第1讲 数学与我们同行 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版七年级数学上册

第1讲 数学与我们同行 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 感受生活中无处不在的数学，能根据生活经验合理判断长度、面积、体积与容积的大小和单位 · 经历观察、操作、实验、猜想、验证等数学活动过程，体会数学活动的一般步骤与研究方法 · 会用数学的眼光观察现实世界，从日历、身份证、幻方等素材中发现数量关系与变化规律 · 了解《九章算术》《孙子算经》等我国古代数学著作及其成就，增强文化自信与民族自豪感 · 初步感受转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，能借助它们解决简单的实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.生活中的数学与单位常识 生活中有大量与数学有关的现象：长度、面积、体积、容积、时间、质量等都需要用合适的单位来描述 常用长度单位：毫米、厘米、分米、米、千米；常用面积单位：平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米 常用体积与容积单位：立方厘米、立方分米、立方米、毫升、升；1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米 对身边事物的大小要有数量感，能根据生活经验判断单位是否合适，如教室面积约60平方米、一瓶墨水约60毫升 概念辨析例题：下面说法合理的是（　　）A．一个教室的面积约是48平方千米　B．一个篮球场面积大约400公顷　C．河南省的面积约为167000平方千米　D．你家客厅面积约为20公顷 解析：教室面积约48平方米，篮球场约400平方米，客厅约20平方米，均不能用平方千米或公顷；河南省面积约16.7万平方千米，故选C。 ☆ 2.数学活动与规律探究 数学活动的一般步骤：观察素材、提出猜想、动手操作或计算、验证结论 日历、身份证号码、幻方、图形拼摆中隐藏着规律，可通过列表、算一算等方法寻找 寻找规律时常先算前几个值，比较相邻项的差或倍数，再归纳一般结论并用新数据验证 身份证校验码、干支纪年等规则型问题，按给定的步骤依次计算即可得到结果 概念辨析例题：吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是（　　） 解析：设第一个数为x，则其余三个数为x＋1、x＋7、x＋8，由x＋(x＋1)＋(x＋7)＋(x＋8)＝32，得4x＋16＝32，x＝4。 ☆ 3.数学文化与数学语言 《九章算术》《孙子算经》《算法统宗》等古代著作中记载了大量数学问题，是中华数学文化的瑰宝 古人用方程、比例、剩余定理等方法解决问题，其思想至今仍在沿用 数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，解决问题时要用简洁准确的数学语言表达思路 古今中外数学家的故事（刘徽、祖冲之、笛卡尔等）说明数学是不断发展的科学 概念辨析例题：用“元”表示未知数，源于我国的“天元术”，现存的使用天元术的最早著作是我国数学家（　　）所著的《测圆海镜》．A．李冶　B．刘徽　C．李善兰　D．祖冲之 解析：《测圆海镜》是我国数学家李冶所著，是现存最早系统使用天元术（用“元”表示未知数）的著作，故选A。 ☆ 4.数学思想方法初步 转化思想：把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，如多边形面积转化为三角形面积 数形结合：把数量关系与图形结合起来，如用图形解释计算、用坐标系表示位置 分类讨论：按标准分类逐一研究，如按角的类型、图形的形状分类讨论 模型思想：从实际问题中抽象出数量关系，如用字母表示数、列方程解决实际问题 概念辨析例题：法国数学家笛卡尔最早引入平面直角坐标系，使得平面图形中的点P与有序数对建立了一一对应关系，这体现的数学思想是（　　）A．数形结合　B．类比思想　C．公理化思想　D．分类讨论 解析：用坐标系把点（图形）与有序数对（数）一一对应，正是把数与形结合起来的“数形结合”思想，故选A。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 长度单位 毫米＜厘米＜分米＜米＜千米，1米＝10分米＝100厘米 选单位要结合实物大小，如身高用厘米、路程用千米 面积单位 1平方米＝100平方分米，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷 教室、操场用平方米，城市、省份用平方千米 体积与容积 1升＝1立方分米＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米 液体的多少用升或毫升，固体的空间用体积单位 规律探究 观察→猜想→验证，先列表再归纳 验证时至少要代入两组数据，防止以偏概全 数学文化 《九章算术》《孙子算经》等典籍中的经典问题 阅读古题时先弄清题意，再转化为现代数学问题 数学思想 转化、数形结合、分类讨论、模型思想 解题后回顾方法，养成“做一题、想一类”的习惯 ⚠️ 核心考点 【考点1】1.1 生活 观察（第1-15题） · 判断单位是否合理：先想实物实际大小，再与单位对应，排除明显不符的选项 · 常见物体数量感：教室约60平方米、篮球场约420平方米、墨水约60毫升、冰箱约200升 · 古代著作题：读懂古文大意，把“粟米之法”等比例关系转化为现代算式 · 单位换算题：牢记相邻单位进率，如1升＝1000毫升、1米＝100厘米 1．（2026•榆树市开学）下面说法合理的是（　　） A．一个教室的面积约是48平方千米 B．一个篮球场面积大约400公顷 C．河南省的面积约为167000平方千米 D．你家客厅面积约为20公顷 2．（2026•榆树市开学）下面描述中，符合生活常识的是（　　） A．教室地面面积大约6平方米 B．一袋盐的重量大约是500克 C．一元硬币的厚度大约是1厘米 D．家用冰箱的容积大约是240毫升 3．（2026•榆树市开学）一个冰箱的容积大约有200（　　） A．L B．cm3 C．m3 D．dm2 4．（2026•望奎县开学）一瓶墨水大约是60（　　） A．升 B．毫升 C．立方米 5．（2026•潮阳区校级开学）我国地域辽阔，陆地领土面积大约有960万（　　） A．平方米 B．立方米 C．公顷 D．平方千米 6．（2026•樊城区开学）（1）4升80毫升＝_________ 升； （2）时＝_____ 时 _______ 分． 7．（2026•福田区校级开学）2025年12月31日24时就是______________ 的零时． 8．（2026秋•同步）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．《孙子算经》共有三卷，第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足．上有七十六首，下有四十六足．问禽、兽各几何？”译文：现在有一种野兽，长有六头四足；有一种鸟，长有四头两足．把它们放一起，共有76头、46足．问：野兽、鸟各有多少只？则野兽有_____ 只，鸟有_____ 只． 9．（2026•汉阴县二模）《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：现有4斗（1斗＝10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米_______ 升． 10．（2026春•南岗区校级期中）填上合适的单位． “神舟十六号”载人航天飞船返回舱的容积是6________ ． 11．（2026•太和县三模）综合实践：制作简易的液体密度计 【项目背景】密度天平是一种基于阿基米德原理的精密测量仪器，主要用于固体、液体、浮体及不规则物质的密度测定，涵盖电子、橡胶、化工、科研等领域．某数学兴趣小组准备用一根轻质弹簧（劲度系数k＝0.25N/cm，弹簧原长L0＝5cm，弹性限度内最大伸长量为10cm）、一个体积为V0的小金属块以及一把带有刻度的刻度尺，制作一个能直接计算液体密度的简易密度计． 【项目准备】通过查阅资料，数学兴趣小组得到以下信息： a．弹簧在弹性限度内，拉力F拉力与弹簧伸长量x的关系为F拉力＝kx，其中k为弹簧的劲度系数，x＝L﹣L0（L为弹簧受力时的长度）． b．金属块完全浸入在液体中时受到的浮力F浮力＝ρ液V0g．（g取10N/kg） c．在空气中，弹簧下端悬挂金属块时，F拉力＝G（G为金属块的重力）；金属块完全浸入在液体中时，F拉力＝G﹣F浮力． 【操作实验】实验装置如图所示，弹簧上端固定，下端挂金属块，旁边竖直固定刻度尺．实验步骤如下： 第一步：在空气中悬挂金属块，弹簧长度L1＝7.7cm． 第二步：将金属块完全浸入在水中（），弹簧长度L2＝6.7cm． 任务一： （1）在空气中时，弹簧伸长量x1＝________ cm；金属块完全浸入在水中时，弹簧伸长量x2＝________ cm． （2）求金属块的体积V0（单位：cm3）． 【确定量程】已知金属块浸没在不同液体中时，弹簧伸长量会变化． 任务二： （3）当金属块完全浸入到某种液体中时，弹簧恰好处于原长（x＝0），此时弹簧的拉力F拉力＝_____ N，该液体的密度为________ g/cm3． 12．（2026春•朝阳区校级期中）《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？ 13．（2026秋•同步）《九章算术》中有一题：今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？译文：现有二匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱．问一匹马、一头牛的价钱各是多少？ 14．（2025秋•柘城县期末）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（　　） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 15．（2026•泰兴市开学）在数学学习中，常用到一种数学思想方法——转化．图中运用了转化思想的有（　　） A．②④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点2】1.2 活动 思考（第16-30题） · 规律探究题：列表写出前几项，观察差或倍数，归纳出一般结论 · 日历问题：相邻两天差1，上下行差7，用设未知数列方程的方法求解 · 计算工具与数学史：按出现先后排序，如算筹→算盘→电子计算器 · 多步规则题（如身份证校验码）：严格按步骤计算，注意余数与校验码对应表 16．（2026•南宁校级开学）校篮球场的面积大约是420（　　） A．dm B．dm2 C．m D．m2 17．（2026•罗湖区校级开学）一辆小汽车所占的车位面积大约是8（　　） A．米 B．平方米 C．平方分米 D．立方米 18．（2026•龙华区开学）为了计算方便，人们发明了许多计算工具．若将部分计算工具按照出现的先后顺序排列，正确的是（　　） A．计算尺、算筹、电子计算器 B．算筹、算盘、电子计算器 C．算盘、算筹、计算尺 D．算筹、电子计算器、算盘 19．（2025•哈尔滨校级开学）4.6升＝_________ 毫升；0.17立方米＝________ 立方分米． 20．（2025•洛南县校级开学）写出两个你知道的古今中外数学家的名字________ 、_______ ． 21．（2025秋•龙凤区期中）“欲穷千里目，更上一层楼”用数学的知识解释是观察者站的位置越高，观察到的范围越_____ ． 22．（2025•凤阳县三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长C＝2πr推导出的面积公式是．当C＞0时，比较大小： _____ （填“＞”或“＜”）． 23．（2024秋•松山区期末）学校田径运动会比赛场地，一个标准的400m跑道的直道长约为__________ m． 24．（2025•明水县校级开学）填上适当的体积单位或容积单位． 橡皮的体积约是10________ ； 一杯牛奶有280________ ； 集装箱的体积约是40________ ； 一桶色拉油约6________ ． 25．（2025秋•鄄城县校级月考）如图，某种卷筒纸的外直径为14cm，内直径为6cm，每层纸的厚度为0.02cm．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π取3.14）？ 26．（2025秋•海淀区校级月考）清华附中初中楼的名称叫做________ ． 27．（2025秋•丹阳市期中）我国现行的二代身份证号码是18个数字（第18位可能由字母X表示），它是由（从左至右）前17位数字本体码和最后1位校验码组成的． 小睿同学通过查阅资料发现：身份证前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码．第18位校验码由前17位数字根据一定规则计算得出．为了方便表示，现将身份证的18位数字（从左至右）依次记为：a1，a2，…，a17，a18，其中ai（i＝1，2，3，…，18）表示（从左至右）第1位上的数字．计算校验码a18的规则是： 步骤1．将每一位数字本体码分别乘以一个指定的数，之后将乘积相加，求得S．具体公式为： S＝7a1+9a2+10a3+5a4+8a5+4a6+2a7+a8+6a9+3a10+7a11+9a12+10a13+5a14+8a15+4a16+2a17； 步骤2．将S除以11所得的余数比为Y； 步骤3．查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10） 余数Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码a18 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 小春同学决定用自己的身份证号码验证一下，他的身份证前17位数字本体码是： 11010820101008324（如下表），请按照校验码计算规则完成下列问题： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ai 1 1 0 1 0 8 2 0 1 0 1 0 0 8 3 2 4 （1）小容同学的身份证号码对应的S＝________ ，Y＝_____ ； （2）小容同学的身份证号码中校验码a18是 _____ ； （3）小春同学无意间获知了小方同学身份证号码的一部分，如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ai 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 2 0 5 1 2 他想要在小方同学生日时给他惊喜，于是他通过上述规则推算出小方同学的生日是：2011年3月 _______ 日． 28．（2025秋•浦口区校级月考）生活与数学 （1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是_____ ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是______________ ； （3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是_______ ； （4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是_______ 号； （5）若干个偶数按每行8个数排成如图所示： ①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系 ②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是_______ ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为252，则斜框的中间一个数是_______ ． 29．（2026•泾川县校级模拟）“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示132×23，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 30．（2026春•龙华区期末）“转化”是一种重要的问题解决策略，下列选项中用到转化策略的是（　　） ① 事件 ② 三角形内角和为180° ③ AC+BC＝AC+B'C ④ （9x2y﹣6xy2）÷3xy多项式÷单项式 ＝9x2y÷3xy﹣6xy2÷3xy单项式÷单项式 A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【考点3】1.3 交流 表达（第31-45题） · 数学文化题：结合典籍背景理解题意，将其转化为方程或比例问题 · 折扣问题：八五折＝原价的85%，折后价＝原价×折扣 · 表格数据题：观察表格中数据的变化规律，用一次函数或等差规律补全 · 思想方法题：抓住“一一对应”“数与形结合”等关键词判断体现的思想 31．（2026春•蓬莱区期末）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绫的价格是（　　） A．6分 B．8分 C．12分 D．14分 32．（2026春•道外区期末）一台半导体收音机八五折出售，就是说售价是（　　） A．原价的85% B．原价降低了85% C．原价的15% D．原价的8.5% 33．（2026•东莞市二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如表（未记录完整）： 箭尺读数（cm） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 7：00 8：00 9：00 12：00 ？ 19：00 则箭尺读数为21cm时，指示时间应为（　　） A．13：00 B．15：00 C．16：00 D．17：00 34．（2025•宜章县校级开学）在下面的括号里填上合适的单位名称：小军的身高大约160_______ ，一瓶矿泉水水的容积大约560_______ ． 35．（2025•崇川区开学）在横线内填合适的数或单位名称． 体育老师季老师的体重约56_______ ，一次能喝0.2_____ 的水．她每天晚上跑步1.1小时，也就是_______ 分钟；她的速度大约是80________ ，每天大约跑5_______ ． 36．（2025春•离石区期中）如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木_____ 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 37．（2025春•硚口区月考）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是_________ 尺． 38．（2024秋•云岩区期末）回顾，反思 回顾本学期学习的第四章“基本平面图形”，我们感悟了一些研究图形的基本思路和方法．在今后的学习中我们将继续研究平面图形中的三角形，基于你研究图形的认识，你觉得可以研究三角形的 _____ 、_____ ．（填写两个方面即可） 39．（2025秋•邗江区校级月考）如图，观察月历，2023年的国庆节是星期 _____ ． 40．（2024秋•同步）【观察思考】 如图，在一张纸上画若干条直线，能将这张纸最多分成多少份呢？ 【规律发现】 （1）归纳规律，填写下表： 直线条数 1 2 3 4 5 … 直线交点 0 1 3 ①_____ ②_______ … 最多分成的份数 2 4 7 ③_______ ④_______ … 【规律应用】 （2）若直线将该张纸最多分成37份，则直线的条数为多少？ 41．（2025秋•官渡区期末）跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如图，当运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（　　） A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低 B．“滚式”过横杆时运动员重心最低 C．“背越式”过横杆时运动员重心最低 D．三种方式过横杆时运动员重心相同 42．（2025秋•道里区期末）用“元”表示未知数，源于我国的“天元术”，现存的使用天元术的最早著作是我国数学家（　　）所著的《测圆海镜》． A．李冶 B．刘徽 C．李善兰 D．祖冲之 43．（2026秋•海州区校级同步）时间一去不复返，孩子们，转眼间，我们已经在小学阶段学习了大约2000（　　） A．时 B．日 C．月 D．年 44．（2026春•兴化市月考）法国数学家笛卡尔，最早引入平面直角坐标系，使得平面图形中的点P与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，这体现的数学思想是（　　） A．数形结合 B．类比思想 C．公理化思想 D．分类讨论 45．（2024秋•红桥区期末）如图所示，下列各角是锐角的是（　　） A．∠AOB B．∠AOC C．∠AOD D．∠BOC 💯 课后巩固 复习建议 · 多观察身边物体的长度、面积、体积与容积，积累数量感与单位感，做单位题先想实物 · 遇到规律探究题按“观察—猜想—验证”三步走，先列表再找关系，验证不少于两组数据 · 重视数学文化题，熟悉《九章算术》《孙子算经》等典籍中的经典问题及其现代解法 · 解题时主动用转化、数形结合等思想方法，做完后回顾用了什么方法、能否推广 · 读题时圈出关键信息，用数学语言（文字、符号、图形）准确表达数量关系 【作业1】（2026•海南）圆周率π是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对π有过深入研究．请写出一个小于π的有理数____________________ ． 【作业2】（2024秋•黄梅县期中）公元前50年，著名的凯撒大帝发明了一种密码叫做凯撒密码．在凯撒密码中，原文中的每个字母对应密报的字母都是错位的．如图1，该凯撒密码原文“A”对应密报“D”，原文“B”对应密报“E”，以此类推．如果到了字母表的末尾，就回至开始，原文“Z”对应密报“C”，原文“Y”对应密报“B”，原文“X”对应密报“A”，如此形成一个循环．密钥是原文中字母“A”所对应的密报的字母．图1中该凯撒密码的密钥就是“D”． 请根据图2中的凯撒密码密报和原文对照表．回答下面问题： 百国、赵国和张国之间发起了战争．百国向友国赵国发出了一张一起突击张国的时间的密报“WMCYIAYVM”，赵国在接到密报后，将于 _________ 与百国一同攻击张国．（填写答案时将字母转换成汉字．例如：“BAYUEYIRI”转换成“八月一日”）． 【作业3】（2024•天心区校级自主招生）时针速度是分针速度的___________________ ，分针速度是秒针速度的___________________ ． 【作业4】（2024秋•南昌期中）著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 _______ ． 【作业5】（2024•秦都区校级开学）单位换算：2立方米50立方分米＝_________ 立方分米；80分＝__________________ 时． 【作业6】（2024•金水区校级开学）【混合运算的应用】某县中小学生大约有12万人．如果每人每天浪费2张纸，那么全县中小学生每天浪费的纸张摞起来的高度大约有_______ 米．（每100张纸的厚度约为1厘米） 【作业7】（2024•二七区校级开学）事×2＝功÷2，事÷2＝功×2的成语谜底分别是_________ 和_________ ． 【作业8】（2024秋•郾城区校级期中）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，正方形中每一横行、一竖列及对角线的几个数之和都相等，称为“幻方”．图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是15． （1）图1中9个数之和是15的_____ 倍，15是9格的中心数5的_____ 倍； （2）请在图2的幻方中将﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数分别填入； （3）在图3的幻方中，请填上合适的数． 【作业9】（2024•成都校级开学）毕达哥拉斯，古希腊哲学家和数学家，他最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用，无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学．毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，关于学校的人数，他这样说道：“现在有一半学生在学数学，四分之一的学生学音乐，七分之一的学生在休息，还剩三位女同学…．”请求出毕达哥拉斯的学校里的学生总人数． 【作业10】（2024•成都校级开学）材料1：我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的“干支纪年法”，干支中的“干”是“天干”的简称，指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；“支”是“地支”的简称，指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥．将十天干和十二地支顺序搭配，就构成了60个干支，如：1984年对应着甲子年，1985年则为乙丑年，1986年为丙寅年等． 材料2：我国著名数学家苏步青分享了一个学文史也要学好数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，苏东坡生于1037年，活了66岁．我翻看了《赤壁赋》，开头写着‘壬戌之秋，七月既望’，书上记载此文写于1080年．我一看就知道书上把写作时间弄错了．” （1）请通过计算说明苏步青是怎样得出这个结论的？ （2）请推算苏东坡到底是哪一年书写的《赤壁赋》？ 【作业11】（2024•新昌县校级开学）我国古代采用“干支”纪年法，下表是十天干，十二地支，十二生肖． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 十二生肖 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 该法是将十天干与十二地支顺次搭配纪年；如1984年是甲子年（鼠年），1985年是乙丑年（牛年）⋯⋯，1993年为癸酉年（鸡年），1994年为甲戌年（狗年），1995年为乙亥年（猪年），1996年为丙子年（又是鼠年），1997年是丁丑年（牛年），2005年是乙酉年（鸡年）． ①今年（2024）用“干支”纪年法表示是_______ 年． ②今年是龙年，上一个龙年是公元_________ 年，其干支年号是_______ ． ③新中国成立于1949年，这一年出生的孩子属_____ ．（填生肖） 【作业12】（2024秋•同步）幻方第一人 幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中3行，3列以及2条对角线上的点数之和都等于15，是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用1，2，3，…，16构造4阶幻方的方法是：先将1，2，3，…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换…请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方． 【作业13】（2024秋•同步）煮面条有下面几道工序：①洗锅盛水，2min；②洗菜，3min；③准备面条及佐料，2min；④用锅把水烧开，7min；⑤用烧开的水煮面条和菜，3min．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．则要将面条煮好，最少需要多长时间？ 【作业14】（2024春•朝阳区校级月考）小莫同学随手拿起一份月历，发现某一个月的所有的星期天的日期加起来是85，请问最后一个星期天是几号？ 【作业15】（2024•西城区校级开学）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法（形式不限）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 数学与我们同行 优等生讲义 2026-2027 苏科版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 感受生活中无处不在的数学，能根据生活经验合理判断长度、面积、体积与容积的大小和单位 · 经历观察、操作、实验、猜想、验证等数学活动过程，体会数学活动的一般步骤与研究方法 · 会用数学的眼光观察现实世界，从日历、身份证、幻方等素材中发现数量关系与变化规律 · 了解《九章算术》《孙子算经》等我国古代数学著作及其成就，增强文化自信与民族自豪感 · 初步感受转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，能借助它们解决简单的实际问题 📚 知识梳理 ☆ 1.生活中的数学与单位常识 生活中有大量与数学有关的现象：长度、面积、体积、容积、时间、质量等都需要用合适的单位来描述 常用长度单位：毫米、厘米、分米、米、千米；常用面积单位：平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米 常用体积与容积单位：立方厘米、立方分米、立方米、毫升、升；1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米 对身边事物的大小要有数量感，能根据生活经验判断单位是否合适，如教室面积约60平方米、一瓶墨水约60毫升 概念辨析例题：下面说法合理的是（　　）A．一个教室的面积约是48平方千米　B．一个篮球场面积大约400公顷　C．河南省的面积约为167000平方千米　D．你家客厅面积约为20公顷 解析：教室面积约48平方米，篮球场约400平方米，客厅约20平方米，均不能用平方千米或公顷；河南省面积约16.7万平方千米，故选C。 ☆ 2.数学活动与规律探究 数学活动的一般步骤：观察素材、提出猜想、动手操作或计算、验证结论 日历、身份证号码、幻方、图形拼摆中隐藏着规律，可通过列表、算一算等方法寻找 寻找规律时常先算前几个值，比较相邻项的差或倍数，再归纳一般结论并用新数据验证 身份证校验码、干支纪年等规则型问题，按给定的步骤依次计算即可得到结果 概念辨析例题：吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是（　　） 解析：设第一个数为x，则其余三个数为x＋1、x＋7、x＋8，由x＋(x＋1)＋(x＋7)＋(x＋8)＝32，得4x＋16＝32，x＝4。 ☆ 3.数学文化与数学语言 《九章算术》《孙子算经》《算法统宗》等古代著作中记载了大量数学问题，是中华数学文化的瑰宝 古人用方程、比例、剩余定理等方法解决问题，其思想至今仍在沿用 数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，解决问题时要用简洁准确的数学语言表达思路 古今中外数学家的故事（刘徽、祖冲之、笛卡尔等）说明数学是不断发展的科学 概念辨析例题：用“元”表示未知数，源于我国的“天元术”，现存的使用天元术的最早著作是我国数学家（　　）所著的《测圆海镜》．A．李冶　B．刘徽　C．李善兰　D．祖冲之 解析：《测圆海镜》是我国数学家李冶所著，是现存最早系统使用天元术（用“元”表示未知数）的著作，故选A。 ☆ 4.数学思想方法初步 转化思想：把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，如多边形面积转化为三角形面积 数形结合：把数量关系与图形结合起来，如用图形解释计算、用坐标系表示位置 分类讨论：按标准分类逐一研究，如按角的类型、图形的形状分类讨论 模型思想：从实际问题中抽象出数量关系，如用字母表示数、列方程解决实际问题 概念辨析例题：法国数学家笛卡尔最早引入平面直角坐标系，使得平面图形中的点P与有序数对建立了一一对应关系，这体现的数学思想是（　　）A．数形结合　B．类比思想　C．公理化思想　D．分类讨论 解析：用坐标系把点（图形）与有序数对（数）一一对应，正是把数与形结合起来的“数形结合”思想，故选A。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 长度单位 毫米＜厘米＜分米＜米＜千米，1米＝10分米＝100厘米 选单位要结合实物大小，如身高用厘米、路程用千米 面积单位 1平方米＝100平方分米，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷 教室、操场用平方米，城市、省份用平方千米 体积与容积 1升＝1立方分米＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米 液体的多少用升或毫升，固体的空间用体积单位 规律探究 观察→猜想→验证，先列表再归纳 验证时至少要代入两组数据，防止以偏概全 数学文化 《九章算术》《孙子算经》等典籍中的经典问题 阅读古题时先弄清题意，再转化为现代数学问题 数学思想 转化、数形结合、分类讨论、模型思想 解题后回顾方法，养成“做一题、想一类”的习惯 ⚠️ 核心考点 【考点1】1.1 生活 观察（第1-15题） · 判断单位是否合理：先想实物实际大小，再与单位对应，排除明显不符的选项 · 常见物体数量感：教室约60平方米、篮球场约420平方米、墨水约60毫升、冰箱约200升 · 古代著作题：读懂古文大意，把“粟米之法”等比例关系转化为现代算式 · 单位换算题：牢记相邻单位进率，如1升＝1000毫升、1米＝100厘米 1．（2026•榆树市开学）下面说法合理的是（　　） A．一个教室的面积约是48平方千米 B．一个篮球场面积大约400公顷 C．河南省的面积约为167000平方千米 D．你家客厅面积约为20公顷 【考点】数学常识．版权所有 【分析】结合生活实际，根据不同面积单位的适用场景判断表述是否合理． 【解答】解：A．教室为较小的生活场地，面积常用平方米作单位，故本选项不符合题意； B．篮球场为较小的生活场地，面积常用平方米作单位，故本选项不符合题意； C．河南省是省级行政区，计量面积常用平方千米作单位，故本选项符合题意； D．客厅为较小的生活场地，面积常用平方米作单位，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查数学常识，理解题意是解题的关键． 2．（2026•榆树市开学）下面描述中，符合生活常识的是（　　） A．教室地面面积大约6平方米 B．一袋盐的重量大约是500克 C．一元硬币的厚度大约是1厘米 D．家用冰箱的容积大约是240毫升 【考点】数学常识．版权所有 【分析】结合生活实际，根据不同场景判断表述是否合理． 【解答】解：A．教室长约8﹣10米，宽约6﹣8米，面积约48﹣80平方米，故本选项不符合题意； B．常见袋装食用盐多为500克，故本选项符合题意； C．一元硬币厚度约2毫米，而1厘米＝10毫米，故本选项不符合题意； D．家用冰箱常见容积为100﹣300升，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查数学常识，理解题意是解题的关键． 3．（2026•榆树市开学）一个冰箱的容积大约有200（　　） A．L B．cm3 C．m3 D．dm2 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据容积单位的认识即可求解． 【解答】解：A、冰箱容积通常用L作单位，200L符合实际，符合题意； B、200cm3过小，相当于一个小苹果的体积，不符合冰箱实际容积，不符合题意； C、200m3远大于普通冰箱的容积，不符合题意； D、dm2是面积单位，不能计量容积，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了数学常识，关键是认识容积单位． 4．（2026•望奎县开学）一瓶墨水大约是60（　　） A．升 B．毫升 C．立方米 【考点】数学常识．版权所有 【分析】结合生活实际与数据大小，选择合适的容积单位． 【解答】解：结合生活实际与数据大小可得： 一瓶墨水大约是60毫升． 故选：B． 【点评】本题考查数学常识，正确记忆相关知识点是解题关键． 5．（2026•潮阳区校级开学）我国地域辽阔，陆地领土面积大约有960万（　　） A．平方米 B．立方米 C．公顷 D．平方千米 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据生活经验分析即可． 【解答】解：根据生活经验分析可得： 领土面积为面积度量，立方米是体积单位，B不符合题意，排除B； 1平方千米＝100公顷，960万公顷＝9.6万平方千米，960万公顷和960万平方米一样，面积均远小于我国实际领土规模，A，C不符合题意，排除A，C； 我国领土面积大约为960万平方千米，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查数学常识，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（2026•樊城区开学）（1）4升80毫升＝　4.08　 升； （2）时＝　3　 时 　45　 分． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】（1）先把80 毫升转换为0.08升，进而可得出答案； （2）先把时转换为45分，进而可得出答案． 【解答】解：（1）∵80 毫升＝0.08升， ∴4升80毫升＝4.08升， 故答案为：4.08． （3）∵时＝45分， ∴时＝3时45分． 故答案为：3，45． 【点评】此题主要考查了单位的换算，熟练掌握1升＝1000毫升，1时＝60分是解决问题的关键． 7．（2026•福田区校级开学）2025年12月31日24时就是　2026年1月1日　 的零时． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据生活经验，24时是第二天的零时，据此即可求解． 【解答】解：2025年12月31日24时就是2026年1月1日的零时． 故答案为：2026年1月1日． 【点评】本题考查了数学常识，关键是熟练掌握日期与时间的关系． 8．（2026秋•同步）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．《孙子算经》共有三卷，第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足．上有七十六首，下有四十六足．问禽、兽各几何？”译文：现在有一种野兽，长有六头四足；有一种鸟，长有四头两足．把它们放一起，共有76头、46足．问：野兽、鸟各有多少只？则野兽有　8　 只，鸟有　7　 只． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】我们可以设野兽有x只，鸟有y只，根据野兽六头四足、鸟四头二足，结合总头数76、总足数46，建立二元一次方程组求解． 【解答】解：设野兽有x只，鸟有y只． 根据题意列方程组： 6x+4y＝76， 4x+2y＝46， 化简第二个方程，两边同时除以2， 得2x+y＝23， 变形得到y＝23﹣2x， 把y＝23﹣2x代入6x+4y＝76， 6x+4（23﹣2x）＝76， 6x+92﹣8x＝76， ﹣2x＝﹣16， 解得x＝8， 将x＝8代入y＝23﹣2x， y＝23﹣16＝7， 故答案为：8，7． 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于古代数学问题． 9．（2026•汉阴县二模）《九章算术》中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其大意：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”问题：现有4斗（1斗＝10升）的粟，若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米　24　 升． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】按照题意列式并进行计算即可． 【解答】解：根据题意，得（升）． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了有理数乘法及除法的实际应用，正确进行计算是解题关键． 10．（2026春•南岗区校级期中）填上合适的单位． “神舟十六号”载人航天飞船返回舱的容积是6　立方米　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据实际情况进行作答即可． 【解答】解：“神舟十六号”载人航天飞船返回舱的容积是6立方米． 故答案为：立方米． 【点评】本题主要考查数学常识，理解题意是解题关键． 11．（2026•太和县三模）综合实践：制作简易的液体密度计 【项目背景】密度天平是一种基于阿基米德原理的精密测量仪器，主要用于固体、液体、浮体及不规则物质的密度测定，涵盖电子、橡胶、化工、科研等领域．某数学兴趣小组准备用一根轻质弹簧（劲度系数k＝0.25N/cm，弹簧原长L0＝5cm，弹性限度内最大伸长量为10cm）、一个体积为V0的小金属块以及一把带有刻度的刻度尺，制作一个能直接计算液体密度的简易密度计． 【项目准备】通过查阅资料，数学兴趣小组得到以下信息： a．弹簧在弹性限度内，拉力F拉力与弹簧伸长量x的关系为F拉力＝kx，其中k为弹簧的劲度系数，x＝L﹣L0（L为弹簧受力时的长度）． b．金属块完全浸入在液体中时受到的浮力F浮力＝ρ液V0g．（g取10N/kg） c．在空气中，弹簧下端悬挂金属块时，F拉力＝G（G为金属块的重力）；金属块完全浸入在液体中时，F拉力＝G﹣F浮力． 【操作实验】实验装置如图所示，弹簧上端固定，下端挂金属块，旁边竖直固定刻度尺．实验步骤如下： 第一步：在空气中悬挂金属块，弹簧长度L1＝7.7cm． 第二步：将金属块完全浸入在水中（），弹簧长度L2＝6.7cm． 任务一： （1）在空气中时，弹簧伸长量x1＝　2.7　 cm；金属块完全浸入在水中时，弹簧伸长量x2＝　1.7　 cm． （2）求金属块的体积V0（单位：cm3）． 【确定量程】已知金属块浸没在不同液体中时，弹簧伸长量会变化． 任务二： （3）当金属块完全浸入到某种液体中时，弹簧恰好处于原长（x＝0），此时弹簧的拉力F拉力＝　0　 N，该液体的密度为　2.7　 g/cm3． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】（1）根据x1＝L1﹣L0，x2＝L2﹣L0求解； （2）根据F拉力＝G﹣F浮力列式求解； （3）弹簧恰好处于原长时，拉力为0，重力等于浮力，由此列式求解． 【解答】解：（1）在空气中时，弹簧伸长量x1＝L1﹣L0＝7.7﹣5＝2.7cm， 金属块完全浸入在水中时，弹簧伸长量x2＝L2﹣L0＝6.7﹣5＝1.7cm； 故答案为：2.7，1.7； （2）金属块的重力G＝kx1＝0.25×2.7＝0.675（N）． 由F拉力＝G﹣F浮力，F浮力＝ρ水V0g，得kx2＝G﹣ρ水V0g， 其中， 即0.25×1.7＝0.675﹣1×10﹣3×V0×10， 解得． ∴金属块的体积V0＝25cm3． （3）∵弹簧恰好处于原长， ∴F拉力＝0N， ∴G＝ρ液V0g，即0.675＝ρ液•25×10， 解得． 故答案为：0，2.7． 【点评】本题考查数学常识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2026春•朝阳区校级期中）《数学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？ 【考点】数学常识．版权所有 【分析】设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【解答】解：设每尺罗类丝绸价格为x文，则每尺绫类丝绸价格为（x﹣36）文． 因为7尺罗与9尺绫价钱相等， 列方程：7x＝9（x﹣36）， 7x＝9x﹣324 7x﹣9x＝﹣324 ﹣2x＝﹣324 x＝162， 绫每尺：x﹣36＝162﹣36＝126（文）， 答：罗类丝绸每尺162文，绫类丝绸每尺126文． 【点评】本题考查数学常识，解题的关键在于相关知识的灵活运． 13．（2026秋•同步）《九章算术》中有一题：今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？译文：现有二匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱．问一匹马、一头牛的价钱各是多少？ 【考点】数学常识．版权所有 【分析】设一匹马价格为x，一头牛价格为y，根据题目给出的两组价格等量关系列出方程组求解． 【解答】解：设一匹马的价钱为x，一头牛的价钱为y， 由题意可列方程组，解得， 答：一匹马的价钱是，一头牛的价钱是． 【点评】本题主要考查二元一次方程组解决实际问题，解题关键是读懂古文题意，准确转化文字条件为等式． 14．（2025秋•柘城县期末）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（　　） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【考点】数学常识．版权所有 【分析】“方圆”通常指的是以某点为中心的圆形区域，“十里”描述的是这个圆形区域的某种域长度特征． 【解答】解：“方圆十里”意思是以某个中心为圆心，半径为十里的圆形范围， 所以“谁是方圆十里最美的女人？”这里的“十里’指的是圆的半径． 故选：A． 【点评】本题主要考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．（2026•泰兴市开学）在数学学习中，常用到一种数学思想方法——转化．图中运用了转化思想的有（　　） A．②④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【考点】数学常识．版权所有 【分析】转化法就是把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题．根据转化法的含义逐一判断各项． 【解答】解：①先把两个小数扩大转化为整数，求出整数的积，然后再相应缩小进而求出原小数的乘积，符合转化思想； ②将圆柱切割拼接转化为体积相等的长方体，通过长方体体积求相应圆柱体积，符合转化思想； ③瓶子正放时，水的体积是瓶子底面积乘7，瓶子倒扣时，瓶子剩余体积是底面积乘18，故可以将其合并为与瓶子同底，高是18+7＝25厘米的圆柱体，符合转化思想； ④作其底边上的高，然后沿高线分开，把左边梯形补到右边，把其转化成面积相等的长方形进行求解，符合转化思想． 故选：D． 【点评】本题考查数学常识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点2】1.2 活动 思考（第16-30题） · 规律探究题：列表写出前几项，观察差或倍数，归纳出一般结论 · 日历问题：相邻两天差1，上下行差7，用设未知数列方程的方法求解 · 计算工具与数学史：按出现先后排序，如算筹→算盘→电子计算器 · 多步规则题（如身份证校验码）：严格按步骤计算，注意余数与校验码对应表 16．（2026•南宁校级开学）校篮球场的面积大约是420（　　） A．dm B．dm2 C．m D．m2 【考点】数学常识．版权所有 【分析】先排除长度单位选项，再结合实际判断面积单位的合理性． 【解答】解：先排除长度单位选项，再结合实际判断面积单位的合理性可得： 面积需用平方单位，A选项dm、C选项m为长度单位，排除； 420dm2＝4.2m2，不符合篮球场实际面积大小； 结合生活常识，校篮球场面积约为420m2，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查数学常识，正确进行计算是解题关键． 17．（2026•罗湖区校级开学）一辆小汽车所占的车位面积大约是8（　　） A．米 B．平方米 C．平方分米 D．立方米 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据生活经验、对面积单位和数据大小的认识，可知计量一辆小汽车所占的车位面积，应用面积单位，结合数据可知：应用“平方米”作单位，据此解答． 【解答】解：由分析可知：一辆小汽车所占的车位面积大约是8平方米． 故选：B． 【点评】此题考查数学常识，根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择． 18．（2026•龙华区开学）为了计算方便，人们发明了许多计算工具．若将部分计算工具按照出现的先后顺序排列，正确的是（　　） A．计算尺、算筹、电子计算器 B．算筹、算盘、电子计算器 C．算盘、算筹、计算尺 D．算筹、电子计算器、算盘 【考点】数学常识．版权所有 【分析】计算工具的历史发展顺序是：算筹最早出现，然后是算盘，最后是电子计算器． 【解答】解：为了计算方便，人们发明了许多计算工具．若将部分计算工具按照出现的先后顺序排列，正确的是算筹、算盘、电子计算器． 故选：B． 【点评】本题考查了数学常识．算筹是我国古代发明的一种计算工具，出现在春秋战国时期；算盘在14世纪发明；电子计算器是20世纪的发明． 19．（2025•哈尔滨校级开学）4.6升＝　4600　 毫升；0.17立方米＝　170　 立方分米． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】确定单位间的进率，高级单位换算为低级单位，乘以对应进率即可得到结果． 【解答】解：4.6升＝4600毫升， 0.17立方米＝170立方分米． 故答案为：4600，170． 【点评】本题考查数学常识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 20．（2025•洛南县校级开学）写出两个你知道的古今中外数学家的名字　祖冲之　 、　高斯　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】只需写出两个符合要求的正确数学家名字即可，无其他限制． 【解答】解：中国古代数学家祖冲之，外国数学家高斯． 故答案为：祖冲之，高斯（答案不唯一）． 【点评】本题考查了数学常识，多了解数学发展史是关键． 21．（2025秋•龙凤区期中）“欲穷千里目，更上一层楼”用数学的知识解释是观察者站的位置越高，观察到的范围越　大　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】运用解直角三角形知识进行求解． 【解答】解：设观察者站的高度是h，所看距离为d，视线俯角是α， 则tanα， ∴d＝h•tanα， ∴当α一定时，h越大d也越大， 即观察者站的位置越高，观察到的范围越大， 故答案为：大． 【点评】此题考查了数学常识的应用能力，关键是能准确理解并运用解直角三角形的知识． 22．（2025•凤阳县三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长C＝2πr推导出的面积公式是．当C＞0时，比较大小： 　＞　 （填“＞”或“＜”）． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】运用无理数的估算和分数的大小比较方法进行求解． 【解答】解：∵3＜π＜4， ∴12＜4π＜16， ∴当C＞0时，C2＞0， ∴， 故答案为：＞． 【点评】此题考查了无理数的估算和分数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 23．（2024秋•松山区期末）学校田径运动会比赛场地，一个标准的400m跑道的直道长约为　85.39　 m． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据标准比赛场地400m跑道的半圆弯道半径为36.5m，结合全长即可求得直道长． 【解答】解：弯道总长度：两个半圆弯道合为一个整圆，周长为2πr：2×π×36.5≈229.22 米 直道总长度：400﹣229.22≈170.78（米）． 每条直道长度为总直道的一半：170.78÷2≈85.39（米）． 故答案为：85.39． 【点评】本题主要考查实数的混合运算，正确计算是解题的关． 24．（2025•明水县校级开学）填上适当的体积单位或容积单位． 橡皮的体积约是10cm3 ； 一杯牛奶有280cm3 ； 集装箱的体积约是40cm3 ； 一桶色拉油约6cm3 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】橡皮的体积用cm3为单位，一杯牛奶的容积用mL为单位，集装箱的体积用m3为单位，一桶色拉油的容积用L为单位，即可求解． 【解答】解：橡皮的体积用cm3为单位，一杯牛奶的容积用mL为单位，集装箱的体积用m3为单位，一桶色拉油的容积用L为单位 橡皮的体积约是10cm3； 一杯牛奶有280mL； 集装箱的体积约是40m3； 一桶色拉油约6L； 故答案为：cm3，mL，m3，L． 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择，正确记忆相关知识点是解题关键． 25．（2025秋•鄄城县校级月考）如图，某种卷筒纸的外直径为14cm，内直径为6cm，每层纸的厚度为0.02cm．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π取3.14）？ 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：纸的总长度＝[3.14×（14÷2）2﹣3.14×（6÷2）2]÷0.02 ＝（3.14×49﹣3.14×9）÷0.02 ＝6280（cm）＝62.8m， 答：这筒纸的总长度大约是62.8米． 【点评】本题考查了数学常识，正确地列式计算是解题的关键． 26．（2025秋•海淀区校级月考）清华附中初中楼的名称叫做　华远楼　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据实际情况进行作答即可． 【解答】解：清华附中初中楼的名称叫做华远楼． 故答案为：华远楼． 【点评】本题主要考查数学常识，理解题意是解题的关键． 27．（2025秋•丹阳市期中）我国现行的二代身份证号码是18个数字（第18位可能由字母X表示），它是由（从左至右）前17位数字本体码和最后1位校验码组成的． 小睿同学通过查阅资料发现：身份证前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码．第18位校验码由前17位数字根据一定规则计算得出．为了方便表示，现将身份证的18位数字（从左至右）依次记为：a1，a2，…，a17，a18，其中ai（i＝1，2，3，…，18）表示（从左至右）第1位上的数字．计算校验码a18的规则是： 步骤1．将每一位数字本体码分别乘以一个指定的数，之后将乘积相加，求得S．具体公式为： S＝7a1+9a2+10a3+5a4+8a5+4a6+2a7+a8+6a9+3a10+7a11+9a12+10a13+5a14+8a15+4a16+2a17； 步骤2．将S除以11所得的余数比为Y； 步骤3．查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10） 余数Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码a18 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 小春同学决定用自己的身份证号码验证一下，他的身份证前17位数字本体码是： 11010820101008324（如下表），请按照校验码计算规则完成下列问题： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ai 1 1 0 1 0 8 2 0 1 0 1 0 0 8 3 2 4 （1）小容同学的身份证号码对应的S＝　150　 ，Y＝　7　 ； （2）小容同学的身份证号码中校验码a18是 　5　 ； （3）小春同学无意间获知了小方同学身份证号码的一部分，如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ai 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 2 0 5 1 2 他想要在小方同学生日时给他惊喜，于是他通过上述规则推算出小方同学的生日是：2011年3月 　24　 日． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】（1）把身份证前17位号码代入S关于ai的表达式求出S的值，再除以11即可得到Y值； （2）由Y值根据验证码对照表可得到校验码a18； （3）先把已知的身份证号码代入S表达式，得到S＝5a14+111，再由不定方程5a14+111＝11k+10求出a14的值即可． 【解答】解：（1）根据题意，把小春同学身份证前17位号码11010820101008324代入： S＝7a1+9a2+10a3+5a4+8a5+4a6+2a7+a8+6a9+3a10+7a11+9a12+10a13+5a14+8a15+4a16+2a17， 即：S＝7×1+9×1+5×1+4×8+2×2+6×1+7×1+5×8+8×3+4×2+2×4＝150． 150÷11＝13⋯⋯7， ∴Y＝7． 故答案为：150；7． （2）当Y＝7时，由校验码对照表可得，a18＝5． 故答案为：5． （3）根据小方同学的出生年月份应该是2011年03月，故a7＝2，a12＝3， 把a7和a12及其它已知的身份证号码代入S表达式得： S＝7×1+9×1+5×1+4×2+2×2+6×1+3×1+9×3+10×2+5a14+4×5+2×1＝5a14+111． 令S＝11k+10，k为正整数，则5a14+111＝11k+10． ∴11k≥111﹣10﹣5×0＝101，且11k≤111﹣10+5×9＝146，则9≤k≤13， ∵（5a14+111）末位是1或6， ∴当9≤k≤13时，（11k+10）末位是9，0，1，2或3． ∴k＝11，a14＝4． 故答案为：24． 【点评】本题考查了代数式的应用及计算，涉及到不定方程和余数的知识应用，计算量较大，本题的难点是对不定方程5a14+111＝11k+10的求解． 28．（2025秋•浦口区校级月考）生活与数学 （1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是　4　 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是　7、8、13、14　 ； （3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是　10　 ； （4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是　29　 号； （5）若干个偶数按每行8个数排成如图所示： ①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系 ②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是　40　 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为252，则斜框的中间一个数是　28　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可． 【解答】解：（1）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8， 则x+x+1+x+7+x+8＝32， 解得x＝4； （2）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+6，x+7， 则x+x+1+x+6+x+7＝42， 解得x＝7． x+1＝8，x+6＝13，x+7＝14； （3）设中间的数是x， 则5x＝50， 解得x＝10； （4）设最后一个星期日是x，x﹣7，x﹣14，x﹣21，x﹣28， 则x+x﹣7+x﹣14+x﹣21+x﹣28＝75， 解得x＝29； （5）①和是中间的数的9倍． ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是x， 则9x＝360， 解得x＝40． ③设中间的数是x， 则9x＝252， 解得x＝28． 【点评】本题属于基础题，考查了基本的计算能力和找规律的能力，解答时可联系生活实际去解． 29．（2026•泾川县校级模拟）“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示132×23，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（　　） A．2 B．5 C．7 D．8 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据“格子乘法”的规则，小方格内的数等于上方数字与右侧数字的乘积，且对角线右上部分表示十位，左下部分表示个位，观察图2中左上角或右上角方格内的代数式，结合整数乘法性质即可求出a的值． 【解答】解：由图2可知，右侧数字为a，4，上方数字为3，2， 观察左上角的小方格，其所对的两个数为3和a，乘积为3a， 根据图示，该方格对角线下方的数字为a，表示3a的个位数字是a， ∵a为两位数的十位数字， ∴1≤a≤9， 在1至9的整数中，只有3×5＝15的个位数字与乘数5相同， ∴a＝5， 验证：当a＝5时，所对两数为2和5，2×5＝10， 图示该方格对角线上方的数字为a﹣4，即5﹣4＝1，与10的十位数字1相符． 故选：B． 【点评】本题考查数学常识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 30．（2026春•龙华区期末）“转化”是一种重要的问题解决策略，下列选项中用到转化策略的是（　　） ① 事件 ② 三角形内角和为180° ③ AC+BC＝AC+B'C ④ （9x2y﹣6xy2）÷3xy多项式÷单项式 ＝9x2y÷3xy﹣6xy2÷3xy单项式÷单项式 A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据转化思想进行判断即可． 【解答】解：①事件可以分为必然事件、不可能事件及随机事件，未用到转化策略，故①错误； ②根据平行线的性质，将∠1、∠2平移到与∠3有公共顶点的位置，根据平角的定义即可得出三角形内角和为180°，用到转化策略，故②正确； ③∵B′C＝BC， ∴用到转化策略，故③正确； ④用到转化策略，故④正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查数学常识，熟练掌握转化思想是解题的关键． 【考点3】1.3 交流 表达（第31-45题） · 数学文化题：结合典籍背景理解题意，将其转化为方程或比例问题 · 折扣问题：八五折＝原价的85%，折后价＝原价×折扣 · 表格数据题：观察表格中数据的变化规律，用一次函数或等差规律补全 · 思想方法题：抓住“一一对应”“数与形结合”等关键词判断体现的思想 31．（2026春•蓬莱区期末）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”大意为：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分．则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绫的价格是（　　） A．6分 B．8分 C．12分 D．14分 【考点】数学常识．版权所有 【分析】设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分．根据题意，得，求解即可； 【解答】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分． ∴， ∴， ∴每尺绫的价格是8分，B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查了数学常识，正确计算是解题关键． 32．（2026春•道外区期末）一台半导体收音机八五折出售，就是说售价是（　　） A．原价的85% B．原价降低了85% C．原价的15% D．原价的8.5% 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据打折的意义，打八五折就是指现在的售价是原价的85%，据此解答． 【解答】解：八五折＝85%，就是现在的售价是原价的85%． 故选：A． 【点评】本题考查了数学常识，解题的关键是明确打折和百分数的关系． 33．（2026•东莞市二模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由漏壶（供水壶）和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间，观察、记录数据如表（未记录完整）： 箭尺读数（cm） 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 7：00 8：00 9：00 12：00 ？ 19：00 则箭尺读数为21cm时，指示时间应为（　　） A．13：00 B．15：00 C．16：00 D．17：00 【考点】数学常识．版权所有 【分析】先判断出箭尺每小时匀速上升2.5cm，以7：00为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为2.5x+1，进而进行计算即可求解． 【解答】解：由表格可得箭尺每小时匀速上升2.5cm， ∴以7：00为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为2.5x+1， ∴当箭尺读数为21cm时，21＝2.5x+1， 解得x＝8． ∴经过8小时后，指示时间为15：00， 故选：B． 【点评】本题考查数学常识，读懂题意是解题的关键． 34．（2025•宜章县校级开学）在下面的括号里填上合适的单位名称：小军的身高大约160　厘米　 ，一瓶矿泉水水的容积大约560　毫升　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据所给的数，联系实际，填相应单位名称． 【解答】解：根据所给的数，联系实际可知： 小军的身高大约160厘米，一瓶矿泉水的容积大约560毫升， 故答案为：厘米，毫升． 【点评】本题考查了单位的认识和换算，解题关键是掌握单位的认识和换算． 35．（2025•崇川区开学）在横线内填合适的数或单位名称． 体育老师季老师的体重约56　千克　 ，一次能喝0.2　升　 的水．她每天晚上跑步1.1小时，也就是　66　 分钟；她的速度大约是80　米/分　 ，每天大约跑5　千米　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据实际问题，选择合适的单位即可． 【解答】解：根据实际问题，选择合适的单位，故为体重约56千克，一次能喝0.2升的水．跑步1.1小时，也就是66分钟；速度大约是80米/分，每天大约跑5千米． 故答案为：千克，升，66，米/分，千米． 【点评】本题主要考查了单位，解题的关键是根据实际问题，选择合适的单位． 36．（2025春•离石区期中）如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木　会　 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据龙卷风中心与点P的距离，以及以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内会受到龙卷风影响，即可作出判断． 【解答】解：通过观察10时龙卷风的位置和12时龙卷风的位置，可以推断，14时龙卷风中心向右上方移动两格，到达点P， ∴14时点P处的树木会受到龙卷风的影响． 故答案为：会． 【点评】本题考查了数学常识，运用所学的数学知识解决实际问题是解题的关键． 37．（2025春•硚口区月考）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记录的二十四节气如图所示，从夏至到冬至“晷长”逐渐变大，相邻两个节气“晷长”变化的量均相同．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是　11.5　 尺． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，观察从冬至到夏至晷长变化次数即可求出相邻两个节气晷长减少或增加的量，从而可得立夏的晷长． 【解答】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从秋分到霜降晷长变化2次， ∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为（9.5﹣7.5）÷2＝1（尺），小雪的晷长为9.5+2×1＝11.5（尺）， 故答案为：11.5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，求出相邻两个节气晷长减少或增加的量． 38．（2024秋•云岩区期末）回顾，反思 回顾本学期学习的第四章“基本平面图形”，我们感悟了一些研究图形的基本思路和方法．在今后的学习中我们将继续研究平面图形中的三角形，基于你研究图形的认识，你觉得可以研究三角形的 　边　 、　角　 ．（填写两个方面即可） 【考点】数学常识．版权所有 【分析】由三角形的有关概念，即可得到答案． 【解答】解：基于研究图形的认识，可以研究三角形的边、角（答案不唯一）． 故答案为：边、角． 【点评】本题考查数学常识，关键是掌握三角形的有关概念． 39．（2025秋•邗江区校级月考）如图，观察月历，2023年的国庆节是星期 　日　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据2023年六月的月历知7月1日为星期六，到国庆节还有93天，93÷7＝13……2，得出2023年国庆节是星期日即可． 【解答】解：由题意知，2023年六月的月历知7月1日为星期六， 到国庆节还有93天， ∵93÷7＝13……2， ∴2023年国庆节是星期日， 故答案为：日． 【点评】本题主要考查年月日的知识，熟练掌握年月日的知识是解题的关键． 40．（2024秋•同步）【观察思考】 如图，在一张纸上画若干条直线，能将这张纸最多分成多少份呢？ 【规律发现】 （1）归纳规律，填写下表： 直线条数 1 2 3 4 5 … 直线交点 0 1 3 ①　6　 ②　10　 … 最多分成的份数 2 4 7 ③　11　 ④　16　 … 【规律应用】 （2）若直线将该张纸最多分成37份，则直线的条数为多少？ 【考点】直线、射线、线段．版权所有 【分析】（1）根据题意和通项公式填空即可； （2）令代数式为37计算出n值即可． 【解答】解：（1）填空如下表： 直线条数 1 2 3 4 5 … 直线交点 0 1 3 ①6 ②10 … 最多分成的份数 2 4 7 ③11 ④16 … 故答案为：①6；②10；③11；④16． （2）令137， 解得：n＝﹣9（舍去）或8． 所以直线的条数为8条． 【点评】本题考查直线，射线，线段，发现通项公式是关键． 41．（2025秋•官渡区期末）跳高运动是一项集速度、力量、爆发力、技巧和胆识于一体的田径项目，它的魅力不局限于跳得高矮的表层较量，更藏在运动员腾跃横杆时，精准降低身体重心的智慧与艺术之中．如图，当运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好，最合理的解释是（　　） A．“跨越式”过横杆时运动员重心最低 B．“滚式”过横杆时运动员重心最低 C．“背越式”过横杆时运动员重心最低 D．三种方式过横杆时运动员重心相同 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据“跨越式”、“滚式”、“背越式”的定义即可得出答案． 【解答】解：因为背越式能让重心更低，所以在相同弹跳能力下，运动员可以越过更高的横杆，成绩更好． 故选：C． 【点评】本题主要考查数学常识，熟练掌握“跨越式”、“滚式”、“背越式”的知识点是解题的关键． 42．（2025秋•道里区期末）用“元”表示未知数，源于我国的“天元术”，现存的使用天元术的最早著作是我国数学家（　　）所著的《测圆海镜》． A．李冶 B．刘徽 C．李善兰 D．祖冲之 【考点】数学常识．版权所有 【分析】天元术最早由李冶在《测圆海镜》中系统阐述． 【解答】解：用“元”表示未知数，源于我国的“天元术”，现存的使用天元术的最早著作是我国数学家李冶所著的《测圆海镜》． 故选：A． 【点评】本题考查中国数学史知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 43．（2026秋•海州区校级同步）时间一去不复返，孩子们，转眼间，我们已经在小学阶段学习了大约2000（　　） A．时 B．日 C．月 D．年 【考点】数学常识．版权所有 【分析】先根据小学阶段共6年，一年有12个月，1年有365天，1天有24小时，列式计算出6年是多少个月，多少天，多少个小时，根据计算结果进行判断即可． 【解答】解：小学阶段是六年，一年有12个月，1年有365天，1天有24小时， ∴6×12＝72个月，6×365＝2190天，2190×24＝52560小时， ∴小学阶段大概是六年或72个月或2190天或52560时， ∴在小学阶段学习了大约2000日， 故选：B． 【点评】本题主要考查了时间单位的换算，解题关键是熟练掌握时间单位之间的换算进率． 44．（2026春•兴化市月考）法国数学家笛卡尔，最早引入平面直角坐标系，使得平面图形中的点P与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，这体现的数学思想是（　　） A．数形结合 B．类比思想 C．公理化思想 D．分类讨论 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据各种思想的定义即可判断． 【解答】解：根据各种思想的定义可知体现的思想为数形结合， 故选：A． 【点评】本题主要考查了数学思想与方法，弄清楚每种方法思想的定义是解题的关键． 45．（2024秋•红桥区期末）如图所示，下列各角是锐角的是（　　） A．∠AOB B．∠AOC C．∠AOD D．∠BOC 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【解答】解：A选项中，∠AOB＝90°，是直角，故不符合题意； B选项中，∠AOC＝140°，是钝角，故不符合题意； C选项中，∠AOD＝150°，是钝角，故不符合题意； D选项中，∠BOC＝50°，是锐角，故符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了角的分类，解题的关键是根据锐角、钝角和直角的定义来判断． 💯 课后巩固 复习建议 · 多观察身边物体的长度、面积、体积与容积，积累数量感与单位感，做单位题先想实物 · 遇到规律探究题按“观察—猜想—验证”三步走，先列表再找关系，验证不少于两组数据 · 重视数学文化题，熟悉《九章算术》《孙子算经》等典籍中的经典问题及其现代解法 · 解题时主动用转化、数形结合等思想方法，做完后回顾用了什么方法、能否推广 · 读题时圈出关键信息，用数学语言（文字、符号、图形）准确表达数量关系 【作业1】（2026•海南）圆周率π是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对π有过深入研究．请写出一个小于π的有理数　3（答案不唯一，任意小于π的有理数均可）　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】π≈3.14，只需写出一个小于3.14的有理数即可． 【解答】解：∵π≈3.14， ∴只需找出一个小于3.14的有理数即可，例如3，3是整数，属于有理数，且3＜π，符合要求． 故答案为：3（答案不唯一，任意小于π的有理数均可）． 【点评】本题考查数学常识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业2】（2024秋•黄梅县期中）公元前50年，著名的凯撒大帝发明了一种密码叫做凯撒密码．在凯撒密码中，原文中的每个字母对应密报的字母都是错位的．如图1，该凯撒密码原文“A”对应密报“D”，原文“B”对应密报“E”，以此类推．如果到了字母表的末尾，就回至开始，原文“Z”对应密报“C”，原文“Y”对应密报“B”，原文“X”对应密报“A”，如此形成一个循环．密钥是原文中字母“A”所对应的密报的字母．图1中该凯撒密码的密钥就是“D”． 请根据图2中的凯撒密码密报和原文对照表．回答下面问题： 百国、赵国和张国之间发起了战争．百国向友国赵国发出了一张一起突击张国的时间的密报“WMCYIAYVM”，赵国在接到密报后，将于 　四月五日　 与百国一同攻击张国．（填写答案时将字母转换成汉字．例如：“BAYUEYIRI”转换成“八月一日”）． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据“原文“A”对应密报“E””写出原文即可． 【解答】解：原文 ABCDEFGHIGKLMNOPQRSTUVWXYZ 密报 E FGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABCD 密报 WMCYIAYVM 原文 s i y uew u r i 即：四月五日， 故答案为：四月五日． 【点评】本题考查了数学常识，理解对应关系是解题的关键． 【作业3】（2024•天心区校级自主招生）时针速度是分针速度的　　 ，分针速度是秒针速度的　　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】秒针走一圈为1分钟，分针走圈，分针走一圈为1小时，时针走圈，由此即可得出结论． 【解答】解：根据题意可知当分针走一圈为1小时，时针走圈，当秒针走一圈为1分钟，分针走圈， ∴时针速是分针速度的，分针速度是秒针速度的， 故答案为：，． 【点评】本题考查了数字常识，解题的关键是掌握钟表的转动规律． 【作业4】（2024秋•南昌期中）著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 　19　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】依题意得船的数量和每船装缸的数量相等，再根据361＝192即可得出答案． 【解答】解：依题意得：船的数量和每船装缸的数量相等， 又∴361＝192， ∴有19只船，每船所装的缸数为19． 故答案为：19． 【点评】此题主要考查了完全平方数，理解“船的数量和每船装缸的数量相等”及361＝192是解决问题的关键． 【作业5】（2024•秦都区校级开学）单位换算：2立方米50立方分米＝　2050　 立方分米；80分＝　　 时． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】把2立方米50立方分米换算为立方分米数，先把2立方米换算为立方分米数，用2乘进率1000，再加上50即可得到问题答案；根据分钟和小时之间的转化率计算即可． 【解答】解：2立方米50立方分米＝2050立方分米；80分小时， 故答案为：2050；． 【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率． 【作业6】（2024•金水区校级开学）【混合运算的应用】某县中小学生大约有12万人．如果每人每天浪费2张纸，那么全县中小学生每天浪费的纸张摞起来的高度大约有　24　 米．（每100张纸的厚度约为1厘米） 【考点】数学常识．版权所有 【分析】学生人数乘以每人每天浪费纸的张数，再除以100可得纸张的厚度，再将厘米换算成米即可． 【解答】解：每100张纸的厚度约为1厘米）： 全县中小学生每天浪费的纸张摞起来的高度大约为：120000×2÷100＝2400厘米＝24米． 故答案为：24． 【点评】本题考查混合运算的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业7】（2024•二七区校级开学）事×2＝功÷2，事÷2＝功×2的成语谜底分别是　事倍功半　 和　事半功倍　 ． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据题意前一个谜语的意思为做了2倍的事情只得到一半的功劳，后一个谜语的意思为只做了事情的一半就得到2倍的功劳，据此解答即可． 【解答】解：谜底为事倍功半；事半功倍， 故答案为：事倍功半；事半功倍． 【点评】本题考查了生活中一些俗语在数学上的应用，掌握此知识是解题的关键． 【作业8】（2024秋•郾城区校级期中）在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，正方形中每一横行、一竖列及对角线的几个数之和都相等，称为“幻方”．图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都是15． （1）图1中9个数之和是15的　3　 倍，15是9格的中心数5的　3　 倍； （2）请在图2的幻方中将﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数分别填入； （3）在图3的幻方中，请填上合适的数． 【考点】有理数的加法．版权所有 【分析】（1）利用有理数加法法则进行求解． （2）图1幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数的和都相等，且等于中间数据的3倍的规律来求解． （3）利用（2）的方法来填表． 【解答】解：（1）图1中每一横行的和都是15， 所以9个数之和是15的3倍数． 所以15是9格的中心数5的3倍． 故答案为：3，3； （2）9个数分别填入得到如图： （3）根据题意如图： 【点评】本题考查了有理数加减法，数字规律，观察数据的规律并正确应用是解答关键． 【作业9】（2024•成都校级开学）毕达哥拉斯，古希腊哲学家和数学家，他最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用，无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学．毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，关于学校的人数，他这样说道：“现在有一半学生在学数学，四分之一的学生学音乐，七分之一的学生在休息，还剩三位女同学…．”请求出毕达哥拉斯的学校里的学生总人数． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据题意，三位女同学占总人数的比例为，使用除法计算总人数即可． 【解答】解：把学生总人数看作单位“1”， 先求出3位女同学对应的分率：， 已知部分数量和它对应的分率， ， 答：毕达哥拉斯的学校里的学生总人数为28人． 【点评】题目考查了数学常识，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业10】（2024•成都校级开学）材料1：我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的“干支纪年法”，干支中的“干”是“天干”的简称，指：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；“支”是“地支”的简称，指：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥．将十天干和十二地支顺序搭配，就构成了60个干支，如：1984年对应着甲子年，1985年则为乙丑年，1986年为丙寅年等． 材料2：我国著名数学家苏步青分享了一个学文史也要学好数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，苏东坡生于1037年，活了66岁．我翻看了《赤壁赋》，开头写着‘壬戌之秋，七月既望’，书上记载此文写于1080年．我一看就知道书上把写作时间弄错了．” （1）请通过计算说明苏步青是怎样得出这个结论的？ （2）请推算苏东坡到底是哪一年书写的《赤壁赋》？ 【考点】数学常识．版权所有 【分析】（1）以1984年甲子年为基准，结合天干、地支的循环周期，计算1080年对应的干支，与壬戌年对比即可判断正误； （2）利用（1）中1080年的干支，推算壬戌年的年份，再结合苏东坡的在世时间筛选即可． 【解答】解：（1）我国在使用公元纪年的同时，也一直沿用我国古代创立的“干支纪年法”， 由题可知，1984年为甲子年， 天干共10个，周期为10，顺序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸， 地支共12个，周期为12，顺序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥， 1984﹣1080＝904，即1080年比1984年早904年， 904÷10＝90……4，即904年包含90个完整天干周期，余4年， 从甲往前数4位为庚，故1080年天干为庚， 904÷12＝75……4，即904年包含75个完整地支周期，余4年， 从子往前数4位为申，故1080年地支为申， ∴1080年为庚申年，不是壬戌年，因此书上的写作时间错误； （2）由题意可得： 写作年份在1037年到1037+66＝1103年之间， 由（1）知1080年为庚申年，往后推2年，天干、地支各进2位，为壬戌年，对应年份为1080+2＝1082， 10和12的最小公倍数为60，即干支的循环周期为60年， 因此其余壬戌年与1082年相差60的整数倍， 1082﹣60＝1022，1022＜1037，不符合要求； 1082+60＝1142，1142＞1103，不符合要求， 综上所述，《赤壁赋》写于1082年． 答：苏东坡于1082年书写《赤壁赋》． 【点评】本题考查数学常识，正确进行计算是解题关键． 【作业11】（2024•新昌县校级开学）我国古代采用“干支”纪年法，下表是十天干，十二地支，十二生肖． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 十二生肖 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 该法是将十天干与十二地支顺次搭配纪年；如1984年是甲子年（鼠年），1985年是乙丑年（牛年）⋯⋯，1993年为癸酉年（鸡年），1994年为甲戌年（狗年），1995年为乙亥年（猪年），1996年为丙子年（又是鼠年），1997年是丁丑年（牛年），2005年是乙酉年（鸡年）． ①今年（2024）用“干支”纪年法表示是　甲辰　 年． ②今年是龙年，上一个龙年是公元　2012　 年，其干支年号是　壬辰　 ． ③新中国成立于1949年，这一年出生的孩子属　牛　 ．（填生肖） 【考点】数学常识．版权所有 【分析】根据天干的计算：将年份减去3，然后除以10，所得的余数即为天干．地支的计算：将年份减去3，然后除以12，所得的余数即为地支．再结合生肖12年循环，再进一步解答即可． 【解答】解：①由题意可得：2024用“干支”纪年法表示是甲辰年； 故答案为：甲辰； ②∵生肖12年一个循环， ∴2024是龙年，上一个龙年是公元2012年，年号是壬辰年， 故答案为：2012，壬辰； ③新中国成立于1949年是己丑年，孩子属牛． 故答案为：牛． 【点评】本题考查的是数学常识，正确记忆相关知识点是解题关键． 【作业12】（2024秋•同步）幻方第一人 幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中3行，3列以及2条对角线上的点数之和都等于15，是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用1，2，3，…，16构造4阶幻方的方法是：先将1，2，3，…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换…请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】对换方法为“以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换”，内四角对换即10与7对换，6与11对换，其他数字位置不动，由此即可解答． 【解答】解：得出的4阶幻方如下所示： 4 9 5 16 14 7 11 2 15 6 10 3 1 12 8 13 【点评】本题考查“3阶幻方”，“4阶幻方“等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业13】（2024秋•同步）煮面条有下面几道工序：①洗锅盛水，2min；②洗菜，3min；③准备面条及佐料，2min；④用锅把水烧开，7min；⑤用烧开的水煮面条和菜，3min．以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序．则要将面条煮好，最少需要多长时间？ 【考点】推理与论证．版权所有 【分析】根据统筹方法，烧开水时可洗菜和准备面条及佐料，这样可以节省时间，所以小明所用时间最少为（1）、（4）、（5）步时间之和． 【解答】解：第一步，洗锅盛水花2分钟； 第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，共花费7分钟； 第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟． 总计共用2+7+3＝12分钟． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了推理与论证，解决问题的关键是读懂题意，采用统筹方法是生活中常用的有效节省时间的方法，本题将数学知识与生活相结合，是一道好题． 【作业14】（2024春•朝阳区校级月考）小莫同学随手拿起一份月历，发现某一个月的所有的星期天的日期加起来是85，请问最后一个星期天是几号？ 【考点】数学常识．版权所有 【分析】分两种情况：①当某月是4个星期天的时候，设第一个星期天x号，则x+x+7+x+14+x+21＝85；②当某月是5个星期天的时候，设第一个星期天x号．则x+x+7+x+14+x+21+x+28＝85，解方程即可求得答案． 【解答】解：∵有的月份是4个星期天，有的月份是5个， ∴分两种情况： ①当某月是4个星期天的时候，设第一个星期天x号， 则x+x+7+x+14+x+21＝85， 解得：x，不是整数，应该舍去． ②当某月是5个星期天的时候，设第一个星期天x号． 则x+x+7+x+14+x+21+x+28＝85， 解得：x＝3， ∴x+28＝31， 即最后一天星期天． 故答案为：31． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用问题，日历问题，掌握日历的日期排列规律是解题关键． 【作业15】（2024•西城区校级开学）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法（形式不限）． 【考点】数学常识．版权所有 【分析】总结几类题的常用策略和方法． 【解答】圆的综合问题往往不止一个解法，需要综合考虑题目所给信息，灵活运用不同的方法求解．同时，需要进行多次验算，确保答案正确． 要解决代数综合类问题，除了要具有扎实的基础知识、基本技能外，还需要有敏锐的观察能力、深刻的理解能力、娴熟的运算能力以及较强的综合运用知识的能力，解题过程中既要注意换元法（整体代入）、配方法、待定系数法等常见数学方法的娴熟运用，又要注意自觉运用数形结合、转化与化归、分类与整合、函数与方程等基本数学思想方法优化解题策略，学会抓住问题的实质，理清问题的层次，对所给问题提供的信息能正确有效地进行分解、组合和加工，努力提高分析问题与解决问题的能力． 解几何综合类题目时应从代数几何两方面入手，多角度、多线索地深入分析架起连接代数与几何的桥梁关键点+灵活运用数学思想方法如数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等． 【点评】本题主要考查了圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/7 13:31:22；用户：叶子啊；邮箱：18121039359；学号：68211650 APP 公众号 小程序 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $