31.3 相似三角形的应用&31.4 位似-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

108【解折1设矩形长为，则完为5，：矩形ABCD 的用长为85+82x(5气)85+8，解得8 11.解：(1)83° (3分) (2):四边形ABCD一四边形A'BC'D,:==9 8116 33 解得x=12,y=2 (10分) 相似三角形 1.C 2.B 【知识总结】相似三角形的判定：1.两角分别相等的两个 三角形相似；2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相 似；3.三边成比例的两个三角形相似.4.斜边和一直角 边成比例的两个直角三角形相似. 3B【每折小提SSA1 GDF,∠p ∠C,∠A=70°，∠B=60°，.∠C=180°-70°-60°= 50°，.∠F=50°.故选B. 4.C【解析】小：DE∥BC,.∠AED=∠C,EF∥AB,.∠A LCEF AAED△BCP,心(2，Sae ECF 元22 16,S8c=4,4 AC3,:DE/BC,△ADE △ABC, =(0=5a=165a=36, ..S e=36-16-4=16.故选C. 5.B【解析】小：CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠DCB,:DM∥ CB,∴.∠MDC=∠DCB,∴.∠MDC=∠ACD,∴.MD=MC, :DM∥BC,.△ADM~△ABC,DM=AMDM BC=AC,3 2-DN=号放选B 2 6.D 7.B【解桥：DE/Bc0格22,1EA0 CA 3'BC AB 路 3AF:FC=1:2,AF:AC=1:3,.AF=EF=EC, 手 EG:BC=1:2.设EG=m,则BC=2m,DE=4m 3 m,DG= 3m-m=3m DG:CE=In 4 1 3mm=13.故选B. 8.√2+19.9 10.3或4.8【解析】设运动时间为x秒，根据题意：AD= xcm,CE=2xcm,则AE=(12-2x)cm,当△ADE△ABC, 0=4BL名-22，解得x=3;当△ADB∽△ACB 六ABAC 40AB·=12-2x,解得x=4.8 AC AB'126 11.(1)解：如图，点D是所求作的点， (4分) A -7 -- 1A21-11-19 (2)证明：AB=√T2+22=√5，BC=5,BD=1, BD BA √5BA5,BDBA 5’BC=5·BABC (8分) ∠DBA=∠ABC,∴.△ABD△CBA. (10分) 12.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.∠C+∠B= 180°，∠ADF=∠DEC..·∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE= 追梦之旅铺路卷·九年 ∠B,∴LAFD=LC,△ADFn△DEC; (5分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=8. E△ADF△DECA=CDE=AD.GO-6V3X8 AF 4/3 =12. (10分) 13.解：(1)∠A=40°，∠B=60°，∠ACB=180°-60°- 40°=80°，∴△ABC不是等腰三角形，CD平分 ∠ACB,.∴.∠ACD=∠BCD=40°，∴.∠ACD=∠A=40°，. △ACD为等腰三角形，.·∠DCB=∠A=40°，∠CBD= ∠ABC,∴.△BCD∽△BAC,∴.CD是△ABC的完美分割 线 （3分) (2)①当AD=CD时，∠ACD=∠A=48°，.'△BDC∽ △BCA,∴.∠BCD=∠A=48°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD =96°. (4分) ②当AD=AC时，∠ACD=∠ADC=180,48”=66°， 2 △BDCM△BCA,∴.∠BCD=∠A=48°，.∠ACB= ∠ACD+∠BCD=114°. (5分) ③当AC=CD时，∠ADC=∠A=48°，△BDC∽△BCA, .∠BCD=∠A=48°，但∠ADC>∠BCD,∴.矛盾，舍弃. .∠ACB=96°或114°. (6分) (3):△BCD△BAC,-BABC BC BD 设BD=x,.(2)2= x(x+2),:>0,x=5-1.△BCD△BAC,AC CD 8D-51cD=6-2 (10分) BC2 相似三角形的应用 1.B 2.C【解析】.·∠D=∠D,∠DEF=∠DCB,∴.△DEF∽ △D0B华-总甲号温解释6C-0mAC- 150cm,.AB=AC+BC=550cm,即树高550cm.故选C. 3.B4.B5.B 6.B【解析：AB/CE,△ABD∽△ECD,CDED, BD AD BC=3米，CD=5米，AE=1.5米，.BD=3+5=8(米)，AD =(DE+1.5)米，5= S03,解得DE=25米.故选 B. 7.10 8.4【解析】根据题意可得△EOF∽△EDC,△AB0∽ CD DE CD OD △GD0,四边形AB0F是矩形，F00E·A80B=2, OF=AB,即DE-120E-=2,解得OB=4em,即凸透镜MN OEOE 的焦距OE的长为4cm. 9.24【解析】设正方形零件的边长为acm,AD交HM于点 、O,HM∥BC,△AHM一△ABC,B=A%,即2%= 80 60-a 60,a=24,.正方形的边长为24cm. 10.解：(1)设DE=xcm,则AD=(8-x)cm,根据题意得：3×3 ×(8-)+分×3x3x=3x3x6,解得x=4,DE=4em (4分) (2).:∠E=90°，DE=4cm,CE=3cm,∴.CD= √DE2+CE=√42+3=5(cm),∠BCE=∠DCF= 90°，·.∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB,∴.∠DCE= ∠BCF. （6分) :∠DEC=∠BFC=90°，∴.△CDEM△CBF,∴. CE CD CF CB' 即3、5 CF8.∴.CF=cm (8分) 级·RJ·数学第29页 11.解：由题意得：DA⊥AC,∴.∠DAC=90°，∠ACB=35, .∠ABC=180°-90°-35°=55°.∠AED=55°， ∠AED=∠ABC,.·∠DAC=∠BAC,∴.△BAC∽△EAD, (5分) :Ag-4C14。-108+9,2,解得：4D=108, 六AEAD心108w4D 7,BD= AD-AB≈1.4，.教学楼顶部宣传牌BD的高度约为1.4 米 (10分) 位似 1.B2.B3.D4.B5.12 63 2 【解析】：△ABC与△DEF位似，其位似中心为点 △MBC△DEF,-0B-2△ABC的周长 DEOE=5,·△DEF的周长 2 5,△DEF的周长=5x5=25 22 7.(0,-1) 8.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求； (3分) (2)A(0,-4)、B1(-2,-6)、C1(-4,-2). (9分) 第三十二章锐角三角函数 正弦、余弦与正切 1.A2.D3.A 4.B【解析】-sin60=-3 ,c0s60° 2点M(- 2 》,点M关于：的对称的点金标为(-5，》，故选 B. 5.B 6.A【解析】A.a=30°，B=60°时，y=c0s60°=7；B.a= 60B=30时，y=n60=;Ca=30,B=45时，y c0s45°= 2D.a=45°，B=30°时，y=sin450= 2故选A 7.D【解析】小：(tanB-√3)(2sinA-√3)=0，∴.tanB-√3=0 或2an-3=0,即amB=3或i4-∠B=60°或 LA=60°..△ABC有一个角是60°.故选D. 8962 10.90° 11.√3【解析】小.四边形ABCD是矩形，∴.OA=OC,∠ABC 90AB=1.BC=3.tan LACB=AR3 BC3,·OE1 AC,.OE垂直平分AC,.AE=EC,.∠EAC=∠ECA, tan∠EA0=-tanLACB=y31 =3,六am2B40的值为，3. 22*2+3x91 12.解：(1)原式=1+2x2 322+1=2; (3分) 2原武=（月2*9 1-1-1=3+1+1-3 423. (6分) 追梦之旅铺路卷·九年 （9原式2x号w5-2*×停18-号1r 21 (9分) 13.解：过点B作AC的垂线，垂足为M.在Rt△ABM中， c04s 2∠A=30 (4分) 1 :AB=6,BM=2AB=3,.边AC上的高为3.(9分) 14.解：∠A=60°，tanM=√3.把x=√3代人方程得 2(5)2-33m+3=0,解得m=√3. (4分) 把m=√3代入方程得2x2-33x+3=0,解得x1=√3，x2= 3 2cosB=/3即∠B=30.∠C=90°，即△ABC是 2 直角三角形. (9分) 15.解：(1)AF⊥BC,.∠AFB=90°，在Rt△ABF中，AB= √AF2+BF=√3+1产=√10，点E是AB的中点， EF-1AB-10 2 (3分) (2)延长FE交DA的延长线于点G,连接FD,:四边形 ABCD是平行四边形，.AD=BC=BF+FC=4,:AG∥ BC,.∠GAE=∠B,∠DAF=∠AFB=90°，：点E是AB 的中点，.∴.AE=BE,,·∠AEG=∠BEF,∴.