河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册24.3一元二次方程根与系数的关系）

冀教版九年级数学上册 第二十四章 一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系 分层作业 一、作品基础信息 项目 具体内容 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十四章 一元二次方程 课题 24.3 一元二次方程根与系数的关系 课时安排 1课时 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约30分钟（A组约12分钟，B组约12分钟，C组约6分钟） 设计理念 面向全体、分层递进、不解方程、以简驭繁 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域，要求学生理解一元二次方程及其解的意义，能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能通过观察、归纳、类比等活动发现数学结论，并会进行有条理的推理与表达。本节内容揭示了方程两根与系数之间的内在联系，是“从特殊到一般”“整体代换”等方法的重要载体。本次作业以“不解方程，由系数求两根的和与积”为主线，通过分层训练，帮助学生在理解和掌握关系式的基础上，学会把两根的和与积作为整体进行代换求值，发展运算能力和推理能力，体会数学的对称与简洁。 （二）教材分析 “24.3 一元二次方程根与系数的关系”是第二十四章“一元二次方程”的重要内容，它承接 24.2 解一元二次方程，又为后续学习二次函数与一元二次方程的联系、函数图像的对称性作铺垫。教材先以二次项系数为 1 的方程为例，让学生“先算根、再求和积”，归纳出 的两根满足 、；再把二次项系数不为 1 的方程化为系数为 1 的形式，或直接由求根公式推导出一般情形：当判别式 时，方程 的两根 、 满足 教材强调：运用这一关系的前提是方程有实数根，即 ；解题时先要把方程化成一般形式，再确定 、、 的值（含符号），并特别注意“两根之和”前面的负号。 教材还通过例题和“一起探究”栏目，引导学生把两根的和与积作为整体，求两根的平方和、倒数和、差的平方等对称式的值，体现“不求根，先求积与和”的解题策略。 （三）学情分析 九年级学生已经掌握了一元二次方程的四种解法，能熟练求出方程的根，但对“根与系数之间有什么关系”缺乏思考，归纳经验不足。学习本节内容时容易出现四方面的困难：一是记混符号，常把 与 、 混淆，或漏掉负号；二是忽略使用前提，对方程没有实数根的情形也直接套用关系式；三是没有把方程化为一般形式就确定 、、，导致符号出错；四是不善于把所求式子变形为含 与 的形式，只会走“先解方程求根”的老路。因此，作业设计应遵循“辨析—代换—优化”的顺序，通过基础训练、变式训练和综合应用，帮助学生准确记忆关系式、规范使用前提条件、灵活进行整体代换。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向关系的直接识别与简单应用（不解方程求两根和与积、已知一根求另一根、由两根和积求代数式的值），重在“保底”；B 组为能力提升题，指向对称式的整体代换求值、结合判别式由根的情况确定字母系数的取值，重在“提质”；C 组为拓展创新题，指向含参数方程的综合探究，以及在几何图形中运用根与系数的关系简洁求解，重在“扬长”。三个层级按照“会认—会代—会用”的路径设计，题量精简、层次分明，使不同水平的学生都能获得成功的体验。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）理解一元二次方程根与系数的关系，能准确写出方程两根之和与两根之积。 （2）会用根与系数的关系不解方程求两根的和与积，会由方程的一个根求另一个根。 （3）会把两根的平方和等简单对称式化为含两根和与积的式子并求值。 （二）提升目标（选做） （4）能熟练地把倒数和、差的平方等对称式化为含两根和与积的式子并求值。 （5）能结合判别式，由两根满足的条件确定字母系数的取值，体会根与系数关系的适用前提。 （三）拓展目标（挑战） （6）能在含参数的一元二次方程中综合运用根与系数的关系和根的判别式解决问题，能说明舍去不合题意的解的理由。 （7）能在几何图形中运用根与系数的关系简洁求解，体会“不解方程，以简驭繁”的思想方法，发展运算能力和推理能力。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组（基础巩固，必做） 1 由方程系数直接求两根之和 （1） 2 不解方程求两根之和与两根之积 （2） 3 由方程的一个根求另一个根及字母系数的值 （2） 4 由“长和宽是方程两根”求矩形的周长与面积 （2）（7） 5 由周长、面积列方程并求长和宽 （3） B组（能力提升，选做） 6 对称式的整体代换求值 （4） 7 结合判别式，由两根平方和确定字母系数的值 （5） 8 由“两直角边是方程两根”求斜边与面积 （4）（7） C组（拓展创新，挑战） 9 含参数方程中根与系数关系与判别式的综合运用 （5）（6） 10 由“两对角线是方程两根”求菱形的周长与面积 （6）（7） 五、作业评价 （一）评价方式 采用“学生自评—同伴互评—教师评价”相结合的方式。学生先独立完成 A 组题并自评，再由同伴互评 B 组题，教师重点关注 C 组题的整体代换与舍根理由，给出激励性评价。 （二）评价标准 等级 评价标准 优秀 能准确写出并灵活运用一元二次方程根与系数的关系，A、B 组题目全部正确；能熟练进行整体代换，能结合判别式确定字母系数的取值；能独立完成 C 组综合题，过程完整、舍根理由充分、表述规范。 良好 能正确写出根与系数的关系，A 组题目基本正确，B 组题目能完成大部分；会进行简单的整体代换；能在提示下完成 C 组题。 合格 能记住根与系数的关系，A 组题目能完成大部分；能不解方程求两根的和与积，符号偶有差错。 待提高 对关系式中的负号还不熟练，能在教师或同伴的帮助下完成 A 组基础题。 （三）评价量表 评价维度 评价要点 自我评价 同伴评价 教师评价 基础达标 能准确写出两根之和与两根之积，会由一根求另一根 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 能力提升 会整体代换求对称式的值，能结合判别式确定字母系数 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 拓展创新 能综合运用关系式与判别式，能在几何图形中简洁求解 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 学习品质 书写规范，独立完成，及时订正 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 六、试题详情 （一）A组 基础巩固（必做） 1．一元二次方程 的两个根为 、，则 的值为（　　） A．5　　　B．　　　C．6　　　D． 2．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积。 （1）； （2）。 3．已知关于 的一元二次方程 的一个根是 2，求它的另一个根及 的值。 4．如图1，某学校有一块长方形绿地，它的长和宽分别是关于 的一元二次方程 的两个根（长大于宽）。求这块绿地的周长和面积。 图1 5．如图2，某长方形花圃的周长是 20 m，面积是 24 m²。求这个花圃的长和宽。 图2 （二）B组 能力提升（选做） 6．已知 、 是方程 的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）。 7．已知关于 的一元二次方程 的两个实数根为 、，且 ，求 的值。 8．如图3，在 中，，两直角边 、 的长分别是方程 的两个根（）。求： （1）、 的长； （2）斜边 的长； （3） 的面积。 图3 （三）C组 拓展创新（挑战） 9．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 、。 （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的值。 10．如图4，菱形 的两条对角线 、 的长分别是关于 的一元二次方程 的两个实数根（）。求： （1）对角线 、 的长； （2）菱形 的周长和面积。 图4 七、答案与解析 （一）A组 基础巩固 1．A 解析：这里 ，，。由根与系数的关系，得 。故选 A。 说明：用根与系数的关系求两根之和时，要注意“两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数”，不要漏掉负号。 2．（1）这里 ，，。所以 ，。 （2）这里 ，，。所以 ，。 解析：使用根与系数的关系前，要先把方程化成一般形式 ，再确定 、、 的值（含符号），最后代入 、。 说明：当二次项系数不为 1 时，两根之和与两根之积都是分数，不要漏写分母，也不要把符号弄错。 3．设方程的另一个根为 。由根与系数的关系，得 。因为一个根是 2，所以 ，解得 。又 ，所以 ，解得 。 答：方程的另一个根是 ， 的值是 1。 解析：已知一个根求另一个根，用两根之积的关系最简便；求出另一个根后，再用两根之和的关系求 。 说明：把 代入原方程得 ，因式分解得 ，两根为 2 和 ，与所求一致。 4．设方程的两个根为 、（）。这里 ，，。由根与系数的关系，得 ，。所以绿地长为 5 m、宽为 4 m，周长为 （m），面积为 （m²）。 答：这块绿地的周长是 18 m，面积是 20 m²。 解析：因为长和宽恰好是方程的两个根，所以可用根与系数的关系直接求出两根之和（即长与宽的和）与两根之积（即长与宽的积），再由 因式分解得 ，确定长为 5 m、宽为 4 m。 说明：本题体现了“根与系数的关系”在几何中的直接应用，求周长只需两根之和，求面积只需两根之积。 5．设长方形花圃的长为 m，则宽为 m。由面积公式，得 ，化成一般形式为 。这里 ，，，由根与系数的关系得 ，，因式分解得 ，所以 ，。因为长大于宽，所以长为 6 m、宽为 4 m。 答：这个花圃的长为 6 m、宽为 4 m。 解析：周长是 20 m，则长与宽的和是 10 m；再结合面积是 24 m²，可列出一元二次方程，借助根与系数的关系确定长与宽。 说明：列方程解决实际问题时，求出方程的根后，还要结合实际意义（长大于宽、长度为正）确定答案。 （二）B组 能力提升 6．这里 ，，。由根与系数的关系，得 ，。 （1）。 （2）。 （3）。 解析：求含两根的对称式的值，关键是先把所求式子变形为只含 与 的形式，再把两根之和与两根之积整体代入。常用的变形有 、、。 说明：整体代换时不要急于把 、 分别求出，那样运算量大且容易出现无理数；先化简式子再代入，可以又准又快。 7．这里 ，，。由根与系数的关系，得 ，。 因为 ， 所以 ，即 ，因式分解得 ，解得 或 。 又因为判别式 ，所以 与 都符合题意。 答： 的值为 2 或 。 解析：先由根与系数的关系得到两根之和与两根之积（用含 的式子表示），再把它代入条件 ，得到关于 的方程并求解。求出 的值后，还要用判别式检验方程是否有实数根。 说明：本题的判别式恒为 1，无论 取何值方程都有两个不相等的实数根，所以两个解都保留；若判别式与 有关，就要把不满足 的解舍去。 8．这里 ，，。由根与系数的关系，得 ，。 （1）解方程 ，因式分解得 ，所以 ，。因为 ，所以 ，。 （2）在 中，由勾股定理，得 ，所以斜边 的长为 5。 （3），所以 的面积为 6。 答：，；斜边 ；三角形的面积为 6。 解析：两直角边的长是已知方程的两个根，可先用根与系数的关系（或直接解方程）求出两根，再结合 确定两直角边的具体长度，最后用勾股定理和面积公式求解。 说明：由根与系数的关系只能得到两根的和与积，要确定哪条边更长，还需结合题目条件进行比较。 （三）C组 拓展创新 9．（1）因为方程有两个实数根，所以判别式 ，解得 。 （2）这里 ，，。由根与系数的关系，得 ，。 因为 ， 所以 ，即 ，解得 或 。 因为 ，所以 不符合题意，舍去，取 。 答：（1） 的取值范围是 ；（2） 的值为 0。 解析：第（1）问由“方程有两个实数根”列出判别式 的不等式；第（2）问先用根与系数的关系把 化为含 的式子，得到关于 的方程，求出 后再用第（1）问的范围检验，舍去不合题意的解。 说明：含参数的方程求字母取值时，一定要把“判别式条件”与“根与系数关系求出的值”结合起来综合考虑，这是本题的关键，也是易错点。 10．（1）这里 ，，。由根与系数的关系，得 ，。解方程 ，因式分解得 ，所以 ，。因为 ，所以 ，。 （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，所以两条对角线的一半长分别为 4 和 3，由勾股定理得菱形的边长为 ，所以周长为 。菱形的面积为 。 答：，；菱形 的周长为 20，面积为 24。 解析：两条对角线的长是方程的两个根，用根与系数的关系可得到两根之和为 14、两根之积为 48，进而确定两条对角线的长；再由菱形对角线互相垂直平分的性质，用勾股定理求边长，用“对角线乘积的一半”求面积。 说明：对于对角线恰好是方程两根的图形问题，求面积时只需知道两根之积，这正体现了“不解方程、整体使用”的便利；求周长时则需要确定每条对角线的具体长度。 学科网（北京）股份有限公司 $