第12讲 指数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一

高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第12讲 指数 模块一 n次方根、实数指数幂、运算法则 模块二 常见题型讲解 4 课后作业 附解析 9 目标双一流 领先高考培优课程 第12讲指数 课堂思维碰撞 1.掌握核心概念：准确理解次方根、根式的慨念及其性质：深刻理解分指数幂（正分数、负分数 及0的分数指数幂)的意义，掌握无理数指数幂的概念。 2.熟练运算法则：熟练掌握有理数指数幂及实数指数幂的运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘 方等)。 3.掌握互化技巧：能熟练进行根式与分指数幂的相互转化，并能利用运算性质进行复杂的指数式化简 与条件求值。 模块一 n次方根、实数指数幂、运算法则 点 1.n次方根与根式 。定义：一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方根（n>1且n∈N)。 。性质（极度重要）： 1 目标双一流 领先高考培优课程 >当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数，记作Va。 >当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数，记作±Va；负数没有偶次方根。 >0的任何次方根都是0° ·根式的运算性质： (a)”=a (注意：前提是根式有意义)。 a=a,n为奇数 川a,n为偶多 2.分数指数幂与实数指数幂 ·正数的正分数指数幂：m =a（a>0,m,ne,n>1。 ·正教的爽分教指载不：。分1】 （a>0,m,n∈N°，n>1)。 。 0的分教指数暴：0的正分数指数眾等于0；0的负分数指数幂没有意义。 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a“(Q>0,Q是无理数)是一个确定的实数。有理数指 数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 3.实数指数幂的运算性质 对于a>0,b>0,r,s∈R,有 2 目标双一流 领先高考培优课程 1.d·a=a+s(同底相乘，指数相加) 2.（a=a（幂的乘方，指数相乘) 3.（ab厂=ab(积的乘方，等于乘方的积) 4. Q=as（同底相除，指数相减) 4.核心避坑指南与解题技巧 ·化简原则：结果中不能同时含有根式和分数指数幂；不能既含有分母又含有负指数；底数是 带分数或小数的，必须先化为假分数或真分数。 【小练一下】 1.计算：-8下= --5 -3= 21 11 15 2.化简：（2a3b2)(-6a2b3)÷(-3ab5)· 【答案】1.-8；3.2.4a 【解析】1根据根式性质，-8下=-8（奇次方根直接脱去根号）； -3=|-3引=3（偶次方根脱去根号要加绝对值)。 21-1115 2原式=2×(-6)÷(-3a326,b236 3 目标双一流 领先高考培优课程 系数部分：2×(-6)÷(-3)=4 a的指数部分： 2+1-1=4+3-1=1 326 6 b的指数部分： 1+1-5=3+2-5=0 2366 所以原式=4ab°=4a。 热 题 型归纳 回--周+e-+o12) 【答案】4： 目 【原=巾-同-（户+1[因） =3-131+ =8-15-19 4 目标双一流 领先高考培优课程 【练习1】 元2+0.r+(2x5-27 (2)0.1253_ +4+N2x5), -48-✉-品片 厚-(》-a-或日 【答案】(1)200 (2)81 (3)-9 (4)2 目 【解折】4)°+0.12+(2xV3)°-27 =旷倒 =1+102+22×33-32 =1+100+4×27-9=200 21+2+2×3胡 23+22+2x3 1×6 6 5 目标双一流 领先高考培优课程 =2-1+8+8×9 =81 (3)原式= 48-2x-g 16 -4× 2*8)3 7 -7-2- =-9 --39 2 -1 3 1-2 =1-1+ 2 模块二 常见题型讲解 知识点 6 目标双一流 领先高考培优课程 整体代换法：遇到已知是+。=3求a+01这类问题， a2+a2=3 利月用完全平方公式是 进行整体代换。 (a2+a)2=a+a1+2 常见公式补充： (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 纳 1 a+a1+2 回【例2】 已知a2+a2=3,求a2+a2-2的值； 【答案】5： 1 【解析】由a2+a2=3,得a+a+2=9,则a+a=7,两边平方得a2+a2=47, a+a1+291 所以a2+a2-247-25 a+a-1 ☐目【练习2】 (1)已知a2-a2=1,求a2+a2的值： a+a 3x 3 (2)已知a+a2a>0且a≠)，则a2r= > 目标双一流 领先高考培优课程 +3”求+r2 33 (3)已知11 值. x2+x2+3 2 2 【答案】(1)7 (2)2或2 3)5 【解折】山)由--1 +2=3, 所以a2+a2=(a+a}-2=7, a1+a-13-12 故a2+a77 (2)因为a3+a3=a+axa2x-aa+a2x=a+aa2x-1+a2x, ar+a3r_(d+a"）(a2-1+a2）_3 所以a+a 所以 2-1ta2=3 2, 设t=a2x,则 2-1ta=3-1+3 2可化为t2, 1 t=- 即2t2-5t+2=0,解得2或t=2. 因为t=a2x>0,所以2或a2=2. P 目标双一流 领先高考培优课程 1 故答案为：2或2 (3)对，，两边平方得 + =x+x1+2=32,所以， x2+x2=3 x+x1=7 再对x+x=7两边平方得(+x=2+x2+2=7,所以x2+x2=47, ++-l+=3-=i8 3 则2+x2+2=18+2202 3 x2+x2+347+3505 课后作业 一、选择题（概念辨析，夯实基础） 1.下列各式中，正确的是() A-3=-3 B. -44=-4 9 目标双一流 领先高考培优课程 C. Ya-a D. 02=0 2.若 Q>0:将a化为分数指数幂的形式，正确的是() A是 a C. D a 3.化简 8号的结果是() 27 4 A 9 B c D g 4 2 二、填空题（精准运算，规范表达） 4计算：22x22÷21= 3 5若+x=g则x+x 6已知a=4则 a= 三、解答题（逻辑推理，综合应用） ?化简（结果用分数指数幂表示）：aa:石（a>0 &已知-a支-2求下列各式的位： (1)a+a1: (2)a2+a2。 【作业解析】 一、选择题 1.【答案】A。解析：A正确，奇次方根直接脱去根号；B错误，偶次方根脱去根号要加绝对值，应 为4；C错误，应为a;D错误，0的负指数幂没有意义。 2.【答案】B。解析：根据分数指数幂的定义，根指数变分母，被开方数的指数变分子，即 10 目标双一流 领先高考培优课程 派=a系 3. 【1默留经是 二、填空题 生【答案】8解折：根据同底数幂的运算性质，原式=2号=21-2=8故答案为8 19 1 5【答案】7。解析：将已知条件两边平方，(x2+xP=3展开得x+2+x1=9,所以 X+x1=7。 6.【答案】8。解析：将等式两边同时 多次方，0片4即0=2-2=8 233 三、解答题 7.【解析】 8. 【解析】 （1)将已如条件两边平方：(。-ay=2 展开得： a-2·a2.a2+a1=4 即a-2+a1=4,所以a+a1=6。 (2)将 a+0=6两边再次平方：(a+a1=62 展开得：a2+2·aa1+a2=36, 即a2+2+a2=36,所以a2+a2=34。 11 目标双一流高一数学新课讲义 √必修 打基础，精选题，不超前 f)=o根 2◆ 4>o# Contents 目录 第12讲 指数 模块一 n次方根、实数指数幂、运算法则 模块二 常见题型讲解 4 课后作业 9 目标双一流 领先高考培优课程 第12讲指数 课堂思维碰撞 1.掌握核心概念：准确理解次方根、根式的慨念及其性质：深刻理解分指数幂（正分数、负分数 及0的分数指数幂)的意义，掌握无理数指数幂的概念。 2.熟练运算法则：熟练掌握有理数指数幂及实数指数幂的运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘 方等)。 3.掌握互化技巧：能熟练进行根式与分指数幂的相互转化，并能利用运算性质进行复杂的指数式化简 与条件求值。 模块一 n次方根、实数指数幂、运算法则 点 1.n次方根与根式 。定义：一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方根（n>1且n∈N)。 。性质（极度重要）： 1 目标双一流 领先高考培优课程 >当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数，记作Va。 >当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数，记作±Va；负数没有偶次方根。 >0的任何次方根都是0° ·根式的运算性质： (a)”=a (注意：前提是根式有意义)。 a=a,n为奇数 川a,n为偶多 2.分数指数幂与实数指数幂 ·正数的正分数指数幂：m =a（a>0,m,neN,n>1。 ·正教的奥分戴指我不：口”=11 （a>0,m,n∈N',n>1)。 。 0的分教指数暴：0的正分数指数眾等于0；0的负分数指数幂没有意义。 无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a“(Q>0,Q是无理数)是一个确定的实数。有理数指 数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。 3.实数指数幂的运算性质 对于a>0,b>0,r,s∈R,有： 2 目标双一流 领先高考培优课程 1.d·a=a+s(同底相乘，指数相加) 2.（a=a（幂的乘方，指数相乘) 3.（ab厂=ab(积的乘方，等于乘方的积) 4. Q=as(同底相除，指数相减) a 4.核心避坑指南与解题技巧 ·化简原则：结果中不能同时含有根式和分数指数幂；不能既含有分母又含有负指数；底数是 带分数或小数的，必须先化为假分数或真分数。 【小练一下】 1.计算：-8= 21 11 15 2化简：（2a3b2)(-6a2b3)=(-3a5b5) 热点题型归纳 回0--0+e-°+o129. 3 目标双一流 领先高考培优课程 0回 【练习1】 1元°+0.2+(2x°-27 o12s-g4+5x5r (2) 32-4×8-2×8- 唇(-旷母 模块二 常见题型讲解 目标双一流 领先高考培优课程 知 识点睛 林代换决遇到已加。+口3求0+01这美风题， 利用完全平方公式，号， (a2+ai2=a+a1+2 进行整体代换。 常见公式补充： (a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3 a+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 型 纳 11 a+a1+2 ☐回【例2】已知a2+a2=3,求a2+a2-2的值； 1 1 a+a-1 0间 【练习2】 (1)已知a2-a2=1,求a2+a2的值； 目标双一流 领先高考培优课程 as+a3x 3 (②)已知a+a2(a>0且a≠1），则a- 33 (3)已知}1 2大2=3求+x+2的值 x2+x2+3 课后作业 6 目标双一流 领先高考培优课程 一、选择题（概念辨析，夯实基础） 1.下列各式中，正确的是() A-33=-3 B. -4=-4 C.=a D. 02=0 2若a≥0：将 a化为分数指数幂的形式，正确的是() A是 8.d c。 3.化简 8上号的结果是(） 27 A司 c号 二、填空题（精准运算，规范表达） 4计算：22×22÷21= 13 反若+x3则X+x 6已知0=4则a= 三、解答题（逻辑推理，综合应用） 7.化简（结果用分数指数幂表示）：a·a:a（a>0 &已知a是-。片=2求下列各式的值： (1)a+a: (2)a2+a2。 7 目标双一流