△AEG≌ ABEF..Ac=-r=1,G=B=Gm=5,（5分) 在Rt△FAD中DF=√AF2+AD2=5,.△DGF是等腰三 角形，GE=EF,.DE⊥GF,在Rt△DEF中，DE= 10 tan∠ADE=CE2 VDP-EF-31 1 DE3103 2 (10分) 解直角三角形及其应用 1.A2.D3.A 4.B【解析】CD∥AB,DE⊥AB,CF⊥AB,.DE=CF, 扶梯AD的坡比为1：，DE 1,AD=4米，.AE=DE AE 路 BF2BF=4V2米，BC CF 1 =22米，.CF=22米， =√(22)2+(42)2=2√10（米）.故选B. 5.c 案 6.D【解析】延长OD,BC交于点P.由题可得∠PDC= ∠B=90°，OB=11米，∠PCD=60°，∴.∠P=30°，PB= 0-13大，Pc=Gp=4米，BC=PBPC OB (11W3-4)米.故选D. T7【解析]连接EB,D是AB的中点，DE上AB,一DE 是AB的垂直平分线，∴.EA=EB.设EC=3k,则AE=BE= 5k,AC=5k+3k=8k.在Rt△BCE中，BC=√(5k)2-(3k)2 =4,在Rt△ABC中，tanM=BC_4k_1 AC 8k2 8.8或24【解析】当△ABC是锐角三角形时，如图1， BD 8 BC=6,C02,心BD=4amB=的=子2：10= 3 1 .8 Sc=2BC·AD=2×6x兮=8；当△ABC是钝角三角 2 形时，如图2，BC=6,C0=2,…BD=12.anB=A0 BD 级·RJ·数学第30页相似三角 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.如图，道口栏杆短臂OA长1m,长臂OB长 8m,当长臂外端B升高4m时，短臂外端A 下降的距离是( A.0.6m B.0.5m C.0.4m D.0.3m 0 第1题图 第2题图 2.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置， 设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点 B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面 的高度AC=150cm,CD=800cm,则树高AB 等于() A.300 cm B.400 cm C.550 em D.都不对 3.如图，小明在8：30测得某树的影长为 16m,13:00又测得该树的影长为4m,若 两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高 度为( A.10 m B.8 m C.6m D.4m 8:30 米13：00 米 第3题图 第4题图 4.如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成 像装置，他在距离纸筒50cm处准备了一支 蜡烛，其中纸筒长为10cm,蜡烛长为15 cm,则这支蜡烛所成像的高度为( A.2.5 cm B.3 cm C.3.75cm D.5 cm 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 形的应用 测试分数：45分 5.如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高 度的示意图.点P处放置一水平的平面镜， 光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古 城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD,CD⊥BD, 测得AB=1.5m,BP=2m,PD=6m,则该古 城墙的高度CD是( A.3mB.4.5m C.8 m D.5 m B D 第5题图 第6题图 6.如图，阳光平行通过窗口AE射到室内，在 地面上留下3米宽的亮区BC,已知亮区BC 到窗口下的墙脚的距离CD=5米，窗口高 AE=1.5米，那么窗口底部离地面的高度 DE为( A.2米 B.2.5米 C.3米 D.4米 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.如图，小明在打网球时，他的击球高度AB= 2.4米，为使球恰好能过网（网高DC=0.8 米)，且落在对方区域距网5米的位置P 处，则他应站在离网 米处 第7题图 第8题图 8.跨学科试题·物理在初中物理课程中，我们 学过凸透镜的成像规律，如图MN为凸透 镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜MN的光 心，E为凸透镜的焦点.在凸透镜MW左侧 的主光轴上垂直放置一个蜡烛AB,透过凸 透镜后成的像为CD.平行于主光轴的光线 九年级·RJ·数学第30页 AF,通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线 A0汇聚于点C.若物距OB=6cm,像距OD =12cm,则凸透镜MN的焦距OE的长 为 cm 9.如图，一块三角形余料 ABC,它的边BC=80cm, 高AD=60cm.现在要把它 F D N 加工成如图所示的两个大 小相同的正方形零件EFGH和FGMN,则正 方形的边长为 cm 三、解答题（共18分）》 10.(8分)如图1，将长、宽均为3cm,高为 8cm的长方体容器放置在水平桌面上，里 面盛有水，水面高为6cm,绕底面一棱进 行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘， 图2是此时的示意图，将这个情景转化成 几何图形，如图3所示. (1)利用图1、图2所示水的体积相等，求 DE的长； (2)求水面高度CF. 容器回 边缘 水面A( 高度B 图1 图2 图3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 11.新考法·项目式学习(10分)数学老师组 织学生开展测量物体高度的实践活动，小 明所在小组的任务为测量教学楼顶部宣传 牌的高度.他们制定了测量方案进行实地 测量，完成了如下的测量活动报告： 请你根据活动报告求出教学楼顶部宣传牌 BD的高度（精确到0.1m). 课题 测量教学楼顶部宣传牌BD的高度 目的利用相似三角形的知识解决实际问题 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 如图，小明在地面上的点 C处安装一测角仪，测得 ∠ACB=35°，然后沿CA 方向走到点E处，在点E 测量 处安装一测角仪，此时， 方案 测得∠AED=55°，同时测 及示 E 得CE=9.2m,AE=10.8 意图 m,从房管物业处查询到 建筑物AB=14m,利用激 光笔测得点A、点B和，点 D在一条直线上 已知图中所有，点均在同一平面内，DA 说明 ⊥CA,测角仪与地面的距离忽略不计 安全 测量过程中注意自己及他人的安全 九年级·RJ·数学第31页 位 测试时间：25分钟 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.如图，D,E,F分别是OA,OB,OC的中点，下 面的说法中不正确的是() A.△ABC与△DEF是位似图形 B.△ABC与△DEF的相似比为1：2 C.△ABC与△DEF的周长之比为2：1 D.△ABC与△DEF的面积之比为4：1 第1题图 第2题图 2.如图，△ABC和△A,B,C,是以点O为位似 中心的位似三角形，若C,为OC的中点， S△4B6,=3,则△ABC的面积为() A.15 B.12 C.9 D.6 3.在△AB0中，已知点A(-6,3),B(-6,-4), 以原点0为位似中心，相似比为子，把 △AB0缩小，则点A的对应点A'的坐 标是( A.(-2,1) B.(-8,4) C.(-8,4)或(8，-4)D.(-2,1)或(2，-1) 4.如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角 坐标系的第二象限内，①号“E”与②号“E” 是位似图形，位似中心为原点0，位似比为 3:1.点P(-6,9)在①号“E”上，则点P在② 号“E”上的对应点Q的坐标为( A.(39 y 24) B.(-2,3) ① c(- ② D.（-3,2) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 似 测试分数：30分 二、填空题（每小题3分，共9分）》 5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,0), D(6,0),△ABC与△DEF位似，原点0O是 位似中心，若AB=4,则DE= OA D 第5题图 第6题图 6.如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为 点0，H2器-号若△BC俗同长为5，则 △DEF的周长为 7.如图，若△ABC与△AB1C1是位似图形，则 位似中心的坐标是 ... 三、解答题（共9分） 8.(9分)在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 坐标分别为A(0,2),B(1,3),C(2,1) (1)以0为位似中心，在x轴下方画出与 △ABC位似比为1：2的位似图形△AB,C1; (2)写出A1,B1,C1的坐标. 九年级·RJ·数学第32页