2.1.1 倾斜角与斜率（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习以“分层递进+素养导向”为特色，通过A组基础巩固、B组能力综合、C组思维拓展及高考链接，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|倾斜角与斜率定义、两点求斜率等7个基础知识点|以选择、填空题为主，聚焦易错点（如倾斜角范围）和重点（如三点共线），强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|斜率与参数关系、直线与线段相交等综合应用|设置单选、多选及解答题，融入数形结合（如斜率范围求解），培养推理能力与运算能力| |C组及拓展|跨知识融合、分类讨论及高考真题|含开放题（方向向量表示）、高考题（直线夹角），发展创新意识与应用意识，衔接升学需求|

分层作业 2.1.1 倾斜角与斜率 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的倾斜角与斜率的定义的理解（易错） 知识点02 倾斜角与斜率的变化关系 知识点03 已知两点求斜率（重点） 知识点04 已知斜率求参数 知识点05 斜率中的三点共线（重点） 知识点06 直线与线段的相交关系求斜率的范围（难点） 知识点07 直线的方向向量与斜率 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的倾斜角与斜率的定义的理解知识点01 知识点速记： 1. 直线的确定及直线的倾斜角 （1）直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的一组几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向 . （2）直线的倾斜角： ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴的正半轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角，通常倾斜角用表示.当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. ②范围：. 2. 直线的斜率 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当时，称为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在. 题型巩固练： 1．（25-26高二上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角； ②任何一条直线都有唯一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 3．关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·陕西·开学考试）若直线的倾斜角为，则（   ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 5．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 倾斜角与斜率的变化关系知识点02 知识点速记： 倾斜角与斜率的变化关系 ⑴即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． ①当直线的倾斜角时，斜率，直线与x轴平行或重合； ②当时，斜率，且k值增大，倾斜角随着增大； ③当时，斜率不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当时，斜率，且k值增大，倾斜角也随着增大. 题型巩固练： 7．（28．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（16-17高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 已知两点求斜率知识点03 知识点速记： 斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在. 题型巩固练： 12．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知直线经过两点，则直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 已知斜率求参数知识点04 知识点速记： 已知斜率求参数 直线经过两点，，且坐标中含有参数，已知斜率，利用公式列方程求解. 题型巩固练： 16．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 18．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 斜率中的三点共线知识点05 知识点速记： 若三点中任意两点构成的直线斜率相等，且这三点中有公共点，则这三点共线；反之，若三点共线，则三点中任意两点构成的直线斜率相等. 题型巩固练： 21．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 23．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 直线与线段的相交关系求斜率的范围知识点06 知识点速记： 解决直线与线段的相交关系求斜率的范围问题，通常采用数形结合的方法求解。 解题步骤为： ⑴确定临界位置：设直线过点，线段为，直线与线段相交的临界情况是直线分别经过线段的两个端点，首先利用向量公式分别计算出直线、的斜率； ⑵分析旋转过程：若定点的横坐标在线段的横坐标范围之外（即直线旋转过程中不经过垂直位置），斜率是连续变化的，取值范围通常在之间；若定点的横坐标在线段的横坐标范围之间（即直线旋转过程中会经过垂直于轴的位置，此时斜率不存在），斜率会从正无穷突变到负无穷，此时取值范围通常是两个区间的并集，即在； 题型巩固练： 24．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 直线的方向向量与斜率知识点07 知识点速记： 直线的方向向量 （1）定义：直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量。 若直线的一个方向向量为，当时，斜率；当时，斜率不存在.     题型巩固练： 28．（25-26高二上·山西大同·期末）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·福建漳州·期末）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2． 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 3.若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·期末）已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为（    ） A．0 B．1 C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏南京·阶段检测）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 11．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 三、填空题 12．（25-26高二下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若直线上的任何向量都与向量平行，则倾斜角的大小为______． 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 14．（22-23高二上·江苏南通·阶段检测）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 四、解答题 15．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 16．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 17．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线经过点与， (1)若与直线垂直，求； (2)若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 1．【知识融合】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．【分类讨论】（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 3．【开放题】已知直线l通过点与，则直线l的一个方向向量为_________. 4．【知识融合】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为___________． 5．【分类讨论】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 1．（2002·北京·高考真题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（1995·全国·高考真题）图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 3．（2000·全国·高考真题）已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角______． 5．（2006·北京·高考真题）若三点，，，（）共线，则的值等于___________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1.1 倾斜角与斜率 参考答案 直线的倾斜角与斜率的定义的理解知识点01 1．B； 2．B； 3．A； 4.C； 5.C； 6.C 倾斜角与斜率的变化关系知识点02 7．C； 8．A； 9．D； 10．C； 11.AD； 已知两点求斜率知识点03 12．C； 13．D； 14．B； 15．A 已知斜率求参数知识点04 16．C； 17．A； 18．D； 19.A ； 20.C； 斜率中的三点共线知识点05 21.A； 22．C； 23．； 直线与线段的相交关系求斜率的范围知识点06 24．B； 25．D； 26．C； 27. 直线的方向向量与斜率知识点07 28． C； 29．A； 30．C； 31.C 一、单选题 1．D； 2．D； 3．C； 4．B； 5．C； 6．B ； 7.C ； 8.B； 二、多选题 9．AD； 10．BCD； 11.AC； 三、填空题 12．； 13．； 14. 四、解答题 15．【答案】(1);(2) 【详解】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 16．【答案】(1)；(2)答案见解析． 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 17.【答案】(1)；(2) 【详解】（1），因为与直线垂直，所以， 所以，，解得； （2）依题意， 由与线段有交点，当直线斜率存在时， 则的斜率的取值范围是， 因直线的倾斜角的范围是， 故的倾斜角的取值范围是， 若斜率不存在时，倾斜角为， 综上，的倾斜角的取值范围为. 1． C； 2．B； 3. （答案不唯一）； 4.； 5.； 1．B； 2．C； 3．C； 4．（或 ）； 5． ； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1.1 直线的倾斜角与斜率 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的倾斜角与斜率的定义的理解（易错） 知识点02 倾斜角与斜率的变化关系 知识点03 已知两点求斜率（重点） 知识点04 已知斜率求参数 知识点05 斜率中的三点共线（重点） 知识点06 直线与线段的相交关系求斜率的范围（难点） 知识点07 直线的方向向量与斜率 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的倾斜角与斜率的定义的理解知识点01 知识点速记： 1. 直线的确定及直线的倾斜角 （1）直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的一组几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向 . （2）直线的倾斜角： ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴的正半轴按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角，通常倾斜角用表示.当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. ②范围：. 2. 直线的斜率 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当时，称为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在. 题型巩固练： 1．（25-26高二上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角； ②任何一条直线都有唯一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【详解】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确； 命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误； 命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误； 命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误. 综上，正确的命题有1个. 故选：B 2．下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，根据倾斜角定义知，任何一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对于②，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错误； 对于③，倾斜角为的直线与x轴垂直，有无数条，错误； 对于④，倾斜角为的直线与x轴重合或平行，有无数条，错误； 综上，只有①说法正确. 故选：B 3．关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①，任一条直线都有倾斜角，但当直线的倾斜角为时，此直线的斜率不存在，所以①不正确； 对于②，当直线的倾斜角大于时，它的斜率为负数，而倾斜角为锐角时，其斜率为正数，大于所有负数， 所以不能说直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，所以②不正确； 对于③，平行于轴的直线的倾斜角只能是0，所以③不正确； 对于④，一般地，两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；但如果这两条直线的倾斜角都是， 它们斜率都不存在，也就不能说它们斜率相等，所以④不正确； 对于⑤，直线斜率的范围是，满足定义，所以⑤正确． 故选：A． 4．（23-24高二下·陕西·开学考试）若直线的倾斜角为，则（   ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 【答案】C 【详解】因直线与轴垂直，故该直线的倾斜角. 5．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知直线的斜率为，则其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则，故. 6．（25-26高二上·广西来宾·期中）若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以直线的斜率为. 故选：C 倾斜角与斜率的变化关系知识点02 知识点速记： 倾斜角与斜率的变化关系 ⑴即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． （2）斜率k和倾斜角θ之间的关系 ①当直线的倾斜角时，斜率，直线与x轴平行或重合； ②当时，斜率，且k值增大，倾斜角随着增大； ③当时，斜率不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当时，斜率，且k值增大，倾斜角也随着增大. 题型巩固练： 7．（28．（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 8．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，则. 故选：A 9．（16-17高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 11．（多选）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 已知两点求斜率知识点03 知识点速记： 斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在. 题型巩固练： 12．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 14．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知直线经过和两点，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为：. 设直线的倾斜角为，则，所以. 故选：B. 15．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知直线经过两点，则直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：A 已知斜率求参数知识点04 知识点速记： 已知斜率求参数 直线经过两点，，且坐标中含有参数，已知斜率，利用公式列方程求解. 题型巩固练： 16．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 17．（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【详解】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 18．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 19．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 斜率中的三点共线知识点05 知识点速记： 若三点中任意两点构成的直线斜率相等，且这三点中有公共点，则这三点共线；反之，若三点共线，则三点中任意两点构成的直线斜率相等. 题型巩固练： 21．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 22．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 23．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【详解】由题意，则，即. 直线与线段的相交关系求斜率的范围知识点06 知识点速记： 解决直线与线段的相交关系求斜率的范围问题，通常采用数形结合的方法求解。 解题步骤为： ⑴确定临界位置：设直线过点，线段为，直线与线段相交的临界情况是直线分别经过线段的两个端点，首先利用向量公式分别计算出直线、的斜率； ⑵分析旋转过程：若定点的横坐标在线段的横坐标范围之外（即直线旋转过程中不经过垂直位置），斜率是连续变化的，取值范围通常在之间；若定点的横坐标在线段的横坐标范围之间（即直线旋转过程中会经过垂直于轴的位置，此时斜率不存在），斜率会从正无穷突变到负无穷，此时取值范围通常是两个区间的并集，即在； 题型巩固练： 24．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 25．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 26．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 27．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 直线的方向向量与斜率知识点07 知识点速记： 直线的方向向量 （1）定义：直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量。 （2）直线的斜率与直线方向向量的关系： 若直线的一个方向向量为，当时，斜率；当时，斜率不存在.     题型巩固练： 28．（25-26高二上·山西大同·期末）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，故. 故选：C. 29．（25-26高二上·福建漳州·期末）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得直线的斜率为 设直线倾斜角为，且 所以，解得. 故选：A 30．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为. 故选：C. 31．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【详解】由题意，，则. 故选：C 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽·期末）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意：方向向量为的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则， 解得倾斜角为． 故选：D. 2．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． 3. .若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 4．（25-26高二上·全国·期末）已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 【答案】B 【详解】 直线l经过点，， 直线l的斜率为 选项A：直线l的方程为，一般式为，故A错误； 选项B：直线的倾角，，倾斜角为，故B正确； 选项C、D：，方向向量为，法向量为，其中， 与不平行，不是直线的方向向量，故C错误； 与的数量积为，故不是直线的法向量，故D错误． 故选：B． 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】，则， 又，则，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，故， 即直线的斜率为. 故选：C 6．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 7．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交，    结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏南京·阶段检测）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10．（25-26高二上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 11．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．若三点共线，则m的值为0 B．已知两点，过点的直线与线段有公共点，则的斜率k的取值范围为 C．已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则可以是点B的坐标 D．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则 【答案】AC 【详解】对于A选项，由可得，由三点共线得，得，A选项正确； 对于B选项，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C选项，若，则，故与平行，故C选项正确； 对于D选项，若，但是，故D选项错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若直线上的任何向量都与向量平行，则倾斜角的大小为______． 【答案】 【详解】因为直线上的任何向量都与向量平行，所以向量是直线的一个方向向量， 所以直线上的斜率，设直线的倾斜角为，则，且， 所以，故直线倾斜角的大小为. 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 14．（22-23高二上·江苏南通·阶段检测）过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 【答案】 【详解】如图，当过点时，，当过点时，， 故直线和连接点的线段总有公共点，则， 又，所以 故答案为：    4、 解答题 15．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1);(2) 【详解】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 16．已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析． 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 17．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知点，，直线经过点与， (1)若与直线垂直，求； (2)若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围， 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），因为与直线垂直，所以， 所以，，解得； （2）依题意， 由与线段有交点，当直线斜率存在时， 则的斜率的取值范围是， 因直线的倾斜角的范围是， 故的倾斜角的取值范围是， 若斜率不存在时，倾斜角为， 综上，的倾斜角的取值范围为. 1．【知识融合】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 2．【分类讨论】（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 3．【开放题】已知直线l通过点与，则直线l的一个方向向量为_________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】由已知可得，是直线l的一个方向向量． 故答案为：（答案不唯一） 4．【知识融合】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 5．【分类讨论】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 1．（2002·北京·高考真题）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 2．（1995·全国·高考真题）图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可得，， 故选：C 3．（2000·全国·高考真题）已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线：的倾斜角为，直线：的倾斜角为，则， 所以过原点的直线：，：夹角在内变动时， 可得直线的倾斜角的范围是， 所以，即， 故选：C. 4．（2024·上海·高考真题）直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 5．（2006·北京·高考真题）若三点，，，（）共线，则的值等于___________. 【答案】 【详解】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知. 由得：，即，又， ∴. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $