2.2直线的方程（分层作业，20大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 2.2直线的方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线的点斜式方程 题型02 直线的倾斜角 题型03 直线的两点式方程 题型04 直线的截距式方程 题型05 直线的一般式方程 题型06 直线的一般式方程与其他形式之间的互化 题型07 由一般式方程判断直线的平行 题型08 由一般式方程判断直线的垂直 B组 能力进阶 题型01 斜截式方程的图象特征 题型02 直线的位置关系的应用 题型03 点斜式与斜截式方程中两直线平行、垂直问题 题型04 已知直线垂直求参数 题型05 待定系数法求直线方程 题型06 直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题 题型07 由直线平行求参数 题型08 由两条直线平行求方程 题型09 由两条直线垂直求方程 题型10 直线过定点问题 题型11 由直线的位置关系求方程或参数 C组 思维拔高 题型 直线方程的综合问题 直线的点斜式方程题型01 1．过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是 A． B． C． D． 4．已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 5．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·甘肃武威·期末）过点且斜率为的直线一般式方程为______． 8．过点P（2，1）且倾斜角比直线的倾斜角小的直线的方程是___________. 直线的倾斜角题型02 1．（25-26高二·浙江台州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D．不存在 3．（25-26高二·贵州·期末）直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（25-26高二上·北京·期中）直线的倾斜角等于，则   ） A． B． C．1 D．3 5．（25-26高二上·湖北·期中）与直线垂直的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山西长治·月考）在平面直角坐标系中，直线绕它与轴的交点按顺时针方向旋转所得的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为_____ 8．直线的倾斜角的取值范围是______. 直线的两点式方程题型03 1．（25-26高二上·山西·期中）经过点和的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 4．某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 5．在中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 7．（24-25高二上·天津·月考）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为_____________. 8．（25-26高二上·吉林长春·期中） 的三个顶点分别为 . (1)求边和所在直线的一般方程 (2)求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 直线的截距式方程题型04 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D．3 2．经过，两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 4．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高二上·安徽亳州·月考）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为____________. 7．已知直线l过点，在两坐标轴的截距之和为4，则直线l的一般式方程为______． 8．已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为_____． 直线的一般式方程题型05 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）直线的斜率为（    ） A．5 B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江平湖·月考）如果且，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．点与点是直线上的两个不同的点，则    ） A． B． C．1 D．-1 4．（25-26高二上·安徽·月考）若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）直线在轴上的截距为__________. 6．直线的斜率为____________. 7．已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示） ①倾斜角为；②不经过坐标原点． 8．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____. 直线的一般式方程与其他形式之间的互化题型06 1．（25-26高二上·山东·期中）已知直线的斜率为2，经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南·联考）直线的截距式方程为________. 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）在轴，轴上的截距分别为的直线方程为_____________ 4．（24-25高二上·河南周口·月考）过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点，； (3)在轴、轴上的截距分别是，； (4)求过点且与直线：平行的直线的方程． 6．（26-27高二上·重庆·月考）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过和两点的直线； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线. 7．（25-26高二上·内蒙古·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 8．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 由一般式方程判断直线的平行题型07 1．在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系为（    ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 2．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 3．（25-26高二上·黑龙江·期中）若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 4．直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．不确定 D．重合 5．（25-26高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 6．若点是直线：外一点，则方程 表示（    ） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 7．在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是___________. 8．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________． （1）存在实数，使得点N在直线l上； （2）若，则过M、N的直线与直线l平行； （3）若，则直线l经过的中点； （4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 由一般式方程判断直线的垂直题型08 1．在平面中，已知直线：，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·江西·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 3．下列直线中与直线垂直的一条是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 6．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点与A，不重合），则的值为__________. 斜截式方程的图象特征题型01 1．如果，，那么直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 3．若直线不过第二象限，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南通·期中）过两点的直线在轴上的截距为_______________． 直线的位置关系的应用题型02 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·四川成都·月考）设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南郑州·期末）一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 4．若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 5．已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 6．已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 7．