安徽省合肥市五十中东校2026-2027学年度第一学期九年级第一次学情自测数学试题

九年级数学 参考答案与试题解析、评分标准 一．选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【解答】解：、自变量的最高次数是3，错误； 、正确；属于二次函数的一般形式； 、原函数可化为：，自变量的最高次数是，错误； 、自变量的最高次数是1，错误． 故选：． 2．【解答】解：由题意可得：二次项系数，， 故选：． 3．【解答】解：对于二次函数，， 图象开口向上，选项说法错误，不符合题意； 图象的对称轴为直线，选项说法错误，不符合题意； 函数的最小值为1，选项说法正确，符合题意； 当时，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； 故选：． 4．【解答】解：抛物线向右平移2个单位，得：；再向下平移1个单位，得：． 故选：． 5．【解答】解：点，，在二次函数的图象上， 当时，；当时，；当时，，． 故选：． 6．【解答】解：根据题意的纵坐标为，把代入，， ，，，． 故选：． 7．【解答】解：，． 故选：． 8．【解答】解：由图可知，，，所以，抛物线开口方向向下， 对称轴为直线，所以，只有选项图象符合． 故选：． 9．【解答】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，，，，故①正确； ②对称轴是直线，与轴交点在左边，二次函数与轴的另一个交点在与之间，，故②正确； ③对称轴是直线，图象开口向下，时，函数最大值是；为任意实数，则，，故③错误； ④，由②得，，故④正确； ⑤，，，，，，，，，故⑤错误；故正确的有3个， 故选：． 10．【解答】解：由题意可得．①时，点在边上，， 则△的面积，解；故选项错误； ②时，点在边上，则△的面积，解；故选项错误； ③时，点在边上，，则△的面积， 解；故选项错误． 故选：． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．【解答】解：抛物线，该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 12．【解答】解：对于二次函数，当时的函数值与时的函数值相等， 二次函数图象的对称轴为直线，即． 故答案为：5． 13．【解答】解：，当时，函数取得最大值，最大值为400， 即飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：400． 14．【解答】解：（1），抛物线的对称轴为直线， 故答案为：（2分）； （2）抛物线交轴于点，，即， ， 点的坐标为，，且四边形为正方形，，，， 当抛物线经过点时，则，解得：； 当抛物线经过点时，则，解得：； 当抛物线与正方形的边有交点时，则； 故答案为：．（3分） 三．解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15．【解答】解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得 6分 所以抛物线解析式为 8分 16．【解答】解：（1）李师傅可以围出一个面积为750平方米的活动区域． 由题意可知，，， 3分 解得：， 4分 （2）， 5分 当时，活动区的面积最大，最大知为：． 当时，活动区的面积最大为800平方米 8分 四．解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17．【解答】解：（1） 3分 （2）顶点坐标是，当时，， 解得，，与轴的交点坐标是， 6分 （3）图象如图所示； （4）由图象可知，不等式的解集是或 8分 18．【解答】解：（1）令，则， 方程中△，当抛物线与轴有两个交点时， 3分 解得： 4分 （2）抛物线的对称轴为直线，抛物线在轴上截得的线段长为6， 抛物线与轴交点坐标为， 6分 把代入得， 解得： 8分 五．解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19．【解答】解：（1）把与代入得：， 解得：，，则抛物线解析式为 3分 顶点坐标为 4分 （2），， ，即或 5分 把代入抛物线解析式得：，方程无解 7分 把代入抛物线解析式得：，解得或 9分 此时坐标为， 10分 20．【解答】解：（1）设与之间的函数解析式为， 则，解得 4分 即与之间的函数表达式是 5分 （2）由题意可得，， 即与之间的函数表达式是：；， 7分 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，此时元 即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800 10分 六．解答题（本题满分12分） 21．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点，，将，代入 得解得： 5分 （2） 由（1）得抛物线解析式为，又∵MN平行于y轴；M的横坐标为t ∴ 7分 ∵ ∴MN= 10分 又∵-1＜0 ∴当时MN的长度最大值为 12分 七．解答题（本题满分12分） 22．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过点，， 将，代入， ，解得： 4分 顶棚抛物线的函数关系式为 5分 （2）由题意可得，与之间的距离为2米．设点的坐标为，则 8分 10分 当时，的最大值为米， 钢条与的长度之和存在最大值，最大值为米 12分 八．解答题（本题满分14分） 23．【解答】解：（1）令直线的函数表达式为，由条件可得： ，解得 4分 故直线的函数表达式为 5分 （2）由条件可得， 又抛物线与直线仅有一个交点， 故方程只有一个实数解 7分 方程变形为， 即△，可得方程组，解得 8分 故、 9分 （3）抛物线的表达式为， 结合抛物线与直线， 得方程，解得或 10分 故，的对称轴为直线， 故当，对应函数值最小，此时 12分 当时，对应函数值最大，此时 13分 ，故的最大值与最小值的差为 14分 九年级数学参考答案 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学 2026.9 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上。 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.下列函数关系式中，是二次函数的是() A.y=x-2x2-1 B.y=x2 2 C.=-3 D.y=x+1 2.已知二次函数y=(2-a)x的图象开口向上，则a的取值范围是() A.a>2 B.a<2 C.a=2 D.a≠2 3.下列选项是对二次函数y=2(x-3)+1的描述，其中正确的是() A.图象的开口向下 B.图象的对称轴为直线x=-3 C.函数的最小值为1 D.当x<3时，y随x的增大而增大 4.将抛物线y向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是() Ay-29-1B.-21C.+2y+1D.y+29-1 5.已知点(-1，)，(2，y2),(3,y)在二次函数y=X2-4x-5的图象上，则下列结论正确的是() A.4>>3 B.4>y3>2 C.3>4> D.3>3> 6。如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为y=子.当 B 水面到桥顶的距离OH为4m时，水面的宽度AB为（) A.4m B.8m C.10m D.12m 7.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x,是方程2+bx+c=0的一个 解，则下列选项中正确的是( ) 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2 -0.80 -0.54 -0.20 0.22 0.72 A.1.6<x1<1.8 B.1.8<x1<2.0 C.2.0<x1<2.2 D.2.2<x1<2.4 8.如图所示，在同一坐标系中，直线y=m+b和抛物线y=x2+bx+c(c≠0)的图象可能是（) 数学试题第1页（共4页） 9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列结论：①abc<0;② a-b+c<0;③m为任意实数，则a+b>m2+bm;④3a+c<0;⑤若 2+bx=aG+bx且x≠x2,，则x+x2=4,其中正确结论的个数有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3C/s的速度沿着边BC-CD-DA运动， 到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1Cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停 止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为ycm),则y关于x的函数图象是() y个(cm) A(cm) 2 A 0123x B 2 3x(s) y(cm) y(cm) 3 2 1 C.0T123xs) D. O123x) 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11.抛物线y=x2-9的顶点坐标是 12.对于二次函数y=x2-2r-3,当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等时，m= 13.飞机着陆后滑行的距离、（单位：m关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=40t-t,飞 机着陆后滑行一m才能停下来. 14.如图，已知抛物线y=a(x-3)2+k交y轴于点E(0,4). y (1)此抛物线的对称轴为直线： E (2)已知正方形ABCD边AB与x轴重合，点A的坐标为(8,0)，AB=2,若此 抛物线与正方形的边cD有交点，则a的取值范围是 A B 三.解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分) 15.已知二次函数的图象顶点为M(-3,-1),且经过点N(-1,1).求这个二次函数的表达式. 数学试题第2页（共4页） 16.如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD.已知 教学楼外墙长50米，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米。 （1)李师傅可否围出一个面积为750平方米的活动区域？如果可以，求出x的值；若不行，请说明 理由： (2)当x为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？ 四.解答题(（本题共2小题，每小题8分，共16分) 17.已知二次函数y=x2-2x-3 (1)将y=x2-2x-3化成y=a(x-2+k的形式： (2)该函数的图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是 .0 (3)在坐标系中画出该函数的图象： (4)结合图象直接写出不等式x2-2x-3>0的解集是一。 18.已知二次函数y=x2-4x+m. (1)若二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围. (2)若抛物线在x轴上截得的线段长为6，求m的值. 五.解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19.如图，二次函数y=a2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A(-4,0) (1)求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标； (2)在抛物线上存在点P,使△AOP的面积为10？求出点P的坐标. 20.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调 查发现每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价x(元) 30 40 50 每天销售量y(个) 100 80 60 … (1)求y与x之间的函数表达式： (2)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 数学试题第3页（共4页） 六.解答题（本题满分12分) 21.已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1交于A(-1,0,B(2,3)两点。 (1)求b,c的值 (2)点M的横坐标为t,且点M在该抛物线上，点N在该直线上，且MN平行于y轴。当-1<t<2 时，求线段N长度的最大值。 七.解答题（本题满分12分) 22.近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐，小林设计了一个如图1 所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO、BC是两根水泥柱，AO、BC垂 直于地面上的水平线OC,且AO=BC=2米，OC=8米，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建 立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y=a+x+c(a、c为常数，且a≠0). (1)求顶棚抛物线的函数关系式： (2)为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE、G,DE、FG两根钢条之间用钢 条MN连接，MN=2米，DE⊥OC,FG⊥OC,MN/1OC(D、F在抛物线上，E、G在OC上，M、N 分别在DE、FG上)，钢条DB与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长 度之和的最大值：若不存在，请说明理由， yW米 D EG Cx米 图1 图2 八.解答题（本题满分14分) 23.在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相同，则称点P为“幸运点”，如点(-1，-1)，（⑤，5） 都是“幸运点” (1)小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式：一： (2)小芳在研究抛物线C:y=a2-bx+4(a≠0)时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”(2,2).请 你帮她求出a,b的值. (3)在（2)的条件下将抛物线C向下平移1个单位得到抛物线C,若C,上有两个“幸运点”分别 是M(x,y),N(x,)（其中x<x).当x≤x≤x时，求出C,中y的最大值与最小值的差. 数学试题第4页（共4页） 九年级数学 2026.9 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2.请将答案正确填写在答题卡上。 一．选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数关系式中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象开口向上，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列选项是对二次函数的描述，其中正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为1 D．当时，随的增大而增大 4．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是（　　） A． B． C． D． 5．已知点，，在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，某拱桥的形状可看作是抛物线的一部分，其函数表达式为．当水面到桥顶的距离为时，水面的宽度为（　　） A． B． C． D． 7．下表是满足二次函数的五组数据，是方程的一个解，则下列选项中正确的是（　　） 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 0.22 0.72 A． B． C． D． 8．如图所示，在同一坐标系中，直线和抛物线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，正方形的边长为，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点停止运动；另一动点同时从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点停止运动．设点运动时间为，△的面积为，则关于的函数图象是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．抛物线的顶点坐标是 　　． 12．对于二次函数，当时的函数值与时的函数值相等时，　　 13．飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行　　才能停下来． 14．如图，已知抛物线交轴于点． （1）此抛物线的对称轴为直线　　 ； （2）已知正方形边与轴重合，点的坐标为，，若此抛物线与正方形的边有交点，则的取值范围是　　 ． 三．解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 15．已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 16．如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区．已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米． （1）李师傅可否围出一个面积为750平方米的活动区域？如果可以，求出的值；若不行，请说明理由； （2）当为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？ 四．解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17．已知二次函数 （1）将化成的形式； （2）该函数的图象与轴的交点坐标是 　　，与轴的交点坐标是 　　； （3）在坐标系中画出该函数的图象： （4）结合图象直接写出不等式的解集是 　　． 18．已知二次函数． （1）若二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围． （2）若抛物线在轴上截得的线段长为6，求的值． 五．解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点 （1）求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标； （2）在抛物线上存在点，使△的面积为10？求出点的坐标． 20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现每天的销售量（个与每个商品的售价（元满足一次函数关系，其部分数据如下所示： 每个商品的售价（元 30 40 50 每天销售量（个 100 80 60 （1）求与之间的函数表达式； （2）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？ 六．解答题（本题满分12分） 21.已知抛物线与直线交于两点。 （1）求的值 （2）点M的横坐标为t，且点M在该抛物线上，点N在该直线上，且MN平行于y轴。当时，求线段MN长度的最大值。 七．解答题（本题满分12分） 22．近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，、是两根水泥柱，、垂直于地面上的水平线，且米，米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式、为常数，且． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条、，、两根钢条之间用钢条连接，米，，，、在抛物线上，、在上，、分别在、上），钢条与的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条与的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由． 八．解答题（本题满分14分） 23．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相同，则称点为“幸运点”，如点，都是“幸运点”． （1）小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线上，请直接写出直线的解析式：　　 ； （2）小芳在研究抛物线时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点” ．请你帮她求出，的值． （3）在（2）的条件下将抛物线向下平移1个单位得到抛物线，若上有两个“幸运点”分别是，，，（其中．当时，求出中的最大值与最小值的差． 数学试题 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $