试成绩不低于130分视为优秀，用频率估计概率，现从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取5名考生，笔试成绩优秀的人数用表示，求的数学期望与方差． 16. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，. （1）当时，求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，，，分别是角，，的对边，若且． （1）求； （2）设角的平分线交边于点，求长度最大值． 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为4． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方．射线AP，BP分别交于点R，S，直线PF交于另一点Q． （i）求直线AR与BQ的斜率之比 （ii）若△PAB与△PRS的面积相等，求直线AS的斜率． 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，即，，． 2. 已知，，集合，集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则，， ， 所以， 则． 3. 等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，且，． 4. 在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】取中点，连接，，过点作，由条件可得三棱锥是正三棱锥， 所以为三棱锥的高，且为的中心，则， 所以，则． 5. 已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于为等腰直角三角形，所以，通过双曲线的性质可知，整理可得，最后求得的离心率. 【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即， 整理得，即， 解得或（舍），所以． 6. 甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A. 10 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先把甲乙捆绑，丙丁捆绑，再把站队分成三步完成，第一步：第一排甲乙必须站在一起；第二步：丙丁必须站在一起；第三步：剩下2人全排列.三步方法数相乘即可. 【详解】第一排甲乙站一起有两种可能，同理第二排丙丁站一起也有两种可能， 甲乙和丙丁内部顺序分别为：，，其他人直接全排列， 所以有种． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解． 【详解】由，得，得， 则． 8. 定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题目的已知条件可以推出函数在R上单调递减且为奇函数，结合单调性和奇偶性可以将转换为，然后推出的取值范围，最后求出的取值范围. 【详解】对任意，（），都有，所以函数是上的减函数．函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数关于中心对称，所以函数关于对称，即是奇函数． 由, ，，由， 因为，由． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则两圆外离 B. 若两圆相交，则 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 10. 设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A. 数列的公差为 B. 与的等比中项为 C. D. 当取得最大值时，或6 【答案】ACD 【解析】 【详解】A.设等差数列的公差为，由，得 解得，A正确； B.∵，，∴与的等比中项为， 而，B错误； C.由等差数列求和公式得，C正确； D.∵，,对称轴为，开口向下，∴当取得 最大值时，或6，D正确. 11. 抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为4 B. 若点的坐标为，则周长的最小值为9 C. 当时， D. 以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线性质判断A选项；利用抛物线定义将进行转化，再利用三角不等式求周长的最小值判断B选项；利用抛物线定义将进行转化后判断C选项；将直线方程与抛物线方程联立消元得到韦达定理，表示和点坐标，得到到轴的距离，进一步表示，再利用函数性质求最值即可判断D选项. 【详解】对于A，由直线：与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当，，共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率为，故，C错误； 对于D，由，得，， 所以，则， ，到轴的距离为， ，当且仅当时取得等号，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 【答案】1 【解析】 【详解】对于等式， 令得：， 所以. 13. 已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题得，解得， 可得的定义域为. 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称， 所以，则， 此时，满足为偶函数. 当时，，则， 所以， 则在处的切线方程为. 14. 在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设满足题意的动点为，求得点在平面的投影点，并结合几何关系，求得的长度，即可判断的轨迹为圆弧，再根据弧长公式计算即可. 【详解】设平面的中心分别为，连接， 设球与底面的交线上一个动点为，作图如下： 因为为正三棱台，故面，且// 在中，；在中，； 取中点为，则//，且，故四边形为平行四边形，故//，则面 ； 连接，又面，故； 在中，，则， 故点的轨迹是以为圆心，且为半径的圆弧上，如图所示，也即弧； 又底面为等边三角形，故， 又在以为圆心，且为半径的圆上，所以弧所对的圆心角为， 由弧长公式可知弧的长度为. 也即球与底面的交线长是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在频率分布直方图中，如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈左偏分布；如果一组数据的众数中位数平均数，我们称这组数据呈右偏分布．在某市的教师招聘考试中，随机抽取50名考生对他们的笔试成绩进行统计，将结果绘制成如下的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，请判断这50名考生笔试成绩的分布情况； （2）若考生的笔试成绩不低于130分视为优秀，用频率估计概率，现从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取5名考生，笔试成绩优秀的人数用表示，求的数学期望与方差． 【答案】（1）50名考生笔试成绩呈左偏分布 （2）， 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图，根据平均数、中位数、众数的定义求解判断即可； （2）分析可得，再根据二项分布的期望、方差公式求解即可. 【小问1详解】 估计笔试成绩的平均分为： ； 前3组的频率为， 前4组的频率为， 所以中位数在内，设笔试成绩的中位数估计为， 则，解得，所以笔试成绩的中位数估计为119； 估计笔试成绩的众数为125． 因为众数中位数平均数，所以这50名考生笔试成绩呈左偏分布． 【小问2详解】 由题意，成绩优秀的频率为， 则估计从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取1人，为优秀的概率为， 由题意可得， 所以，． 16. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且，. （1）当时，求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形， 以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 根据已知条件得、、、、， 当时，，则， 所以，，， 所以，， 所以，， 又，、平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，则， 当时，点，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以， 故当时，求直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，，，分别是角，，的对边，若且． （1）求； （2）设角的平分线交边于点，求长度最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和转化，代入原式化简可得，结合，利用正弦定理边角互化得到，最后结合角的范围求出角. （2）先利用余弦定理建立，关系，并利用不等式求出，再利用等面积法建立等量关系，得到，最后再利用基本不等式求出长度的最大值. 【小问1详解】 由题意，， ，整理得：， ，，，又，， 由正弦定理得：，， ，，即，，. 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以， 当且仅当时等号成立．故长度的最大值为. 18. 已知椭圆的离心率为，焦距为4． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在上且位于x轴上方．射线AP，BP分别交于点R，S，直线PF交于另一点Q． （i）求直线AR与BQ的斜率之比 （ii）若△PAB与△PRS的面积相等，求直线AS的斜率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦距求解即可； （2）（i）设直线的方程为，联立椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式化简即可得解；（ii）由三角形面积相等可得，设直线方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i），设直线的方程为， 与联立得：． 设，则， 于是 又，故． （ii）由与的面积相等，得与的面积相等， 故有． 延长交于点，因为， 由椭圆的对称性知，四边形ATBR为平行四边形，故． 设直线方程为， 与椭圆方程联立得：， 设， 则， 故， 得， 得， 得， 解得． 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）是“H函数”， 不是“H函数”，理由如下： 对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，故不是“H函数” （2） （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故 【解析】 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即，即实数a的取值范围为 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $