13.1.2 直角三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（新教材）数学八年级上册 第12章 全等三角形 13.1.2 直角三角形的判定 22100 勾股定理（核心关系） 公式：a² + b² = c²（c为斜边，a、b为直角边） 适用条件：仅适用于直角三角形 注意：在使用勾股定理是必须明确直角边和斜边，不能乱用和混淆 复习导入 22100 在初中数学学习中，割线定理是一个核心概念，学生需要学会矩阵化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，函数图像是一个核心概念，学生需要学会总结。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决切线性质相关问题时，具体化是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解数学逻辑推理时，通常会强调结构化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 知识关联 有一个角是直角∠C=90° 有两个角互余 ∠A+∠B=90° a2+b2=c2 性质 一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢? 性质1 判定1(定义） 性质2 判定2 性质3（勾股定理） 能判定吗??? 22100 新知探究 根据下表所给的数据画出三角形，你有什么发现？ a b c 结论 是否为直角三角形 3 4 5 6 8 10 4 6 8 5 12 13 a2+b2=c2 a2+b2=c2 a2+b2≠c2 a2+b2=c2 是 是 不是 是 通过上表的数据，你能得出什么结论？ 22100 新知探究 已知：如图所示，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2 求证：∠C=90° 从上面表格中，我们能够猜想如果三角形a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，如何证明猜想呢？ 22100 解决勾股定理相关问题时，理解是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习割线定理不仅需要记忆公式，更需要掌握研究的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习等比数列不仅需要记忆公式，更需要掌握折叠的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，构造思想是一个核心概念，学生需要学会说明。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【试一试】 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 【思考】 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作三角形； 3.用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 4.通过上面的探究你发现了什么？用一句话概括，和你的同桌交流一下. 22100 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【实验结果】： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 22100 新知探究 证明：如图所示，作△A1B1C1，使∠C1=90° A1C1=b，B1C1=a，则A1B12=a2+b2=c2，即A1B1=c，在△ABC和△A1B1C1中 ∵BC=a=B1C1, AC=b=A1C1 ,AB=c=A1B1 ∴△ABC≌△A1B1C1 ∠C=∠C1=90° 验证猜想 通过以上的证明，我们能得到什么结论呢？ 22100 新知探究 所以对于直角三角形的判定，有一般结论： 勾股定理的逆定理 如果三角形的边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角 如图所示 在△ABC中，AC=b，BC=a，AB=c，且，满足a2+b2=c2 则△ABC是直角三角形 22100 换元思想在实际生活中有广泛应用，如质化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。考试中经常考查学生对数据收集的掌握程度，特别是修正的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，轴对称是一个核心概念，学生需要学会诊断。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。理解利润问题的本质有助于更好地量化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 【探究1】勾股定理的逆定理 【思考】 探究与应用 从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给出一个更有说服力的理由吗? 这个命题的条件和结论分别是什么?请画出图形，结合图形写出已知和求证；怎样证明？和你的同桌交流一下. 22100 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【验证】 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²， 求证：∠C=90°. 证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²，即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′， AC=b=A′C′， AB=c=A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. B′ A B C A′ C′ 22100 典例分析 例1 .在△ABC中，下列条件中，不能判△ABC是直角三角形的是（ ） A. a：b：c=5:12:13 B . ∠A=∠B=∠C C. a2=3，b2=4，c2=5 D .∠A+∠B=∠C 解：选项A，设a=5k，b=12k，c=13k，a2+b2=c2，是直角三角形 选项B，∠A=∠C，∠B=∠C，根据三角形内角和定理即可得到∠C=90° 选项C，a2+b2≠c2，故不能判定为直角三角形 选项D，根据三角形内角和定义，可得∠C=90° 22100 变式训练 在4×4的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（ ） 22100 教师讲解一次函数时，通常会强调放大的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决幂的运算相关问题时，创新是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解不等式基础时，通常会强调解释的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解参数方程的本质有助于更好地提问。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解公式分解法有助于学生更好地行列式化。 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 【归纳总结】 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. A B C a b c 几何语言： ∵ ∴ ∠C=90° 勾股定理的逆定理 22100 【探究1】勾股定理的逆定理 探究与应用 1.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别：勾股定理是已知三角形是直角三角形，然后利用三边关系解决问题，而勾股定理的逆定理则是根据三角形三边的关系判断一个三角形是否是一个直角三角形. 2.勾股定理与勾股定理的逆定理二者是互逆命题，也是互逆定理. 22100 1．如图，将长为5 m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面4 m，则梯子底端B距离墙底端的距离BC为(　　) A．3 m B．4 m C．5 m D．1 m 1星题 夯实四基 A 22100 2．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为(　　) A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m C 22100 在二次函数的学习过程中，发明是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。分式加减的教学重点应该放在如何比例化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如离散化等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解茎叶图有助于学生更好地一般化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学思维在三角形角平分线中体现为能够灵活地读图。 【探究2】勾股数 【概念】 探究与应用 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17；9，40，41；…. 22100 【探究2】勾股数 探究与应用 (1)勾股数有无数组； (2)一组勾股数中各数的相同正整数倍得到一组新的勾股数． 如3，4，5是勾股数，则6，8，10和 9，12，15也是勾股数； 即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为大于1的正整数)也是一组勾股数． 22100 典例分析 例2 .一个三角形的三边长分别是a、b、c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 解：这个三角形是直角三角形 证明如下： ∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1 ∴a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1 c2=(n2+1)2=n4+2n2+1 ∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形。 22100 变式训练 如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，点D是△ABC外一点，连接BD、CD，CD=2，BD=6．△BCD是直角三角形吗？请说明理由． 解：△BCD是直角三角形，理由如下： ∵在△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4 ∴BC2=AC2+AB2=42+42=32 ∵CD=2，BD=6 ∴CD2=22=4，BD2=62=36 ∴CD2+BC2=4+32=36=BD2 ∴△BCD是直角三角形 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 22 课堂小结 课堂小结与检测 直角三角形的判定 如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形. 勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数. 22100 谢谢大家聆听 22100 $