精品解析：广东中山市桂山中学2027届高三上学期第一次阶段检测数学试题

中山市桂山中学2027届高三第一次阶段性检测题（2026.09） 数学 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求） 1. 复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部是. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设函数 ，求导得：, 当 时，，则在 上单调递增； 若 ，由 在 上单调递增，可得 ， 即，充分性成立； 举反例：取  ​，满足 ， 即成立，但不满足 ，必要性不成立； 因此，是的充分不必要条件. 4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别验证各个选项中函数的奇偶性和单调性即可得出结果. 【详解】A选项，函数定义域为， ，函数为奇函数， 在上单调递减，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，不符合题意； B选项，，即，函数定义域为， ，函数为奇函数， ∵在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，不符合题意； C选项，函数定义域为，为偶函数，不符合题意； D选项，函数定义域为，，函数为奇函数， ，因为函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，符合题意. 故选：D. 5. 已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是偶函数，得到的图像关于对称，由且时，，得到在单调递增，由，结合单调性即可判断. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即的图像关于对称， 又且时，， 可得在单调递增， 所以， 所以， 故选：C 6. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，， 令，得，故项的系数为， 所以. 7. 已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列的定义，利用取倒数法证得是等差数列，进而求得，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，由，得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以，则， 所以数列的前20项和为. 故选：B 8. 某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用样本中心一定在回归直线上，计算出，然后利用样本中心点的横坐标和纵坐标分别为对应数据的均值，计算出除了输入错误数据的和，然后代入正确数据计算出均值，就可以得到修正后数据的样本点中心，然后将其代入修正后的回归直线方程，计算出即可. 【详解】由题可知，假设甲输入的为，为，所以，，所以，，改为正确数据时得，，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程，得. 故选：D 二、多选题多选题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确： 对于D中，由，则，所以D正确． 10. 记等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 的公比 B. 是递减数列 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的性质依次判断即可. 【详解】对于A，由等比数列前项和的性质可得，即，得，解得，故A正确； 对于B，由A知，数列的项正负交替出现，所以是摆动数列，不是递减数列，故B错误； 对于C，由，代入，，可得，所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集为 B. 当时， C. 有且只有两个零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性求解可判断B；利用B中的结论及已知条件解不等式可判断A；由函数的解析式及奇函数的性质求出零点可判断C；利用导数研究函数的最值可判断D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，，则，故B正确； 当时，，由即，解得； 当时，，由即，解得， 所以的解集为，故A正确； 当时，由，解得； 因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，由，解得， 故有且只有三个零点，故C错误； 当时，，， 故在上单调递增，所以，， 则，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则=_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以正态曲线关于对称，且标准差， 因为， 所以， 因此. 13. 已知，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 14. 已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据的解析式求出中的值，然后再求出的值. 【详解】当时， ，不符合题意； 当时， ， 即， 解得或. 当时， 若，，舍去； 若，， 解得或者； 当时 若， 解得； 若， ， 解得或. 计算得满足条件的实数有5个. 四、解答题（共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【详解】试题分析：用换元法令来求函数的解析式（2）由（1）得的解析式代入，分离含参量，求出实数的取值范围 解析：（1）令 ∴ 即：∴. （2）由 即： 又因为：，∴ 令，则： 又在为减函数，在为增函数. ∴ ∴，即：. 点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果． 16. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比中项性质列方程求解公差，再代入等差数列通项公式、前项和公式计算即可； （2）将拆分为裂项相消型和等比型两部分，分别求和后相加得到. 【小问1详解】 由题可知， 因为，，成等比数列，所以， 解得或（因为，所以舍去）， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 . 17. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【小问1详解】 依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得 成绩在[80,90)区间样本中的学生人数为：； 成绩在[90,100]区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人. 【小问2详解】 由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为共8件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率为. 【小问3详解】 由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 18. “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 试销单价x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量y（件） q 84 83 80 75 68 已知 （1）求出q的值； （2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程； （3）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望． （参考公式：线性回归方程中最小二乘估计分别为） 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据，可求得结果；（2）由公式可得 ，样本的中心点带入可得值，从而求得回归方程；（3）（）的共有 个“好数据”：、、． 于是的所有可能取值为，，，．分别求出对应概率，利用期望公式求解即可. 【小问1详解】 ，可得 解得． 【小问2详解】 ， ， 所以所求的线性回归方程为． 【小问3详解】 利用（2）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，． 与销售数据对比可知满足（1,2，…，6）的共有3个“好数据”：、、． 于是的所有可能取值为，，，． ；；；， ∴的分布列为： 0 1 2 3 于是． 19. 已知曲线在处的切线过点. （1）试求的值； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 【答案】（1）0； （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明如下： 由（2）得， 要证明，即证，即证， 令，求导得， 由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即恒成立， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再代入计算即得. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出单调区间. （3）由（2）求出函数的最小值，利用分析法，构造函数并利用导数证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为，即， 依题意，，所以则. 【小问2详解】 由（1）知函数，其定义域为，求导得， 当时，在上单调递减； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市桂山中学2027届高三第一次阶段性检测题（2026.09） 数学 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求） 1. 复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知数列满足：，．若数列满足，则数列的前20项和为（ ） A. B. C. D. 8. 某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多选题多选题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分） 9. 已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 记等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 的公比 B. 是递减数列 C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集为 B. 当时， C. 有且只有两个零点 D. 三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则=_________. 13. 已知，则的最小值是______. 14. 已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 四、解答题（共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 17. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人； （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 18. “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 试销单价x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量y（件） q 84 83 80 75 68 已知 （1）求出q的值； （2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程； （3）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望． （参考公式：线性回归方程中最小二乘估计分别为） 19. 已知曲线在处的切线过点. （1）试求的值； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $