广西壮族自治区柳州市柳江中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则 A． B． C． D． 2．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 3．圆和圆的公切线条数为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．记为等比数列的前项和，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．甲、乙、丙三个社区开展活动，某中学派出五名学生参与活动，若每个社区都要有该校学生参与活动，且乙社区只需要一名该校学生参与活动，则不同的安排方式共有 A．60种 B．70种 C．100种 D．120种 6．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，且的内切圆半径为，则的周长为 A．20 B．21 C．22 D．23 7．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为 A． B． C． D． 8．已知，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正四面体的棱长为2，则 A．正四面体的体积为 B．和的距离为 C．正四面体的外接球表面积为 D．二面角的正切值为 10．已知函数，设和为函数的两个极值点，则 A．存在使得为曲线的对称中心 B．不存在使得只有一个零点 C．若，则当时， D．若，则与两点间的距离最小 11．设和为单位圆上两点，且曲线交单位圆于，两点，曲线交单位圆于，两点，则 A．的面积大于的面积 B．和的面积之和小于 C．的三边所在的直线的斜率之和小于 D．的三边所在的直线的斜率之和小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，满足，则__________________． 13．函数的最小正周期为__________________，最大值为__________________． 14．在人工神经网络中，单个人工神经元输入与输出的关系可以称为激活函数，逻辑函数是一种常用的激活函数．定义，若，则__________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记为数列的前项和，已知数列是等差数列，，． （1）求和的通项公式； （2）记为数列的前项和，证明：． 16．（15分） 生物多样性是衡量生态系统稳定性的重要指标．香农-威尔指数常用于评估生态系统的生物多样性，其公式为，其中为第种生物所占比例，为物种数目．值越高代表生物多样性越高．为研究影响生物多样性的因素，某实验小组构建了A、B、C三个微型生态系统，各微型生态系统的物种构成如下： 物种1 物种2 物种3 物种4 A 12 72 60 36 B 45 45 45 45 C 60 60 60 0 （1）从三个微型生态系统中各取一生物个体，若取出的三个个体是同一物种，求取出的个体属于物种3的概率； （2）计算微型生态系统A、B各物种个体数的均值和方差，并由此说明数据分布特征； （3）比较三个微型生态系统生物多样性的大小，并分析影响生物多样性的因素． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，． （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值． 18．（17分） 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，求； （2）证明：在定义域上单调的充要条件是； （3）若有两个符号不同的零点，求的取值范围． 19．（17分） 已知抛物线：（）的焦点与椭圆：的一个焦点重合． （1）求的方程； （2）在直线上，，是的两条切线，，是切点，，，在直线上，，分别是中边上的中线和高线，是的角平分线； （ⅰ）证明：，，三点共线； （ⅱ）若的横坐标，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BC 10．ABD 11．BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（13题第一空2分，第二空3分） 12．0 13．， 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）根据已知条件，有（）， 即（），所以数列是公比为的等比数列． （2分） 当时，有，解得． （3分） 所以数列的通项公式为． （4分） 设数列的公差为，那么 ，，解得，． （5分） 所以数列的通项公式为． （6分） （2）根据（1）中求出的通项公式，． ，，两式作差得 ． （10分） 再根据已知条件，． （11分） 所以，即． （13分） 16．（15分） （1）从三个微型生态系统中各取一生物个体，记“取出的三个个体是同一物种”为事件M，“取出的个体属于物种3”N． （1分） ． （2分） ． （3分） 所以所求条件概率为． （4分） （2）根据平均数和方差的公式，平均数，方差． （6分） 代入数据计算得： 微型生态系统A各物种个体数的均值为45，方差为531； 微型生态系统B各物种个体数的均值为45，方差为0． （7分） 数据分布特征：对于微型生态系统A，数据均分布在平均值两侧，方差大，分布离散（分散）；对于微型生态系统B，数据聚集分布在平均值上，方差小，分布集中． （9分） （使用“离散”“集中”等描述数据分布的词汇阐述结论，意思对即可） （3）根据香农-威尔公式，可以计算三个微型生态系统的多样性指数： 微型生态系统A：； 微型生态系统B：； 微型生态系统C：． （11分） 比较A和B：； 比较A和C：； 所以生物多样性：． （13分） （比较B和C也可以，只要以合理方式分析并得到最终结论即可） 影响生物多样性因素：物种数目（比较B和C），物种均匀度（比较A和B）． （15分） （通过比较得出相关结论，整体意思对即可） 17．（15分） （1）因为，所以． （1分） 又因为，，所以面． （2分） 因为在面内，所以． （3分） 又因为侧面是菱形，所以． （4分） 又因为，所以面． （5分） 因为在面内，所以． （6分） （2）不妨以为原点，、、垂直于平面向上的方向分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，那么，，，，． （8分） 所以，，． （9分） 设面和面的一个法向量分别为，． （10分） 不妨取，． （12分） 设二面角的大小为，那么． （14分） 所以， 即二面角的正弦值为． （15分） 18．（17分） （1）因为，所以． 所以，． （2分） 所以曲线在点处的切线方程为． （3分） 令，得，其中，否则无法构成三角形． 所以三角形的面积为，解得或． （5分） （2）先证明必要性：在定义域上单调推出． （ⅰ），在上递减，在上递增； （ⅱ），在上递减，在上递增； （ⅲ），，在定义域上递增． 因此若在定义域上单调，必有． （8分） 再证明充分性：推出在定义域上单调，即（ⅲ）． （9分） 综上所述，在定义域上单调的充要条件是． （10分） （注意充分性与必要性的论证逻辑，逻辑混乱或相反的不得分） （3）首先，一定不满足条件，因为此时函数单调． （11分） （ⅰ），在上递减，在上递增， 若有两个零点，至少有，， 但此时极值点，，， 这说明较小的零点落在区间内，大于0，因此较大的零点也大于0， 两个零点同号，不合题意，舍去． （14分） （ⅱ），在上递减，在上递增， 若有两个零点，至少有，， 此时极值点，，说明两个零点异号． （16分） 综上所述，的取值范围为． （17分） （注：部分地区高考要求取点证明零点存在性，评分标准可能有差别） 19．（17分） （1）根据椭圆的参数关系，，从而焦点为（负舍）． （2分） 根据焦点重合，一定有，从而，所以的方程为． （4分） （2）已知是的角平分线，即，若要证明，，三点共线， 只需证明． （5分） 设，，． 由此，直线和的方程分别为 ，． 代入的坐标得 ，． 由于，满足同一方程，因此直线的方程为 ，即． （7分） 联立曲线和直线得，从而，． （8分） 根据弦长公式，，． 根据抛物线的定义，，． 又因为， 所以． 因此，从而，故命题得证． （10分） （采用其他证明方法得到结论也可得满分） （3）由于，，无需考虑三点重合的情况． 根据（2），，代入直线的方程得 中线与的交点坐标为． （11分） 高线与直线垂直且过点，因此可写作． 与曲线联立得高线与的交点坐标为． （13分） 角平分线与共线，因此可写作直线，即． 与曲线联立得角平分线与的交点坐标为． （15分） ． （16分） 所以． 因此． （17分）（采用其他放缩方法进行证明得到结论也可得满分） 学科网（北京）股份有限公司 $