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 点斜式与斜截式方程中两直线平行、垂直问题题型03 1．已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·联考）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为_________. 4．写出下列直线的方程． （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与x轴平行． 已知直线垂直求参数题型04 1．已知直线与垂直，则    ） A．或2 B． C． D．0 2．（26-27高二上·江苏·月考）已知直线和垂直，则实数     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西南宁·期末）若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26高二·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽·质检）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 7．已知直线：与直线：，. (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 待定系数法求直线方程题型05 1．（24-25高二上·广东佛山·学业水平）已知的三个顶点分别是，则边上的中线所在直线方程为__________. 2．（24-25高二上·天津·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)经过，两点； (3)在轴、轴上的截距分别为； (4)经过点，且平行于轴. 3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 4．（25-26高二上·北京·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题题型06 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．如图，平面上过点P(1，2)的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N.则满足的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是_____________. 5．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为________． 6．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 7．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 8．已知直线l：，且与坐标轴形成的三角形面积为S. (1)不论m为何实数，直线l过定点，试求出此点的坐标； (2)分别求和时，所对应的直线条数； (3)针对S的不同取值，讨论集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 由直线平行求参数题型07 1．若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线过点，且与直线平行，则    ） A． B． C．1 D．2 3．已知直线：，：平行，则实数的值是（    ） A．或3 B．或1 C． D．3 4．已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 5．已知集合，.若，则实数    ） A．-3 B． C． D．3 6．已知直线，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若直线与直线平行，则______. 8．关于的二元一次方程组，无解，则_____ ； 由两条直线平行求方程题型08 1．过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·上海·月考）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 6．（25-26高二上·北京·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为______． 7．已知点； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 8．（25-26高二上·江西赣州·月考）已知直线经过点. (1)若平行于直线，求的方程； (2)若在轴和轴上的截距相等，求的方程. 由两条直线垂直求方程题型09 1．（25-26高二·河北石家庄·质检）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期末）已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．过点 且与直线 垂直的直线一般式方程为______. 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 6．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在的直线方程是______. 7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 8．（25-26高二上·福建石狮·月考）已知直线l经过点，分别求出下列直线方程（结果用一般式方程表示） (1)直线l与直线垂直 (2)直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等 直线过定点问题题型10 1．直线必过定点（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·月考）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 4．已知集合，集合，，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且且 5．（25-26高二上·陕西·月考）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 6．若直线：与连接，的线段相交，则的取值范围是______． 7．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 8．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 由直线的位置关系求方程或参数题型11 1．（25-26高二上·河南郑州·质检）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 2．在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 4．（25-26高二上·北京·月考）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 5．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)设的中点为D，求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； 6．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知.求： (1)过点且与BC垂直的直线方程； (2)过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 7．（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 8．菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 直线方程的综合问题题型 1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁·联考）已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 3．已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 4．（25-26高二上·河北保定·期中）在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 5．（25-26高二上·辽宁·月考）三角形中，，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求经过点将面积二等分的直线的方程； (3)直线过点，且与边有公共点，求直线的斜率的取值范围； 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 7．（25-26高二上·江苏盐城·联考）过点的直线分别交与于、两点． (1)若点P恰好是A，B的中点，求直线的方程； (2)过点P的直线m分别交轴的正半轴和轴的负半轴于M，N两点，当取最小值时，求直线m的方程； 8．已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2直线的方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线的点斜式方程 题型02 直线的倾斜角 题型03 直线的两点式方程 题型04 直线的截距式方程 题型05 直线的一般式方程 题型06 直线的一般式方程与其他形式之间的互化 题型07 由一般式方程判断直线的平行 题型08 由一般式方程判断直线的垂直 B组 能力进阶 题型01 斜截式方程的图象特征 题型02 直线的位置关系的应用 题型03 点斜式与斜截式方程中两直线平行、垂直问题 题型04 已知直线垂直求参数 题型05 待定系数法求直线方程 题型06 直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题 题型07 由直线平行求参数 题型08 由两条直线平行求方程 题型09 由两条直线垂直求方程 题型10 直线过定点问题 题型11 由直线的位置关系求方程或参数 C组 思维拔高 题型 直线方程的综合问题 直线的点斜式方程题型01 1．过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即. 故选：B 3．若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线l的倾斜角求出斜率，再根据直线l所过的点求出直线l的方程即可. 【详解】直线l的斜率等于tan45°=1，又直线l过点， 所以由点斜式求得直线l的方程为， 即. 故选：B． 4．已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】，令，解得值，即为所求 【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为. 故选：C 5．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 6．已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 7．（25-26高二上·甘肃武威·期末）过点且斜率为的直线一般式方程为______． 【答案】 【分析】由题意写出直线的点斜式方程，化简即可得解． 【详解】由直线的点斜式方程，可得，整理得. 故答案为：. 8．过点P（2，1）且倾斜角比直线的倾斜角小的直线的方程是___________. 【答案】 【分析】先由题意求出直线的倾斜角，再根据此直线过点，可得它的方程． 【详解】解：直线的斜率为，倾斜角为， 故比它的倾斜角小的直线的倾斜角为，再根据此直线过点， 故要求的直线的方程为. 故答案为：. 直线的倾斜角题型02 1．（25-26高二·浙江台州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为直线方程为，所以该直线的斜率为1， 所以该直线的倾斜角为. 故选：C. 2．直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解. 【详解】因为直线与轴垂直，因此直线的倾斜角是． 故选：C． 3．（25-26高二·贵州·期末）直线的倾斜角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】由直线方程确定斜率，再由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线方程， 可得直线斜率， 设直线倾斜角为， 则， 所以， 故选：D 4．（25-26高二上·北京·期中）直线的倾斜角等于，则   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据直线方程求得直线的斜率，再利用直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题，可得直线的斜率，又， ，解得. 故选：A. 5．（25-26高二上·湖北·期中）与直线垂直的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直两直线斜率关系以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意得直线，即的斜率为， 则与直线垂直的直线的斜率为， 设与直线垂直的直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：D 6．（25-26高二上·山西长治·月考）在平面直角坐标系中，直线绕它与轴的交点按顺时针方向旋转所得的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先求出直线与轴的交点的坐标，再求出把它按顺时针方向旋转所得的直线的斜率，用点斜式求出旋转后直线的方程． 【详解】直线即，与轴的交点为，斜率为，所以倾斜角为. 将其绕点顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所得直线的斜率为. 由点斜式，所得直线方程为：，即，也就是. 故选：C 7．（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为_____ 【答案】 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 8．直线的倾斜角的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求出直线的斜率取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求出． 【详解】可化为：，所以，由于，结合函数在上的图象，可知． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系的应用，以及直线的一般式化斜截式，属于基础题． 直线的两点式方程题型03 1．（25-26高二上·山西·期中）经过点和的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式可得答案. 【详解】解析  所求直线的方程为， 即. 故选：A 2．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 3．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 4．某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（）之间的关系如图所示，根据图像可知，乘客最多可免费携带行李的质量为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【分析】根据题意，由直线的两点式方程可得到直线方程的表达式，再令，即可得到结果. 【详解】由图像可得，直线过点，由直线方程的两点式可得， 化简可得，令，解得，即乘客最多可免费携带行李的质量为. 故选：A 5．在中，若，，，则的角平分线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质，结合直线的两点式方程进行求解即可. 【详解】如图所示： 的角平分线所在直线与横轴的交点为， 由角平分线的性质可知：， 所以的角平分线所在直线的方程是， 故选：B    6．若三点，，在同一条直线上，则的值为___________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，将代入直线方程，求出答案. 【详解】由题意得直线的方程为，即， 将代入直线中，则，解得. 故答案为： 7．（24-25高二上·天津·月考）已知直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的一般式方程为_____________. 【答案】 【分析】先设与的交点为，则与的交点为，然后将两点代入直线方程，解方程组，最后利用两点式求解即可. 【详解】设与的交点为，则与的交点为， 所以有，， 联立解得 ， 所以，整理得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·吉林长春·期中） 的三个顶点分别为 . (1)求边和所在直线的一般方程 (2)求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 【答案】(1)：，：； (2) 【分析】（1）由两点式即可写出答案； （2）先求出的中点坐标与斜率，则可得所求直线的斜率，再由点斜式写出答案. 【详解】（1）由两点式可得直线：，化简得：， 直线：，化简得：， 所以：，：； （2）记的中点为，则， ， 所以与垂直的直线的斜率， 所以边上的垂直平分线为： ， 化简得： , 所以边上的垂直平分线所在直线的一般方程为：. 直线的截距式方程题型04 1．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）在平面直角坐标系中，直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】令，解出即可. 【详解】由直线方程为：， 令，则， 所以直线在轴上的截距为， 故选：B. 2．经过，两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点的坐标写出直线的截距式方程，可得答案. 【详解】根据直线的截距式方程，可得经过，两点的直线方程为， 即， 故选：C. 3．在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 4．（25-26高二上·河南新乡·月考）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解. 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 5．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题意分截距为0与截距不为0两种情况求解即得. 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 6．（24-25高二上·安徽亳州·月考）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为____________. 【答案】或 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 7．已知直线l过点，在两坐标轴的截距之和为4，则直线l的一般式方程为______． 【答案】或． 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求得或，代入直线方程化为一般式方程即可. 【详解】由题意，设直线l的方程为，则，即， 解得或，所以直线l的一般式方程为或， 故直线l的一般式方程为或. 故答案为：或 8．已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为_____． 【答案】 【分析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由题意可得，化简得出，可知为的正约数，列举出的所有可能取值，即可得解. 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 直线的一般式方程题型05 1．（25-26高二上·陕西西安·月考）直线的斜率为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程的一般式斜率公式计算求解. 【详解】直线的斜率为. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江平湖·月考）如果且，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 3．点与点是直线上的两个不同的点，则    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】因为表示直线的斜率，即直线的斜率，又因为直线的斜率，所以， 故选：A． 4．（25-26高二上·安徽·月考）若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将直线变形为斜截式，根据直线经过象限分析斜率和截距可得. 【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为， 直线经过第一、二、三象限，，， 且. 故选：B. 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）直线在轴上的截距为__________. 【答案】 【分析】令计算出的值，则结果可知. 【详解】令，得，即在轴上的截距为. 故答案为：. 6．直线的斜率为____________. 【答案】2 【分析】将一般式方程转化为斜截式方程可得斜率. 【详解】将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为. 故答案为：2 7．已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示） ①倾斜角为；②不经过坐标原点． 【答案】（答案不唯一）. 【分析】根据一般式方程与斜率的关系，结合题意，不经过坐标原点即一般式方程中的常数项非零，即可求解. 【详解】由题意得，斜率， 又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零， 所以，直线的一个一般式方程为. 故答案为：（答案不唯一）. 8．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 直线的一般式方程与其他形式之间的互化题型06 1．（25-26高二上·山东·期中）已知直线的斜率为2，经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线点斜式方程的概念求解，再将直线方程化为一般式方程即可. 【详解】直线的斜率为2，经过点， 则直线的方程为，即. 故选：C 2．（24-25高二上·湖南·联考）直线的截距式方程为________. 【答案】 【分析】直接化简计算即可. 【详解】直线的截距式方程为：. 故答案为： 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）在轴，轴上的截距分别为的直线方程为_____________ 【答案】 【分析】直接由直线的截距式方程得答案. 【详解】∵直线在轴上的截距为2，在轴上截距为3， 由直线方程的截距式得：， 化为一般式：． 故答案为：． 4．（24-25高二上·河南周口·月考）过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为__________. 【答案】或 【分析】由题意，截距相等包括截距都为0和截距相等且不为0两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得. 【详解】设直线在轴､轴上的截距均为， ① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得， 故直线方程为，即； ② 若，则直线方程为，代入可得， 解得，故直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点； (2)经过两点，； (3)在轴、轴上的截距分别是，； (4)求过点且与直线：平行的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解； （4）根据平行关系可得直线的斜率，应用点斜式方程即可得方程. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （2）直线经过两点， 则直线方程为，化为一般式方程为； （3）直线在x轴、y轴上的截距分别是，， 则直线方程为，化为一般式方程为； （4）因为平行于，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以由点斜式得直线方程为，即一般式方程为. 6．（26-27高二上·重庆·月考）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过和两点的直线； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线. 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先利用斜率公式求出斜率，再根据点斜式公式计算即可得到直线方程. （2）分两种情况讨论，一种截距不为0，另一种截距为0，进而求出直线方程. 【详解】（1）易知， 由点斜式公式可得到直线方程为：，即. （2）分两种情况： 若直线经过原点，则直线斜率为：， 由点斜式公式可得到直线方程为：，即； 若直线不经过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等， 所以设直线方程为：， 又直线经过点， 所以有，即， 所以直线方程为：，即. 综上可知：直线方程为或. 7．（25-26高二上·内蒙古·期中）根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； （2）已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． （3）设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 8．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程． 【答案】（1）入射光线所在直线的方程为，反射光线所在直线的方程为； （2）或或． 【分析】（1）由点的坐标求得入射光线的方程，进而得到入射光线的斜率，根据对称求得反射光线的斜率，根据反射光线过点求得反射光线的方程； （2）讨论直线在两坐标轴上的截距等于零和不等于零两种情况，当在两坐标轴上的截距均为零时，设直线的方程为；当在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线的方程为.分别代入点，可求得直线的方程． 【详解】【小问1】 设入射光线为，反射光线为， 光线从点射出，与轴相交于点， 入射光线的方程为，整理得， 入射光线的斜率，反射光线的斜率， 又反射光线要经过点， 反射光线的方程为，即. 【小问2】 当直线的截距为时，设直线的方程为. 因为直线经过点，所以，所以直线方程为，即， 当直线的截距不为时，设直线的方程为， 则解得或． 若，则直线的方程为，即 若则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为：或或． 由一般式方程判断直线的平行题型07 1．在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系为（    ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】C 【分析】根据两直线的位置关系确定正确答案. 【详解】直线，即； 直线，即. 由于，所以两直线平行. 故选：C 2．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 3．（25-26高二上·黑龙江·期中）若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出. 【详解】直线，其中、、， 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线重合，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线平行，故正确. 故选：. 4．直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．不确定 D．重合 【答案】C 【分析】根据直线方程判断直线的位置关系，注意讨论参数的数量关系. 【详解】当时，两直线重合， 当时，两直线平行， 所以题设两直线位置可能重合、平行. 故选：C. 5．（25-26高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量求得斜率，得到直线的方程，再比较选项即可求解. 【详解】由直线的方向向量， 可得， 则直线的方程为：， 即， 结合选项可知只有C满足， 故选：C 6．若点是直线：外一点，则方程 表示（    ） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 【答案】B 【分析】由题意可推出，由此可判断直线与平行，将代入方程，看是否成立，判断直线是否过点P，可得答案. 【详解】由题意可知点是直线：外一点， 故且为常数， 所以方程中，且为常数， 则直线与平行， 将代入中， 即，即点P在该方程表示的直线上， 故方程表示过点且与平行的直线， 故选：B 7．在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中： ①存在实数δ，使点N在直线l上； ②若，则过M，N两点的直线与直线l重合； ③若，则直线l经过线段的中点； 所有结论正确的说法的序号是___________. 【答案】③ 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证即可． 【详解】对于①，化为：， 即点不在直线上，因此①不正确； 对于②，，则， 即过两点的直线与直线的斜率相等， 又点不在直线上，因此两条直线平行，故②错误； 对于③，，则， 化为， 因此直线经过线段的中点，故③正确. 故答案为：③. 【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线和直线. （1）且； （2）. 8．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________． （1）存在实数，使得点N在直线l上； （2）若，则过M、N的直线与直线l平行； （3）若，则直线l经过的中点； （4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】②③④ 【解析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断①不正确． ②若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系即可判断②． ③若，即可得到，即可判断③． ④若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故①不正确； 若，则， 即， ， 即过、两点的直线与直线平行，故②正确； 若，则 即，， 直线经过线段的中点，即③正确； 若，则，或， 即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等． 由一般式方程判断直线的垂直题型08 1．在平面中，已知直线：，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 2．（25-26高二上·江西·期末）设直线和直线，则直线与直线的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．以上都不是 【答案】C 【分析】利用斜率之积为,来判断两直线垂直即可. 【详解】由直线的斜率为：， 直线的斜率为， 可得，所以两直线互相垂直. 故选：C 3．下列直线中与直线垂直的一条是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线的斜率为， 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积等于，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A满足条件； 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B不满足条件； 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C不满足条件； 而直线的斜率为，它与已知直线的斜率之积不等于，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D不满足条件， 故选：A. 【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题. 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直，则，化简即可判断. 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 5．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 6．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点与A，不重合），则的值为__________. 【答案】1 【分析】根据题意直线方程可得，，分析可知，即可得结果. 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 斜截式方程的图象特征题型01 1．如果，，那么直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】将直线化为，结合已知条件即可判断不经过的象限. 【详解】由题设，直线可写成，又，， ∴，，故直线过二、三、四象限，不过第一象限. 故选：A. 2．两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据两直线斜率符号相同可得出合适的选项. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，直线与直线斜率的符号相同，故只有B选项合乎题意. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线图象的识别，一般从斜率和截距来进行分析，属于基础题. 3．若直线不过第二象限，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线不过第二象限可确定斜率、在轴截距的范围，从而构造不等式组求得结果. 【详解】直线不过第二象限，，解得：，即实数的取值范围为. 故选：C. 4．直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），由此可解得实数的取值范围. 【详解】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意； 若，可得，直线的斜截式方程为， 若直线不过第二象限，则，解得. 综上所述，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在斜率存在的前题下，一般从直线的斜率与纵截距或直线在两坐标轴上的截距来进行分析，结合已知条件列不等式（组）求解. 5．（25-26高二上·江苏南通·期中）过两点的直线在轴上的截距为_______________． 【答案】 【分析】先求直线斜率，再根据点斜式得到直线方程求出截距即可． 【详解】， 则直线的方程为，即， 当时，， 则直线在轴上的截距为． 故答案为：． 直线的位置关系的应用题型02 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【详解】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 2．（24-25高二上·四川成都·月考）设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意．    易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 3．（24-25高二上·河南郑州·期末）一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 【答案】 【分析】根据入射光线与反射光线所在直线的斜率关系，即可求反射光线所在直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 4．若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据条件，求出x的范围，设，则与图象有交点，作出图象，分析即可得答案. 【详解】由题意，解得， 设，则与图象有交点， 当时，，当时，， 作出的图象，如图所示    由图象可得. 故答案为： 5．已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）易知当满足题意，当时，两直线斜率不相等，可求得的取值范围； （2）根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合. 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 6．已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 7．（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. 【详解】（1）由题知，，在直线上， 设， 则，解得， 即点坐标为. （2）设， 则，解得，即， 所以直线的方程为， 即.    点斜式与斜截式方程中两直线平行、垂直问题题型03 1．已知直线经过点，且与直线平行，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用直线的点斜式方程求出的方程， 【详解】直线经过点，且与直线平行，则的方程为，化简得 故选：C 【点睛】本题考查直线的方程，考查点斜式方程的应用，属于基础题． 2．（24-25高二下·安徽·联考）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 3．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为_________. 【答案】 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】直线l与直线的倾斜角相等，可得直线的斜率为2， 直线过点，则直线l的方程为，即． 故答案为：． 4．写出下列直线的方程． （1）经过点，且与直线平行； （2）经过点，且与x轴平行． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）由题意求得与x轴平行的直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，直线，可得直线的斜率为， 因为过点，且与直线平行，可得所求直线方程为， 即所求直线方程为． （2）由题意，与x轴平行的直线的斜率， 所以直线的点斜式方程为，即． 已知直线垂直求参数题型04 1．已知直线与垂直，则    ） A．或2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】由直线与直线垂直时斜率之间的关系即可列出方程求出的值. 【详解】解：直线与垂直 解得： 故选：C. 2．（26-27高二上·江苏·月考）已知直线和垂直，则实数     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的位置关系求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 3．（24-25高二上·广西南宁·期末）若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据直线垂直满足的关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 4．（25-26高二·广东韶关·期末）若直线与直线垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 5．（25-26高二上·安徽·质检）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 6．（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再设直线为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以，解得或； （2）将点代入中，，解得，则， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零）， 设直线为，代入，可得，解得， 所以直线为，即. 7．已知直线：与直线：，. (1)若，求m的值； (2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程. 【答案】(1)或0； (2)或. 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解. 【详解】（1）由题意得：，解得：或0， 经检验，均满足要求，所以或0； （2）将点代入中，，解得：， 因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得， 此时直线l为； 当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得， 故此时直线l为； 综上：直线l的方程为或. 待定系数法求直线方程题型05 1．（24-25高二上·广东佛山·学业水平）已知的三个顶点分别是，则边上的中线所在直线方程为__________. 【答案】 【分析】求出边的中点坐标及对应中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求得答案. 【详解】依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以上的中线所在直线方程为. 故答案为： 2．（24-25高二上·天津·月考）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)经过，两点； (3)在轴、轴上的截距分别为； (4)经过点，且平行于轴. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用点斜式方程求一般式方程； （2）利用两点式方程求一般式方程； （3）利用截距式方程求一般式方程； （4）根据点坐标以及直线平行于轴直接写出直线一般式方程. 【详解】（1）若直线的斜率是，且经过点， 由点斜式，则该直线的方程为， 即.若直线斜率为 （2）若直线经过，两点， 由两点式，则该直线的方程为，即. （3）若直线在x，y轴上的截距分别是，， 由截距式，则该直线的方程为，即. （4）若经过点，且平行于x轴，则，即. 3．（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【详解】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 4．（25-26高二上·北京·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行的性质，设出直线后代入点计算即可得. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （2）因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （3）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积问题题型06 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积. 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 故选：B 2．如图，平面上过点P(1，2)的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N.则满足的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设直线AB为y=k(x-1)+2，分别令x=0，y=0，求得点A，B的坐标， 然后由求解. 【详解】因为过点P(1，2)，且斜率存在， 设直线AB为y=k(x-1)+2， 令x=0，y=2-k； 令y=0，x= ， ， ， 即， ， 所以k的取值只有一个， 故这样的直线有一条. 故选：B 3．已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】按照、分类，求出截距后列方程即可得解. 【详解】当时，直线，不合题意； 当时， 若，则，若，则， 所以， 所以或， 解得或或； 所以满足要求的直线的条数是3. 故选：C. 4．（25-26高二上·贵州毕节·月考）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】先求出直线在两坐标轴上的截距，把三角形的面积表示出来，根据题意建立不等式求解即可，注意时的情况分析. 【详解】令，得， 令，得， 所以三角形的面积为：， 又因为，即， 又时，直线过原点，由此与坐标轴不构成三角形，故， 所以实数k的取值范围是：， 故答案为：. 5．平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 6．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 7．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 8．已知直线l：，且与坐标轴形成的三角形面积为S. (1)不论m为何实数，直线l过定点，试求出此点的坐标； (2)分别求和时，所对应的直线条数； (3)针对S的不同取值，讨论集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数. 【答案】(1) (2)时有两条直线；时有四条直线； (3) 时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点； （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与、轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数； （3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数． 【详解】（1）解：直线可化为， 令， 解得， 不论为何实数，直线过定点； （2）解：由题意知，直线的斜率存在，且， 设直线方程为，则直线与轴的交点为，， 与轴的交点为； 的面积为； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，，方程无实数根，即无直线； 综上知，时有两条直线； 令，得，时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线； 综上知，时有四条直线； （3）解：由题意得，， 时，方程化为， 解得，有两个正根，即有两条直线； 时，方程化为，， 时， ，方程无实数根，此时无直线； 时，，方程有一负根，此时有一条直线； 时，，解得，方程有两负根，即有两条直线； 由直线方程为，不能表示斜率为的直线， 所以当直线的斜率为时，直线方程为，与两坐标轴的交点为，和； 此时直线与坐标轴围成的三角形面积为； 综上知，时有两条直线； 时有三条直线， 时有4条直线； 时有3条直线； 时有4条直线； 即时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个； 或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个； 或时，集合直线经过且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个． 【点睛】本题考查了直线恒过定点的应用问题，也考查了三角形的面积应用问题和方程解的个数判断问题，是难题． 由直线平行求参数题型07 1．若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得的值. 【详解】由可知，其斜率为， 又两直线平行，所以可得，解得. 故选：B 2．已知直线过点，且与直线平行，则    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】将点代入直线求出，再由两条直线平行列方程求，从而可求的值. 【详解】因为直线过点， 所以，解得. 因为直线与直线平行， 所以，即，解得， 所以. 故选：B. 3．已知直线：，：平行，则实数的值是（    ） A．或3 B．或1 C． D．3 【答案】C 【解析】利用直线平行的必要条件,求得的值，然后代回直线的方程，排除重合的情况. 【详解】解：由题意得,解得或, 当时，两直线的方程都是,两直线重合， 当时，两直线的方程分别为和,两直线平行， 故选:C. 【点睛】本题考查根据直线平行求参数的值，属基础题，直线平行的必要条件,一定要代回检验，排除重合的情况. 4．已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可. 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 5．已知集合，.若，则实数    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由题得直线与直线平行，解方程即得解. 【详解】因为， 所以直线与直线平行， 所以 所以. 经检验，当时，两直线平行. 故选：B. 6．已知直线，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由两直线平行或重合的方程系数关系，求出，进而求出平行时的值，即可求出结论. 【详解】当或重合时，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时重合， 当时，. 故选:D. 【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，其实质是考查两直线方程为一般式时，位置关系的判定，属于中档题. 7．若直线与直线平行，则______. 【答案】 【分析】利用两直线平行各系数的关系列式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故答案为：. 8．关于的二元一次方程组，无解，则_____ ； 【答案】或 【解析】根据二元一次方程组无解，可知两直线平行，根据两直线平行的充要条件，即可求出结果. 【详解】因为关于的二元一次方程组，无解， 所以直线与直线平行, 所以，所以，又，所以或. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的几何意义，关键是转化为两直线平行列出方程，属于中档题. 由两条直线平行求方程题型08 1．过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解. 【详解】解：设直线的方程为， 把点坐标代入直线方程得. 所以所求的直线方程为. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线的平行关系求得所求直线的斜率，再根据斜截式方程求解即可 【详解】因为直线的斜率为，所求直线与平行， 所以所求直线的斜率也为， 又因为所求直线过点， 所以，由斜截式方程可知，所求直线方程为，即 故选：B 3．已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案. 【详解】由点，，得线段AB中点的坐标为， 故过点且与直线平行的直线的方程可设为， 代入点，可得，故所求直线方程为， 故选：B 4．（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的点斜式方程代入计算，然后化简，即可得到结果. 【详解】因为直线，其斜率为，所求直线与平行， 所以直线的斜率也为，且直线经过点， 由直线的点斜式可得直线的方程为， 化简可得，进一步变形可得，再变形可得. 故选：B 5．（24-25高二上·上海·月考）已知定直线及其外一点，则方程表示直线（    ） A．过P且与定直线相交 B．过P且与定直线垂直 C．过P且与定直线平行 D．可能不过P点 【答案】C 【分析】利用方程思想可判断两直线斜率相同，截距不同，且经过点P，即可作出判断. 【详解】由定直线及其外一点，可知， 又因为把点代入方程可得： ，即点代入方程的直线上， 因为，所以直线方程与直线方程不相同， 所以它们的斜率相同，截距不同，即两直线相互平行. 故选：C. 6．（25-26高二上·北京·期中）经过坐标原点且与直线平行的直线方程为______． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线方程为，将点代入求得，从而得到结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为过原点，所以，得， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 7．已知点； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用直线平行的斜率关系和直线的点斜式方程求解即可； （2）分类讨论截距是否为0进行求解即可. 【详解】（1）直线的斜率： ， 故过点且与平行的直线方程斜率. 且故直线方程为：，即. （2）过点且在轴和轴上截距相等的直线方程, 当截距为0时, 直线过原点，直线方程为：，即； 当截距不为0时,由截距相等可设直线方程为：， 代入得， 故直线方程为即. 综上得：直线方程为或 8．（25-26高二上·江西赣州·月考）已知直线经过点. (1)若平行于直线，求的方程； (2)若在轴和轴上的截距相等，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由平行，可知直线方程斜率为，代入已知点坐标，求解即可. （2）分截距为和截距不为两种情况，截距不为时可设直线方程为，求解即可. 【详解】（1）直线与直线平行，且直线斜率为，则直线的斜率为， 又直线经过点，故直线的方程为， 化简得. （2）直线在轴和轴上截距相等： ①当截距都为时，则直线过原点，且过点， 故直线的方程为，即. ②当截距都不为时，则可设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，则直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 由两条直线垂直求方程题型09 1．（25-26高二·河北石家庄·质检）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 2．（25-26高二上·北京·期末）已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定点的轨迹，再求直线方程. 【详解】由条件可知，点的轨迹是线段的垂直平分线， 线段的中点为，，所以所求直线的斜率为， 直线方程为，整理为. 故选：D 3．（25-26高二上·广东佛山·期中）将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，所得直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所得直线与直线垂直，即所求直线的斜率为， 因此，所求直线的方程为，即. 故选：C. 4．过点 且与直线 垂直的直线一般式方程为______. 【答案】 【分析】根据垂直关系设出直线方程，然后将点的坐标代入即可求解. 【详解】由题意，设所求直线方程为， 因为该直线过点，所以， 解得，所以所求直线为. 故答案为： 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【答案】 【详解】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 6．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在的直线方程是______. 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】解：点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即， 故答案为： 7．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的顶点. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点坐标后结合点坐标计算即可得； （2）求出直线的斜率后由高的性质可得直线斜率，结合点坐标计算即可得； 【详解】（1）由，有， 故中点的坐标为，又， 则，即； （2）由，则， 由为边上的高，故，则， 故，即. 8．（25-26高二上·福建石狮·月考）已知直线l经过点，分别求出下列直线方程（结果用一般式方程表示） (1)直线l与直线垂直 (2)直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）先根据两直线垂直关系求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程． （2）利用直线在两坐标轴上截距的绝对值相等条件，分截距都为0和不为0两种情况讨论，得出直线方程． 【详解】（1）直线的斜率为，直线l与直线垂直，设直线的斜率为， ，解得， 又直线l经过点， 直线方程为：，一般式方程为：． （2）直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，直线l经过点， 当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线方程为，代入点得， 直线方程为，一般式为：； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为：，则， 又，或， 当时，，则直线方程为； 当时，，则直线方程为． 直线的方程为：或或． 直线过定点问题题型10 1．直线必过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当时，， 直线过定点， 故选． 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·月考）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【详解】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 3．（24-25高二上·上海·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】求出直线过的定点，即可得答案. 【详解】解：因为线的方程是， 即为， 令，解得， 即直线过定点, 所以直线一定经过第三象限. 故选：C. 4．已知集合，集合，，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且且 【答案】C 【分析】分析可知集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，集合表示定点且斜率存在的直线，根据直线的位置关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】集合表示直线上去掉点所构成的两条射线， 在方程中，令可得， 集合表示过定点且斜率存在的直线， 由得两直线斜率不同，则，解得． 故选：C. 5．（25-26高二上·陕西·月考）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 【答案】 【分析】利用参数分离法即可解决直线恒过定点问题. 