13.1.3 反证法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

# 华东师大版八年级上册13.1.3反证法专项练习（约1400字） ## 一、知识点梳理 反证法是一种间接证明的方法。当直接证明一个命题比较困难时，可以采用反证法。 反证法的证明步骤： 1. **反设**：假设命题结论**不成立**，也就是假设结论的反面是正确的； 2. **归谬**：从这个假设出发，经过推理，得出与已知条件、公理、定理、定义相矛盾的结果； 3. **结论**：由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题的结论正确。 > > 要点提醒： > ① 反设要找准结论的反面。如“是”的反面是“不是”；“大于”反面“小于或等于”；“至少有一个”反面“一个都没有”； > ② 推出矛盾不一定和已知条件冲突，也可以和公理、定理矛盾； > ③ 反证法多用于证明：否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”类命题。 ## 二、基础练习题 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角”，第一步应该假设（） A. 一个三角形中至少有一个直角 B. 一个三角形中至少有两个直角 C. 一个三角形中没有直角 D. 一个三角形中最多有两个直角 2. 用反证法证明“若$(a>b)$，则$a^2>b^2$”的反面假设是（） A.$a^2<b^2$　B.$a^2\leq b^2$　C.$a^2\ge b^2$　D.$a^2 eq b^2$ 3. 命题“三角形三个内角中至少有两个锐角”，用反证法证明时，反设为（） A. 三个内角中最多有两个锐角 B. 三个内角中最多有一个锐角 C. 三个内角中没有锐角 D. 三个内角都是锐角 4. 反证法的核心是（） A. 从已知条件出发直接推理 B. 假设结论成立，推出条件成立 C. 假设结论反面成立，推出矛盾 D. 举反例说明命题错误 5. 用反证法证明“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，反设是（） A. 过直线外一点没有直线与已知直线垂直 B. 过直线外一点至少有两条直线与已知直线垂直 C. 过直线外一点有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线上一点有两条直线与已知直线垂直 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 用反证法证明“$\triangle ABC$中不可能有两个钝角”，应假设________________________。 2. “至少有一个”的反面是____________；“至多一个”的反面是____________。 3. 用反证法证明“若$a eq0$，则$a^2>0$”，第一步假设：____________。 4. 用反证法证明时，推出矛盾的对象可以是已知条件、定义、公理、________。 5. 命题“在一个三角形中，不能有两个角是直角”，假设：________________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 1. 用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60^\circ$。 2. 用反证法证明：两条直线相交，只有一个交点。 3. 已知：在$\triangle ABC$中，$AB eq AC$，求证：$\angle B eq\angle C$。 4. 用反证法证明：在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行。 ## 四、参考答案与解析 ### 选择题 1. **B**。解析：“最多一个直角”的反面是“至少两个直角”。 2. **B**。解析：$a^2>b^2$反面是$a^2\leq b^2$。 3. **B**。解析：“至少两个锐角”反面“最多一个锐角”。 4. **C**。解析：反证法思路：否定结论→推出矛盾→原命题成立。 5. **B**。解析：“有且只有一条”反面“至少两条”。 ### 填空题 1. $\triangle ABC$中有两个钝角 2. 一个都没有；至少两个 3. $a^2\leq0$ 4. 定理 5. 一个三角形中有两个角是直角 ### 解答题 1. **证明**： 假设在$\triangle ABC$中，三个内角都大于$60^\circ$，即$\angle A>60^\circ$，$\angle B>60^\circ$，$\angle C>60^\circ$。 则$\angle A+\angle B+\angle C>180^\circ$。 这与三角形内角和等于$180^\circ$矛盾。 所以假设不成立。因此，在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于$60^\circ$。 2. **证明**： 假设两条直线相交有两个交点。 那么经过这两个交点就存在两条不同的直线。 这与“两点确定一条直线”矛盾。 因此假设不成立，两条直线相交只有一个交点。 3. **证明**： 假设$\angle B=\angle C$。 根据“等角对等边”可得$(AB=AC)$。 这与已知条件$AB eq AC$矛盾。 故假设不成立，$\angle B eq\angle C$。 4. **证明**： 假设在同一平面内，这两条直线不平行，则它们相交。 那么过交点就有两条直线同时平行于第三条直线。 这与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾。 所以假设不成立，这两条直线互相平行。 ## 五、易错点总结 1. **反设错误**：找反面时容易漏掉“等于”，例如“大于”的反面不是“小于”，而是“小于或等于”；“至少一个”容易错写成“至少两个”。 2. **步骤不全**：只写假设，不写推出矛盾，最后忘记总结原命题成立。 3. **混淆反证法和举反例**：举反例只需要找到一个例子推翻命题；反证法是严谨证明，二者不一样。 4. **矛盾找错**：推理得到的结果必须和已知、公理、定理冲突，不能自己凭空编造矛盾。 （全文约1380字） 要不要我把这份练习**单独导出成纯题目版（不带答案）**方便直接打印做题？ 华东师大版（新教材）数学八年级上册 13.1.3 反证法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第13章 勾股定理 学习目标 如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c) 有关系 a2 + b2 = c2 时，这个三角形一定是直角三角形吗？ 解析：由 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C = 90°，这个三角形一定是直角三角形. c a b A C B 情境导入 新知探究 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）满足关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形，如果此时a2+b2≠c2，那么这个三角形是否一定不是直角三角呢？ 解题思路：（1）假设它是直角三角形； （2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是直角三角形 从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发进行证明有一定的难度，那么我们可以用以上方法进行证明，这种方法叫做”反证法“ 新知探究 ①反设：先假设结论的反面是正确的 ②归谬：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等想矛盾； ③结论：从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。 反证法步骤 回想一下，以前用过类似的方法吗？ 新知探究 思考 “在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题，对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2”是真命题吗？ 提示：先思考做什么假设，再用反证法推理过程 典例分析 例1 .用反证法证明：已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°． 证明：假设∠B≥90° ∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠B≥90°，∴∠C≥90°，∴∠B+∠C≥180° 又因为：在一个三角形中，三角形内角和为180° ∴不可能有两个内角和大于或等于180° ∴假设矛盾，∴假设不成立 ∴∠B＞90° 变式训练 用反证法证明：如果a+b＞0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a、b都不大于零 即a≤0，b≤0 因为两个非正数相加还是非正数 ∴a+b≤0. 这个与已知条件a+b＞0矛盾 所以假设不成立 所以a、b中至少有一个大于零 1．用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设(　　) A．a⊥c B．c不平行于b C．a不平行于b D．a不平行于c 1星题 夯实四基 D 举一反三 2．用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”，应假设(　　) A．a2<b2 B．a2＝b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2 C 举一反三 3．用反证法证明“若ab＝0，则a＝0或b＝0”时，第一步应假设_________________． a≠0且b≠0 举一反三 典例分析 例2 .已知：m是正整数，且m2是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 证明：假设m不是偶数，则m为奇数 设m=2n+1(n为整数) 则m2=（2n+1）2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1 因为4（n2+n)为偶数 所以4(n2+n)+1为奇数，与m2为偶数矛盾， 所以假设不成立，故为偶数 变式训练 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角． 证明：假设∠DAB是钝角或直角 ∵AB=AC，AD是底边BC上的高 ∴∠BAC=2∠DAB ∵∠DAB是钝角或直角 ∴2∠DAB≥180°，不符合三角形内角和定理 ∴假设不成立 ∴∠DAB是一个锐角 新知探究 4．[上海模拟]小明在用反证法解答“已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤： ①又因为∠A>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②所以∠B<90°；③假设∠B≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C，所以∠C≥90°； 请写出这四个步骤正确的顺序：____________．(填序号) ③④①② 举一反三 5. (教材改编题)用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”． 已知：如图，直线l1、l2被直线l3所截，∠1＋∠2_____180°. 求证：直线l1与l2________． 证明：假设l1________l2， 则∠1＋∠2______180°(__________________________)． 这与__________________矛盾，故________不成立． 所以____________________． ≠ 不平行 ∥ ＝ 两直线平行，同旁内角互补 ∠1＋∠2≠180° l1∥l2 直线l1与l2不平行 举一反三 6. 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小点和小训三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上．” 小点说：“红色球不在我手上．” 小训说：“红色球肯定不在小雅手上．” 三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上． 小点 2星题 提升四能 举一反三 7．用反证法证明命题“在一个三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是(　　) A．在一个三角形中，至少有一个内角是直角 B．在一个三角形中，至少有两个内角是直角 C．在一个三角形中，没有一个内角是直角 D．在一个三角形中，至多有两个内角是直角 B 举一反三 8．[陕西西安期末]已知：如图，D是△ABC内一点． 求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形(用反证法证明)． 证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角， ∴∠ADB＋∠BDC＋∠ADC<360°，这与∠ADB＋∠BDC＋∠ADC＝360°矛盾，∴假设不成立， ∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形． 举一反三 9. 【新趋势·代数推理】设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2－ac，y＝c2－ab，z＝a2－bc.求证：x，y，z中至少有一个大于0. 解：假设x，y，z都小于0，则b2－ac＋c2－ab＋a2－bc<0， ∴2b2－2ac＋2c2－2ab＋2a2－2bc<0， ∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2<0，这与偶次方的非负性相矛盾， ∴假设不成立，∴x，y，z中至少有一个大于0. 举一反三 课堂小结 基本概念 通过假设命题结论不成立，推导出矛盾 从而证明原命题必然成立 实施步骤 (1) 假设结论不成立 (2) 进行合理推理 (3) 得出与已知条件/公理/定理矛盾的结论 (4) 推翻假设，确认原命题成立 谢谢观看 THANKS $