25.7 相似三角形的应用 第1课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的应用，核心为利用相似三角形求两点间距离。课堂导入通过复习相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例等），搭建新旧知识联系的支架，自然引出实际应用问题。 此资料亮点在于实践探究与模型构建，以测量零件内径、河宽等真实情境为载体，引导学生小组合作设计方案，将实际问题转化为相似三角形模型，培养抽象能力、模型意识和应用意识。如交叉卡钳测内径例题、古塔距离探究，既提升学生分析解决问题能力，也为教师提供可操作的情境教学范例。

25.7 相似三角形的应用 课题 第1课时 利用相似三角形求两点间的距离 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P108-111 教学目标 1.在测量零件内径、古塔等的具体情境中进一步理解相似三角形的概念及性质； 2.积累数学操作活动经验，培养学生的问题意识，提高分析问题和解决问题的能力； 3.在解决实际问题的过程中，感受到数学活动充满着探索与创造的乐趣. 教学重难点 重点：能灵活应用相似三角形的性质解决有关实际问题. 难点：如何把实际问题转化为数学模型. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 【复习回顾】 教师活动：相似三角形有哪些性质？ 学生活动1：相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 学生活动2：相似三角形对应线段的比等于相似比. 学生活动3：相似三角形周长的比等于相似比. 学生活动4：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 教师活动：相似三角形的这些性质有哪些应用呢？这节课继续研究. 教师抛出问题，激发学生思考，从而调动学生学习的积极性，为下面的学习奠定基础. 2.实践探究，学习新知 【探究1】 学生活动：利用所学知识，设计测量空心圆柱形机械零件的内径的方案，并说明方案的可行性. 【例题】 例1 如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用交叉卡钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图，它的外径为a，内径AB未知.现用交叉卡钳去测量，若==，CD=b，则这个零件的内径为多少，零件的壁厚x又是多少？（用含a，b，m的代数式表示） 解：∵，∠COD=∠AOB， ∴△CDO~△ABO. ∴. 又∵CD=b，AB=a-2x， ∴AB=mb，x=. 答：这个零件的内径为mb，壁厚为. 师生活动：小组合作探究，教师巡视，适当给予提示，小组展评. 【探究2】 如图（1），在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.如何求古塔和观景台之间的距离呢？ （1） （2） 1.图（2）是小明设计的测量方案示意图，这个方案可行吗？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果. 小明的测量方案和测量数据：从点C(观景台)沿正西方向走到点B，使点B恰好位于点A(古塔)的正南方向上，然后向南走到点E，再从点E向东走到点D，使得D，C， A三点恰在一条直线上.量得BE=40 m，ED=100 m，DC=48 m，由此可计算AC的长. 2.提出你的设计方案，并与同学交流. 师生活动：学生小组活动，讨论方案，然后教师展评. 归纳总结： 求不能直接测量的两点(或建筑物)之间的距离，常构造相似三角形求解(如图). 让学生动脑、动手，先设计方案，然后实施方案，真正让学生动起来，在活动的过程中培养学生的建模能力，在合作的过程中，培养学生的合作交流意识，积累数学活动经验. 总结不能直接测量两点间距离的方法，培养学生的总结概括能力和语言表达能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 利用相似三角形测内径 练习1  图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，求此时液面宽度． 解：如图，过点O作OM⊥CD,垂足为M， 过点O′作O′N⊥AB，垂足为N， ∵AB∥CD， ∴△CDO~△ABO′， ∴， ∵OM=15-7=8 cm，O′N=11-7=4 cm， ∴， 解得：AB=3. 变式训练1 如图，用一个卡尺（AD=BC ，）测量气缸的内孔直径AB，量得CD的长为8 cm，则内孔直径AB的长为（     ） A. cm B. cm C.28 cm D.20 cm 答案：D 考点2 测河宽 练习2  如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，连接CD，CE，测得CD=30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5 m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB=6 m，求池塘的宽DE． 解：∵AB⊥DE， ∴△ABC~△DEC， ∴， ∴， 解得DE=36(m). 答：池塘的宽为36 m. 变式训练2 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD=40 m，DC=20 m，EC=24 m，则河宽AB为______． 答案：48 m 巩固利用相似三角形测内径的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.一个圆柱形空心零件的上面有个孔，截面图如图所示，若OA:OD=OB:OC=，且量得AB=a，则厚度x可表示为（       ） A. B. C. D. 答案：D 2.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米． 答案：22.5 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识： （1）测量物体的内径（无法直接测量的内径）： 利用相似三角形对应边的比相等可测量物体的内径； （2）求不能直接测量的两点(或建筑物)之间的距离，常构造相似三角形求解(如图). 通过学生自我反思，引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P110习题A组、B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 25.7 相似三角形的应用 第1课时 利用相似三角形求两点间的距离 1.利用相似三角形测内径； 例题： 2.利用相似三角形求不能直接测量的两点间的距离. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 通过本节知识的学习,可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识.基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $