2.2.1直线的点斜式方程（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学“直线的点斜式方程”新授课同步练，通过A/B/C组+拓展分层设计，构建从概念理解到高考应用的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|点斜式/斜截式定义、图象特征|基础选择填空，聚焦单一知识点辨析与直接应用| |B组|平行垂直关系、综合应用|解答题为主，强化知识间逻辑推理与运算能力| |C组|数形结合、实际问题|融合几何直观，如矩形折叠、光线反射等情境题| |拓展|高考衔接|真题再现，如直线旋转、方程图象判断，对接测评需求|

分层作业 2.2.1 直线的点斜式方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的点斜式方程 知识点02 直线的斜截式方程 知识点03 斜截式方程的图象特征 知识点04 点斜式与斜截式方程两直线平行、垂直问题（重点） 知识点05 点斜式与斜截式方程的应用（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的点斜式方程知识点01 知识点速记： 1. 直线的方程与方程的直线 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线l上，则称为直线l的方程，而直线l称为方程的直线. 2. 直线的点斜式方程 （1）定义：已知直线经过点，且斜率为，则把方程称为直线方程的点斜式． （2）说明：①当直线的斜率为0，即时，直线与轴平行(或重合)，直线方程为，如图（1） ②当直线与轴垂直时，直线的斜率不存在，直线的方程为，如图（2）． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）经过点，且倾斜角是的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．（25-26高二上·广东汕头·期中）若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南·期中）过点，垂直于轴的直线方程为______． 7．（25-26高二上·福建·期中）已知直线经过点，是它的一个方向向量，则直线的方程为_____. 8．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 直线的斜截式方程知识点02 知识点速记： 直线的斜截式方程 （1）截距的概念： 一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若与轴的交点为，则称在轴上的截距为a；若与轴的交点为，则称直线在轴上的截距为b，一条直线在轴上的截距简称截距． （2）直线的斜截式方程： 已知直线l的斜率为k，截距为b，那么直线的方程为，称为直线的斜截式方程. 题型巩固练： 9．（25-26高二上·浙江台州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东·期中）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 13．（25-26高二上·天津·期中）已知直线过点，斜率为2，则直线在轴上的截距是______. 14．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 斜截式方程的图象特征知识点03 知识点速记： 直线的斜截式方程为，代表直线的斜率，代表直线在轴上的截距。 其图像具有以下特征： ⑴倾斜方向由斜率决定：当时，直线从左下向右上延伸，经过第一、三象限方向；当时，直线从左上向右下延伸，经过第二、四象限方向；当时，直线平行于轴，为水平方向. ⑵位置由截距决定：直线必过点，即与轴的交点. 时交点在轴上方，时交点在轴下方，时直线过原点. 题型巩固练： 15．（2025高二上·江苏南通·专题练习）若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（22-23高二上·江苏连云港·阶段检测）直线可能是（    ） A． B． C． D． 17．直线不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（19-20高一上·陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（    ） A． B． C． D． 19．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_____ 21．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 点斜式与斜截式方程中两直线平行、垂直问题知识点04 知识点速记： 直线，直线 且 . 题型巩固练： 22．（24-25高二上·山东济南·阶段检测）已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 24．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知的三个顶点是. (1)求边AB上的高所在直线的方程； (2)求边AB上的中线所在直线的方程； (3)求边AB的垂直平分线的方程； 点斜式与斜截式方程的应用知识点05 知识点速记： 点斜式的应用场景：适用于已知直线上一点坐标和直线斜率的场景。 斜截式的应用场景：适用于已知直线的斜率和直线在轴上的截距的场景. 解题中，往往采用“待定系数法”： 1.设参：根据题目条件旋转形式。若已知点，可设点斜式；若已知斜率，可设斜截式； 2.列方程：利用题目给出的其它条件（如面积、平行或垂直、过另一点等）建立关于参数的方程； 3.求解：解出参数或，或求最值. 题型巩固练： 25．（2025高二上·山西长治·专题练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 26．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 27．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 28．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线过点，倾斜角等于60°，则在轴上的截距是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 5．（多选）（24-25高二上·海南·期中）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   6．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为______． 9．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为_____. 10．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 11．求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 12．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知点 (1)求过点，且与直线垂直的直线方程． (2)直线经过线段的中点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的方程． 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线l经过点. (1)若l与直线AB垂直，求l的方程； (2)若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 14．（24-25高二上·河北承德·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 1．【数形结合】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．【知识融合】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为______．    3．【知识融合】直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 1．（2003·广东·高考真题）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2008·四川·高考真题）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2.1 直线的点斜式方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的点斜式方程 知识点02 直线的斜截式方程 知识点03 斜截式方程的图象特征 知识点04 点斜式与斜截式方程两直线平行、垂直问题（重点） 知识点05 点斜式与斜截式方程的应用（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的点斜式方程知识点01 知识点速记： 1. 直线的方程与方程的直线 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线l上，则称为直线l的方程，而直线l称为方程的直线. 2. 直线的点斜式方程 （1）定义：已知直线经过点，且斜率为，则把方程称为直线方程的点斜式． （2）说明：①当直线的斜率为0，即时，直线与轴平行(或重合)，直线方程为，如图（1） ②当直线与轴垂直时，直线的斜率不存在，直线的方程为，如图（2）． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）经过点，且倾斜角是的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以． 故选：D 3．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A 4．（25-26高二上·广东汕头·期中）若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，直线的方程为，即， 对于A，当时，，A不是； 对于B，当时，，B不是； 对于C，当时，，C是； 对于D，当时，，D不是. 故选：C 5．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 6．（25-26高二上·湖南·期中）过点，垂直于轴的直线方程为______． 【答案】 【详解】因过点，垂直于轴的直线的斜率为0. 所以过点，垂直于轴的直线方程为, 即．如图：    7．（25-26高二上·福建·期中）已知直线经过点，是它的一个方向向量，则直线的方程为_____. 【答案】 【详解】由直线的一个方向向量是，可知直线斜率为， 所以直线的方程为：. 8．（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍． (1)求直线的斜率． (2)求过点，直线的点斜式方程． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 因此直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. （2）由（1）知：直线的斜率为，而直线过点 所以直线的点斜式方程为. 直线的斜截式方程知识点02 知识点速记： 直线的斜截式方程 （1）截距的概念： 一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若与轴的交点为，则称在轴上的截距为a；若与轴的交点为，则称直线在轴上的截距为b，一条直线在轴上的截距简称截距． （2）直线的斜截式方程： 已知直线l的斜率为k，截距为b，那么直线的方程为，称为直线的斜截式方程. 【注】直线的斜截式方程不能表示斜率不存在（即垂直于轴的直线）。 题型巩固练： 9．（25-26高二上·浙江台州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线方程为，所以该直线的斜率为1， 所以该直线的倾斜角为. 故选：C. 10．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有， 的补角为， 所以l的倾斜角为. 故选：B 11．（25-26高二上·广东·期中）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 13．（25-26高二上·天津·期中）已知直线过点，斜率为2，则直线在轴上的截距是______. 【答案】 【详解】根据点斜式方程得：，所以直线的方程为：； 令，得，所以直线在轴上的截距为. 14．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 斜截式方程的图象特征知识点03 知识点速记： 直线的斜截式方程为，代表直线的斜率，代表直线在轴上的截距。 其图像具有以下特征： ⑴倾斜方向由斜率决定：当时，直线从左下向右上延伸，经过第一、三象限方向；当时，直线从左上向右下延伸，经过第二、四象限方向；当时，直线平行于轴，为水平方向. ⑵位置由截距决定：直线必过点，即与轴的交点. 时交点在轴上方，时交点在轴下方，时直线过原点. 题型巩固练： 15．（2025高二上·江苏南通·专题练习）若，，则直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】如图所示，作出符合题意的图形， 由图可知，直线所以不经过第三象限. 故选：C. 16．（22-23高二上·江苏连云港·阶段检测）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以A C错； 当时，，故B对； 故选：B 17．直线不经过的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】画出直线方程得： 故直线不过第三象限， 故选：C    18．（19-20高一上·陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线通过第一、二、四象限，则有 故选：C 19．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 20．（25-26高二下·上海·阶段检测）若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_____ 【答案】 【详解】由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为. 因为，所以 又直线l经过点， 因此，所求直线方程为，即. 21．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 点斜式与斜截式方程中两直线平行、垂直问题知识点04 知识点速记： 直线，直线 且 . 题型巩固练： 22．（24-25高二上·山东济南·阶段检测）已知三点，则经过点且与直线平行的直线经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，所求直线的斜率为， 则根据点斜式可得直线方程为，即， 将以上各点代入可知在直线上. 故选：D. 23．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 24．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知的三个顶点是. (1)求边AB上的高所在直线的方程； (2)求边AB上的中线所在直线的方程； (3)求边AB的垂直平分线的方程； 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）直线的斜率为. 边上的高所在直线的斜率为. 边上的高所在直线的方程为，即. （2）记的中点为的坐标为. 直线的斜率为0. 边上的中线所在直线的方程为. （3）边的垂直平分线的方程为，即. 点斜式与斜截式方程的应用知识点05 知识点速记： 点斜式的应用场景：适用于已知直线上一点坐标和直线斜率的场景。 斜截式的应用场景：适用于已知直线的斜率和直线在轴上的截距的场景. 解题中，往往采用“待定系数法”： 1.设参：根据题目条件旋转形式。若已知点，可设点斜式；若已知斜率，可设斜截式； 2.列方程：利用题目给出的其它条件（如面积、平行或垂直、过另一点等）建立关于参数的方程； 3.求解：解出参数或，或求最值. 题型巩固练： 25．（2025高二上·山西长治·专题练习）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 【答案】 【详解】设，则， 把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入， 可得：，解得，故点， 又边上的高所在直线方程为，,， 则直线为，即． 联立，可得，故直线斜率为， 则直线的方程为：，即． 故答案为：． 26．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】 【详解】在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即.    在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 27．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. （2）由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即，所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. 28．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【详解】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线过点，倾斜角等于60°，则在轴上的截距是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线过点，倾斜角等于 所以直线方程为，即， 令，可得， 所以在轴上的截距是， 故选：A 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 3．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 4．（多选）（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 5．（多选）（24-25高二上·海南·期中）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 6．（24-25高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，若过点，则直线的方程为__________. 【答案】或 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）将直线绕点逆时针旋转得到的直线的点斜式方程是_______. 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将直线绕点逆时针旋转，所得直线的倾斜角为， ， 所以所求直线的点斜式方程为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为______． 【答案】 【详解】当时，，故直线过点， 而直线不过第一象限， 得到，解得. 9．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为_____. 【答案】 【详解】由题意知：，， 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为，，直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：，即. 10．（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 11．求适合下列条件的直线方程． (1)经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)；(2)或． 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． 因为， 所以． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． （2）由题意，可知所求直线的斜率为． 又过点, 由点斜式得． 所求直线的方程为或． 12．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知点 (1)求过点，且与直线垂直的直线方程． (2)直线经过线段的中点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由直线，可得设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，可得，解得， 故所求直线方程为． （2）解：由点，可得线段的中点坐标为， 设的倾斜角为，则，可得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即． 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线l经过点. (1)若l与直线AB垂直，求l的方程； (2)若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. （2）依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 14．（24-25高二上·河北承德·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标如图，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高线所在直线的方程. (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率，则边上的高线所在直线的斜率， 所以边上的高线所在直线的方程，即. （3）由（2）知，边上的垂直平分线所在直线的斜率为1， 由（1）知，边上的垂直平分线所在直线过点， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. 1．【数形结合】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 2．【知识融合】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的非负半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上一点处，设折痕所在直线的斜率为，若，则折痕长的取值范围为______．    【答案】 【详解】当时，此时点和点重合，折痕所在的直线的方程，折痕的长为2． 当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，由，即，解得， 故，从而折痕所在的直线与的交点坐标为， 故折痕所在的直线方程为，即， 因为直线的斜率为，所以当时，折痕端点在线段上，在线段上， 如图．当时，折痕所在的直线交于点，交轴于点， 所以， 又因为，所以，所以． 综上所述，折痕长的取值范围为． 故答案为：.    3．【知识融合】直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求面积的最小值和周长的最小值． 【答案】8， 【详解】已知， 令，解得，则， 令，解得，则，则： , 由于，令，则， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立， 即，. ， 其中，， 则， 当且仅当时等号成立，即，. 1．（2003·广东·高考真题）在同一坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确. 故选：C 2．（2015·山东·高考真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°， 所以斜率， 所以直线与轴的交点为， 所以直线的点斜式方程可得：， 即． 故选：D 3．（2008·四川·高考真题）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为， 再将该直线向右平移1个单位可得：，即. 故选：A. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2.1 直线的点斜式方程 参考答案 直线的点斜式方程知识点01 1.C； 2．D； 3．A； 4.C； 5.A； 6. 7. 8.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 因此直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. （2）由（1）知：直线的斜率为，而直线过点 所以直线的点斜式方程为. 直线的斜截式方程知识点02 9.C； 10．B； 11．B； 12．； 13. 14. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 斜截式方程的图象特征知识点03 15.C； 16．B； 17．C； 18.C； 19.D； 20.； 21.【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 点斜式与斜截式方程中两直线平行、垂直问题知识点04 22. D； 23.； 24.【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）直线的斜率为. 边上的高所在直线的斜率为. 边上的高所在直线的方程为，即. （2）记的中点为的坐标为. 直线的斜率为0. 边上的中线所在直线的方程为. （3）边的垂直平分线的方程为，即. 空间投影向量的运算知识点05 25. ； 26．； 27．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. （2）由题意可得，直线斜率存在，所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，，因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即，所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. 28.【答案】10.12m 【详解】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    1． A； 2．C； 3．B； 4．BC； 5．AC； 6．或； 7.（答案不唯一）； 8.； 9．； 10．； 11.【答案】(1)；(2)或． 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为． 因为， 所以． 又直线经过点， 因此所求直线方程为， 即． （2）由题意，可知所求直线的斜率为． 又过点, 由点斜式得． 所求直线的方程为或． 12．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）解：由直线，可得设与直线垂直的直线方程为， 因为过点，可得，解得， 故所求直线方程为． （2）解：由点，可得线段的中点坐标为， 设的倾斜角为，则，可得， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即． 13．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. （2）依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 14.【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）依题意，边的中点，则边上的中线所在直线的斜率， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率，则边上的高线所在直线的斜率， 所以边上的高线所在直线的方程，即. （3）由（2）知，边上的垂直平分线所在直线的斜率为1， 由（1）知，边上的垂直平分线所在直线过点， 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. 1.B； 2．； 3. 8， ； 1．C； 2．D； 3.A； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $