25.6 相似三角形的性质-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的性质，涵盖对应线段、周长、面积与相似比的关系。通过复习相似三角形的判定方法及基本性质，以问题“是否有其他性质”导入，搭建从已知到未知的学习支架。 此资料以探究活动为主线，通过证明对应高的比等于相似比并类比到中线、角平分线，培养推理意识，结合例题与分层练习（如小孔成像问题）发展应用意识。助力学生提升逻辑思维，教师易上手，高效落实教学目标。

25.6 相似三角形的性质 课题 相似三角形的性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P104-107 教学目标 1.了解相似三角形对应线段的比与相似比的关系，能利用这一关系进行有关计算. 2.掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方及其在实际中的应用. 3.通过探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力. 4.在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性. 教学重难点 重点：理解并掌握相似三角形对应线段的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 难点：运用相似三角形的性质定理解决问题. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 【复习回顾】 教师活动：如何判定两个三角形相似？ 学生活动：①两角分别相等；②两边成比例且夹角相等；③三边成比例. 教师活动：相似三角形有哪些性质？ 学生活动：三对对应角相等，三对对应边成比例. 教师活动：在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这些性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质. 由问题来引入本节的课题，调动学生学习的积极性，为后面的学习奠定基础. 2.实践探究，学习新知 【探究一】 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线. 教师活动：（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由. （2）AE和A'E'的比，AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由. 学生活动：相等，. 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′. 又∵AD⊥BC，A'D'⊥B′C′， ∴∠ADB=∠A'D'B′=90°. ∴△ABD∽△A′B′D′. ∴. 类似地，可以证明相似三角形对应中线、对应角平分线的比，都等于相似比. 教师活动：由此可知相似三角形的性质定理： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 【探究二】 如上图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.△ABC与△A′B′C′的周长的比是多少？ 师生活动：教师引导学生分析：求周长的比可以看作相似三角形对应线段的比等于相似比的应用. 教师指导学生写出解答过程. ∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′， ∴. 归纳总结：相似三角形周长的比等于相似比. 【探究三】 相似三角形面积的比也等于相似比吗？如果不相等，那么面积的比与相似比有怎样的关系呢？ 师生活动：学生自主思考，在用代数运算得到相似三角形周长的比等于相似比的基础上，进一步运用代数运算得到相似三角形面积比与相似比的关系. 归纳总结：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 【例题】 例 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，，AD=15，S△ABC=150，求AG的长和△AEF的面积. 思考: (1)由EF∥BC可以得到哪两个三角形相似? (2)相似三角形的相似比是多少? (3)AG与AD是不是相似三角形的对应线段? (4)根据相似三角形的性质能否求出线段AG的长和△AEF的面积? 解：∵ EF∥BC，∴ △AEF∽△ABC. ∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EF. ∴，=2. ∵，AD＝15， ∴. ∴ AG＝9. 又∵S△ABC=150， ∴=， ∴S△AEF=54. 师生活动：教师引导学生分析题意，学生独立完成解答过程，教师点评. 从相似三角形最基本的性质展开研究，使学生明确相似比与对应高的比的关系. 通过学生小组合作探究，类比前面的探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生类比的思维能力与归纳总结能力. 有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质. 通过例题，让学生掌握相似三角形的性质定理. 3.学以致用，应用新知 考点1 相似三角形对应线段的比 练习1 如果两个三角形相似，相似比为 3:5，那么 （1）这两个相似三角形的对应角平分线的比为______； （2）这两个相似三角形的对应高的比为______； （3）这两个相似三角形的对应中线的比为______； 答案：3:5 3:5 3:5 变式训练1 如图，已知△ABC∽△DEF，BG， EH分别为△ABC和△DEF的角平分线，BC=6 cm，EF=4 cm，BG=4.8 cm.求EH的长. 解：∵ △ABC∽△DEF， ∴ （相似三角形对应角平分线的比等于相似比）， ∴ ， 解得EH＝3.2（cm）. 即EH的长为3.2 cm. 考点2 相似三角形周长的比 练习2 已知△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，求△A′B′C′的周长. 解：在Rt△ABC中，斜边AB＝＝10， ∴ △ABC的周长＝6＋8＋10＝24. 又∵ ∠C＝∠C′ ＝90°，∠A＝∠A ′，∴ △ABC∽△A′B′C′. ∵ 两个相似三角形的周长比等于它们的相似比， ∴ . ∴ △A′B′C′的周长＝2×△ABC的周长＝48. 变式训练2 如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD，AE相交于F点．求△BEF与△AFD的周长之比. 解：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC， ∴△BEF∽△AFD. 又∵BE＝BC，∴＝＝＝， ∴△BEF与△AFD的周长之比为＝. 考点3 相似三角形面积的比 练习3 如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD，AE相交于F点．若S△BEF＝6cm2，求S△AFD. 解：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC， ∴△BEF∽△AFD. 又∵BE＝BC，∴＝＝＝. ∴＝()2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2. 变式训练3 如图所示，正方形DEFM 内接于△ ABC，若＝ 1，＝ 4，求. 解：过点A 作AQ ⊥ BC 交BC 于点Q，交DE 于点P. ∵四边形DEFM 是正方形， ∴DE ∥ BC，DE ＝ PQ， ∴AP ⊥ DE，即AP是△ADE 的高. ∵＝4，∴ DE＝2. ∵＝1，∴AP·DE＝1. ∴ AP＝1，∴ AQ＝ AP+PQ＝3. ∵DE ∥ BC，∴ △ADE ∽△ABC， ∴，∴， ∴ BC＝6. ∴ ＝BC·AQ＝×6×3＝9. 巩固相似三角形的性质定理1、2、3，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是(　　) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 答案：B 2.若两个相似三角形的相似比为2∶3，则其周长之比为（ ） A.1∶2 B. 2∶3 C. 4∶9 D.∶ 答案：B 3.若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为(　　) A．1∶2 B.∶2 C．1∶4 D.∶1 答案：B 4.如图，在△ABC中，若DE ∥BC，＝，DE＝4 cm，则BC的长为（　　） A.8 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm 答案：D 5.两个相似三角形的最长边分别为8 cm和5 cm，它们的对应高的比是　　　　，对应中线的比是　　　　.  答案：8:5 8:5 6.已知△ABC ∽△DEF，其对应中线的比为1∶3，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为______. 答案：9 7.已知△ABC ∽△DEF，∶=1∶4，则它们的周长比为______. 答案：1∶2 8.如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________ cm. 答案：16 9.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积. 解：∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴ △ADE∽△ABC， ∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF， ∴ △ADE∽△EFC. 又∵ ， ∴ AE∶FC＝2∶3， 则AE∶AC＝2∶5， ∴ ，∴ ＝25. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 本节课我们学习了相似三角形的哪些性质？ 相似三角形的性质定理： 1.相似三角形对应线段的比等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆. 6.布置作业 课本P107习题A组、B组. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 25.6　相似三角形的性质 相似三角形的性质定理： 1.相似三角形对应线段的比等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 在本节课的教学过程中,先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等，对应边成比例.为后面的证明做了铺垫.在己有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $