第一章空间向量与立体几何重难点训练（一）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦高中数学空间向量与立体几何单元，覆盖向量运算、线面关系、空间角等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配单元复习，强化空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量线性运算、共面条件|如第1题正方体向量运算，基础巩固| |多项选择|3/18|平行六面体性质、基底判定|如第9题空间向量数量积与射影，能力提升| |填空|3/15|正四面体切球、四点共面|如第12题正四面体距离最值，创新应用| |解答|5/77|线面平行、二面角、体积|如第17题直三棱柱综合题，体现模型观念与推理能力|

第一章 空间向量与立体几何 重难点训练（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 6．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 7．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 10．下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 11．如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点. 下列结论正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面夹角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 13．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 14．在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 16．已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 17．在直三棱柱中，，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若二面角是直二面角，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 18．如图，在三棱柱 中，平面，, 为 的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； 19．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 分别为 ， 的中点. (1)证明: 平面 . (2)已知 平面 . ①证明: . ②求直线 与平面 所成角的正弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B C D B BCD AD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 2．C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 3．B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    4．B 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 5．B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 6．C 【详解】由，得，使得， 则， ，解得. 7．D 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 8．B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 9．BCD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算求解判断即可；对于B，根据空间向量的数量积运算律及模长公式求解判断即可；对于C，连接，设，连接，可证明，，可得平面，则点在底面的射影为点，进而判断即可；对于D，结合C可知三棱锥的外接球的球心为点，半径为，进而结合球的表面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由A知，， 而，，， 则 ，故B正确； 对于C，连接，设，连接， 由题意，四边形为正方形，则，， 而，，则为全等的等边三角形， 所以，而为的中点，则， 即，则，即， 因为平面，所以平面， 则点在底面的射影为点， 所以点在底面的射影在线段上，故C正确； 对于D，由C知， 则三棱锥的外接球的球心为点，半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 10．AD 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 11．ABD 【分析】利用向量法，分别计算线面平行的条件、异面直线夹角、线面角以及二面角的余弦值，逐一判断选项. 【详解】在直三棱柱 中， ，所以， 以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 因为为的中点，所以， 对于A，因为平面，所以为平面的一个法向量， 又， 所以，又不在平面内，所以平面，A正确； 对于B，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 ，B正确； 对于C，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则， 所以， 所以， 所以直线与平面 所成角的正弦值为，C错误； 对于D，，设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 ，D正确. 12．12 【分析】首先用向量展开四个切点到球面点的距离平方和，结合正四面体内切球四个切点关于球心对称的向量和为零的性质，可得四段距离平方和为定值，原总和的最大值等价于球面上点到顶点的最大距离. 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为， 利用正四面体的体积公式可得：， 将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连， 则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、 、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为）， 高就是球心到面的距离，也就是内切球半径， 因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为： ，则，化简可得， 记，，，，， 由对称性可知， 为定值， 所以要求的最大值，即求的最大值， 又因为的最大值为，故所求的最大值为， 正四面体的棱长为，则， 所以的最大值为12． 13． 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 14． 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 15．(1)类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． (2)①；② 【分析】（1）结合空间向量的运算，利用共面向量定理证明即可； （2）①利用数量积的运算律求解即可； ②利用数量积的运算律及模的运算法则求解即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 16．(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 17．(1)连接，在矩形中与互相平分，是的中点，所以， 由于为的中位线， 故． 又平面，平面，故平面． (2) (3) 【分析】（1）连接，由中位线得到线线平行，从而利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系．根据题意设出点的坐标，借助空间向量求得平面和平面 的法向量，结合二面角得到向量的数量积关系，即可求得的长； （3）由棱锥的等体积转换得，由中点得到，再等体积转换为，然后由三棱柱和三棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，且， 所以， 设平面的一个法向量， 则，取得 ， 同理可取平面 的一个法向量 ． 因此 ，得． 解得．所以． （3）由题可知， ． 18．(1)证明：在三棱柱中，平面ABC，，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，得， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然，因此，平面，而平面， 所以平面. (2)． 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）的信息，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由平面，得平面的一个法向量为， 由（1）知平面的一个法向量为，则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 19．(1)取中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 又平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2)①因为 平面 ，平面，所以 ， 因为底面 为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又 ，平面， 所以 平面， 因为 平面，所以； ② 【分析】(1) 中点条件优先构造中位线得到线线平行； (2)①要证线线垂直，先证线垂直于包含另一条直线的平面； ②线面角计算核心：直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值等于线面角正弦. 【详解】（1）略 （2）①略 ②分别以为轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则, ， 设平面法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成角为，则. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $