河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册23.5数据的分类）

冀教版九年级数学上册 第二十三章 数据分析与统计估计 23.5 数据的分类 分层作业 一、作品基础信息 项目 具体内容 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十三章 数据分析与统计估计 课题 23.5 数据的分类 课时安排 1课时（组内离差平方和、组间离差平方和、“组内离差平方和最小”的分类原则及应用） 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约30分钟（A组约12分钟，B组约12分钟，C组约6分钟） 设计理念 面向全体、分层递进、图文结合、减量提质 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“统计与概率”领域，要求学生经历数据的收集、整理、描述与分析的过程，体会数据中蕴含的信息，能根据问题的背景选择合适的方法描述数据、分析数据，作出合理的判断，逐步形成数据观念、推理意识和应用意识。本次作业以“数据的分类”为核心，引导学生在“把一组数据合理地分成若干类”的真实任务中，学会用组内离差平方和衡量“组内是否整齐”，在“组内差异最小、组间差异最大”的追求中发展数据观念。 （二）教材分析 “23.5 数据的分类”是第二十三章“数据分析与统计估计”的第五节。在此之前的 23.1 至 23.4，学生已经学习了平均数、加权平均数、中位数、众数、四分位数、箱线图和方差，会用这些统计量刻画数据的集中趋势与离散程度。其中“离差平方和”已经在方差的学习中出现过。但在大数据分析中，仅仅刻画一组数据的整体特征还不够，有时需要把一组数据按照一定的原则分成若干类，再进行分类研究。 教材从“世界不同地区人均二氧化碳排放量”这一真实情境出发：8 个地区的人均碳排放量为 1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9，20.8（单位：t）。如果以中位数为分界点把数据分成两组，每组各有 4 个数据，看似“平均”，但 20.8 明显偏离其他数据，这样分并不合理。由此引出问题：怎样衡量一组数据“分得好不好”？ 设一组数据为 ，，，，，，，，按从小到大的顺序分成两组，前 个数据为第一组，其平均数为 ；后 个数据为第二组，其平均数为 。则两组数据的组内离差平方和（简称组内差） 刻画了两个组内部数据的离散程度；两组数据的组间离差平方和（简称组间差） 刻画了两个组之间的差异程度。利用完全平方公式可以把整组数据的离差平方和分解，得到 由于一组数据的总离差平方和 是不变的，所以只要使组内差 达到最小，组间差 就同时达到最大。这就是“组内离差平方和最小”（即“组内差异最小、组间差异最大”）的分类原则。教材随后把这一原则应用到 31 个省区市人均 GDP 的两层与三层分层上，说明当数据较多时，可以借助频数分布直方图观察数据的分布，从而找到合理的分界点。本节内容既是对前面所学统计量的综合运用，也是大数据分析中“数据分类”思想的初步渗透，在本章中具有收束与拓展的作用。 （三）学情分析 九年级学生已经掌握了平均数、中位数、众数、四分位数和方差，能熟练进行平方运算，也理解“离差平方和”的含义，为学习数据的分类提供了知识与运算基础。但“数据的分类”是一种全新的分析视角，学生学习时容易出现四方面的困难：一是缺乏主动分类的意识，习惯凭感觉或“等距”分组，不理解为什么要先观察数据的分布；二是容易把“组内离差平方和”与“各组方差之和”混为一谈，不清楚比较分组优劣时为什么不直接比较方差；三是对分解公式 的推导（由完全平方公式展开、交叉项之和为 0）感到抽象，只会套用结果；四是把“分成两组”的分法推广到“分成三组、更多组”时无从下手。因此，作业设计应遵循“先直观、再计算、后推理”的顺序，通过“看一看、算一算、比一比、想一想”的真实任务，帮助学生逐步建立起“组内差最小”的判别方法。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向组内差、组间差概念的理解，以及组内差、组间差的直接计算和分解公式的验证，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向借助数轴图、频数分布直方图确定分组界限，比较几种分法的优劣，以及从两组推广到多组，重在“提质”；C 组为拓展创新题，指向离差平方和分解公式的逆用与推理，以及结合实际数据作出分组决策，重在“扬长”。三个层级按照“概念理解—计算比较—读图判断—推理应用”的路径设计，题量精简、图文结合，避免机械重复，使不同水平的学生都能获得成功的体验。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）了解数据分类的意义，理解组内离差平方和、组间离差平方和的概念。 （2）会计算一组数据的组内离差平方和与组间离差平方和。 （3）理解离差平方和的分解公式 ，知道数据分类应遵循“组内离差平方和最小”的原则。 （二）提升目标（选做） （4）会借助数轴图、频数分布直方图观察数据的分布，确定较为合理的分组界限。 （5）会对同一组数据的几种分组方案计算组内离差平方和并加以比较，从中确定最优分法。 （三）拓展目标（挑战） （6）能综合运用离差平方和的分解公式进行推理与计算，并能把“分成两组”的分法推广到“分成多组”，体会“组内差异最小、组间差异最大”的统计思想，发展数据观念和应用意识。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组（基础巩固，必做） 1 组内差、组间差的概念与分解公式辨析 （1）（3） 2 求组内差、组间差并验证分解公式 （1）（2）（3） 3 由数轴图判断合理分组并求组内差 （2）（4） 4 比较两种分法的组内差，确定较优方案 （2）（5） 5 组内差最小与组间差最大的关系 （3） B组（能力提升，选做） 6 由频数分布直方图确定分组界限 （4） 7 由数轴图确定最优分法并求组内差 （4）（5） 8 从两组到多组，求多组组内离差平方和的和 （5）（6） C组（拓展创新，挑战） 9 离差平方和分解公式的逆用与推理 （2）（3）（6） 10 结合数轴图进行分组决策，理解分类原则 （4）（6） 五、作业评价 （一）评价方式 采用“学生自评—同伴互评—教师评价”相结合的方式。学生先独立完成 A 组题并自评，再由同伴互评 B 组题，教师重点关注 C 组题的思维过程，给出激励性评价。 （二）评价标准 等级 评价标准 优秀 能准确理解组内差、组间差的意义，A、B 组题目全部正确，能规范计算组内差与组间差，能灵活运用分解公式进行推理，能独立完成 C 组拓展题，思路清晰、表述规范。 良好 能理解组内差、组间差的概念，A 组题目基本正确，B 组题目能完成大部分，能借助图形对分组方案作出判断，对 C 组题能提出自己的思路。 合格 能理解“组内离差平方和最小”的分类原则，A 组题目能完成大部分，在教师或同伴的提示下能完成 B 组题。 待提高 对组内差、组间差的理解还不清晰，能在教师的帮助下完成 A 组基础题。 （三）评价量表 评价维度 评价要点 自我评价 同伴评价 教师评价 基础达标 会求组内差、组间差，理解分解公式 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 能力提升 会借助图形确定分组界限并比较分法优劣 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 拓展创新 能运用分解公式推理，并把两组推广到多组 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 学习品质 书写规范，独立完成，及时订正 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 六、试题详情 （一）A组 基础巩固（必做） 1．关于数据的分类，下列说法正确的是（　　） A．组内离差平方和越大，说明每组内部的数据越集中 B．组内离差平方和与组间离差平方和的和，等于这组数据的离差平方和 C．组内离差平方和越小，说明组间离差平方和也越小 D．把一组数据分成两组时，以中位数为分界的方案一定是最优方案 2．已知一组数据：2，4，6，8，10，12。按“前 3 个数据为第一组、后 3 个数据为第二组”分成两组。 （1）分别求两组数据的平均数 、； （2）求这组数据的组内离差平方和 ； （3）求这组数据的组间离差平方和 ； （4）求这组数据的离差平方和 ，并验证 。 3．某小组 8 名同学 1 分钟跳绳的成绩（单位：个）为：120，122，124，128，130，132，140，200。把它们标在数轴上，如图1所示。 图1 （1）观察图1，哪个数据明显偏离其他数据？ （2）如果要把这 8 个数据分成两组，你认为应该怎样分？请说明理由。 （3）按你确定的分法，求这组数据的组内离差平方和。 4．已知一组数据：1，3，5，7，9，11。现给出两种分组方案。 方案一：前 4 个数据为第一组，后 2 个数据为第二组； 方案二：前 3 个数据为第一组，后 3 个数据为第二组。 （1）分别求这两种方案下的组内离差平方和； （2）你认为哪种分组方案更合理？请说明理由。 5．把一组数据分成两组时，如果组内离差平方和达到最小，那么组间离差平方和__________（填“最大”或“最小”），这是因为________________________________。 （二）B组 能力提升（选做） 6．某校为了解九年级 40 名学生的 1 分钟跳绳成绩，绘制了频数分布直方图，如图2所示。 图2 （1）观察图2，这 40 名学生的成绩主要集中在哪个范围？ （2）学校准备把这 40 名学生的成绩分成“较好”和“一般”两类，你认为分界点设在哪个数值比较合理？请说明理由。 （3）你认为这样的分组体现了数据分析中分类的什么原则？ 7．一组 7 个数据：3，5，7，9，11，13，45，把它们标在数轴上，如图3所示。 图3 （1）观察图3，你认为应该怎样把这 7 个数据分成两组？请说明理由。 （2）求第（1）问中这种分法下的组内离差平方和。 （3）把这 7 个数据分成两组，共有多少种分法？ （4）为什么“组内离差平方和最小”的分法才是合理的分法？ 8．某校九年级 9 名同学立定跳远的成绩（单位：cm）为：190，195，200，210，215，220，250，255，260。现把这组数据按从小到大的顺序分成三组：第一组为 190，195，200；第二组为 210，215，220；第三组为 250，255，260。 （1）分别求这三组数据的平均数； （2）分别求这三组数据的组内离差平方和； （3）求这三组组内离差平方和的和； （4）把一组数据分成多组时，怎样的分法才是合理的？请写出你的结论。 （三）C组 拓展创新（挑战） 9．已知一组 10 个数据的离差平方和 。把这组数据分成两组：第一组有 6 个数据，平均数为 12；第二组有 4 个数据，平均数为 22。 （1）求这 10 个数据的平均数； （2）求组间离差平方和 ； （3）求组内离差平方和 。 10．某地区有 8 个县，各县的森林覆盖率（单位：%）分别为：12，15，18，20，22，25，28，65，把它们标在数轴上，如图4所示。 图4 （1）观察图4，你认为应该怎样把这 8 个数据分成两组？请说明理由； （2）求第（1）问中两组的平均数，并计算这种分法的组内离差平方和； （3）结合图4说明：在数据分类中，为什么要遵循“组内离差平方和最小”的原则？ 七、答案与解析 （一）A组 基础巩固 1．B 解析：组内离差平方和越大，说明每组内部的数据越分散，故 A 错误；由离差平方和的分解公式 可知，组内离差平方和与组间离差平方和的和等于整组数据的离差平方和，故 B 正确；由于总离差平方和 不变，组内离差平方和越小，组间离差平方和反而越大，故 C 错误；以中位数为分界虽然能使两组数据个数相等，但当数据中存在明显偏离的数值时，这样分并不合理，故 D 错误。故选 B。 说明：判断分组是否合理，关键看组内离差平方和是否最小，而不是看两组数据的个数是否相等。 2．（1）第一组数据的平均数 ，第二组数据的平均数 。 （2）组内离差平方和为 。 （3）这组数据的平均数为 ，所以组间离差平方和为 。 （4）这组数据的离差平方和为 。因为 ，所以 。 解析：求组内离差平方和时，要分别求出每一组内部各数据与该组平均数的偏差的平方和，再把它们相加；求组间离差平方和时，要用两组的平均数与整组数据的平均数的偏差的平方，并乘上该组数据的个数。本题验证了离差平方和的分解公式。 说明：分解公式 是本节的核心结论。由于总离差平方和 由数据本身决定、不会因分组方式而改变，所以要想让两组之间的差异尽量大，只要让每组内部的差异尽量小即可。 3．（1）200 明显偏离其他数据。 （2）应把前 7 个数据 120，122，124，128，130，132，140 分为一组，把 200 单独作为一组。理由：从图1可以看出，前 7 个数据比较接近，而 200 远离其他数据，是一个明显偏离的数值；把 200 单独分出来，可以使第一组内部的数据比较集中。 （3）第一组数据的平均数为 ，第一组中各数据与平均数 128 的偏差的平方分别为 64，36，16，0，4，16，144，所以第一组的组内离差平方和为 ；第二组只有一个数据，其组内离差平方和为 0。所以这组数据的组内离差平方和为 。 解析：当一个数据明显偏离其他数据时，把它单独分成一组，可以使组内离差平方和明显减小，这是一种常见而合理的分组方式。 说明：数轴图能帮助我们直观地观察数据的分布，看出数据是“比较集中”还是“明显偏离”，这是确定分组方案的重要方法。 4．（1）方案一：第一组 1，3，5，7 的平均数为 4，该组组内离差平方和为 ；第二组 9，11 的平均数为 10，该组组内离差平方和为 。所以方案一的组内离差平方和为 。 方案二：第一组 1，3，5 的平均数为 3，该组组内离差平方和为 ；第二组 7，9，11 的平均数为 9，该组组内离差平方和为 。所以方案二的组内离差平方和为 。 （2）方案二更合理。因为 ，即方案二的组内离差平方和比方案一小，说明按方案二分组时，每组内部的数据相对更集中，分组更合理。 解析：比较几种分组方案的优劣时，只需比较各组组内离差平方和的和，和越小说明“组内差异”越小，分组越合理。 说明：在数据个数不变的前提下，改变分界点会同时改变组内差与组间差，但两者之和（即总离差平方和）始终不变。 5．最大；因为一组数据的总离差平方和 是固定不变的，由分解公式 可知，当组内离差平方和 达到最小时，组间离差平方和 必然达到最大。 解析：这一结论说明“让组内差异最小”和“让组间差异最大”是同一件事，因此只需按“组内离差平方和最小”的原则分组即可。 （二）B组 能力提升 6．（1）这 40 名学生的成绩主要集中在 [140,160) 和 [160,180) 两个范围内，这两个范围的人数分别是 12 人和 10 人，共 22 人，超过了总人数的一半。 （2）分界点设在 160 个比较合理。理由：从图2可以看出，成绩在 [140,160) 内的人数最多，在 [160,180) 内的人数也较多，160 正处在人数最集中的两个范围之间。以 160 为界，把 [100,160) 内的 23 人（）分为“一般”组，把 [160,200] 内的 17 人（）分为“较好”组，这样每一组内部的数据相对集中，两组的差异也比较明显。 （3）这样分组体现了“组内离差平方和最小”（即“组内差异最小、组间差异最大”）的分类原则。 解析：当数据较多时，直接观察数据不方便，可以先画出数轴图或频数分布直方图，从图中看出数据“集中在哪里、在哪里有明显变化”，从而找到比较合理的分界点。 说明：本题分界点的答案不唯一，只要理由合理、能使组内数据相对集中、组间差异相对明显，都可以认为是合理的。 7．（1）应把前 6 个数据 3，5，7，9，11，13 分为一组，把 45 单独作为一组。理由：从图3可以看出，前 6 个数据比较接近，而 45 远离其他数据，把它单独分出来可以使第一组内部的数据比较集中。 （2）第一组数据的平均数为 ，第一组的组内离差平方和为 ；第二组只有一个数据 45，其组内离差平方和为 0。所以这种分法下的组内离差平方和为 。 （3）把 7 个数据按从小到大的顺序分成两组，第一组可以依次取 1 个、2 个、、6 个数据，所以共有 6 种分法。 （4）因为一组数据的总离差平方和 是固定不变的，由 可知，只有当组内离差平方和 达到最小时，组间离差平方和 才达到最大。也就是说，这样的分法能使每一组内部的数据最“整齐”，而两组之间的差异最明显，最能反映这组数据的内在结构。 解析：把小数据标在数轴上，可以直观地看到数据之间的“间隔”。数据在哪些位置比较密集、在哪个位置出现明显的“断层”，往往就是分界点的位置。 说明：若分成两组，分法的种数等于数据个数减 1。一般地， 个数据分成两组，共有 种分法。 8．（1）第一组数据的平均数为 ，第二组数据的平均数为 ，第三组数据的平均数为 。 （2）第一组的组内离差平方和为 ；第二组的组内离差平方和为 ；第三组的组内离差平方和为 。 （3）这三组组内离差平方和的和为 。 （4）把一组数据分成多组时，同样应使各组组内离差平方和的和达到最小，即让每一组内部的数据尽量集中、各组之间的差异尽量明显。 解析：从“分成两组”到“分成三组、更多组”，追求的目标是一致的，都是“组内差异最小、组间差异最大”。所不同的是，分成多组时，要用各组组内离差平方和的和来衡量分组的好坏。 说明：把一组数据分成 组时，衡量分组是否合理的量是各组组内离差平方和之和，和越小说明分组越合理。 （三）C组 拓展创新 9．（1）这 10 个数据的平均数为 。 （2）组间离差平方和为 。 （3）由 ，得组内离差平方和 。 解析：整组数据的平均数等于各组平均数的加权平均数，即 （其中 为第一组数据的个数，、 分别为两组数据的平均数）。求出整组数据的平均数后，即可用分解公式求出组间离差平方和，再由 求出组内离差平方和。 说明：本题是分解公式的“逆用”，即已知整组数据的离差平方和与组间离差平方和，求组内离差平方和。解题时要注意组间离差平方和中的系数是各组数据的个数，不要漏乘。 10．（1）应把前 7 个数据 12，15，18，20，22，25，28 分为一组，把 65 单独作为一组。理由：从图4可以看出，前 7 个数据比较接近，而 65 远离其他数据，是一个明显偏离的数值；把它单独分出来，可以使第一组内部的数据比较集中。 （2）第一组数据的平均数为 ，第一组中各数据与平均数 20 的偏差的平方分别为 64，25，4，0，4，25，64，所以第一组的组内离差平方和为 ；第二组只有一个数据 65，其组内离差平方和为 0。所以这种分法的组内离差平方和为 。 （3）因为一组数据的总离差平方和 是固定不变的，由 可知，只有使组内离差平方和 达到最小，组间离差平方和 才能达到最大。这样分组既能使每一组内部的数据最“整齐”，又能使两组之间的差异最明显，从而反映数据的分布特点、揭示数据中蕴含的规律。如果像图4中把 65 也放进第一组，第一组内部的数据就会变得很分散，组内离差平方和会明显增大，这样的分组就失去了意义。 解析：本题是在真实情境中运用“组内离差平方和最小”的原则进行分组决策。当数据中出现明显偏离的数值时，把它单独分成一组，往往正是使组内离差平方和最小的分法。 说明：在实际问题中，分类的目的不同，对分界点的要求也可能不同。但“组内差异最小、组间差异最大”始终是衡量分类是否合理的一条重要标准。 学科网（北京）股份有限公司 $