河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十五章第四节）

冀教版九年级数学上册 第二十五章 图形的相似 25.4 相似三角形 分层作业 一、作品基础信息 项目 具体内容 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十五章 图形的相似 课题 25.4 相似三角形 课时安排 1课时 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约30分钟（A组约13分钟，B组约12分钟，C组约5分钟） 设计理念 面向全体、分层递进、数形结合、注重推理 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域，要求学生通过具体实例认识相似三角形，理解“三个角分别相等、三条边成比例”这一本质特征，掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，并能运用“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”进行简单的判断与计算，发展几何直观、推理能力和应用意识。相似三角形是全章的核心，它把“形状相同”落实为“对应角相等、对应边成比例”，既是相似图形知识的自然延伸，又是后续学习相似三角形的判定、性质与应用的基础，还是研究锐角三角函数、圆中线段关系的重要工具。本次作业以“概念—性质—判定（平行线法）”为主线，通过辨认、计算、证明与建模等活动，帮助学生准确把握相似三角形的含义与由平行线判定相似的方法，体会由“形”到“数”的转化。 （二）教材分析 “25.4 相似三角形”是第二十五章“图形的相似”的第四节内容。教材先由“在 的边 、 上取点 、，使 ”的动手实验引入，通过测量发现“对应角相等、对应边成比例”，归纳出相似三角形的定义；随后对比全等与相似，明确“全等三角形是相似三角形的特例”，并说明相似符号“∽”的读法以及“对应顶点写在对应位置”的书写要求；最后通过“过点 作 ”构造平行四边形进行推理，证明“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”。 相似三角形的定义：三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 由平行线判定相似：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 求角与求边都要先找准对应关系：对应角相等用来求角，对应边成比例用来求边。 （三）学情分析 学生已学习了比例线段、平行线分线段成比例以及相似图形，对“对应角相等、对应边成比例”有初步认识，也具备一定的识图与计算基础。但在本节学习中容易出现以下困难：一是把相似三角形的定义只记住一半，误认为“三个角分别相等”或“三条边成比例”中满足一条即可；二是书写相似式时不能把对应顶点写在对应位置，导致比例式写颠倒、对应关系找错；三是面对“”的图形时找不到对应边、对应角，或不知道可用“平行线法”判定相似；四是遇到“两边的延长线”（如“ 字形”）的情形，误以为结论不成立；五是在综合问题中分不清“求角”用哪条性质、“求边”用哪条性质。因此，作业设计应遵循“概念辨析—性质应用—判定与推理”的顺序，通过基础判断、变式计算与说理探究，帮助学生准确把握相似三角形的含义与由平行线判定相似的方法。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向相似三角形概念的辨析、相似比与全等的关系、由“对应角相等、对应边成比例”求边和角以及由“平行线法”直接求线段长，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向“两边的延长线”情形下的判定与计算、由中位线得到平行进而证明相似，以及对应关系的灵活运用，重在“提质”；C 组为拓展创新题，指向相似三角形的三边与周长（体会周长比与相似比的关系），以及用相似三角形解决测量旗杆高度的实际问题，重在“扬长”。三个层级按照“会认—会算—会推理—会应用”的路径设计，题量精简、图形典型，使不同水平的学生都能获得成功的体验。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）理解相似三角形的定义，知道“三个角分别相等、三条边成比例”是两个三角形相似的两条条件，能说出相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质。 （2）了解相似比的含义，知道相似比等于 时两个三角形全等，理解“全等三角形是相似三角形的特例”，能按对应顶点的顺序正确书写相似式。 （3）能由相似三角形的性质求未知的边和角，能运用“平行于三角形一边的直线……截得的三角形与原三角形相似”求线段的长度。 （二）提升目标（选做） （4）会在“两边的延长线”等变式图形中识别相似三角形，并运用对应边成比例求线段的长、说明理由。 （5）能综合运用三角形中位线的性质与“平行线法”判定三角形相似，发展推理能力。 （6）能正确地找准对应边与对应角，做到书写规范、推理有据。 （三）拓展目标（挑战） （7）会由已知三边求相似三角形的其余各边与周长，体会相似三角形周长的比等于相似比。 （8）能运用相似三角形的知识解决测量物体高度等实际问题，经历“实际问题—相似模型—求解—回答”的过程，感受数学的应用价值。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组（基础巩固，必做） 1 相似三角形的概念辨析 （1） 2 相似比与全等的关系、相似式的书写 （2） 3 由相似三角形的性质求未知边（直角三角形） （1）（3） 4 由“平行线法”判定相似并求线段长 （3） 5 由相似比求边、由对应角求角 （1）（3） B组（能力提升，选做） 6 “两边的延长线”情形下由平行线判定相似并求边 （4） 7 三角形中位线+平行线法证明相似、求相似比 （5） 8 由一组对应边确定相似比并求其余各边 （6） C组（拓展创新，挑战） 9 由相似比求三边与周长，探究周长比与相似比的关系 （7） 10 用相似三角形测量旗杆高度的实际应用 （8） 五、作业评价 （一）评价方式 采用“学生自评—同伴互评—教师评价”相结合的方式。学生先独立完成 A 组题并自评，再由同伴互评 B 组题，教师重点关注 C 组题中相似模型的建立与比例式的求解，给出激励性评价。 （二）评价标准 等级 评价标准 优秀 能准确理解相似三角形的定义与性质，熟练运用对应角相等、对应边成比例求边和角，能用“平行线法”判定相似，A、B 组题目全部正确；能独立完成 C 组综合题与实际问题，模型清晰、推理严谨、书写规范。 良好 能理解相似三角形的性质，A 组题目基本正确，B 组题目能完成大部分；能在提示下完成 C 组题，书写相似式时对应关系偶有差错。 合格 能记住相似三角形的含义与“平行线法”，A 组题目能完成大部分，个别题目在确定对应边、对应角时出现差错。 待提高 对相似三角形的定义与性质的理解还不熟练，能在教师或同伴的帮助下完成 A 组基础题。 （三）评价量表 评价维度 评价要点 自我评价 同伴评价 教师评价 基础达标 知道相似三角形的定义与性质，会由性质求边和角，会用“平行线法”求线段长 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 能力提升 会在变式图形中识别相似三角形，会用中位线与平行线判定相似 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 拓展创新 会由相似比求三边与周长，能用相似三角形解决测量高度的实际问题 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 学习品质 书写规范，对应顶点写在对应位置，推理有据，注意检验结果的合理性 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 六、试题详情 （一）A组 基础巩固（必做） 1．下列各组三角形中，一定相似的是（　　） A．两个直角三角形　　　B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形　　　D．两个钝角三角形 2．若 ∽ ，且相似比为 ，则下列说法正确的是（　　） A． 与 全等　　　B． C．　　　D． 3．如图1， ∽ ，， cm， cm， cm。求 的长，以及 的长和 与 的相似比。 图1 4．如图2，在 中，、 分别是边 、 上的点，且 。已知 ，，。求 的长。 图2 5．已知 ∽ （对应顶点 与 、 与 、 与 依次对应），，， cm， cm， cm。求 的度数、 的长以及 与 的相似比。 （二）B组 能力提升（选做） 6．如图3，线段 与线段 相交于点 ，且 。已知 ，，。求 的长。 图3 7．已知：在 中，、 分别是边 、 的中点。求证： ∽ ，并求出它们的相似比。 8．已知 ∽ ， cm， cm， cm， cm。求 与 的长，并求 与 的相似比。 （三）C组 拓展创新（挑战） 9．已知 ∽ ，相似比为 ， 的三边长分别为 cm、 cm、 cm。 （1）求 的三边长； （2）分别求 与 的周长，比较周长的比与相似比，你能得到什么结论？ 10．【探究与实践】 如图4，在同一时刻，身高 m 的小明站在阳光下，其影长 m；同一时刻，旗杆 的影长 m。已知太阳光线 与 平行，且 。求旗杆 的高度。 图4 七、答案与解析 （一）A组 基础巩固 1．C 解析：两个等边三角形的三个角都是 ，对应角相等；三条边都相等，任意两个等边三角形的对应边都成比例。两个条件同时满足，所以任意两个等边三角形一定相似。 A 项中两个直角三角形只有直角相等，其余两角不一定对应相等；B 项中两个等腰三角形只有两腰对应相等，顶角不一定相等；D 项中两个钝角三角形的对应角不一定相等。故选 C。 说明：判断两个三角形是否相似，要看“三个角分别相等”与“三条边成比例”是否同时成立。等边三角形由于角与边都具有特殊性，任意两个等边三角形都相似。 2．A 解析：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。当相似比为 时，对应边相等；又对应角相等，所以两个三角形全等，即全等三角形是相似三角形的特例。B 项中 ，不是互补，错误；C、D 项中相似比为 时 ，错误。故选 A。 说明：相似比为 是相似与全等的“分界点”，此时相似三角形就是全等三角形。 3． cm， cm，相似比为 。 解析：因为 ，所以 是直角三角形。由勾股定理，得 因为 ∽ ，所以它们的对应边成比例，得 由 ，，得 把它代入比例式，得 所以 答： 的长为 cm， 的长为 cm， 与 的相似比为 。 解析：先用勾股定理求出 ，再由一组对应边 与 求出相似比，最后由 求出 。 说明：本题的相似比为 ，即 的各边都是 对应边的 ，所以 （cm）。 4．。 解析：因为 ，即平行于三角形一边（）的直线与其他两边（、）相交，截得的三角形与原三角形相似，所以 于是对应边成比例，得 因为 ，所以 解得 答： 的长为 。 解析：先由 判定 ∽ ，再由对应边成比例列式求 。注意 ，不要把 误写成 。 说明：由 还可以得到 ，三个比都等于相似比 。求线段长时，选含有已知量和未知量的那一组比列式最方便。 5．， cm，相似比为 。 解析：在 中， 因为 ∽ ，且 与 、 与 、 与 依次对应，所以 由对应边成比例，得相似比 再由 ，得 答：， 的长为 cm， 与 的相似比为 。 解析：由 ∽ 知对应关系是 、、，所以 与 是对应角、 与 是对应边，不要对应错位。 说明：相似比 ，说明 的各边都是 对应边的一半，所以求 时用乘法。 （二）B组 能力提升 6．。 解析：因为 ，即平行于三角形一边（）的直线与其他两边的延长线相交，截得的三角形与原三角形相似，所以 于是对应边成比例，得 把 ，， 代入，得 ，所以 答： 的长为 。 解析：本题是“ 字形”，虽然 、 分别在 、 的延长线上，但由“平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的三角形与原三角形相似”仍可判定 。 说明：判断“平行线法”是否适用，关键看有没有一条直线平行于三角形的一边，并与另外两边（或它们的延长线）相交。对应关系要看清： 与 是对顶角，所以它们是对应角。 7．证明与相似比： 证明：因为 、 分别是 、 的中点，所以 是 的中位线，故 平行于三角形一边（）的直线与另外两边（、）相交，截得的三角形与原三角形相似，所以 它们的相似比为 即 与 的相似比为 。 解析：本题先用三角形中位线的性质得到 ，再用“平行线法”判定相似。 说明：由中位线还可以得到 ，这与相似比 是一致的——对应边的比就是相似比。 8． cm， cm，相似比为 。 解析：因为 ∽ ，对应顶点 与 、 与 、 与 依次对应，所以相似比为 由对应边成比例，得 所以 答： 的长为 cm， 的长为 cm， 与 的相似比为 。 解析：先由一组对应边 、 求出相似比，再逐条求出其余各边。注意对应顺序： 对应 ， 对应 。 说明：相似比为 ，说明 的每一条边都是 对应边的 ，所以求 、 时用已知边除以相似比。 （三）C组 拓展创新 9．（1） 的三边长分别为 cm、 cm、 cm； （2） 的周长为 cm， 的周长为 cm，周长之比等于相似比 。 解析：（1）因为 ∽ ，相似比为 ，所以 各边与 对应边的比为 。于是 即 的三边长分别为 cm、 cm、 cm。 （2） 的周长为 的周长为 周长之比为 与相似比 相同，由此可得结论：相似三角形周长的比等于相似比。 说明：由“对应边成比例”可知，若相似比为 ，则每一条边都扩大到原来的 倍，各边之和（即周长）也扩大到原来的 倍，所以相似三角形周长的比等于相似比。本题也可以直接由 求出 的周长。 10．旗杆 的高度为 m。 解析：因为太阳光线 与 平行，所以 （平行线与地面所成的角相等）；又 ，所以 与 的对应角相等、对应边成比例，即 于是 把 ，， 代入，得 所以 答：旗杆 的高度为 m。 解析：阳光是平行的，同一时刻“物高与影长”对应成比例，这是相似三角形在测量中的直接应用。解题的关键是找出相似三角形、找准对应边，再列出比例式求解。 说明：本题用到“两角对应相等”判定相似（，），判定的具体定理将在 25.5 学习，这里借助“同一时刻物高与影长成正比”的生活经验理解即可。由 也可直接写成 （m）。 学科网（北京）股份有限公司 $