【详解】直线的方程可变形为， 由题意可知，解得. 故直线恒过定点. 故答案为： 6．若直线：与连接，的线段相交，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线的方程得到直线恒过点，然后结合图象得到直线在直线和之间旋转时恒与线段相交，最后根据斜率列不等式求解即可. 【详解】直线的方程可整理为，令，解得，所以直线恒过点，    由图可知，直线在直线和之间旋转时恒与线段相交， ，，， 所以或，解得或. 故答案为：. 7．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 8．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1) 直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得， 所以直线过定点，其坐标为. (2)或； (3) 【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【详解】（1）略 （2）当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. （3）当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 由直线的位置关系求方程或参数题型11 1．（25-26高二上·河南郑州·质检）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 2．在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由直线方程的两点式得 ，即. （2）设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. （3）设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【详解】（1）直线经过、两点， ， 直线，即：． （2）由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 4．（25-26高二上·北京·月考）已知的顶点为，，． (1)求出直线的斜率 (2)求过且平行于直线的直线的方程； (3)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2)： (3)： 【分析】（1）根据已知两点坐标求斜率公式求解即可； （2）根据平行求出斜率，结合点斜式方程即可解题； （3）根据垂直求出斜率，结合点斜式方程即可解题. 【详解】（1）由题意可得，，，设直线的斜率为，所以. （2）设该直线为，由题意可得与直线平行，所以的斜率为，所以，所以：. （3）设该直线为，斜率为，由题意可得与直线垂直，所以，所以，所以，所以：. 5．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. (1)设的中点为D，求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由中点坐标公式求得，再利用点斜式即可求得所在的直线方程；（2）利用直线垂直斜率相等求得，再利用点斜式即可求得边上的高所在的直线方程； 【详解】（1）因为，所以的中点， 即，故， 所以边上的中线所在的直线方程为，即. （2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 6．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知.求： (1)过点且与BC垂直的直线方程； (2)过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （2）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1），故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； （2），故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 7．（1）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程． （2）过点，且与平行的直线的方程． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）要注意截距互为相反数包含直线过原点的特殊情形，不能只用截距式，需要分过原点和不过原点两种情况求解； （2）先利用平行直线一般式系数相等的特点，再设出直线方程后代入已知点求出常数项． 【详解】（1）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 可设直线的方程为．又直线过点，所以，解得． 所以直线的方程为，即． 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线过原点时， 设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得， 则直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （2）已知直线，则直线的方程可化为， 所以直线的斜率为． 与平行，的斜率为． 又过点， 由点斜式知直线的方程为， 即． 8．菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)；. (2). 【分析】（1）根据两点斜率公式及直线的平行关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可； （2）根据菱形的性质结合直线的垂直关系计算直线斜率，再根据点斜式计算即可. 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 直线方程的综合问题题型 1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出重心坐标，求出AB边上的高和AC边上的高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线斜率为，则可得直线方程为， 故的欧拉线方程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·辽宁·联考）已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，则的一般方程为______． 【答案】或 【分析】首先求出直线与坐标轴分别交于点，再根据若四边形两组对角互补则四边形有外接圆求解即可. 【详解】设为原点，直线与坐标轴分别交于点， 当时，记的交点为，直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示： 因为，所以该四边形对角互补，有外接圆． 因为的斜率为，所以的斜率为，的方程为，即； 当与轴的交点为时，直线与两坐标轴围成一个四边形， 如图所示： 若该四边形有外接圆，则 ， 所以，此时的斜率为， 方程为，即，此时，符合题意． 综上得，直线的方程为或． 故答案为：或 3．已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 【答案】 【分析】先求得直线与直线的交点，然后利用角平分线定理求得点坐标，进而求得直线的方程. 【详解】，直线的方程为， 由解得，设， 依题意，的平分线为直线， 由正弦定理得， 由于，由此整理得, 则，设， 则， 整理得，解得或（舍去）， 则，， 直线的方程为. 故答案为：    4．（25-26高二上·河北保定·期中）在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【分析】（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补，  即可求解 【详解】解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 5．（25-26高二上·辽宁·月考）三角形中，，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求经过点将面积二等分的直线的方程； (3)直线过点，且与边有公共点，求直线的斜率的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）得出边上的高所在直线的斜率为即可； （2）求出线段的靠近点的三等分点即可； （3）画图可得，或，根据斜率公式即可求解. 【详解】（1）由题意，所以边上的高所在直线的斜率为， 故所求为，即； （2）设线段的中点为， 因为，， 所以， 又，所以， 故所求为 即； （3）如图所示，    若直线过点，且与边有公共点，则或， 而，，， 所以，， 所以直线的斜率的取值范围为. 6．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 7．（25-26高二上·江苏盐城·联考）过点的直线分别交与于、两点． (1)若点P恰好是A，B的中点，求直线的方程； (2)过点P的直线m分别交轴的正半轴和轴的负半轴于M，N两点，当取最小值时，求直线m的方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用中点公式求参数，进而确定的坐标，最后应用点斜式写出直线方程； （2）设直线m的方程为，根据已知有，再应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，确定取值条件，即可得. 【详解】（1）设，点是A，B的中点， ∴ ，可得， ∴，则， ∴直线的方程为，即； （2）设直线m的方程为， ∵直线m过点，则， ， ∴当，即时取等号，则直线m的方程为. 8．已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 令，解得，即点的坐标为. （2）解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. （3）解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $